Teoría de los Conjuntos I: Mínimos, máximos, minimales y maximales

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

Una vez que se le ha dado un orden a los elementos de un conjunto, podemos decir más acerca de ellos. En esta entrada hablaremos de aquellos elementos con características especiales, según sean éstas los llamaremos mínimos, máximos, minimales o maximales.

Mínimos y máximos

Comenzaremos definiendo a los mínimos y máximos en un conjunto parcialmente ordenado.

Definición. Sea un orden parcial en A y sea BA. Decimos que bB es elemento mínimo de B en el orden si para cualquier xB, se tiene que bx.

Ejemplo.

Consideremos A={,{},{,{}}} y sea A la relación de contención en A. Si consideramos AA, tenemos que es elemento mínimo pues para cada elemento de A, se tiene que está por debajo o es igual. Más explícitamente, , {} y {,{}}, como se muestra en el siguiente diagrama:

4◻

Definición. Sea un orden parcial en A y sea BA. Decimos que bB es elemento máximo de B en el orden si para cualquier xB, se tiene que xb.

Ejemplo.

Consideremos A={,{},{,{}}} y sea A la relación de contención en A. Si consideramos AA, tenemos que {,{}} es elemento máximo pues para cada elemento de A, se tiene que {,{}} esta por encima o es igual a ellos. Más explícitamente, {,{}}, {}{,{}} y {,{}}{,{}} como se muestra en el siguiente diagrama:

◻

Minimales y maximales

Definición. Sea un orden parcial en A y sea BA. Decimos que bB es elemento minimal de B en el orden si no existe xB tal que xb y xb.

Ejemplo.

Consideremos A={,{},{,{}}} y sea A la relación de contención en A. Si consideramos AA, tenemos que es elemento minimal pues no existe xB tal que x y x.

◻

Definición. Sea un orden parcial en A y sea BA. Decimos que bB es elemento maximal de B en el orden si no existe xB tal que bx y xb.

Ejemplo.

Consideremos A={,{},{,{}}} y sea A la relación de contención en A. Si consideramos AA, tenemos que {,{}} es elemento maximal pues no existe xB tal que {,{}}x y x{,{}}.

◻

Diferencias entre las definiciones

Podemos preguntarnos si la definición de minimal es equivalente a la de mínimo o si la de maximal es equivalente a la de máximo. Sin embargo, va a resultar que las definiciones de minimal y maximal son más débiles que las de mínimo y máximo, respectivamente. Veamos el siguiente ejemplo que muestra que pueden existir elementos minimales sin que haya un elemento mínimo.

Ejemplo.

Consideremos el conjunto parcialmente ordenado ({{},{{}},{,{}}},). Veamos el siguiente diagrama:

En la imagen anterior podemos notar que {}{,{}} y {{}}{,{}} y que éstas son las únicas relaciones posibles por la definición de contención. Luego, {} y {{}} son minimales pues no existe x{{},{{}},{,{}}} tal que x{} y x{} ni x{{}} y x{{}}.

Además, {{},{{}},{,{}}} no tiene elemento mínimo pues de existir x{{},{{}},{,{}}} tal que xy para todo y{{},{{}},{,{}}}, en particular, se tendría que x{}. Luego, el único elemento x con esta propiedad en el conjunto {{},{{}},{,{}}} es {} y en consecuencia, x={}. Por otro lado, por ser x mínimo se tendría que x{{}}, y así {}{{}}, es decir, {}{{}}, lo cual no es verdad. Por lo tanto, no existe un mínimo en el conjunto {{},{{}},{,{}}}.

◻

De este ejemplo podemos concluir que aunque un conjunto tenga minimal no necesariamente tendrá mínimo. Esto se debe a que en un conjunto puede existir más de un elemento minimal y en cambio, si un conjunto tiene mínimo, entonces éste resulta ser único, como demostraremos a continuación.

Proposición. Sea (A,) un orden parcial. Si bA es mínimo, entonces es único.

Demostración.

Sea bA un elemento mínimo, entonces ba para cualquier aA. Supongamos que cA también es elemento mínimo, así, ca para cualquier aA. Como bA, entonces cb y de manera similar, bc, pues cA. Por lo tanto, b=c por la antisimetría de en A.

◻

Dado que el elemento mínimo de un orden parcial (A,) es único, le podemos asignar una notación y lo vamos a denotar como min(A).

Ahora, veamos el siguiente ejemplo que muestra que pueden existir elementos maximales sin que haya un elemento máximo.

Ejemplo.

Consideremos el conjunto parcialmente ordenado ({,{},{{}}},). Veamos el siguiente diagrama:

En la imagen anterior podemos notar que {} y {{}} y que estás son las únicas relaciones posibles por la definición de contención. Luego, {} y {{}} son maximales pues no existe x{,{},{{}}} tal que {}x y x{} y {{}}x y x{{}}, respectivamente.

Notemos también que {,{},{{}}} no tiene elemento máximo pues de existir x{,{},{{}}} tal que yx para todo y{,{},{{}}}, se tendría en particular que {}x, de donde se sigue que x={}, pues este es el único elemento con tal propiedad en el conjunto {,{},{{}}}. Luego, como x={} es máximo se sigue que {{}}{}, es decir, {{}}{}, lo cual no es verdad. Por lo tanto, el conjunto {,{},{{}}} no tiene elemento máximo.

◻

De este ejemplo podemos concluir que aunque un conjunto tenga elementos maximales no necesariamente tendrá máximo. Esto se debe a que puede existir más de un elemento maximal y, si un conjunto tiene máximo, éste resulta ser único.

Proposición: Sea (A,) un orden parcial. Si bA es máximo, entonces es único.

Demostración.

Sea bA un elemento máximo, entonces ab para cualquier aA. Supongamos que cA también es elemento máximo, así, ac para cualquier aA. Como bA, entonces bc y de manera similar, cb, pues cA. Por lo tanto, b=c por la antisimetría de en A.

◻

Dado que el elemento máximo de un orden parcial (A,) es único, le podemos asignar una notación y lo vamos a denotar como max(A)

Máximo y maximal en un orden total

Ya vimos que los conceptos de elemento máximo y maximal en un orden parcial no coinciden en general, sin embargo, podríamos preguntarnos si esto mismo sucede en un orden total. En el siguiente lema veremos que en un orden total de hecho sí coinciden.

Lema: Sea (A,) un orden total. Entonces, b es elemento maximal de A si y sólo si b es elemento máximo de A.

Demostración.

Sea (A,) un orden total. Supongamos que bA es un elemento maximal. Sea aA. Luego, por ser (A,) un orden total, ab o ba. Si ba, entonces, a=b por ser b elemento maximal, de modo que las condiciones ab o ba pueden ser escritas como ab o a=b, es decir, ab. Por lo tanto, para cada aA, ab y, en consecuencia, b=max(A).

Si ahora suponemos que bA es elemento máximo, entonces, no existe aA con ba y ba, de lo contrario b no sería máximo. Por lo tanto, b es elemento maximal. Por lo tanto, b es maximal si y sólo si b es máximo.

◻

Definiciones para órdenes estrictos

Definición. Sea < un orden estricto en A y sea BA. Decimos que bB es elemento mínimo de B en el orden < si para cualquier xB{b}, b<x.

Definición. Sea < un orden estricto en A y sea BA. Decimos que bB es elemento máximo de B en el orden < si para cualquier xB{b}, x<b.

Definición. Sea < un orden estricto en A y sea BA. Decimos que bB es elemento minimal de B en el orden < si no existe xB tal que x<b.

Definición. Sea < un orden en A y sea BA. Decimos que bB es elemento maximal de B en el orden < si no existe xB tal que b<x.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el tema de esta sección:

Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado. Demuestra que si A tiene máximo, entonces tiene maximal.

Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado. Demuestra que si A tiene mínimo, entonces tiene minimal.

Muestra que si (A,) es un conjunto totalmente ordenado y A tiene un elemento minimal, entonces es único.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos hablando de elementos con características especiales en un conjunto según estén ordenados. Hablaremos acerca de las cotas superiores e inferiores, así como de supremos e ínfimos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

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