Introducción
Ya hemos visto cómo podemos crear proposiciones complejas a partir de proposiciones básicas usando conectores y cuantificadores. En esta entrada repasaremos cómo hacer negaciones de los distintos conectores lógicos de los que hemos platicado, y hablaremos de cómo hacer eso mismo para los cuantificadores universales y existenciales.
Recordatorio de negaciones de conectores lógicos.
Hemos hablado de cinco conectores lógicos: negación, conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. En entradas anteriores hemos platicado de qué sucede con algunos de ellos si los negamos.
Negación, conjunción y disyunción
Negar una negación es sencillo. Ya vimos con anterioridad que $\neg(\neg P)\equiv P$. Para la conjunción y disyunción hablamos de las leyes de De Morgan en la entrada correspondiente. Nos dicen que estos conectores se niegan como sigue:
- $\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$
- $\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$
Siendo que trabajemos con alguna de estas, solo es necesario recordar: «la conjunción se niega con la disyunción de las negaciones y la disyunción se niega con la conjunción de las negaciones».
Implicación
Para ver cómo es que se niega este conector, recordemos su equivalencia lógica: $$P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q.$$
Lo siguiente que podemos hacer es aplicar una ley de De Morgan:
$$\neg (P \Rightarrow Q) \equiv \neg(\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q.$$
Lo cuál nos quiere decir: «la negación de la implicación es que se cumpla la hipótesis y no la tesis» o «una promesa falla cuando pasa la condición requerida, pero no sucede lo requerido».
Doble implicación
Ahora, recordemos que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ la definimos mediante $(P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. De esta manera, podemos usar nuevamente leyes de De Morgan para obtener:
$$ \begin{aligned} \neg(P \Leftrightarrow Q) &\equiv \neg((P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P))\\ &\equiv \neg(P\Rightarrow Q) \lor \neg(Q \Rightarrow P) \\ &\equiv (P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)\end{aligned}$$
Esto lo podemos pensar como «Las negación de un doble condicional es que las dos proposiciones tengan valores de verdad distintos». Para que la negación de la doble implicación sea verdadera necesitamos que $P$ sea verdad y $Q$ falsa o $Q$ verdad y $P$ falsa.
Para recapitular esta parte, recuerda la siguiente tabla:
| Conector | Negación |
| $\neg P$ | $P$ |
| $P \lor Q$ | $\neg P \land \neg Q$ |
| $P \land Q$ | $\neg P \lor \neg Q$ |
| $P \Rightarrow Q$ | $P \land \neg Q $ |
| $P \Leftrightarrow Q$ | $(P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)$ |
Negaciones de cuantificadores
Ahora que ya hemos visto sobre las negaciones de los conectores, es turno de que hablemos un poco de los cuantificadores. Y para esto recordemos que un cuantificador nos da información sobre los posibles valores de verdad de un predicado a través de un universo.
Negación de cuantificadores universales
Observa por un momento el siguiente predicado:
«Todos los números primos son impares»
Esta proposición la podemos ver de la forma $\forall x: P(x)$ en el universo de discurso de los números enteros. Y la proposición nos dice que cada número primo que tomemos, será impar. ¿Esto es verdad? Pues resulta que no. Y de hecho el único número primo que no es impar es el 2. En este caso no podemos decir que sea verdad la proposición cuantificada, esto pues existe al menos un número entero que no cumple la proposición. ¿Ves a dónde vamos con las palabras resaltadas?
Para negar el cuantificador $\forall$ usamos el cuantificador $\exists$ diciendo que existe un elemento que no cumple la propiedad:
$\neg(\forall x: P(x)) \equiv \exists x: \neg P(x)$
Pensemos en el significado de la expresión. Si tenemos $\neg(\forall x: P(x))$ significa que en el universo de discurso, existe una manera de elegir a $x$, digamos $x=a$ donde $P(a)$ es falsa, es decir $\neg P(a)$ es verdadera.
Negación de cuantificadores existenciales
Por otro lado, pensemos en el siguiente ejemplo:
«Existe un número entero mayor a 1 y menor a 2»
Para poder decir si es verdad o no, deberíamos ponernos de acuerdo en qué es un número entero o qué significa que sea menor o mayor que otro. Pero nuestra intuición nos dice que esto no es cierto (y estamos en lo correcto al pensar así). Ahora ¿Cómo se te ocurre que podríamos negar la expresión $\exists x: P(x)$, donde nuestro universo de discurso son los números enteros y $P(x) : 1<x \land x<2$? Pues necesitaríamos que no exista algún elemento que cumpla la condición. Entonces podemos notar que lo que nos dice esta negación es que cualquier elemento que tomemos de nuestro universo de discurso, no cumplirá con la proposición. Es decir, «Para todo $x$ en el universo de discurso, no se cumplirá el predicado». Dicho de otra forma:
$\neg (\exists x: P(x)) \equiv \forall x: \neg (P(x)).$
Vayamos un paso más allá, pues $P(x) : 1<x \land x<2$ es una conjunción. Al negarla, por leyes de De Morgan obtenemos una disyunción $\neg P(x): \neg(1<x) \lor \neg (x<2)$. Así, podríamos concluir entonces que la negación de
«Existe un número entero $x$ tal que $x>1$ y $x<2$.»
es
«Para todo número entero $x$, o bien no se cumple $x>1$ o bien no se cumple $x<2$.»
Negar hasta lo más profundo posible
Cuando hablamos de negar una proposición matemática compuesta por proposiciones específicas, o bien de negar una fórmula proposicional, nuestro objetivo es llevar las negaciones hasta las proposiciones básicas o las variables proposicionales o las variables de predicado. Por ejemplo, pensemos en simplificar la siguiente negación:
$$\neg(\exists x: (P(x)\lor Q(x)) \land (\neg R(x)\Rightarrow P(x))).$$
Aquí la primera negación está afectando al cuantificador existencial, entonces lo primero que hacemos es cambiarlo en un cuantificador universal de la negación:
$$\forall x: \neg((P(x)\lor Q(x)) \land (\neg R(x)\Rightarrow P(x))).$$
Ahora la negación está actuando en una conjunción, entonces usamos De Morgan para simplificar a
$$\forall x: \neg(P(x)\lor Q(x)) \lor \neg (\neg R(x) \Rightarrow P(x)).$$
Ahora hay una negación en una disyunción y una en una implicación. Entonces, usamos las reglas que vimos arriba para simplificar a lo siguiente
$$\forall x: (\neg P(x)\land \neg Q(x)) \lor (\neg R(x) \land \neg P(x)).$$
Esta ya es la forma final que nos interesa. Nota que las negaciones ya están sólo junto a $P(x), Q(x), R(x)$, pero ya no afectan conjunciones, disyunciones, condicionales ni cuantificadores.
Más adelante…
Llegando a este punto, ya tenemos el conocimiento necesario para hablar de una sustancia muy importante en la matemática: las demostraciones. Esto es, ¿cómo podemos estar seguros de cuándo algo se cumple y cuándo no?, ¿qué significa que un enunciado se derive de otros enunciados? Y más importante: vamos a introducir algunas técnicas de demostración que te ayudarán a entender de qué estamos hablando en matemáticas cuando haya que verificar algo. Y para esto usaremos algo conocido como reglas de inferencia.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones?
- $P\lor (Q \Rightarrow S)$
- $(P \Leftrightarrow (Q\land \neg S))$
- $P \land (Q\lor R)$
- $P \Rightarrow(Q \Rightarrow P)$
- ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones que involucran cuantificadores?
- $\forall x:(P(x)\Rightarrow Q(x))$
- $\exists y: (\forall x: (P(x)\land Q(y)))$
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Superior I
- Entrada anterior del curso: Problemas de condicionales y cuantificadores
- Siguiente entrada del curso: Problemas de negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»