Esta es la página del curso Álgebra Moderna I que imparte la profesora Diana Avella Alaminos en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso se cubre el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cinco unidades temáticas.
- Unidad 1: Grupos y Subgrupos
- Unidad 2: Permutaciones
- Unidad 3: Grupo cociente y Homomorfismos
- Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
- Unidad 5: Jordan Hölder y el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos
Notas y videos del Curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Han sido trabajadas por la alumna Cecilia Villatoro Ramos a partir de las notas de clase de la profesora Diana Avella Alaminos. Se irán agregando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Estas notas a su vez se elaboraron a partir de la bibliografía abajo indicada y no pretenden presentar demostraciones originales sino organizar y unificar el material de dichos textos, agregando explicaciones, ejemplos, ejercicios, enlaces, etc., para que los alumnos lo puedan entender de forma accesible, siguiendo por completo el temario oficial de la materia, y presentando sólo lo que podría estudiarse de manera realista en un curso de un semestre con tres horas a la semana de clases con el profesor titular. Cabe mencionar que cada entrada del blog corresponde al material que puede ser impartido en aproximadamente una hora de clase.
Sugerimos al lector que desee ampliar su estudio en la materia, revisar los textos a partir de los cuales se estructuró el curso.
Los videos fueron elaborados en su totalidad por la profesora Diana Avella Alaminos.
Unidad 1: Grupos y subgrupos
Notas
- Introducción al curso
- Guía de Notación
- Operación binaria
- Operación binaria asociativa y conmutativa
- Definición de Grupo
- Propiedades de grupos y Definición débil de grupo
- Asociatividad generalizada y Leyes de los exponentes
- Subgrupos
- Orden de un elemento y Grupo cíclico
- Orden de un grupo
- Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por $X$
- Palabras
Videos
- Video 1. Operaciones binarias
- Video 2. Asociatividad y conmutatividad
- Video 3. Ejemplos de asociatividad y conmutatividad en operaciones definidas por tablas
- Video 4. Definición de grupo y ejemplos
- Video 5. Ejemplos y propiedades básicas de grupos
- Video 6. Definición débil de grupo
- Video 7. Asociatividad generalizada
- Video 8. Definición de potencia y leyes de los exponentes
- Video 9. Definición de subgrupo y ejemplos
- Video 10. Condición para que se tenga un subgrupo en el caso finito
- Video 11. Orden de un elemento
- Video 12. El orden de a divide a toda $k$ tal que $a^k=e$
- Video 13. Otra descripción del orden de un elemento
- Video 14. Subgrupo cíclico generado por un elemento
- Video 15. Orden de un grupo y relación con el orden de un elemento
- Video 16. Todo subgrupo de un cíclico es cíclico
- Video 17. Palabras en un conjunto
- Video 18. El generado es la colección de palabras en $X$
- Video 19. Orden de un producto
Unidad 2: Permutaciones y grupo cociente
Notas
- Permutación y Grupo Simétrico
- Permutaciones disjuntas
- Factorización completa
- Misma Estructura Cíclica, Permutación Conjugada y Polinomio de Vandermonde
- Paridad de una permutación
- Producto de subconjuntos y Clases Laterales
- Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de $H$ en $G$
- Teorema de Lagrange
- Caracterización de grupos cíclicos
- Subgrupo Conjugado, Subgrupo Normal y Conmutatividad Parcial
- Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupo normal y grupo alternante.
- Grupo cociente
- Subgrupo conmutador
Videos
- Video 20. Permutaciones y ciclos
- Video 21. Más ejemplos de permutaciones y definición de permutaciones disjuntas
- Video 22. Permutaciones disjuntas conmutan
- Video 23. Toda permutación es un producto de ciclos disjuntos
- Video 24. Definición de factorización completa
- Video 25. Lema para probar que la factorización completa es única salvo por el orden de los factores
- Video 26. Las factorizaciones completas son únicas salvo por el orden de los factores
- Video 27. Definición de tener la misma estructura cíclica y de permutaciones conjugadas
- Video 28. Las transposiciones generan al grupo simétrico y definición del polinomio de Vandermonde
- Video 29. Toda permutación se descompone siempre como un producto de una cantidad par de transposiciones o siempre con una cantidad impar de transposiciones
- Video 30. Definición de signo de una permutación y fórmula del signo como en Rotman
- Video 31. Subgrupo alternante
- Video 32. Producto de dos subconjuntos de un grupo
- Video 33. Cuándo el producto de subgrupos es un subgrupo
- Video 34. Definición de clases laterales
- Video 35. Relación de equivalencia de un grupo definida respecto a un subgrupo
- Video 36. Propiedades de clases laterales y ejemplos
- Video 37. Definición de índice
- Video 38. Teorema de Lagrange
- Video 39. Otra propiedad de grupos cíclicos
- Video 40. Caracterización de grupos cíclicos
- Video 41. El grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico
- Video 42. Definición de subgrupo normal
- Video 43. Equivalencias de ser un subgrupo normal
- Video 44. Ejemplos de subgrupos normales
- Video 45. Subgrupos de índice dos
- Video 46. El alternante del grupo simétrico para cuatro elementos no tiene subgrupos de orden seis
- Video 47. El producto de subgrupos en el caso en que uno o ambos sean normales
- Video 48. Grupo cociente
- Video 49. Ejemplos de grupo cociente 1
- Video 50. Ejemplos de grupo cociente 2
- Video 51. Ejemplos de grupo cociente 3
- Video 52. Subgrupo conmutador
- Video 53. El subgrupo conmutador es el menor subgrupo con respecto al cual el cociente es abeliano
Unidad 3: Homomorfismos
Videos
- Video 54. Definición de homomorfismo
- Video 55. El inverso de un isomorfismo es un isomorfismo y la composición de homomorfismos es un homomorfismo
- Video 56. Propiedades de homomorfismos
- Video 57. Núcleo e imagen de un homomorfismo
- Video 58. El núcleo y la imagen son subgrupos, además el núcleo es normal y es trivial si y sólo si el homomorfismo es inyectivo
- Video 59. Proyección canónica de un grupo $G$ en el cociente $G/N$
- Video 60. Motivación para el primer teorema de isomorfía
- Video 61. 1er Teorema de isomorfía
- Video 62. 2do Teorema de isomorfía
- Video 63. Ejemplo del 2do Teorema de isomorfía
- Video 64. 3er Teorema de isomorfía
- Video 65. Ejemplo 3er Teorema de isomorfía
- Video 66. 4to Teorema de isomorfía enunciado y 1ra parte de la demostración
- Video 67. 2da parte de la demostración del 4to Teorema de isomorfía
- Video 68. Ejemplo 4to Teorema de isomorfía
Unidad 4: Acciones y Teoremas de Sylow
Notas
- Teorema de Cayley
- Una modificación al Teorema de Cayley
- Acciones
- Órbita de $x$ y tipos de acciones
- Tamaño de una órbita y de un estabilizador
- Clases de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y $p$-Grupo
- Teorema de Cauchy
- $p$-Subgrupo de Sylow y Normalizador de $H$ en $G$
- Teoremas de Sylow
- Ejemplos de Sylow
Videos
- Video 69. Previo al teorema de Cayley
- Video 70. Teorema de Cayley
- Video 71. Modificación del Teorema de Cayley
- Video 72. Generalización de que todo subgrupo de índice dos es normal
- Video 73. Definición de acción de un grupo en un conjunto
- Video 74. Definición equivalente de acción
- Video 75. Órbitas y acciones transitivas
- Video 76. Ejemplos de órbitas y acciones transitivas
- Video 77. Acciones fieles y estabilizadores
- Video 78. Más ejemplos de órbitas y estabilizadores
- Video 79. Relación entre la cardinal idea de la órbita y el orden del estabilizador
- Video 80. Ecuación de clase
- Video 81. Definición de $p$-grupo y una congruencia importante
- Video 82. Teorema de Cauchy
- Video 83. Más resultados de $p$-grupos
- video 84. Definición de $p$-subgrupo de Sylow
- Video 85. 1er teorema de Sylow
- Video 86. 2do teorema de Sylow
- Video 87. 3er teorema de Sylow
- Video 88. Ejemplo del 3er teorema de Sylow
Unidad 5: Jordan Hölder y el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, existe un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía a partir de la cual se elaboró el curso:
- Avella D., Mendoza O., Sáenz E. C., Souto M. J., Grupos I,
Colección Papirhos IMUNAM, México, 2014, 192 págs. - Avella D., Mendoza O., Sáenz E. C., Souto M. J., Grupos II,
Colección Papirhos IMUNAM, México, 2016, 202 págs. - Dummit, D. S. y Foote R. M. Abstract algebra. Hoboken, NJ: John, Wiley Sons, Inc., 2004, 657 págs.
- Fraleigh, J.B., A first course in abstract algebra, Boston, Addison-Wesley,
2003. - Herstein, I.N., Topics in algebra, New York, J. Wiley, 1975.
- Judson, T.W., Abstract Algebra: Theory and Applications, Department of Mathematics and Statistics Stephen F. Austin State University, 2022 http://abstract.ups.edu/aata/aata.html
- Rose, H. E. . A course on finite groups. Universitext. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2009, xii+311 págs.
- Rotman, J.J., A first course in abstract algebra, New Jersey, Pren-
tice Hall, 2000. - Rotman, J.J., An introduction to the theory of groups, New York, Springer,
1995.
Bibliografía sugerida disponible en la Biblioteca digital de la UNAM:
- Bhattacharya, P. B., Jain, S. K., Nagpaul, S. R., Basic abstract algebra, Cambridge University Press, 1994.
- Finston, D. R., Morandi, P. J., Abstract algebra : structure and application, Birkhäuser, 2014.
- Grillet, P. A., Abstract algebra, New York : Springer, 2007.
- Grove, L. C. Algebra, New York : Academic Press, 1983.
- Lee, G.T., Abstract algebra : an introductory course, Sringer, 2018.
- Rotman, J.J., Advanced modern algebra, American Mathematical Society,
- Providence, Rhode Island, 2017.
- Smith, J. D.H., Introduction to abstract algebra, CRC Press, E.U., 2009.
- Wadsworth, A.R., Problems in abstract algebra, Providence, Rhode Island:
American Mathematical Society, 2017.
Créditos
Las siguientes personas han ayudado a crear el material de este curso:
- Diana Avella Alaminios
- Axel David García Beltrán
- Cecilia del Carmen Villatoro Ramos