(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En entradas anteriores definimos el índice de $H$ en $G$ con $H$ un subgrupo del grupo $G$. Además, dimos la definición de subgrupo normal, y demostramos equivalencias usando clases laterales izquierdas y derechas.

Cuando sólo hay dos clases laterales en $G$, es muy fácil concluir esa equivalencia, es decir, es fácil verificar que toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda y viceversa. Digamos, si $[G:H] = 2$ y tomamos $a,b\in G$. Por un lado tenemos que se crea una partición $\mathcal{P}_1 = \{H, aH\}$ de $G$ y por otro lado tenemos $\mathcal{P}_2 = \{H, Hb\}$. Como ambas particiones tienen $H$, entonces necesariamente $aH = Hb$. Así, concluimos que $H \unlhd G$.

Lo anterior lo demostraremos de manera formal en esta entrada.

Proposición sobre subgrupos

Proposición. Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$.

1. Si $[G : H ] = 2$, entonces $g^2\in H$ para toda $g\in G$.
2. Si $[G : H ]= 2$, entonces $H$ es normal en $G$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $H\leq G$ con $[G : H ]= 2$.

$1.$ P.D. $g^2 \in H$ para toda $g \in G$.

Sea $g\in G$. Como $[G : H ]= 2$ hay dos clases laterales izquierdas, $H$ y $aH$ para alguna $a \in G\setminus H$, y $G = H\;\dot\cup\; aH$, donde $\dot\cup$ en este caso es una unión disjunta.

Como $g\in G$, entonces $g\in H$ ó $g \in aH$.

Si $g\in H$, al ser $H$ un subgrupo, $g^2\in H$.
Si $g\in aH$, $g = ah$ para alguna $h\in H$.
Por lo tanto $g^2 = ahah$.

Pero también, $g^2 \in G = H\;\dot\cup\; aH$. Por un lado, si $g^2\in aH$, $g^2 = a \tilde{h}$ con $\tilde{h} \in H$.
\begin{align*}
&\Rightarrow a \tilde{h} = g^2 = ah a h \\
&\Rightarrow \;\tilde{h} = hah & \text{Cancelamos la } a \text{ que se repite}\\
&\Rightarrow a = h^{-1}\tilde{h}h^{-1}  &\text{Despejando }{a}.
\end{align*}

Pero cada uno de $h,\tilde{h}, h^{-1}  \in H$. Por lo que $a \in H$ y esto sería una contradicción.
Por lo tanto $g^2 \in H$.

$2. $ Como $[G : H ]= 2$ hay dos clases laterales izquierdas $H$ y $aH$ con $a \in G\setminus H$. Hay también dos clases laterales derechas $H$ y $Hb$ con $b \in G\setminus H$ y además
$$H\;\dot\cup \;aH = G = H\;\dot\cup\; Hb.$$

Si $g\in aH$, entonces $g \not\in H$, así $g\in G = H\;\dot\cup \;Hb$ pero $g\not\in H$, y entonces $g\in Hb$. Por lo que $aH \subseteq Hb$.

Si $g\in Hb$, entonces $g\not\in H$, así $g\in G = H\;\dot\cup\; aH$ pero $g\not\in H$, y entonces $g\in aH$. Por lo que $Hb\subseteq aH$.

Así, $aH=Hb$ y toda clase lateral izquierda es una clase lateral derecha.
Por lo tanto, podemos concluir que $H \unlhd G$.

$\blacksquare$

Ejemplos.

Enunciamos dos ejemplos sencillos:

Ejemplo 1. Como $[S_n: A_n ]= 2$, entonces $A_n\unlhd S_n$.

Ejemplo 2. En $D_{2n} = \left<a,b\right>$ con $a$ la rotación $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
Sea $H =\left< a \right>$.
\begin{align*}
[D_{2n} : H ]= \frac{|D_{2n}|}{|H|} = \frac{2n}{n} = 2.
\end{align*}
Por lo tanto $H \unlhd D_{2n}$.

Más teoremas de subgrupos

Veamos que el hecho de que un número divida al orden de un grupo, no implica que haya un subgrupo de ese tamaño. Esto se puede ilustrar con un ejemplo.

Teorema. Sea $A_4$ el subgrupo alternante de $S_4$.
$A_4$ no tiene subgrupos de orden $6$.

Demostración.
Consideremos el subgrupo $A_4$ de $S_4$.

Sabemos que
$$|A_4| = \frac{|S_4|}{2} = \frac{4!}{2}= \frac{24}{2} = 12.$$

Así, $6\Big| |A_4|$.

P.D. $A_4$ no tiene subgrupos de orden $6$.

Supongamos que existe $H\leq A_4$ con $|H| = 6$.

\begin{align*}
\Rightarrow& [A_4 : H ]= \frac{A_4}{H} = \frac{12}{6} = 2 \\
\Rightarrow& H \unlhd A_4 &\text{Prop. anterior inciso 2.}
\end{align*}

Sea $\beta = (a \; b \; c) \in A_4$ un $3-$ciclo.
Por el inciso 1 de la proposición anterior $(\beta^2)^2\in H$. Luego, $\beta = \beta^4 = (\beta^2)^2 \in H$. Así, todo $3-ciclo$ está en $H$.

Pero en $S_4$ hay exactamente ocho $3-$ciclos. Entonces $|H| \geq 8$ y esto es una contradicción pues supusimos que $|H| = 6$.

Por lo tanto $A_4$ no tiene subgrupos de orden 6.

$\blacksquare$

Ahora veamos qué sucede si multiplicamos dos subgrupos. Esta multiplicación es posible y tiene sentido, pero esto no siempre nos da un subgrupo, aquí damos algunos casos en donde esto sí pasa.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$.

1. Si $H \unlhd G$ ó $K \unlhd G$, entonces $HK \leq G$.
2. Si $H \unlhd G$ y $K \unlhd G$, entonces $HK \unlhd G$.

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos de $G$.

$1.$ Supongamos que $H \unlhd G$.

P.D. $HK \leq G$.
Por un resultado de una entrada previa, basta ver que $HK = KH$.

Si $h\in H$, $k\in K$, como $H \unlhd G$, entonces $hk = k\tilde{h}$ con $\tilde{h}\in H$ por la conmutatividad parcial. Por lo tanto $HK \subseteq KH$.

Además $kh = \bar{h}k$ con $\bar{h} \in H$, de nuevo, por la conmutatividad parcial ya que $H\unlhd G$. Por lo tanto $KH \subseteq HK$.

Así, $HK = KH$ y $HK \leq G$.

Para $K\unlhd G$ se demuestra que $HK = KH$ de forma análoga.

$2.$ Supongamos que $H \unlhd G$, $K\unlhd G$.
Sean $h\in H, k \in K$ y $a\in G$. Veamos que $a(hk)a^{-1} \in HK.$

Agregando un neutro,
$$a(hk)a^{-1} = ah(a^{-1} a) ka^{-1} = (aha^{-1}) (aka^{-1}).$$

Pero como $H \unlhd G$ sabemos que $aha^{-1} \in H$, y como $K \unlhd G$ sabemos que $aka^{-1} \in K$, entonces $a(hk)a^{-1} = (aha^{-1}) (aka^{-1}) \in HK.$

Por lo tanto $HK \unlhd G$.

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ con $3 = [G:H]$. ¿Es $H$ normal en $G$?
2. Prueba que en $S_4$ hay exactamente ocho $3$-ciclos.
3. Demuestra que $A_5$ no tiene subgrupos de orden 20: Supón por contradicción que $H$ es un subgrupo de de orden 20.
   1. Sea $\alpha \in A_5$ un $5$-ciclo. Prueba que si $\alpha\not\in H$ entonces $H, \alpha H$ y $\alpha^2 H$ son las 3 clases laterales izquierdas de $H$ en $A_5$.
   2. Prueba que $\alpha^3$ no está en ninguna de esas tres clases laterales.
   3. Concluye que $\alpha \in H$ para todo $\alpha$ 5-ciclo, y así $H$ tendría más de 20 elementos.
4. Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos de $G$. Prueba o da un contraejemplo:
   1. Si $HK$ es un subgrupo de $G$, entonces $H$ es normal en $G$ o $K$ es normal en $G$.
   2. Si $HK$ es un subgrupo normal de $G$, entonces $H$ es normal en $G$ y $K$ es normal en $G$.

Más adelante…

Esta entrada es la última antes de comenzar un pequeño tema nuevo: el grupo cociente. Seguiremos viendo cómo se pueden generar particiones de los grupos y definiremos una operación entre los elementos de esta partición.

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