Introducción
En las entradas anteriores demostramos que cualquier matriz (o transformación lineal) tiene una y sólo una forma canónica de Jordan. Además, explicamos cómo se puede obtener siguiendo un procedimiento específico. Para terminar nuestro curso, platicaremos de algunas de las consecuencias del teorema de Jordan.
Clasificación de matrices por similaridad
Una pregunta que aún no hemos podido responder es la siguiente: si nos dan dos matrices $A$ y $B$ en $M_n(F)$, ¿son similares? Con la maquinaria desarrollada hasta ahora podemos dar una muy buena respuesta.
Proposición. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_n(F)$ tales que el polinomio característico de $A$ se divide en $F$. Entonces, $A$ y $B$ son similares si y sólo si se cumplen las siguientes dos cosas:
- El polinomio característico de $B$ también se divide en $M_n(F)$ y
- $A$ y $B$ tienen la misma forma canónica de Jordan.
Demostración. Sea $J$ la forma canónica de Jordan de $A$.
Si $A$ y $B$ son similares, como $A$ es similar a $J$, se tiene que $B$ es similar a $J$. Entonces, $B$ tiene el mismo polinomio característico que $A$ y por lo tanto se divide en $F$. Además, como $J$ es similar a $B$, entonces por la unicidad de la forma canónica de Jordan, precisamente $J$ es la forma canónica de Jordan de $B$. Esto es un lado de nuestra proposición.
Supongamos ahora que el polinomio característico de $B$ también se divide en $M_n(F)$ y que la forma canónica de Jordan de $B$ también es $J$. Por transitividad de similaridad, $A$ es similar a $B$.
$\square$
Veamos un ejemplo de cómo usar esto en un problema específico.
Problema. Encuentra dos matrices en $M_2(\mathbb{R})$ que tengan como polinomio característico a $x^2-3x+2$, pero que no sean similares.
Solución. Las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ya están en forma canónica de Jordan y son distintas, así que por la proposición anterior no pueden ser similares. Además, por ser triangulares superiores, en ambos casos el polinomio característico es $$(X-1)(X-2)=X^2-3X+2.$$
$\triangle$
El problema anterior fue sumamente sencillo. Piensa en lo difícil que sería argumentar con cuentas de producto de matrices que no hay ninguna matriz $P\in M_2(\mathbb{R})$ tal que $A=P^{-1}B P$.
Forma canónica de Jordan «para cualquier matriz»
Como en $\mathbb{C}[X]$ todos los polinomios se dividen, entonces tenemos el siguiente corolario del teorema de Jordan.
Corolario. Toda matriz en $M_n(\mathbb{C})$ tiene una única forma canónica de Jordan.
Aquí $\mathbb{C}$ es muy especial pues es un campo completo, es decir, en el cual cualquier polinomio no constante tiene por lo menos una raíz. En general esto no es cierto, y es muy fácil dar ejemplos: $x^2-2$ no tiene raíces en $\mathbb{Q}$ y $x^2+1$ no tiene raíces en $\mathbb{R}$.
Sin embargo, existe toda un área del álgebra llamada teoría de campos en donde se puede hablar de extensiones de campos. Un ejemplo de extensión de campo es que $\mathbb{C}$ es una extensión de $\mathbb{R}$ pues podemos encontrar «una copia de» $\mathbb{R}$ dentro de $\mathbb{C}$ (fijando la parte imaginaria igual a cero).
Un resultado importante de teoría de campos es el siguiente:
Teorema. Sea $F$ un campo y $P(X)$ un polinomio en $F[X]$. Existe una extensión de campo $G$ de $F$ tal que $P(X)$ se divide en $G$.
¿Puedes notar la consecuencia que esto trae para nuestra teoría de álgebra lineal? Para cualquier matriz en $M_n(F)$, podemos considerar a su polinomio característico y encontrar campo $G$ que extiende a $F$ en donde el polinomio se divide. Por el teorema de Jordan, tendríamos entonces lo siguiente.
Corolario. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$. Entonces, $A$ tiene una forma canónica de Jordan en un campo $G$ que extiende a $F$.
Por supuesto, la matriz $P$ invertible que lleva $A$ a su forma canónica quizás sea una matriz en $M_n(G)$.
Toda matriz compleja es similar a su transpuesta
Ya demostramos que para cualquier matriz $A$ en $M_n(F)$ se cumple que $\chi_A(X)=\chi_(A^T)(X)$. Esto implica que $A$ y su transpuesta $A^T$ tienen los mismos eigenvalores, traza y determinante. También vimos que $\mu_A(X)=\mu_{A^T}(X)$. Las matrices $A$ y $A^T$ comparten muchas propiedades. ¿Será que siempre son similares? A continuación desarrollamos un poco de teoría para resolver esto en el caso de los complejos.
Proposición. Sea $J_{\lambda,n}$ un bloque de Jordan en $M_n(F)$. Entonces, $J_{\lambda,n}$ y $J_{\lambda,n}^T$ son similares.
Demostración. Para bloques de Jordan, podemos dar explícitamente la matriz de similitud. Es la siguiente matriz, con unos en la diagonal no principal:
$$P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
Esta matriz es invertible, su inversa es ella misma y cumple lo siguiente (ver ejercicios). Si $A$ es una matriz en $M_n(F)$, entonces:
- Si $A$ tiene columnas $C_1,\ldots, C_n$, entonces $AP$ tiene columnas $C_n, \ldots, C_1$.
- Si $A$ tiene filas $R_1,\ldots, R_n$, entonces $PA$ tiene filas $R_n, \ldots, R_1$.
Para los bloques de Jordan, si revertimos el orden de las filas y luego el de las columnas, llegamos a la transpuesta. Así, $J_{\lambda,n}^T=PJ_{\lambda,n}P$ es la similitud entre las matrices dadas.
$\square$
La prueba anterior no funciona en general pues para matrices arbitrarias no pasa que $A^T=PAP$ (hay un contraejemplo en los ejercicios). Para probar lo que buscamos, hay que usar la forma canónica de Jordan.
Teorema. En $M_n(\mathbb{C})$, toda matriz es similar a su transpuesta.
Demostración. Sea $A$ una matriz en $M_n(\mathbb{C})$. Como en $\mathbb{C}$ todo polinomio se divide, tanto $A$ como $A^T$ tienen forma canónica de Jordan. Digamos que la forma canónica de Jordan es
\begin{equation}J=\begin{pmatrix} J_{\lambda_1,k_1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & J_{\lambda_2,k_2} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & J_{\lambda_3,k_3} & \ldots & 0 \\ & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & J_{\lambda_d,k_d}\end{pmatrix}.\end{equation}
Si $P$ es la matriz de similitud, tenemos que $A=P^{-1}JP$ y al transponer obtenemos que:
$$A^T=P^T\begin{pmatrix} J_{\lambda_1,k_1}^T & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & J_{\lambda_2,k_2}^T & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & J_{\lambda_3,k_3}^T & \ldots & 0 \\ & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & J_{\lambda_d,k_d}^T\end{pmatrix}(P^T)^{-1}.$$
Como por la proposición anterior cada bloque de Jordan es similar a su transpuesta, existen matrices invertibles $Q_1,\ldots,Q_d$ tales $J_{\lambda_i,k_i}^T=Q_i^{-1}J_{\lambda_i,k_i}Q_i$ para todo $i\in\{1,\ldots,d\}$. Pero entonces al definir $Q$ como la matriz de bloques
$$Q=\begin{pmatrix} Q_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & Q_2 & \ldots & 0 \\ 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & Q_d \end{pmatrix},$$
obtenemos la similaridad
$$A^T=P^TQ^{-1} \begin{pmatrix} J_{\lambda_1,k_1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & J_{\lambda_2,k_2} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & J_{\lambda_3,k_3} & \ldots & 0 \\ & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & J_{\lambda_d,k_d}\end{pmatrix} Q (P^T)^{-1}.$$
Así, $A$ y $A^T$ tienen la misma forma canónica de Jordan y por lo tanto son matrices similares.
$\square$
Más adelante…
¡Hemos terminado el curso de Álgebra Lineal II! Por supuesto, hay muchos temas de Álgebra Lineal adicionales que uno podría estudiar.
Un tema conectado con lo que hemos platicado es qué hacer con las matrices cuyo polinomio característico no se divide en el campo con el que estamos trabajando. Por ejemplo si tenemos una matriz $A$ en $M_n(\mathbb{R})$ cuyo polinomio característico no se divide, una opción es pensarla como matriz en $M_n(\mathbb{C})$ y ahí encontrar su forma canónica de Jordan. ¿Pero si queremos quedarnos en $\mathbb{R}$? Sí hay resultados que llevan una matriz a algo así como una «forma canónica» en $\mathbb{R}$ muy cercana a la forma canónica de Jordan.
Otro posible camino es profundizar en la pregunta de cuándo dos matrices en $M_n(F)$ son similares. Si tienen forma canónica de Jordan, ya dimos una buena caracterización en esta entrada. En los ejercicios encontrarás otra. Pero, ¿y si no tienen forma canónica de Jordan? Podríamos extender el campo a otro campo $G$ y comprar las formas canónicas ahí, pero en caso de existir la similaridad, sólo la tendremos en $M_n(G)$. Existe otra manera de expresar a una matriz en forma canónica, que se llama la forma canónica de Frobenius y precisamente está pensada para determinar si dos matrices son similares sin que sea necesario encontrar las raíces del polinomio característico, ni extender el campo.
Estos son sólo dos ejemplos de que la teoría de álgebra lineal es muy extensa. En caso de que estés interesado, hay mucho más por aprender.
Tarea moral
- Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$ y tomemos $P$ en $M_n(F)$ la matriz
$$P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$- Demuestra que si $A$ tiene columnas $C_1,\ldots, C_n$, entonces $AP$ tiene columnas $C_n, \ldots, C_1$.
- Demuestra que si $A$ tiene filas $R_1,\ldots,R_1$, entonces $PA$ tiene filas $R_n,\ldots,R_n$.
- Concluye con cualquiera de los incisos anteriores que $P$ es invertible y su inversa es ella misma.
- Tomemos explicitamente $n=2$ y $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Encuentra explícitamente $PAP$. ¿Es $A^T$?
- ¿Cuál es la máxima cantidad de matrices que se pueden dar en $M_5(\mathbb{C})$ de manera que cada una de ellas tenga polinomio característico $x^2(x^2+1)(x+3)$ y tales que no haya dos de ellas que sean similares entre sí.
- Sea $A$ una matriz en $M_n(\mathbb{R})$ tal que su polinomio característico se divide en $\mathbb{R}$, con forma canónica de Jordan $J$. Sea $P(X)$ un polinomio en $\mathbb{R}[X]$.
- Demuestra que el polinomio característico de $P(A)$ se divide en $\mathbb{R}$.
- La forma canónica de Jordan de $P(A)$ no necesariamente será $P(J)$ pues puede que el polinomio altere el orden de los eigenvalores pero, ¿cómo se obtiene la forma canónica de $P(A)$ a partir de $J$?
- Sean $A$ y $B$ matrices en $M_n(F)$ cuyo polinomio característico se divide en $F$. Muestra que $A$ y $B$ son similares si y sólo si para cualquier polinomio $P(X)$ en $F[X]$ se tiene que $\text{rango}(P(A))=\text{rango}(P(B))$.
- Investiga sobre la forma canónica de Frobenius y sobre la variante a la forma canónica de Jordan restringida a $\mathbb{R}$.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal II
- Entrada anterior del curso: Unicidad de la forma canónica de Jordan
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»