Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de cotas superiores y supremos. Así como las cotas inferiores que vimos en la entrada anterior, estos nuevos conceptos también nos permitirán acotar subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados.

Cotas superiores

Para comenzar esta entrada definiremos qué es una cota superior.

Definición. Sea $(A,\le )$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es una cota superior de $B$ si $x\le a$ para toda $x\in B$. Si $B$ tiene por lo menos una cota superior, diremos que $B$ está acotado superiormente.

Notemos que la definición es muy parecida al concepto de máximo, sin embargo, los conceptos difieren en que el máximo debe ser elemento del conjunto al que estamos acotando y una cota no necesariamente debe satisfacer esto. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $A=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{\mathrm{\varnothing }\}\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$ ordenado con la inclusión. Sea $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\subseteq A$, tenemos que $\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

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Ejemplo.

Consideremos $A=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$ ordenado con la inclusión. Sea $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\subseteq A$, tenemos que $\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Además $\{\mathrm{\varnothing }\}\in B$ también es una cota superior de $B$ pues para cada $x\in B$, $x\subseteq \{\mathrm{\varnothing }\}$. Más aún, $\{\mathrm{\varnothing }\}$ es el elemento máximo de $B$.

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El ejemplo anterior sugiere que la propiedad de ser máximo implica ser cota superior, pero no siempre es válido el recíproco.

De este último ejemplo podemos notar que la cota superior en un conjunto puede no ser única, y entonces podemos pensar en el conjunto que tenga a todas las cotas superiores. Esta idea junto con el concepto de mínimo motiva el concepto de supremo.

Supremos

Definición. Sea $(A,\le )$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es supremo de $B$ si es el elemento mínimo del conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Lo denotaremos por $sup(B)$.

Ejemplo.

Retomando el ejemplo anterior, si consideramos al conjunto de todas las cotas superiores de $B$, es decir, $\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$ tenemos que el supremo es $\{\mathrm{\varnothing }\}$ pues respecto al orden de $A$ se tiene que $\{\mathrm{\varnothing }\}\subseteq \{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ y por lo tanto, $\{\mathrm{\varnothing }\}$ es el mínimo de las cotas superiores de $B$. Por lo tanto, $\{\mathrm{\varnothing }\}=sup(B)$.

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Teorema. Sea $(A,\le )$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene supremo en el orden $\le$, entonces es único.

Demostración.

Sea $(A,\le )$ un orden parcial y $B\subseteq A$ no vacío. Supongamos que $B$ tiene supremo, es decir, que existe $a\in A$ de tal forma que $x\le a$ para toda $x\in B$ y, si $b\in A$ es tal que $x\le b$ para toda $x\in B$, entonces, $a\le b$.

Supongamos que $a_1,a_2\in A$ son supremos de $B$. Veamos que $a_1=a_2$.

Como $a_1$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\le a_1$ para toda $x\in B$. Luego, como $a_2$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_2\le a_1$. De manera análoga, como $a_2$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\le a_2$ para toda $x\in B$ y así, como $a_1$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_1\le a_2$.

Tenemos entonces que $a_1\le a_2$ y $a_2\le a_1$, de donde se sigue que $a_1=a_2$, lo cual demuestra la unicidad del supremo.

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Teorema. Sea $(A,\le )$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene un elemento máximo $b$, entonces $b$ es el supremo de $B$.

Demostración.

Sea $(A,\le )$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Luego como $b\in B$ es el elemento máximo de $B$, para cualquier $x\in B$, $x\le b$.

Sea $C$ el conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Veamos que $b\in C$ y que $b=min(C)$. Dado que $x\le b$ para todo $x\in B$, $b$ es cota superior de $B$ y, por tanto, $b\in C$. Luego, si $c\in C$ es cualquier elemento, entonces $c$ es cota superior de $B$, es decir, $x\le c$ para cualquier $x\in B$. En particular, como $b\in B$ se tiene que $b\le c$. Esto muestra que $b=min(C)$.

Por lo tanto, $b=sup(B)$.

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Aún cuando ser máximo implica ser supremo, no siempre va a ocurrir que el supremo de un conjunto sea máximo, como ocurre en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $A=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{\mathrm{\varnothing }\}\},\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$ ordenado con la inclusión. Sea $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\subseteq A$, tenemos que $\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, $B$ no tiene máximo pues no existe $x\in B$ tal que $y\subseteq x$. En efecto, si existiera tal $x$, tendría que simultánteamente contener a $\{\mathrm{\varnothing }\}$ y a $\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}$, por lo que debe tener como elementos a $\mathrm{\varnothing }$ y $\{\mathrm{\varnothing }\}$. Pero entonces debe ser $\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$, el cual no está en $B$.

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Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada y las dos anteriores.

1. Sean $(A,\le )$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Demuestra que si $b$ es supremo y $b\in B$, entonces $b$ es máximo de $B$.
2. Sean $(A,\le )$ un orden parcial y $B,C\subseteq A$ no vacíos. Si $B$ y $C$ tienen supremo y $B\subseteq C$, demuestra que $sup(B)\le sup(C)$.
3. Exhibe un conjunto que esté acotado superiormente pero que no tenga supremo.
4. Da un ejemplo de un conjunto ordenado $(A,\le )$ en el cual se cumpla que el conjunto $\mathrm{\varnothing }$ tiene supremo.

Más adelante…

La siguiente entrada estará dedicada a un tipo particular de conjuntos ordenados llamados buenos órdenes. Para este tema serán importantes los conceptos sobre máximos y mínimos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»