Introducción
En esta entrada hablaremos acerca de los conjuntos inductivos, así como de un nuevo axioma que nos permitirá establecer la existencia de conjuntos que tengan esta propiedad. Un poco después conectaremos esto con la existencia de conjuntos infinitos. El axioma de infinito será clave para probar que la colección de todos los números naturales, como la hemos pensado, es en verdad un conjunto.
Conjuntos inductivos y el axioma del infinito
Comenzaremos definiendo a un conjunto inductivo.
Definición. Sea $A$ un conjunto. Diremos que $A$ es un conjunto inductivo si:
- $0\in A$,
- Si $x\in A$, entonces $s(x)\in A$.
En la entrada anterior probamos un teorema que nos asegura que si $n$ es un número natural, entonces $s(n)$ es un número natural. Sin embargo, no hemos demostrado que la colección de todos los números naturales sea un conjunto y, de hecho, los axiomas que hemos presentado hasta ahora no nos permiten hacerlo. Así, aún no podemos decir que «el conjunto de los números naturales es inductivo».
A continuación haremos mención de un nuevo axioma: el axioma del infinito. Este axioma nos garantiza la existencia de un conjunto inductivo.
Axioma (axioma del infinito). Existe un conjunto inductivo.
Aún no hemos presentado formalmente la noción de que un conjunto sea finito o infinito. Esto lo haremos hasta la cuarta parte del curso. Pero por el momento, puedes quedarte con la idea de que un conjunto inductivo será infinito, y por ello el axioma del infinito implica la existencia de un conjunto infinito.
Los naturales y conjuntos inductivos
Ahora que hemos definido a los conjuntos inductivos y aseguramos por el axioma de existencia que existe al menos uno, veremos que cualquier natural es elemento de cualquier conjunto inductivo.
Teorema. Sea $A$ un conjunto inductivo. Si $n$ es un natural, entonces $n\in A$.
Demostración.
En busca de una contradicción, supongamos que $n\notin A$. Como $n$ es un natural, se tiene que $s(n)$ es un natural. Luego, $n\in s(n)\setminus A$, de donde $s(n)\setminus A$ es un subconjunto no vacío de $s(n)$, por lo que tiene elemento mínimo respecto a $\in_{s(n)}$.
Sea $b=\min(s(n)\setminus A)$. Por definición de elemento mínimo se tiene que $b\in s(n)\setminus A$ y así $b\notin A$, por lo que $b\not=0$ pues al ser $A$ un conjunto inductivo sabemos que $0\in A$.
Luego, como $b$ es no vacío y $b\in s(n)\setminus A$, entonces $b$ tiene elemento máximo respecto a $\in_{s(n)}$. Sea $z=\max(b)$. Se cumple que $z\in b$ y como $b\in s(n)$, por la transitividad de $\in$ en $s(n)$, se tiene que $z\in s(n)$. Además $z\in A$ pues de lo contrario, $z\in s(n)\setminus A$, lo que contradice el hecho de que $b=\min(s(n)\setminus A)$.
Así, como $z\in A$, por ser $A$ conjunto inductivo se satisface que $s(z)\in A$.
Afirmación. $s(z)=b$.
Demostración de la afirmación.
Veamos primero que $s(z)\subseteq b$. Sea $y\in s(z)=z\cup \set{z}$, entonces $y\in z$ o $y=z$.
Caso 1: Si $y\in z$, como $z\in b$ concluimos que $y\in b$ por transitividad de $\in$ en $b$.
Caso 2: Si $y=z$, entonces $y\in b$.
Por lo tanto, $s(z)\subseteq b$.
Ahora veamos que $b\subseteq s(z)$.
Si $y\in b$, dado que $z\in b$ y los elementos de $b$ son $\in$-comparables, entonces $y\in z$ o $z\in y$ o $y=z$.
El caso $z\in y$ no puede ocurrir pues $z=\max(b)$. Así, $y\in z$ o $y=z$, esto es, $y\in z\cup\set{z}=s(z)$. Por lo tanto, $b\subseteq s(z)$.
Por lo tanto, $b=s(z)$ y así $b\in A$ pues $s(z)\in A$ lo cual no puede ocurrir pues $b\notin A$.
Dado que la contradicción vino de suponer que $n$ no está en $A$, concluimos que $n$ está en $A$.
$\square$
El conjunto de los naturales
Con el teorema anterior, el axioma del infinito y el esquema de comprensión, podemos demostrar que la colección de números naturales es un conjunto.
Corolario. La colección de todos los números naturales es un conjunto.
Demostración.
Sea $A$ un conjunto inductivo, que existe por el axioma del infinito. Por el teorema anterior sabemos que si $n$ es un natural, entonces $n\in A$. Así,
$N=\set{n\in A: n\ \text{es natural}}$
es un conjunto por el esquema de comprensión, cuyos elementos son exactamente los números naturales.
$\square$
A este conjunto le llamaremos el conjunto de los naturales y lo denotaremos por $\mathbb{N}$.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios te permitirán reforzar el contenido que hemos visto hasta este momento acerca de números naturales.
- Demuestra que si $n\in \mathbb{N}$, entonces no existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $n\in k$ y $k\in<s(n)$. Esto prueba que entres dos naturales no hay ningún otro natural.
- Demuestra que $\mathbb{N}$ es un conjunto transitivo.
- Prueba que $\mathbb{N}$ no tiene máximo con respecto a $\in_{\mathbb{N}}$. ¿Tiene mínimo? Demuéstra tu afirmación.
Más adelante…
En las siguientes entradas definiremos al principio de inducción y al principio del buen orden. Estos principios nos ayudarán a demostrar resultados que se cumplen en conjunto de los naturales.
Entradas relacionadas
Los siguientes enlaces te ayudarán a reforzar en contenido acerca de los naturales y tener un acercamiento con el principio de inducción.
- Entradas relacionadas: Álgebra Superior I: Principio de inducción en los números naturales
- Álgebra Superior II: Principio de inducción y teoremas de recursión
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»