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Probabilidad I-Videos: Teorema de Bayes

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

En este video enunciaremos el teorema de Bayes, el cual hace uso del Teorema de probabilidad total, para brindarnos otra herramienta en la determinación de probabilidades de eventos en los que se busca condicionar al espacio muestral para un cálculo más sencillo.

Teorema de Bayes

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestra directamente que

$\\ P(E|F)=P(E|FG)P(G|F)+P(E|FG^{c})P\left(G^{c}|F\right)$.

  •  Demuestra que, para cualquier evento $A$ y $B$,

$\\ P(A|A\cup B)\geq P(A|B)$.

  • Demuestra que si $A_{i}$, $i\geq 1$ son eventos mutuamente excluyentes de un experimento. entonces

$\\ P\left(A_j\middle|\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\frac{P\left(A_j\right)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}A_i}$.

  • Tres jugadores lanzan monedas simultáneamente. La moneda lanzada por $A$ sale cara con probabilidad $P_{1}$, la moneda lanzada por $B$ sale cara con probabilidad $P_{2}$ y la moneda lanzada por $C$ sale cara con probabilidad $P_{3}$. Si una persona obtiene un resultado diferente al de las otras dos, entonces él es el extraño. Si no hay un hombre extraño, los jugadores lanzan de nuevo y continúan haciéndolo hasta que obtienen un hombre extraño. ¿Cuál es la probabilidad de que $A$ sea el extraño?.
  • Hay 3 monedas en una caja. Una es una moneda de dos caras, otra es una moneda justa y la tercera es una moneda sesgada que sale cara el 75% de las veces. Cuando una de las 3 monedas es selecciona al azar y lanzada, esta muestra cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la monera seleccionada fuera la moneda de dos caras?

Más adelante…

El teorema de Bayes puede utilizarse para calcular fácilmente la probabilidad condicional de eventos en los que la intuición comúnmente falla, nos ayuda a describir la probabilidad de un evento basado en el conocimiento previo de las condiciones que podrían estar relacionadas con dicho evento.

Es momento, de comenzar a tratar ciertas funciones dentro de un espacio de probabilidad, para esto es necesario abordar otra propiedad importante que cumple una medida de probabilidad, esta es, la propiedad de continuidad.  

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Probabilidad I-Videos: Teorema de probabilidad total

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Anteriormente vimos la definición de probabilidad condicional, de dicha definición podemos derivar una fórmula muy útil para determinar probabilidades que llamaremos el Teorema de probabilidad total.

Teorema de probabilidad total

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Si $A_1,A_2,\ldots,A_n\ $ es una partición de $\Omega$ con $P\left(A_i\right)>0$ para $i=1, 2, …, n$, entonces para eventos $C$ y $D$ con $P\left(CA_i\right)>0$ para $i=1, 2, …, n$ demuestra que $P\left(C\middle|\ D\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P\left(A\middle|\ CA_i\right)P(A_i|C})$.
  • Un mago tiene dos monedas: una es justa; y la otra tiene una probabilidad de $\frac{3}{4}$ de dar como resultado Cara. Toma una moneda al azar y la lanza obteniendo una cara en el primer lanzamiento, determina la probabilidad de que la moneda sea justa.
  • Usa los dos ejercicios anteriores para encontrar la probabilidad de obtener una Cara en el segundo lanzamiento dado que hay una Cara en el primer lanzamiento.
  • En una urna hay $m$ canicas rojas y $n$ canicas azules. Se seleccionan al azar a $r$ canicas, una por una y sin reemplazo. Suponga que $r\le\ m,\ n$. Encuentra la probabilidad de que la última canica escogida sea roja.
  • Una persona lanza un dado equilibrado una vez, obteniendo el resultado $k$. Después lanza nuevamente el dado tantas veces como indicó el resultado del primer lanzamiento sumando los resultados de estos últimos lanzamientos y obteniendo un total de $m$. Calcule la probabilidad de que los números $k$ y $m$ coincidan.

Más adelante…

Existen problemas para los que no es evidente la forma de encontrar la probabilidad de cierto evento, pero condicionando adecuadamente, en ocasiones se puede encontrar de manera más fácil la probabilidad buscada. Siguiendo con esta línea de ideas en el siguiente video hablaremos sobre el Teorema de Bayes.

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Probabilidad I-Videos: Independencia de eventos

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

La noción de independencia de los eventos juega un papel importante en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.  Generalmente, saber que algún evento B ha ocurrido cambia la probabilidad de que otro evento A ocurra. Si la probabilidad permanece sin cambios entonces llamamos a A y B independientes.

Independencia de eventos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sean $A$ y $B$ eventos independientes, muestra que
    • $A^c,\ B$
    • $A,\ B^c$
    • $A^c,\ B^c$

Son independientes.

  • Demuestra que los eventos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P\left(A\middle|\ B\right)=P\left(A\middle|\ B^c\right)$.
  • Sea $\Omega=${$1,2,\ldots,p$} donde $p$ es primo, $\mathcal{F}$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $\Omega$ y para todo evento $A\in\mathcal{F}$, $P(A)=\frac{\left|A\right|}{p}$. Muestra que, si $A$ y $B$ son eventos independientes, entonces al menos uno de los eventos $A$ y $B$ son cualquiera $\emptyset$ o $\Omega$.
  • Considera que se lanza un dado n veces. Sea $A_{ij}$ el evento tal que el $i-ésimo$ y $j-ésimo$ resultado producen el mismo número. Muestra que los eventos {$A_{ij}:1\le\ i\le\ j\le\ n$} son independientes dos a dos, pero no son independientes.
  • Prueba que si $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son eventos independientes entonces $P\left(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n\right)=1-\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left[1-P\left(A_i\right)\right]$.

Más adelante…

En los siguientes videos veremos dos aplicaciones útiles e importantes de la probabilidad condicional: el teorema de probabilidad total y el teorema de Bayes, que nos permiten a través de una partición correcta del espacio muestral, encontrar probabilidades de una manera conveniente.

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Probabilidad I-Videos: Probabilidad condicional

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Muchas afirmaciones sobre el azar toman la forma “si ocurre B, entonces la probabilidad de A es p”, donde B y A son eventos y p es una probabilidad como vimos anteriormente. A estas probabilidades se les llama probabilidades condicionales.

Abordaremos más el tema en el video que encontraras a continuación.

Probabilidad condicional

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba las siguientes afirmaciones.

  •  La probabilidad condicional cumple la condición dos y tres de una medida de probabilidad es decir prueba que la probabilidad condicional aplicada al espacio muestral $\Omega$ es igual a 1 y que si $\ A_1,A_2,…$ son eventos ajenos dos a dos, entonces $P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k|B}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{P(A_k|B)}$.
  • Si $\ A_1,A_2,…$ son eventos entonces $P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k|B}\right)\le\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{P(A_k|B)}$.
  • Si $A$ y $B$ son eventos entonces $P\left(A\middle|\ B\right)=1-P(A^c|B)$.
  • Si $A_1,A_2$ son eventos tales que $A_1\subset A_{2\ }$ entonces $P\left(A_1\middle|B\right)≤P\left(A_2\middle|B\right)$.
  • Para cualesquiera eventos $A_1,\ A_2,\ldots,A_n$ tal que $P\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n-1}A_k\right)>0$ se cumple que $P\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}A_k\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\middle|\ A_1\right)P\left(A_3\middle|\ A_1\cap A_2\right)\ldots\ P(A_n|\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n-1}A_k)$

Más adelante…

En la práctica, es posible tener un conocimiento parcial sobre el resultado de un experimento, o se puede presentar que las condiciones de un experimento puedan cambiar. Es por esto que usando ideas intuitivas sobre la probabilidad definimos la probabilidad condicional.  

También puede darse el caso de que la ocurrencia de un evento no tenga ningún efecto sobre la probabilidad de que ocurra otro. Esto nos lleva a definir en el siguiente video el concepto de independencia.

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Probabilidad I-Videos: Axiomas de la probabilidad y propiedades

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Anteriormente vimos que los eventos pueden verse como subconjuntos del espacio muestral , sin embargo, no necesariamente todos los subconjuntos del espacio muestral son eventos. En este video se analizaran varias definiciones que nos permitirán formalizar ideas que hasta el momento son muy vagas, entre estas las condiciones que se deben cumplir para poder hablar de un evento, una medida de probabilidad, un espacio de probabilidad y algunas propiedades elementales.

Axiomas de la probabilidad y propiedades

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Si $P(A)$ es la probabilidad de que un evento A ocurra, prueba que para $A_1,A_2,\ldots, A_n$ eventos, se cumple que: $\begin{multline*}P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)- \sum_{i<j\le n}P\left(A_i\bigcap A_j\right)+\\ \sum_{i<j<k\le n }P\left(A_i\bigcap A_j\bigcap A_k\right)+\ldots+\left(-1\right)^{n+1}P(A_1\bigcap A_2\bigcap\ldots\bigcap A_n)\end{multline*}$.
  • Muestra que $P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\le\sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)$.
  • Sean $A_r,\ \ r\geq1$, eventos tales que $P\left(A_r\right)=1$ para toda $r$. Prueba que $P\left(\bigcap_{r=1}^{\infty}A_r\right)=1$.
  • Prueba que $P\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\right)\geq\ \sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)-(n-1)$.
  • Prueba que $P\left(A\cap B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)=P\left(\left(A\cup B\right)^c\right)-P\left(A^c\right)P\left(B^c\right)$.

Más adelante…

Cuando nos interesa la probabilidad de un evento asociado a un experimento aleatorio, en ocasiones es necesario encontrar dicha probabilidad, dada la condición suplementaria de que ha ocurrido algún otro evento asociado al experimento aleatorio. Llamaremos a tales probabilidades condicionales, hablaremos más de estas en el siguiente video.

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