Introducción

En esta entrada demostraremos el teorema de Cayley-Hamilton. Daremos dos demostraciones de sabores muy diferentes. La primera demostración explota las propiedades de la matriz adjunta, mientras que la segunda echa mano de las familias especiales de las cuales calculamos el polinomio característico.

Primera demostración

La primera demostración del teorema de Cayley-Hamilton usa algunas propiedades de la matriz adjunta. Recordamos el teorema y lo demostramos a continuación:

Teorema. (Cayley-Hamilton)

Para cualquier matriz $A\in M_n(F)$ se cumple que

\begin{align*}
\chi_A(A)=O_n.
\end{align*}

Demostración. Sea $A\in M_n(F)$ y sea $B=XI_n-A\in M_n(K)$ dónde $K=F(X)$ es el campo de fracciones racionales en la variable $X$. Es decir, un elemento de $K$ es un cociente de la forma

\begin{align*}
\frac{A(X)}{B(X)}, \hspace{2mm} A(X),B(X)\in F[X]
\end{align*}

con $B$ no idénticamente cero.

Sea $C$ la matriz adjunta de $B$, es decir $C=\operatorname{adj}(B)$. Sus entradas son (por definición) los determinantes de las matrices de tamaño $(n-1)$ cuyas entradas son a su vez polinomios de grado a lo más $1$. Es decir cada entrada de $C$ es un polinomio de grado a lo más $n-1$. Luego, sea

\begin{align*}
c_{ij}= c_{ij}^{(0)}+c_{ij}^{(1)}X+\dots+c_{ij}^{(n-1)} X^{n-1}
\end{align*}

la $(i,j)$-ésima entrada de $C$, con $c_{ij}^{(0)},\dots, c_{ij}^{(n-1)}\in F$. Sea $C^{(k)}$ la matriz cuyas entradas son $c_{ij}^{(k)}$. Entonces

\begin{align*}
C=C^{(0)}+C^{(1)}X+\dots+ C^{(n-1)}X^{n-1}.
\end{align*}

Ahora, recuerda que

\begin{align*}
B\cdot C=B \cdot \operatorname{adj}(B)=\det(B)\cdot I_n=\chi_A(X)\cdot I_n.
\end{align*}

Es decir

\begin{align*}
(X I_n-A)\cdot \left(C^{(0)}+C^{(1)}X+\dots+C^{(n-1)}X^{n-1}\right)=\chi_A(X)\cdot I_n.
\end{align*}

Por otro lado, si escribimos a $\chi_A(X)$ como $\chi_A(X)=X^{n}+u_{n-1}X^{n-1}+\dots + u_0\in F[X]$, la igualdad anterior se convierte en

\begin{align*}
&-AC^{(0)}+(C^{(0)}-AC^{(1)})X+ (C^{(1)}-AC^{(2)})X^2+\dots + (C^{(n-2)}-AC^{(n-1)})X^{n-1}\\ &+C^{(n-1)}X^{n}= u_0 I_n+\dots + u_{n-1}I_nX^{n-1}+I_nX^{n}.
\end{align*}

Identificando los términos de cada coeficiente llegamos a

$$\left\{\begin{matrix}
-AC^{(0)}&= u_0 I_n,\\ C^{(0)}-AC^{(1)}&= u_1 I_n,\\ \vdots & \\ C^{(n-2)}-AC^{(n-1)}&=u_{n-1}I_n,\\ C^{(n-1)}&=I_n.
\end{matrix}\right.$$

Comenzando con la última igualdad, tenemos que $C^{(n-1)}=I_n$. Sustituyendo en la anterior llegamos a que $C^{(n-2)}=A+u_{n-1}I_n$, e inductivamente se cumple que

\begin{align*}
C^{(n-j-1)}=A^{j}+u_{n-1}A^{j-1}+\dots+u_1 I_n.
\end{align*}

En particular

\begin{align*}
C^{(0)}=A^{n-1}+u_{n-1}A^{n-2}+\dots+u_1 I_n.
\end{align*}

Multiplicando ambos lados por $A$ y usando que $-AC^{(0)}=u_0 I_n$ finalmente llegamos a

\begin{align*}
A^{n}+u_{n-1}A^{n-1}+\dots+ u_0 I_n=O_n.
\end{align*}

Pero esta igualdad no es nada más que $\chi_A(A)=O_n$, lo que concluye la prueba.

$\square$

Segunda demostración

Para la segunda demostración enunciaremos el teorema de una manera distinta pero equivalente (¿por qué?). Usaremos una estrategia fundada en el cálculo de polinomios característicos de familias conocidas de una entrada previa.

Teorema. (Cayley-Hamilton)

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ y sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Entonces $\chi_T(T)=0$.

Demostración. La idea es reducir el problema a transformaciones lineales para las que podemos calcular $\chi_T$ fácilmente. Sin embargo, los detalles son un poco complicados.

Fijemos $x\in V$. Para $m\geq 0$ fijamos

\begin{align*}
W_m=\operatorname{Span}(T^0(x), T^1(x), \dots, T^{m}(x)).
\end{align*}

Nota como $W_0\subset W_1\subset \dots \subset V$ y que $\dim W_m\leq \dim W_{m+1}\leq \dim V$ para todo $m\geq 0$. Entonces debe existir algún $m$ mínimo tal que $\dim W_{m-1}=\dim W_m$. Entonces como $W_{m-1}\subset W_{m}$ se tiene que $W_{m-1}=W_{m}$. Luego $T^{m}(x)\in W_{m-1}$, es decir existe una combinación lineal

\begin{align*}
T^{m}(x)=\sum_{k=0}^{m-1} a_k T^{k}(x).
\end{align*}

Nota que esto implica que $W_{m-1}$ es estable bajo $T$. Como $m$ es mínimo, los vectores $T^{0}(x),\dots, T^{m-1}(x)$ deben ser linealmente independientes: en efecto, si no lo fueran existiría una relación de dependencia entre $T^{m-1}(x)$ y términos de grado menor y así $\dim W_{m-1}=\dim W_{m-2}$ y entonces $m$ no sería mínimo. Por lo tanto forman una base para $W_{m-1}$ y respecto a esta base la matriz asociada a $T\vert_{W_{m-1}}$ es

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &\dots & 0 & a_0\\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_1\\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & a_2\\ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & a_{m-1}\end{pmatrix}.
\end{align*}

El polinomio característico de matrices como esta lo calculamos en esta entrada y es igual a $X^{m}-a_{m-1}X^{m-1}-\dots -a_0$. Entonces

\begin{align*}
\chi_{T\vert_{W_{m-1}}}(T)(x)= T^{m}(x)-\sum_{k=0}^{m-1}a_k T^{k}(x)=0.
\end{align*}

Pero como $W_{m-1}$ es $T-$estable, el polinomio característico de $T\vert_{W_{m-1}}$ divide al polinomio característico de $T$ (este es un ejercicio en la tarea moral de esta entrada) y por tanto $\chi_T(T)(x)=0$. Como $x$ fue arbitrario concluimos que $\chi_T(T)$ es la transformación cero.

$\square$

Más adelante…

En la próxima entrada veremos aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton.

Tarea moral

1. Supón que $T:V\to V$ es una transformación lineal y $V$ es de dimensión finita. Demuestra que si $W$ es un subespacio $T$-estable de $V$ entonces $\chi_{T\vert_{W}}(X)$ divide a $\chi_{T}(X)$. Sugerencia. Considera una base de $W$, extiéndela a una base de $V$. ¿Cómo se ve la matriz asociada a $T$ en esta base?
2. Explica por qué las dos versiones que dimos del teorema de Cayley-Hamilton son equivalentes.
3. Demuestra la propiedad de la matriz adjunta que se menciona en la primera demostración.
4. Sean $A,B,C\in M_2(\mathbb{C})$ matrices tales que $AC=CB$ y $C\neq O_n$. Demuestra que para cualquier polinomio $P$ se cumple que $P(A)C=CP(B)$. Usando esto y escogiendo un polinomio adecuado, deduce que $A$ y $B$ tienen un eigenvalor en común. Sugerencia: Usa el teorema de Cayley-Hamilton.
5. Sea la matriz
   \begin{align*}
   A=\begin{pmatrix}
   0 & 2 & 0\\
   1 & 1 & -1\\
   -1 & 1& 1
   \end{pmatrix}.
   \end{align*}
   Usa el teorema de Cayley-Hamilton para calcular $A^{1000}$. Sugerencia: El teorema de Cayley-Hamilton te debería dar una relación entre algunas potencias de $A$.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: Introducción al teorema de Cayley-Hamilton
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»