Álgebra Lineal I: Problemas de cálculo de determinantes

Por Ayax Calderón

Para esta entrada del blog haremos uso de las propiedades vistas en la entrada de propiedades de determinantes para facilitar las cuentas a la hora de calcular determinantes de matrices que un primera instancia podrían parecer complicadas. Asimismo, haciendo uso de estas propiedades, se demostrará el teorema de expansión de Laplace.

Problemas resueltos

Problema 1. Considera la siguiente matriz

A=(111121112)

y calcula det(A1).

Solución. Como el determinante es multiplicativo, sabemos que det(A1)=1detA , por lo que nos bastará con calcular detA.
Es fácil ver que detA=1(41)1(21)+1(12)=211=1.
Así, det(A1)=1.

Problema 2. Sea AMn(R).

  1. Muestra que si n2n+1 entradas de A son iguales a 0, entonces detA=0.
  2. Muestra que se puede escoger A de tal manera que detA0 tiene n2n+1 entradas iguales.
  3. Muestra que si n2n+2 entradas de A son iguales, entonces detA=0.

Demostración.

  1. Afirmamos que la matriz A tiene una columna en la que todas las entradas son cero. Supongamos que cada columna de A tiene a los más n1 ceros, entonces la matriz A tiene a lo más n2n ceros, lo cuál contradice nuestra hipótesis, por lo tanto existe una columna en la cuál todas las entradas son iguales a cero. Por lo tanto detA=0.
  2. Consideremos la matriz A=[aij] dado por aij=1 si ij y aij=i si i=j. De esta manera nos aseguramos de que n2n+1 entradas son iguales a 1, pero detA0, pues si sustraemos el primer renglón de cada uno de los siguientes renglones obtenemos una matriz triangular superior con entradas diagonales distintas de cero, por lo que detA0.
  3. Si A tiene n2n+2 entradas iguales (digamos a un número k), entonces A tiene a lo más n2 entradas distintas a k. Por lo tanto, a lo más n2 columnas de A contienen una entrada distinta de k, es decir, al menos dos columnas de A tienen todas sus entradas iguales a k, entonces rank(A)<n. Por consiguiente detA=0.

◻

Teorema de Expansión de Laplace

Sea A=[aij]Mn(F) una matriz y sea Ci,j el cofactor de aij.

(a) (Expansión con respecto a una columna j) Para cada j{1,2,,n} tenemos detA=i=1naijCij.

(b) (Expansión con respecto a una columna i). Para cada i{1,2,,n} tenemos detA=j=1naijCij.

Demostración. (a) Tomemos j{1,2,,n} fija , y sea B=(e1,,en) la base canónica de Fn y sea C1,,CnFn las columnas de A, tales que Ck=i=1naikei para toda k. Se sigue que

detA=detB(C1,,Cn)=detB(C1,,Cj1,\displastylei=1naijei,Cj+1,Cn)

=i=1naijdetB(C1,,Cj1,ei,Cj+1,,Cn).

Nos falta ver que Xij:=detB(C1,,Cj1,ei,Cj+1,,Cn)=Cij. Mediante una serie de nj intercambios de columnas, podemos poner la jésima columna del determinante Xij en la última posición, y mediante una sucesión de ni intercambios de renglones podemos poner el iésimo renglón en la última posición, lo que nos da

Xij=(1)n1+nj=det(a11ai,j1a1,j+1a1n0an1an,j1an,j+1ann0ai1ai,j1ai,j+1ain1).

El último determinante es precisamente Cij, y como (1)ni+nj=(1)i+j se sigue el resultado deseado.

(b) La prueba para este inciso se sigue del inciso anterior y tomando en cuenta que detA=det(tA).

◻

Problema 3. Sean x,y,zR, A=(0yzzx0y0x)

y B=(0zyyx0z0x). Calcula el determinante de la matriz C=(y2+z2xyxzxyx2+z2yzxzyzx2+y2).

Solución. Note que tA=B, entonces detA=detB. Calculemos detA

detA=z(yx)+y(zx)=2xyz

Además notemos que (0yzzx0y0x)(0zyyx0z0x)=(y2+z2xyxzxyx2+z2yzxzyzx2+y2)

o bien, AB=C.
Así, detC=(detA)2=(2xyz)2=4x2y2z2.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

3 comentarios en “Álgebra Lineal I: Problemas de cálculo de determinantes

  1. Vale Sauz

    hola, dos preguntas, la primera es que no entendí el problema 2 y quería ver si podíamos platicarlo en la clase, y la segunda es que por qué en la demostracion de Laplace, cuando lo pasan a matriz la ultima columna es 0 y 1 gracias

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    1. Leonardo Ignacio Martínez SandovalLeo

      Hola Vale. Sip, podemos verlos en clase ambos. Por favor, recuérdame y ponlo luego luego que llegues a la sesión, para que me acuerde y lo vea pronto. Para el problema 2, mientras tanto te voy recomendando que hagas un cuadrado de 4×4 en tu cuaderno y que intentes poner una tache en 13 de los cuadraditos sin que se ocupe totalmente ninguna columna. ¿Se puede? Y con 12 cuadraditos, ¿se puede? Esto es parte de la idea detrás del problema.

      Responder

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