Para esta entrada haremos uso de las definiciones y propiedades básicas de eigenvalores y polinomio característico vistas en las clases del miércoles y viernes de la semana pasada.

Problema 1. Encuentra los valores propios de la matriz.
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

Solución. Consideremos a $A$ como una matriz con entradas complejas. Sea $\lambda$ un eigenvalor y $x$ un vector no nulo tal que $Ax=\lambda x$. Si $x_1,x_2$ son las coordenadas de $x$, la condición $Ax=\lambda x$ es equivalente a las ecuaciones

$$-x_2=\lambda x_1,x_1=\lambda x_2.$$

Sustituyendo $x_1$ en la primera ecuación se sigue que $-x_2={\lambda }^2{x}_2.$
Si $x_2=0$, entonces $x_1=0$, lo cual es imposible. Por lo tanto $x_2\ne 0$ y necesariamente ${\lambda }^2=-1$, entonces $\lambda \in \{-i,i\}$. Conversamente, $i$ y $-i$ son ambos eigenvalores, ya que podemos escoger $x_2=1$ y $x_1=\lambda$ como solución del sistema anterior. Así que vista como matriz compleja, $A$ tiene dos valores propios $\pm i$.

Por otro lado, si vemos a $A$ como matriz con entradas reales, y $\lambda \in \mathbb{R}$ es un eigenvalor y $x$ un eigenvector como arriba, entonces

$$({\lambda }^2+1)x_2=0.$$

Como $\lambda$ es real, ${\lambda }^2+1$ es distinto de cero y así $x_2=0$, luego $x_1=0$ y $x=0$. Así que, en conclusión, vista como matriz con entradas reales, $A$ no tiene eigenvalores.

Problema 2. Encuentra el polinomio característico y los eigenvalores de la matriz

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\in M_3(F_2).$$

Solución. ${\chi }_A(\lambda )=det(\lambda I_3-A)=det(\lambda I_3+A)$ (pues $-1=1$ en $F_2$).

$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda +1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1+\lambda & 0& 1\\ 1+\lambda & 1+\lambda & 1\\ 0& \lambda & \lambda +1\end{array}\right|$

La igualdad anterior se obtiene de sumar la segunda columna a la primera y la tercera columna a la segunda.

Ahora vemos que

$\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& 0& 1\\ 1+\lambda & 1+\lambda & 1\\ 0& \lambda & \lambda +1\end{array}\right|=(\lambda +1)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1+\lambda & 1\\ 0& \lambda & \lambda +1\end{array}\right|$

$=(\lambda +1)(\lambda +1{)}^2=(\lambda +1{)}^3.$

Por lo tanto, ${\chi }_A(\lambda )=(\lambda +1{)}^3$, y así el único eigenvalor es $1$.

$\mathrm{△}$

Problema 3. Sean $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}\in F$ y sea

$A=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \dots & 0& a_0\\ 1& 0& 0& \dots & 0& a_1\\ 0& 1& 0& \dots & 0& a_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1& a_{n-1}\end{array}\right).$

Demuestra que

$${\chi }_A=x^n-a_{n-1}{x}^{n-1}-\cdots –a_0.$$

Demostración. Sea $P=x^n-a_{n-1}{x}^{n-1}-\cdots -a_{1}x-a_0$. Considera la matriz

$$B=x{I}_n-A=\left(\begin{array}{cccccc}x& 0& 0& \dots & 0& -a_0\\ -1& x& 0& \dots & 0& -a_1\\ 0& -1& x& \dots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & -1& x-a_{n-1}\end{array}\right).$$

Sumando a la primera fila de $B$ la segunda fila multiplicada por $x$, la tercera fila multiplicada por $x^2$, $\dots$, la $n-$ésima fila multiplicada por $x^{n-1}$ obtenemos la matriz.

$$C=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \dots & 0& P\\ -1& x& 0& \dots & 0& -a_1\\ 0& -1& x& \dots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & -1& x-a_{n-1}\end{array}\right).$$

Tenemos que ${\chi }_A=detB=detC$ y, desarrollando $detC$ con respecto a la primera fila, obtenemos

$$detC=(-1{)}^{n+1}P\cdot \left|\begin{array}{cccc}-1& x& \dots & 0\\ 0& -1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & -1\end{array}\right|=(-1{)}^{n+1}P(-1{)}^{n-1}=P.$$

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Problema 4. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz con polinomio característico
$${\chi }_A(t)=(-1{)}^n{t}^n+\cdots +a_{1}t+a_0.$$
Demuestra que${\chi }_A(0)=a_0$. Deduce que $A$ es invertible si y sólo si $a_0\ne 0$.

Demostración. Es fácil ver que ${\chi }_A(0)=a_0$, ya que $a_0$ es el término independiente. Por otro lado, recordamos que ${\chi }_A(t)=det(A-t{I}_n)$, entonces ${\chi }_A(0)=detA$. se sigue que ${\chi }_A(0)=a_0=detA$, y por la última igualdad sabemos que $A$ es invertible si y sólo si $a_0\ne 0$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Problema 5. Demuestra que cualquier matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es suma de dos matrices invertibles.

Demostración. Veamos que existen $B,C\in M_n(\mathbb{R})$ tales que $A=B+C$.
Definimos la matriz $B$ como: $b_{ii}=-1$ si $a_{ii}=0$ y $b_{ii}=\frac{a_{ii}}{2}$ si $a_{ii}\ne 0$,$b_{ij}=a_{ij}$ si $i>j$ y $b_{ij}=0$ si $i<j$.

Similarmente definimos la matriz $C$ como: $c_{ii}=1$ si $a_{ii}=0$, $c_{ii}=\frac{a_{ii}}{2}$ si $a_{ii}\ne 0$, $c_{ij}=a_{ij}$ si $i<j$ y $c_{ij}=0$ si $i>j$.

Por construcción $B$ y $C$ son matrices triangulares con todas sus entradas diagonales distintas de cero. Por lo tanto $0\notin \{detB,detC\}$, es decir, $B$ y $C$ son invertibles. Además por la manera en la que construimos las matrices $B$ y $C$ se tiene que $A=B+C$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»