Para esta entrada del blog haremos uso de las propiedades vistas en la entrada de propiedades de determinantes para facilitar las cuentas a la hora de calcular determinantes de matrices que un primera instancia podrían parecer complicadas. Asimismo, haciendo uso de estas propiedades, se demostrará el teorema de expansión de Laplace.
Problemas resueltos
Problema 1. Considera la siguiente matriz
y calcula
Solución. Como el determinante es multiplicativo, sabemos que
Es fácil ver que
Así,
Problema 2. Sea
- Muestra que si
entradas de son iguales a , entonces . - Muestra que se puede escoger
de tal manera que tiene entradas iguales. - Muestra que si
entradas de son iguales, entonces .
Demostración.
- Afirmamos que la matriz
tiene una columna en la que todas las entradas son cero. Supongamos que cada columna de tiene a los más ceros, entonces la matriz tiene a lo más ceros, lo cuál contradice nuestra hipótesis, por lo tanto existe una columna en la cuál todas las entradas son iguales a cero. Por lo tanto . - Consideremos la matriz
dado por si y si . De esta manera nos aseguramos de que entradas son iguales a , pero , pues si sustraemos el primer renglón de cada uno de los siguientes renglones obtenemos una matriz triangular superior con entradas diagonales distintas de cero, por lo que . - Si
tiene entradas iguales (digamos a un número ), entonces tiene a lo más entradas distintas a . Por lo tanto, a lo más columnas de contienen una entrada distinta de , es decir, al menos dos columnas de tienen todas sus entradas iguales a , entonces . Por consiguiente .
Teorema de Expansión de Laplace
Sea
(a) (Expansión con respecto a una columna
(b) (Expansión con respecto a una columna
Demostración. (a) Tomemos
Nos falta ver que
El último determinante es precisamente
(b) La prueba para este inciso se sigue del inciso anterior y tomando en cuenta que
Problema 3. Sean
y
Solución. Note que
Además notemos que
o bien,
Así,
Entradas relacionadas
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- Siguiente entrada del curso: Determinantes en sistemas de ecuaciones lineales y regla de Cramer
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»
hola, dos preguntas, la primera es que no entendí el problema 2 y quería ver si podíamos platicarlo en la clase, y la segunda es que por qué en la demostracion de Laplace, cuando lo pasan a matriz la ultima columna es 0 y 1 gracias
Hola Vale. Sip, podemos verlos en clase ambos. Por favor, recuérdame y ponlo luego luego que llegues a la sesión, para que me acuerde y lo vea pronto. Para el problema 2, mientras tanto te voy recomendando que hagas un cuadrado de 4×4 en tu cuaderno y que intentes poner una tache en 13 de los cuadraditos sin que se ocupe totalmente ninguna columna. ¿Se puede? Y con 12 cuadraditos, ¿se puede? Esto es parte de la idea detrás del problema.
Hola.
En el primer problema, en la segunda igualdad… es 3-1-1=1
Va un 3 en lugar de un 2. (: