Archivo de la etiqueta: variable compleja

Variable Compleja I: Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja.

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Hasta ahora hemos visto que toda función compleja $f(z)$ diferenciable es continua, más aún sabemos que toda función compleja continua es de la forma: \begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} donde $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales continuas de variables $x,y$, por lo que resulta natural preguntarnos acerca de qué condiciones deben cumplir dichas funciones para que una función compleja $f(z)$ sea analítica. La respuesta a esta pregunta esta dada por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, a las cuales nos referiremos simplemente como las ecuaciones de C-R. Dichas ecuaciones aparecieron por primera vez en 1821 en los primeros trabajos del matemático fránces Augustin Louis Cauchy sobre integrales de funciones complejas. Su relación con la existencia de la derivada compleja apareció hasta 1851 en la tesis doctoral del matemático alemán Bernhard Riemann.

Como veremos a lo largo de las siguientes entradas, las ecuaciones de C-R resultan ser un pilar en la teoría de las funciones complejas, por lo que nuestro objetivo será deducirlas y obtener una serie de resultados que nos permitan caracterizar a las funciones analíticas mediante dichas ecuaciones.

Recordemos las siguientes definiciones vistas en nuestros cursos de cálculo.

Definición 17.1. (Derivada parcial.)
Supongamos que $u: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es una función real de variables reales, $x,y$, definida en un conjunto abierto no vacío $U\subset \mathbb{R}^2$. Si consideramos a la variable $y$ como constante, entonces podemos pensar a $u$ como una función únicamente de $x$ y derivar con respecto a $x$. Entonces: \begin{equation*} \frac{\partial u }{\partial x}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h, y) – u(x,y)}{h}. \end{equation*}

En caso de existir dicho límite lo llamaremos la derivada parcial de $u$ con respecto a $x$ y es denotada como $\frac{\partial u }{\partial x}$ o $u_x$. Dicha derivada resulta ser una función evaluada en el punto $(x,y)$, lo cual se suele omitir por simplicidad en la notación.

Análogamente, fijando a $x$ y considerando a $u(x,y)$ como una función de $y$, tenemos al derivar con respecto a $y$ la derivada parcial de $u$ con respecto a $y$, es decir: \begin{equation*} \frac{\partial u }{\partial y}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x, y+h) – u(x,y)}{h}. \end{equation*}

Definición 17.2. (Funciones clase $C^k$.)
Si $U\subset\mathbb{R}^2$ es un conjunto abierto y $u:U\to\mathbb{R}$ es una función, entonces $u$ es llamada de clase $C^1$ o continuamente diferenciable en $U$ si $\partial u/\partial x$ y $\partial u/\partial y$ existen y son continuas en $U$. Lo anterior se denota de forma abreviada como $u\in C^1(U)$.

De forma general si $k\in\mathbb{N}$, entonces una función real $u$ definida en $U\subset\mathbb{R}^2$, es llamada de clase $C^k$ o $k$-veces continuamente diferenciable si todas las derivadas parciales hasta el orden $k$ existen y son continuas en $U$. En dicho caso escribimos $u\in C^k(U)$. En particular, diremos que una función $u$ es clase $C^0$ si simplemente es una función continua.

Entonces, para $U\subset \mathbb{C}$ abierto, una función $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ definida en $U$, es llamada de clase $C^k$ si $u$ y $v$ son de clase $C^k$.

Observación 17.1.
A partir de ahora usaremos la notación $U$ para denotar conjuntos abiertos en $\mathbb{C}$ y $D$ para denotar dominios o regiones en $\mathbb{C}$, estos conceptos se abordaron en la Unidad 1: Introducción y preliminares.

De acuerdo con la observación 16.2 sabemos que si una función $f:U\to\mathbb{C}$ es diferenciable en un punto $z_0\in U$, entonces el límite: \begin{equation*} f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) – f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(z_0 + h) – f(z_0)}{h}, \end{equation*} existe y es único sin importar como $h$ se aproxime a $0$ en el plano complejo. Sin embargo es importante notar que al igual que en el caso de funciones reales, podemos considerar a dos direcciones privilegiadas cuando $h \to 0$, figura 73, las cuales son:

a lo largo de un eje paralelo al eje real, es decir cuando $h\in \mathbb{R}$,
a lo largo de un eje paralelo al eje imaginario, es decir cuando $h=ki\in\mathbb{C}$, con $k\in\mathbb{R}$, es un número complejo puro.

Figura 73: Gráfica de las dos direcciones privilegiadas por las que $z$ se aproxima a $z_0$ al calcular $f'(z_0)$.

Veamos entonces qué sucede al calcular el límite que define a $f'(z)$ si consideramos las direcciones privilegiadas descritas previamente. Supongamos que $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es una función diferenciable en un punto $z_0=x_0+iy_0\in U$, con $U \subset \mathbb{C}$ abierto.

Si $h$ es real, entonces: \begin{align*} f'(z_0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h) – f(z_0)}{h}\\ & = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{u(x_0+h,y_0) – u(x_0,y_0)}{h} + i \frac{v(x_0+h,y_0) – v(x_0,y_0)}{h}\right]\\ & = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0+h,y_0) – u(x_0,y_0)}{h} + i \lim_{h \to 0} \frac{v(x_0+h,y_0) – v(x_0,y_0)}{h}\\ & = \frac{\partial u}{ \partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0,y_0)\\ & =: \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = f_x(z_0). \tag{17.1} \end{align*}

Si $h$ es un número imaginario puro, es decir $h=ik$, con $k$ real, entonces $h\to 0$ si y solo si $k\to 0$, por lo que: \begin{align*} f'(z_0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h) – f(z_0)}{h}\\ & = \lim_{k \to 0} \left[ \frac{u(x_0,y_0+k) – u(x_0,y_0)}{ik} + i \frac{v(x_0,y_0+k) – v(x_0,y_0)}{ik}\right]\\ & = \frac{1}{i}\lim_{k \to 0} \frac{u(x_0,y_0+k) – u(x_0,y_0)}{k} + \lim_{k \to 0} \frac{v(x_0,y_0+k) – v(x_0,y_0)}{k}\\ & = -i \frac{\partial u}{ \partial y}(x_0,y_0) + \frac{\partial v}{ \partial y}(x_0,y_0)\\ & =: -i\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = -i f_y(z_0). \tag{17.2} \end{align*}

De ambos casos es claro que la existencia de las cuatro derivadas parciales: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} \end{equation*} en el punto $(x_0,y_0)$, está garantizada por la existencia del límite que define a la derivada compleja en el punto $z_0 = x_0 +iy_0 \in U$.

Observación 17.1.
Hemos introducido en las últimas igualdades de las ecuaciones (17.1) y (17.2) una notación usual en algunos textos para referirnos a la derivada de una función compleja en términos de las derivadas parciales de las funciones $u$ y $v$, es importante no confundirnos con dicha notación la cual se usará de manera indistinta en el curso.

Dado que $f'(z_0)$ existe sin importar la dirección en que $h$ se aproxime a $0$, entonces los dos límites dados en (17.1) y (17.2) deben ser iguales, es decir: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial u}{ \partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{ \partial y}(x_0,y_0) -i \frac{\partial u}{ \partial y}(x_0,y_0), \tag{17.3} \end{equation*} o equivalentemente: \begin{equation*} f'(z_0) = f_x(z_0) = -i f_y(z_0). \tag{17.4} \end{equation*}

Igualando las partes reales e imaginarias de estos dos números complejos tenemos que: \begin{equation*} \frac{\partial u}{ \partial x} (x_0, y_0)= \frac{\partial v}{ \partial y}(x_0, y_0), \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{ \partial y}(x_0, y_0) = – \frac{\partial v}{ \partial x}(x_0, y_0). \tag{17.5} \end{equation*}

Al par de ecuaciones diferenciales parciales dado en (17.5) se les conoce como las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Con lo anterior hemos probado el siguiente resultado.

Teorema 17.1. (Ecuaciones de Cauchy-Riemann.)
Sean $U\subset \mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U\to \mathbb{C}$ una función. Si $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es analítica en un punto $z_0=x_0 +iy_0\in U$, entonces existen las derivadas parciales: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} \end{equation*} en $(x_0,y_0)$ y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (17.5) en dicho punto. En tal caso se tiene que: \begin{equation*} f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) – i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0). \end{equation*}

$\blacksquare$

Corolario 17.1.
Si $f(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ es una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$, entonces las ecuaciones de C-R se satisfacen en todo punto de $U$.

$\blacksquare$

De acuerdo con el corolario 16.1 de la entrada anterior, sabemos que todo polinomio complejo es una función entera, es decir, analítica en todo $\mathbb{C}$, por lo que de acuerdo con el corolario 17.1 se deben cumplir las ecuaciones de C-R para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$.

Ejemplo 17.1
Consideremos al polinomio complejo $f(z) = 2z^2 + 3z$, para $z=x+iy\in\mathbb{C}$, veamos que se satisfacen las ecuaciones de C-R en $\mathbb{C}$ y obtengamos la derivada de $f$.

Solución. Tenemos que: \begin{equation*} f(z) = 2(x^2 – y^2) + 3x + i(4xy + 3y), \end{equation*} de donde $u(x,y) = 2(x^2 – y^2) + 3x$ y $v(x,y) = 4xy + 3y$.

Entonces para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se satisfacen las ecuaciones de C-R: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 4x + 3 = \frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y} = -4y = – \frac{\partial v}{\partial x}. \end{align*}

Por otra parte, de acuerdo con el teorema 1 tenemos que la derivada de $f$ es: \begin{equation*} f'(z) = 4x+3 + i4y = 4(x+iy) + 3 = 4z + 3. \end{equation*}

Observación 17.3.
El teorema 17.1 establece que una condición necesaria para que una función $f(z)=u(x,y)+i v(x,y)$ sea analítica en un punto $z_0\in U \subset\mathbb{C}$ es que las ecuaciones de C-R se satisfagan en dicho punto.

La importancia del teorema 17.1 y del corolario 17.1 radica en que tenemos ahora un criterio para determinar cuando una función no es analítica por medio de las ecuaciones de C-R. Para mostrar esto consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 17.2.
De acuerdo con el ejemplo 16.3 de la entrada anterior, sabemos que las funciones $f(z) = \overline{z}$ y $g(z) = \operatorname{Re}(z)$ no son analíticas en ningún punto de $\mathbb{C}$. Utilizando la contrapuesta del corolario 17.1 procedemos a verificar nuestro resultado.

Solución. Es claro que ambas funciones están definidas en todo $\mathbb{C}$. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$.

a) Para $f(z) = \overline{z} = x – iy$ tenemos que $u(x,y) = x$ y $v(x,y) = -y$, por lo que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0,\\ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1. \end{align*} Es claro que $\partial u/\partial x \neq \partial v/\partial y$ para todo $z = x+iy \in \mathbb{C}$, por lo que $f$ no es analítica en ningún punto.

b) Por otra parte, para $g(z) = \operatorname{Re}(z) = x$ tenemos que $u(x,y) = x$ y $v(x,y) = 0$, por lo que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0,\\ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0. \end{align*} Tenemos que $\partial u/\partial x \neq \partial v/\partial y$ y $\partial u/\partial y \neq -\partial v/\partial x$ para todo $z = x+iy \in \mathbb{C}$, por lo que $f$ no es analítica en ningún punto.

Ejemplo 17.3.
Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Veamos que la función compleja $f(z) = 2x^2 +y +i(y^2-x)$ no es analítica en ningún punto.

Solución. Notemos que $u(x,y) = 2x^2 + y$ y $v(x,y) = y^2 – x$, entonces: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial x} = 4x \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 1, \end{equation*} \begin{equation*} \frac{\partial v}{\partial x} = -1 \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2y. \end{equation*}

Es claro que $\partial u/\partial y = -\partial v/\partial x$ para todo $z=x+iy \in \mathbb{C}$, mientras que la igualdad $\partial u/\partial x = \partial v/\partial y$ se satisface solamente en la recta $y=2x$. Sin embargo, para todo punto $z=x+iy$ sobre dicha recta, no existe un disco abierto alrededor de $z$ en el cual $f$ sea diferenciable, por lo que $f$ no es analítica en ningún punto.

Es importante notar que aunque se satisfagan las ecuaciones de C-R en un punto $z_0= x_0+iy_0\in D$, esto no es suficiente para garantizar la existencia de $f'(z_0)$ en $D$, desde que existen muchas otras direcciones por las que $z$ se aproxima a $z_0$ al calcular el límite que define a $f'(z_0)$. Consideremos el siguiente ejemplo para verificar lo anterior.

Ejemplo 17.4.
Sea $z=x+iy$. Veamos que la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{\begin{array}{lcc} \dfrac{x^3(1+i) – y^3(1-i)}{x^2+y^2}& \text{si} & z\neq 0, \\ 0 & \text{si} & z = 0, \end{array} \right. \end{equation*} es continua en $z=0$ y que en dicho punto se satisfacen las ecuaciones de C-R, pero $f'(0)$ no existe.

Solución. Sea $f(z)=u(z)+iv(z)$, entonces para $z\neq 0$ tenemos que: \begin{equation*} u(x,y) = \frac{x^3 – y^3}{x^2+y^2}, \quad v(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2+y^2}, \end{equation*} con $x\neq 0$ y $y\neq 0$.

Primeramente verifiquemos que $f(z)$ es continua en todo $\mathbb{C}$. Es claro que si $z\neq 0$, entonces las funciones racionales $u(x,y)$ y $v(x,y)$ están bien definidas y son continuas, por lo que en dicho caso $f(z)$ es continua. Probemos ahora que $f(z)$ es continua en $z=0$. Utilizando coordenadas polares tenemos que: \begin{equation*} u(r,\theta) = r\left(\operatorname{cos}^3(\theta) – \operatorname{sen}^3(\theta)\right), \quad v(r,\theta) = r\left(\operatorname{cos}^3(\theta) + \operatorname{sen}^3(\theta)\right). \end{equation*}

Notemos que si $z\to 0$, entonces $r \to 0$, para cualquier argumento $\theta$, por lo que: \begin{equation*} \lim_{r \to 0} u(r,\theta) = \lim_{r \to 0} v(r,\theta) = 0, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = 0 = f(0), \end{equation*} por lo que $f(z)$ es continua en $z=0$ y por tanto es continua en todo $\mathbb{C}$.

Veamos ahora que en $z=0$ las ecuaciones de C-R se satisfacen. Si $z=0$, entonces: \begin{align*} f(0) = 0 \quad & \Longleftrightarrow \quad u(0,0) + iv(0,0) = 0\\ & \Longleftrightarrow \quad u(0,0) = v(0,0) = 0. \end{align*} Por definición tenemos que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{u(h,0) – u(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{h – 0}{h}\\ & = 1. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial y} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{u(0,h) – u(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{-h – 0}{h}\\ & = -1. \end{align*} Mientras que: \begin{align*} \frac{\partial v}{\partial x} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{v(h,0) – v(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{h – 0}{h}\\ & = 1. \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial v}{\partial y} (0,0) & = \lim_{h\to 0}\frac{v(0,h) – v(0,0)}{h}\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{h – 0}{h}\\ & = 1. \end{align*} Entonces, en el origen tenemos que: \begin{equation*} \frac{\partial u}{ \partial x} = \frac{\partial v}{ \partial y}, \quad \frac{\partial v}{ \partial x} = -\frac{\partial u}{ \partial y}, \end{equation*} por lo que en $z=0$ se satisfacen las ecuaciones de C-R. Sin embargo, $f(z)$ no es diferenciable en dicho punto.

Para $z=x+iy$ tenemos que: \begin{align*} f'(0) & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z}\\ & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – 0}{z}\\ & = \lim\limits_{\begin{subarray}{l} x \to 0\\ y \to 0 \end{subarray}} \frac{(x^3 – y^3) + i (x^3 + y^3)}{(x^2+y^2)(x+iy)}. \end{align*} Notemos que si $z$ se aproxima $0$ a lo largo de la recta $y=x$, entonces: \begin{align*} f'(0) & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z}\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{2ix^3}{2x^3(1+i)}\\ & = \frac{i}{1+i}. \end{align*} Por otra parte, si $z$ se aproxima $0$ a lo largo del eje real $x$, es decir si $y=0$, entonces: \begin{align*} f'(0) & = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) – f(0)}{z}\\ & = \lim_{x \to 0} \frac{x^3(1+i)}{x^3}\\ & = 1+i. \end{align*} Dado que estos límites son distintos, entonces $f'(0)$ no existe y por tanto $f(z)$ no es diferenciable en $z=0$.

De acuerdo con la proposición 16.1 de la entrada anterior, sabemos que una consencuencia de la analicidad de una función $f$ en un punto $z_0 \in U\subset\mathbb{C}$, es la continuidad de la función $f$ en dicho punto. Sin embargo, el ejemplo 17.4 muestra que el recíproco de dicha proposición no es cierto, pues la función $f(z)$ de dicho ejemplo es continua en $z_0 = 0$, pero no es analítica en dicho punto.

Observación 17.4.
De nuestros cursos de geometría sabemos que al trabajar con coordenadas polares es posible establecer una transformación biunívoca entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas mediante la transformación: \begin{align*} T: (0,\infty) \times (-\pi,\pi] \to \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\},\\ T(r,\theta)=(r\operatorname{cos}(\theta), r\operatorname{sen}(\theta)). \end{align*} Por ejemplo, para el conjunto de puntos: \begin{equation*} U^* = \left\{(r,\theta) : 1\leq r \leq 2 \, \, \text{y} \,\, 0\leq \theta \leq \pi/2\right\}, \end{equation*} se tiene que $T(U^*) = U$, con: \begin{equation*} U = \left\{(x,y) : 1/2 \leq x \leq 1 \, \, \text{y} \,\, \sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{3} x \right\}\cup \left\{(x,y) : 1 \leq x \leq 2 \, \, \text{y} \,\, 0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2}\right\}. \end{equation*}

De acuerdo con la observación 12.5, al considerar a $z\in\mathbb{C}$, $z\neq 0$, en su forma polar, es posible expresar a una función compleja $f(z)$ en términos de su parte real e imaginaria, las cuales son funciones reales de las variables $r$ y $\theta$, por lo que considerando la transformación anterior, resulta sencillo verificar el siguiente resultado.

Proposición 17.1. (Forma polar de las ecuaciones de C-R.)
Sean $U\subset\mathbb{C}\setminus{0}$ un conjunto abierto y $f\in\mathcal{F}(U)$ una función. Si la función $f(z)=u(x,y) + iv(x,y)$ es analítica en $U$, entonces considerando la transformación dada por $x=r\operatorname{cos}(\theta)$, $y=r\operatorname{sen}(\theta)$, para $(r,\theta)\in U^*$ y $U^* \subset (0,\infty)\times(-\pi, \pi]$, se tiene que las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar están dadas por: \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text{y} \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}, \tag{17.6} \end{equation*} las cuales existen para cada punto de $U$.

Más aún, en consecuencia con el teorema 1, se tiene que para $z_0 = r_0 \operatorname{cis}(\theta_0) \in U$, un punto donde $f$ es analítica, se cumple que: \begin{align*} f'(z_0) & = \operatorname{cis}(-\theta) \left[ \frac{\partial u}{\partial r} (r_0, \theta_0)+ i \frac{\partial v}{\partial r}(r_0, \theta_0)\right]\\ & = \left[\operatorname{cos}(\theta) – i \operatorname{sen}(\theta) \right]\left[ u_r(r_0, \theta_0)+ i v_r(r_0, \theta_0)\right]. \end{align*}

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Ejemplo 17.5.
Consideremos a la función $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$. De acuerdo con el corolario 16.1 sabemos que dicha función es analítica en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, por lo que considerando a $z\neq 0$ en coordenadas polares podemos verificar que se cumplen las ecuaciones de C-R en su forma polar para todo $(r,\theta) \in (0,\infty) \times (-\pi,\pi]$ o equivalentemente, por la observación 17.4, para todo $z \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Solución.
Sea $z=r\operatorname{cis}(\theta) \neq 0$, con $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{Arg} z$. Por la fórmula de De Moivre tenemos que: \begin{align*} f(z) = \frac{1}{z^2} & = \frac{1}{\left[r\operatorname{cis}(\theta)\right]^2}\\ & = \frac{1}{r^2\left[\operatorname{cos}(2\theta) + \operatorname{sen}(2\theta)\right]}\\ & = \frac{\operatorname{cos}(2\theta) – i \operatorname{sen}(2\theta)}{r^2}\\ & = \frac{\operatorname{cos}(2\theta)}{r^2} – i \frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{r^2}. \end{align*} Entonces: \begin{align*} u(r,\theta) = \frac{\operatorname{cos}(2\theta)}{r^2},\\ v(r,\theta) = – \frac{\operatorname{sen}(2\theta)}{r^2}. \end{align*} Tenemos que para todo $(r,\theta)\in(0,\infty)\times (-\pi,\pi]$ se cumple que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r} = – \frac{2\operatorname{cos}(\theta)}{r^3} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta},\\ \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{2\operatorname{sen}(\theta)}{r^3} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}. \end{align*} Por lo tanto, para todo $z=r\operatorname{cis}(\theta) \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ se satisfacen las ecuaciones de C-R.

Es claro que utilizando las reglas de derivación vistas en la entrada anterior es posible obtener la derivada de $f$ para todo $z\neq 0$, sin embargo utilizando la proposición 17.1 tenemos que: \begin{align*} f'(z) & = \operatorname{cis}(-\theta) \left[ \frac{\partial u}{\partial r}+ i \frac{\partial v}{\partial r}\right]\\ & = \left[\operatorname{cos}(\theta) – i \operatorname{sen}(\theta) \right]\left[ – \frac{2\operatorname{cos}(\theta)}{r^3} + i \frac{2\operatorname{sen}(\theta)}{r^3}\right]\\ & = – \frac{2}{r^3} \left[ \left( \operatorname{cos}^3(\theta) -3\operatorname{sen}^2(\theta) \operatorname{cos}(\theta)\right) – i \left( 3\operatorname{cos}^2(\theta) \operatorname{sen}(\theta) – \operatorname{sen}^3(\theta) \right)\right]\\ & = – \frac{2}{r^3} \left[ \operatorname{cos}(-3\theta) + i \operatorname{sen}(-3\theta)\right]\\ & = – \frac{2}{r^3 \operatorname{cis}(3\theta)}\\ & = – \frac{2}{\left( r \operatorname{cis}(\theta)\right)^3} = – \frac{2}{z^3}. \end{align*}

Ejemplo 17.6.
De acuerdo con el ejemplo 16.5 sabemos que $f_0$, es decir la rama principal de la función multivaluada $F(z)=\sqrt{z}$, es analítica en el dominio $D=\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$. Veamos que se cumplen las ecuaciones de C-R en $D$.

Solución. Sea $z\in D$. Escribiendo $z = r\operatorname{cis}(\theta)$, con $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$, entonces: \begin{align*} f_0(z) & = \sqrt{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ & = \sqrt{r}\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right) + i \sqrt{r}\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ & = u(r,\theta) + iv(r,\theta). \end{align*}

Es claro que para todo $(r,\theta)\in(0,\infty)\times (-\pi,\pi)$ se cumple que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\sqrt{r}} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta},\\ \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}. \end{align*}

Por lo que para todo $z = r\operatorname{cis}(\theta)\in D$ se cumplen las ecuaciones de C-R.

Tarea moral

Demuestra la proposición 17.1.
Hint: Observa que $u(x,y) = u(r\operatorname{cos}(\theta), r\operatorname{sen}(\theta))$ y $v(x,y) = v(r\operatorname{cos}(\theta), r\operatorname{sen}(\theta))$. Dado que la función $f$ es analítica en el abierto $U$, por el corolario 1 se satisfacen las ecuaciones de C-R en $U$, por lo que utilizando la regla de la cadena para funciones reales de dos variables se tiene que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}, \quad \frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta},\\ \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}, \quad \frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta}. \tag{17.7} \end{align*}
De las ecuaciones dadas en (17.7), resuelve para $u_x$, $u_y$, $v_x$ y $v_y$ y concluye que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r} \operatorname{cos}(\theta) – \frac{\partial u}{\partial \theta} \frac{\operatorname{sen(\theta)}}{r}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r} \operatorname{sen}(\theta) + \frac{\partial u}{\partial \theta}\frac{\operatorname{cos(\theta)}}{r},\\ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial r} \operatorname{cos}(\theta) – \frac{\partial v}{\partial \theta} \frac{\operatorname{sen(\theta)}}{r}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial r} \operatorname{sen}(\theta) + \frac{\partial v}{\partial \theta}\frac{\operatorname{cos(\theta)}}{r}. \end{align*} Suponiendo que el teorema 1 se cumple para la forma polar de las ecuaciones de C-R, utiliza las ecuaciones anteriores para verificar que las ecuaciones de C-R se verifican ahora para las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$. Con esto se verifica que las ecuaciones dadas en (17.6) en efecto son la forma polar de las ecuaciones de C-R.
Prueba que las siguientes funciónes no son analíticas en su dominio.
a) $f(z) = |\,z\,|^2$, pero es diferenciable en $z=0$.
b) $f(z) = y + ix$, para $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
c) $f(z) = \overline{z}^2$ para $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
d) $f(z) = 4z – 6 \overline{z} + 3$ para $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
Supón que $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$. Sean $h(z) = \overline{f(z)}$ y $g(z) = v(x,y) + iu(x,y)$ dos funciones complejas definidas en el mismo conjunto $U$, entonces ¿son $h$ y $g$ funciones analíticas en $U$?
Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ una función analítica en un $U$. Prueba que:
a) $f'(z) = u_x(z) – i u_y(z) = v_y(z) + i v_x(z)$.
b) $|\,f'(z)\,|^2 = u_x^2 + u_y^2 = v_x^2 + v_y^2$, para todo $z=x+iy\in U$.
Considera la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{\begin{array}{lcc} \dfrac{z^5}{|\,z\,|^4}& \text{si} & z\neq 0, \\ 0 & \text{si} & z = 0. \end{array} \right. \end{equation*} Muestra que en $z=0$ la función $f$ satisface las ecuaciones de C-R, pero $f'(0)$ no existe.

Más adelante…

En esta entrada hemos deducido las ecuaciones de Cauchy-Riemann y probamos que para una función compleja $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ dichas ecuaciones resultan ser un conjunto de condiciones necesarias que deben satisfacer la parte real y la parte imaginaria, $u$ y $v$ respectivamente, en un punto donde $f(z)$ es analítica. Sin embargo, vimos mediante algunos ejemplos que dichas ecuaciones no son una condición suficiente para garantizar la analicidad de una función en un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$.

Lo anterior nos motiva a preguntarnos bajo qué condiciones, además de las ecuaciones de C-R, las funciones reales $u$ y $v$ nos permiten garantizar que una función compleja $f(z)$ sea analítica en $U$, lo cual responderemos en la siguiente entrada.

Entradas relacionadas

Ir a Variable Compleja I.
Entrada anterior del curso: Diferenciabilidad en el sentido complejo.
Siguiente entrada del curso: Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja.

Variable Compleja I: Continuidad en $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Deja un comentario

Introducción

En esta entrada abordaremos de manera formal el concepto de continuidad en el sentido complejo. El concepto de continuidad en el ámbito matemático se remonta hace cientos de años atrás, aunque fue hasta mediados del siglo XIX cuando matemáticos como Augustin Louis Cauchy comienzan a dar una formulación precisa de dicho concepto. Desde entonces el concepto de continuidad ha sido refinado, abstraído y generalizado para muchas de las ramas de las matemáticas, en particular en el Cálculo y el Análisis.

En el caso real, solíamos asociar la idea intuitiva de que una función real continua era aquella cuya gráfica no tenía «huecos» o «saltos». Sin embargo, como hemos mencionado antes, en el caso complejo nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja, por lo que resulta interesante cuestionarnos sobre cómo podríamos pensar de forma intuitiva dicho concepto en el caso complejo.

Aunque tendremos definiciones similares a las del caso real, no debemos dar por hecho que el comportamiento de las funciones complejas será necesariamente el mismo que el de las funciones reales, de hecho veremos que las funciones complejas extienden ciertas propiedades de las funciones reales de dos variables continuas, pero veremos que en general las funciones complejas se comportan distinto a las funciones vectoriales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, pues resultan ser más restrictivas en ciertas propiedades.

Continuidad de funciones complejas

Definición 15.1. (Continuidad de una función compleja.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es continua en un punto $z_0\in S$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)-f(z_0)\,|<\varepsilon$. Si $f$ es continua en todo punto $z_0 \in S$, entonces diremos que $f$ es continua en $S$. Si $f$ no es continua en $z_0\in S$, entonces diremos que es discontinua en $z_0$.

Ejemplo 15.1
a) Veamos que las funciones $f(z) = \operatorname{Re}(z)$ y $g(z) = \operatorname{Im}(z)$ son continuas para todo $z_0\in\mathbb{C}$.
Solución. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|,\end{equation*} \begin{equation*}|\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon >0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z – z_0\,| < \delta$, entonces:
\begin{equation*}|\,f(z) – f(z_0)\,| = |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| < \varepsilon, \end{equation*} \begin{equation*}|\,g(z) – g(z_0)\,| = |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.

b) Veamos que la función $h(z)=|\,z\,|$ es continua para todo $z_0 \in\mathbb{C}$.
Solución. Sean $z, z_0\in\mathbb{C}$, con $z_0$ fijo. Por la proposición 3.3 sabemos que: \begin{equation*}|\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Entonces, para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,h(z) – h(z_0)\,| = |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $f$ es continua para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Observación 15.1.
Al igual que con el límite, podemos ver que la continuidad de una función compleja $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$, se puede garantizar a través de la continuidad de las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$, correspondientes con la parte real y la parte imaginaria de $f$. Para ello recordemos la definición de continuidad para una función real de dos variables, vista en nuestros cursos de Cálculo.

Definición 15.2. (Continuidad de una función real de dos variables.)
Sean $U\subset\mathbb{R}^2$ y $u:U\to\mathbb{R}$ una función real de dos variables, digamos $x$ e $y$. Para $(x_0, y_0)\in U$ diremos que $u$ es contninua en $(x_0, y_0)$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $(x,y)\in U$ y $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$, entonces: \begin{equation*} |u(x,y) – u(x_0,y_0)| < \varepsilon. \end{equation*}

Proposición 15.1.
Toda función compleja es continua si y solo si su parte real y su parte imaginaria son continuas.

Demostración. Sean $S \subset \mathbb{C}$ y $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja arbitraria y sea $z = x+iy \in S$.

De acuerdo con la proposición 12.1 sabemos que toda función compleja $f$ puede escribirse de la forma:\begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} donde las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son su parte real y su parte imaginaria, respectivamente.

Para $z_0 = x_0 + iy_0\in S$ fijo tenemos por la observación 3.1 que: \begin{equation*} |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} por lo que considerando las definiciones 15.1, 15.2 y las desigualdades anteriores se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Observación 15.2.
Notemos que en la definición 15.1 se tiene implícita la condición de que:

existe $f(z_0)$.

De acuerdo con la proposición 9.4 de la entrada 9, sabemos que para $z_0 \in S\subset\mathbb{C}$ pueden suceder dos casos:

$z_0$ es un punto aislado de $S$, es decir que $z_0 \in S \setminus S’$,
$z_0$ es un punto de acumulación de $S$, es decir que $z_0 \in S \cap S’$.

Debe ser claro que si $z_0$ es un punto aislado, entonces existe alguna $\delta$-vecindad de $z_0$, digamos $B(z_0,\delta)$, tal que no contiene otros puntos de $S$ aparte de $z_0$, es decir para todo $z\in S$: \begin{equation*} |\,z-z_0\,|<\delta \quad \Longrightarrow \quad z=z_0, \end{equation*} por lo que $|\,f(z) – f(z_0)\,|=0<\varepsilon$. Entonces, de acuerdo con la definición 15.1, una función compleja $f$ es siempre continua en un punto aislado.

Mientras que si $z_0 \in S\cap S’$ también debe cumplirse que:

existe $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$,
y $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$.

Por lo que basta con que no se cumpla alguna de estas tres condiciones para que una función $f\in\mathcal{F}(S)$ sea discontinua en $z_0\in S\subset\mathbb{C}$.

Ejemplo 15.2.
Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante y $n\in\mathbb{N}^+$. Consideremos a la función $f(z) = c z^n$. Veamos que $f$ es continua en $\mathbb{C}$.

Solución. De acuerdo con la observación 14.5 de la entrada anterior, para toda $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c z_0^n. \end{equation*} Por otra parte, tenemos que $f(z_0) = cz_0^n$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$, por lo que $f$ es una función continua en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 15.3.
a) Verificar si la función $f(z) = z^2 – iz + 2$ es continua en $z_0 = 1 – i \in \mathbb{C}$.
Solución. De acuerdo con la observación 15.2 para ver si la función $f$ es continua en el punto $z_0 \in \mathbb{C}$ basta con ver que se cumplan las tres condiciones establecidas en dicha observación.

Es claro que $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = (1-i)^2 – i(1-i) + 2 = 1 – 3i. \end{equation*}
Considerando la observación 14.6 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to z_0} z\right)^2 – i \left( \lim_{z \to z_0} z\right) + 2\\ & = \left(1-i\right)^2 – i \left(1-i\right) + 2\\ & = 1-3i. \end{align*}
Tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0). \end{equation*}

Por lo tanto $f$ es continua en $z_0 = 1-i \in \mathbb{C}$.

b) Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} z^2 & \text{si} & z \neq i, \\ 0 & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} Probar que $f$ no es continua en $z_0 = i$.
Solución. Notemos que:

$f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = 0. \end{equation*}
De acuerdo con la observación 14.6 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to i} z\right)^2\ & = (i)^2 = -1. \end{align*}
Es claro que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = -1 \neq 0 = f(z_0). \end{equation*}

Por lo tanto, tenemos que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Observación 15.3.
Dado que $\mathbb{C}$ dotado con el módulo es un espacio métrico, entonces son válidas las propiedades de continuidad para espacios métricos probadas en la entrada 9, en particular establecemos la siguiente caracterización.

Proposición 15.2.
Sean $S\subset \mathbb{C}$, $z_0 \in S$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:

$f$ es continua en $z_0$ de acuerdo con la definición 15.1,
para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} B(z_0,\delta) \cap S \subset f^{-1}\left[ B(f(z_0),\varepsilon)\right]. \end{equation*}
$\lim\limits_{n\to\infty} f(z_n) = f(z_0)$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1} \subset S$ que converge a $z_0$.

$\blacksquare$

Proposición 15.3.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:

$f$ es continua en $S$ de acuerdo con la definición 15.1,
si $U\subset \mathbb{C}$ es abierto en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(U)$ es también abierto en $S$,
si $F\subset \mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(F)$ es también cerrado en $S$.

$\blacksquare$

Proposición 15.4.
Sea $H\subset \mathbb{C}$, $g\in\mathcal{F}(H)$ una función tal que $g(H) \subset S \subset\mathbb{C}$ y sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Supongamos que $z_0$ es un punto de acumulación de $H$, que $\lim\limits_{z \to z_0} g(z) = w_0 \in S$ y que $f$ es continua en $w_0$. Entonces $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$, es decir: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f\left(\lim_{z \to z_0} g(z) \right). \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que dado $\varepsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que si $w\in S$ y $|\,w – w_0\,| < \eta $ entonces: \begin{equation*} |\,f(w) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Más aún, tenemos que para dicha $\eta>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,g(z) – w_0\,| < \eta. \end{equation*} Por lo que considerando estas dos implicaciones se sigue que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(g(z)) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$.

$\blacksquare$

Proposición 15.5.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones continuas en $S$, entonces:

$f \pm g$ es continua en $S$.
$fg$ es continua en $S$. Si $g$ es constante, es decir si $g(z) = c\in\mathbb{C}$ para todo $z\in S$, entonces $cf$ es continua en $S$.
Si $g(z) \neq 0$ para todo $z\in S$, entonces $\dfrac{f}{g}$ es continua en $S$.
Si $z_0 \in S$ y $h$ es una función definida en un conjunto $U \subset f(S)$ tal que $h$ es continua en $f(z_0)$, entonces la composición $h\circ f$ es continua en $z_0$.

Demostración. Utilizando la definición 15.1 y la proposición 14.3 de la entrada anterior es fácil probar el resultado, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Corolario 15.1.
Los polinomios son continuos en $\mathbb{C}$. Las funciones racionales son continuas en su dominio de definición.

Demostración. Sea $p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n$, con $z\in\mathbb{C}$, un polinomio de coeficientes complejos, es decir $c_i \in\mathbb{C}$ para toda $i\in{0,1,\ldots, n}$, con $c_n\neq 0$.

Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Notemos que para $n=0$ se tiene que $p(z) = c_0\neq 0$ es una función constante, entonces considerando el ejemplo 14.1(c) de la entrada anterior, tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} p(z) = \lim_{z\to z_0} c_0= c_0 = p(z_0), \end{equation*} por lo que en dicho caso $p(z)$ es continuo para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Para $n=1$, tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$, por lo que considerando la proposición 15.5(1), al ser $c_0$ y $c_1 z$ funciones continuas en $\mathbb{C}$, entonces $p(z) = c_0 + c_1 z$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Supongamos que el polinomio $q(z) = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i$, para algún $k\in\mathbb{N}$ fijo, es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$.

Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k+1}c_i z^i\\ & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i + c_{k+1} z^{k+1}\\ & = q(z) + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción tenemos que $q(z)$ es un polinomio continuo y al ser $c_{k+1} z^{k+1}$ una función continua, entonces por la proposición 15.5(1), es claro que para $n=k+1$ el polinomio $p(z)$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.

Por otra parte, consideremos a $f(z) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$, la cual es una función racional definida como el cociente de dos polinomios. De acuerdo con la proposición 15.5(3), considerando que todo polinomio es continuo en $\mathbb{C}$ se sigue que $f$ es continua en todo su dominio de definición, es decir en $S =\{z\in\mathbb{C} \, : \, q(z)\neq 0\}$.

$\blacksquare$

Ejemplo 15.4.
Considera la siguiente función y determina dónde es continua. \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1}. \end{equation*}

Solución. Tenemos que $z^2 + 1 = 0$ si y solo si $z=i$ o $z=-i$, por lo que el dominio natural de $f$ es el conjunto $S = \mathbb{C}\setminus\{i, -i\}$. De acuerdo con el corolario 15.1, dado que $f$ es una función racional entonces $f$ es continua en $S$.

Una pregunta que podemos hacernos es ¿se puede asignar un valor a la función $f$ de tal modo que sea continua en $z=i$?

Notemos que: \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1} = \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}. \end{equation*} Para $z\neq i$ tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{z^2 + 1}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i}\\ & = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}. \end{align*} Por lo que podemos definir a la función:
\begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z-i}{z^2 + 1} & \text{si} & z \neq -i, \\ -\dfrac{i}{2} & si & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} la cual claramente es una función continua en $z=i$, por lo que la discontinuidad de la función $f(z)$ en el punto $z=i$ pudo removerse.

Definición. 15.3. (Discontinuidad removible.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función discontinua en un punto $z_0\in S$. Se dice que $f(z)$ tiene una {\bf discontinuidad removible} en $z_0$ si existe el límite de $f(z)$ en dicho punto y la función no está definida en $z_0$ o tiene asignado un valor distinto al del límite, en tal caso la función $f(z)$ puede hacerse continua definiendo el valor de la función en $z_0$ como el valor del límite.

Si un punto $z_0 \in S$ no es una discontinuidad removible, diremos que es una discontinuidad irremovible.

Ejemplo 15.5.
Veamos que la función $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{z}$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.

Solución. De acuerdo con el corolario 15.1, es claro que la función $f(z)$ no es continua en $z=0$. Veamos que el límite de la función $f(z)$ cuando $z$ tiende a $0$ no existe.

Sea $z=x+iy \neq 0$. Si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje real, es decir si $y=0$ y $z=x$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{x}{x}\\ & = \lim_{x\to 0 } 1\\ & = 1. \end{align*} Por otra parte, si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje imaginario, es decir si $x=0$ y $z=iy$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{0}{iy}\\ & = \lim_{x\to 0 } 0\\ & = 0. \end{align*} Por lo que el $\lim\limits_{z \to 0} f(z)$ no existe. Entonces la función tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.

Ejemplo 15.6.
Veamos que la función $f(z) =\operatorname{Arg}(z)$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible y por tanto que $f$ solo es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Solución. Sabemos que para $z=0$ la función argumento principal no está definida, por lo que en $z=0$ dicha función no es continua. Veamos que dicho valor es una discontinuidad irremovible mostrando que el límite en dicho punto no existe.

Sabemos que:

si $z=x>0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = 0$,
si $z=x<0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \pi$.

Por lo que:

para $x>0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = 0$,
mientras que para $x<0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = \pi$.

Por la unicidad del límite concluimos que no existe $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z)$, por lo que $z=0$ es una discontinuidad irremovible.

Sea $z_0\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, tal que $z_0 = x_0 < 0$, fijo, entonces $\operatorname{Arg}(z_0) = \pi$. De acuerdo con la definición de la función $\operatorname{Arg}(z)$ dada en la entrada 13, es claro que para $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, se tiene que:

si $x<0$ y $y\geq0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc\,tan}\left( \frac{y}{x} \right) + \pi$,
si $x<0$ y $y <0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc \,tan}\left( \frac{y}{x} \right) – \pi$.

Por lo que, si nos aproximamos a $z_0$ mediante $z = z_0 + iy$ tenemos:
\begin{align*} \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = \pi,\\ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = -\pi. \end{align*}

Entonces la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $z_0 = x_0<0$ y desde que no existe $ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z)$ tenemos que $z_0$ es una discontinuidad irremovible. Como $z_0 = x_0<0$ era arbitrario, entonces todo $z_0 \in (-\infty, 0)$ es una discontinuidad irremovible.

Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Por la proposición 13.1, entrada 13, sabemos que para $z\neq 0$ si $z \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0)$ entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right), \end{equation*} de donde $u(x,y) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right)$ y $v(x,y) =0$, las cuales son funciones reales continuas, entonces de la proposición 15.1 se sigue que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Observación 15.4.
Debe ser claro que la función $f(z) = \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{Arg}_{(-\pi, \pi]}(z)$ corresponde con una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$ desde que $f$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, -\pi < \operatorname{arg} z < \pi \right\}$, dicha rama es llamada la rama principal del argumento.

Más aún, para $\alpha \in \mathbb{R}$ fijo e $I=(\alpha, \alpha+2\pi]$, tenemos por la proposición 13.3 que la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ está dada por: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_I(z) = \operatorname{Arg}\left(-z\operatorname{cis}(-\alpha)\right) + \alpha + \pi, \end{equation*} por lo que podemos verificar que $g$ será continua dónde lo sea $f$.

Veamos entonces que $g$ es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$, donde $L_\alpha = \left\{ r\operatorname{cis}(\alpha) : r \geq 0 \right\}$, figura 69.

Notemos que si $z \in L_\alpha$, entonces $z = r\operatorname{cis}(\alpha)$, con $r = |\,z\,|$ y $\alpha = \operatorname{arg} z$. Claramente $r>0$ pues en $z=0$ la función $f$ no está definida. Entonces, por la prueba de la proposición 13.3 tenemos que: \begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha)\operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha – \alpha) = -r(1) = -r, \end{equation*} de donde $-r < 0$, por lo que $-r \in (-\infty, 0)$, pero en dicho conjunto $f$ no es continua, por lo que para $z \in L_\alpha$ la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z) $ no es continua.

Por otra parte, si $z \in \mathbb{C}\setminus L_\alpha$ tenemos que $z = \rho \operatorname{cis}(\theta)$, con $\rho = |\,z\,|>0$ y $\theta = \operatorname{Arg}_I(z)$, entonces: \begin{equation*} \alpha < \theta < \alpha + 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -\pi < \theta – \alpha – \pi < \pi, \end{equation*} pues $\operatorname{cis}(\alpha + 2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha) \operatorname{cis}(2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha)$.

Tenemos que:
\begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = \operatorname{cis}(-\pi) \, \rho \operatorname{cis}(\theta)\operatorname{cis}(-\alpha) = \rho \operatorname{cis}(\theta – \alpha – \pi ), \end{equation*} por lo que $ -z \operatorname{cis}(-\alpha) \in \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, donde $f$ es continua.

Entonces la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ solo es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$. Por lo tanto, la función $g$ determina una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$, siempre que se defina en el dominio, figura 69: \begin{equation*} D = \mathbb{C}\setminus L_\alpha = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, \alpha < \operatorname{arg} z < \alpha + 2\pi \right\}. \end{equation*}

Figura 69: Dominio de continuidad $D$ de la rama del argumento $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$.

Ejemplo 15.7.
Veamos que la función $f(z) = z^{1/2}$, correspondiente con la raíz cuadrada principal, definición 13.5, tiene una discontinuidad irremovible en $z=-1$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible, aún cuando esta función solo asigna una única raíz. Concluyamos que la raíz cuadrada principal es una rama, la rama principal de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, solo si se restringe al dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Solución. Sea $z =r\operatorname{cis}(\theta)\neq 0$. De acuerdo con la definición 13.5, la raíz cuadrada principal está dada por: \begin{equation*} f(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$.

Sea $z_0 = -1$, veamos que no existe $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$. Para ello consideremos a la circunferencia unitaria $C(0,1)$, es decir la circunferencia centrada en $z=0$ y de radio $1$, figura 70.

Figura 70: Punto $z\in C(0,1)$ que se aproxima a $z_0=-1$ por dos trayectorias distintas, dadas por la circunferencia $C(0,1)$.

Si $z \in C(0,1)$, entonces podemos aproximarnos a $z_0 = -1$ mediante la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el segundo cuadrante, es decir $\pi/2 < \operatorname{Arg}(z) < \pi$, con $\operatorname{Arg}(z) \to \pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(1)\\ & = i. \end{align*}

Si ahora nos aproximamos a $z_0=-1$ con $z\in C(0,1)$ a través de la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el tercer cuadrante, es decir $-\pi < \operatorname{Arg}(z) < -\pi/$, con $\operatorname{Arg}(z) \to -\pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(-1)\\ & = -i. \end{align*}

Dado que estos dos límites son distintos, concluimos que $\lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$ no existe, por tanto $z_0 = -1$ es una discontinuidad irremovible.

De manera similar podemos probar que cualquier punto en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible. Sin embargo, desde que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $(-\infty, 0]$ y la función $f$ está dada en términos de dicha función, debe ser claro que $f$ será discontinua en el mismo conjunto.

Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$, es decir que bajo esa restricción obtenemos una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, a la cual llamamos la rama principal $f_0$, es decir: \begin{equation*} f_0(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$ y $z \in \mathbb{C} \setminus(-\infty,0] = \left\{ w\in\mathbb{C} : |\,w\,|>0, -\pi < \operatorname{Arg}(w) <\pi \right\}$.

Sea $z = x+iy \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$. Por la proposición 13.1 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right). \end{equation*}

Entonces, para $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$ tenemos que: \begin{align*} f_0(z) & = \sqrt{|\,z\,|} \operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{cis}\left(\frac{2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)}{2}\right)\\ & = \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{cos}\left(\operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)\right) + i \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{sen}\left(\operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)\right)\\ & := u(x,y) + iv(x,y). \end{align*}

Como las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales continuas, entonces por la proposición 15.1 concluimos que la función $f_0$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ y por tanto que es una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$.

Observación 15.5.
Considerando la definición 14.2 y la proposición 14.4 de la entrada anterior, notemos que podemos extender el concepto de continuidad para funciones definidas sobre el plano complejo extendido, es decir, diremos que una función $f: \mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es continua en $\infty$ si \begin{equation*} f(\infty) = \lim_{z\to \infty} f(z) \end{equation*} y si $f(a) = \infty$, entonces $f$ es continua en $a$ si \begin{equation*} f(a) = \infty =\lim_{z\to a} f(z). \end{equation*}

Ejemplo 15.8.
Consideremos a la siguiente función:
\begin{equation*} f(z) = \frac{z+i}{z-i}. \end{equation*} Es claro que dicha función no está definida en $z=i$. Sin embargo, dado que: \begin{equation*} f(i) = \infty = \lim_{z\to i} f(z) \end{equation*} y \begin{equation*} f(\infty) = 1 = \lim_{z\to \infty} f(z), \end{equation*} entonces definiendo: \begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{z+i}{z-i} & \text{si} & z \neq i, \\ 1 & \text{si} & z = \infty, \\ \infty & \text{si} & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} es claro que $g$ es una función continua de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$.

De acuerdo con los resultados de la entrada 10 para funciones continuas entre espacios métricos, tenemos que son válidas las siguientes afirmaciones para funciones complejas continuas.

Proposición 15.6. (Funciones continuas sobre conjuntos conexos y compactos.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función continua en $S$.

Si $S$ es un conjunto conexo, entonces $f(S)$ es también conexo.
Si $S$ es un conjunto compacto, entonces $f(S)$ es también compacto.

$\blacksquare$

Cerraremos esta entrada con el siguiente concepto.

Definición 15.4. (Continuidad uniforme.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es uniformemente continua en $S$, si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ (que depende solo de $\varepsilon$) tal que si $z, w \in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$.

Ejemplo 15.9.
Sea $f(z) = \overline{z}$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Solución. Para $z,w\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{equation*} |\,f(z) – f(w)\,| = |\,\overline{z} – \overline{w}\,| = |\,\overline{\overline{z} – \overline{w}}\,| = |\,z-w\,| < \varepsilon, \end{equation*} por lo que tomando $\delta=\varepsilon>0$ se cumple la definición.

Observación 15.6.
De acuerdo con la definición 15.4, notamos que el concepto de continuidad uniforme es más restrictivo que el de continuidad de una función, por lo que la continuidad uniforme estará sujeta al conjunto $S$ en el que la función esté definida, para ver esto consideremos el siguiente:

Ejemplo 15.10.
a) Sea $f(z) = z^2$ definida en $S = B(0,1)$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.

Solución. Notemos que para $z,w\in S$ se tiene que $|\,z\,|<1$ y $|\,w\,|<1$. Entonces: \begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = |\,z – w\,| |\,z + w\,|\\ & < \left( |\,z\,| + |\,w\,|\right) \delta\\ & < 2\delta <\varepsilon, \end{align*} por lo que basta con tomar $\delta = \frac{\varepsilon}{2}>0$ para que se cumpla la definición.

b) Sea $f(z) = z^2$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Solución. Sea $\varepsilon=1$, entonces dado $\delta>0$, por la propiedad arquimediana existe $n\in\mathbb{N}^+$ tal que $n\delta >1$. Sean $z = n$ y $w=n+\frac{\delta}{2}$, entonces se tiene que $|\,z-w\,|=\frac{\delta}{2} < \delta$, pero:
\begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = n^2 + n\delta +\frac{\delta^2}{4} – n^2\\ & = n\delta +\frac{\delta^2}{4} > n\delta > 1 = \varepsilon, \end{align*} por lo que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Proposición 15.7.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

$f$ es uniformemente continua en $S$,
$\operatorname{Re} f$ e $\operatorname{Im} f$ son uniformemente continuas en $S$,
para cualesquiera sucesiones $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, se cumple que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

Dadas las hipótesis, tenemos que:
$1. \Leftrightarrow 2.$ Su prueba es análoga a la de la proposición 15.1, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$1. \Rightarrow 3. $
Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$ y supongamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.

Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $\delta>0$ tal que si $z,w\in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$, entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$. Como $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces para el $\delta>0$ se tiene que existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,|\,z_n – w_n\,| – 0 \,| = |\,z_n – w_n\,| < \delta, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} por lo que para toda $n\geq N$ se cumple que: \begin{equation*} |\,|\,f(z_n) – f(w_n)\,| – 0 \,| = |\,f(z_n) – f(w_n)\,| < \varepsilon, \end{equation*} es decir que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

$3. \Rightarrow 1.$
Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que si $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

Por reducción al absurdo, supongamos que $f$ no es uniformemente continua en $S$, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existen $z,w\in S$ tales que $|\,z-w\,|<\delta$ y $|\,f(z) – f(w)\,|\geq \varepsilon$.

Tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n, w_n \in S$ y $\frac{1}{n}>0$, por lo que: \begin{equation*} |\,z_n – w_n\,|<\frac{1}{n} \quad \text{y} \quad |\,f(z_n) – f(w_n)\,|\geq \varepsilon, \end{equation*} lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $f$ es uniformemente convergente.

Tarea moral

Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que $f$ es continua en $z_0 \in S$ si y solo si $\overline{f}$ es continua en $z_0 \in S$.
Sea $S = [a,b] = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, a\leq x \leq b\}$. Considera a $S\subset \mathbb{C}$ y sea $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja de variable real. Tomando $z=x+i0$ podemos escribir $f(z) = u(x) + i v(x)$. Prueba que $f$ es continua si y solo si $u$ y $v$ son continuas.
Analiza la continuidad de la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z^3 – 1}{z-1} & \text{si} & |\,z\,| \neq 1, \\ 3 & \text{si} & |\,z\,| = 1, \end{array} \right. \end{equation*} en los puntos $z_0 = 1$, $z_1 = -1$, $z_2 = i$ y $z_3 = -i$.
Analiza la continuidad de las siguientes funciones y determina el valor de $f(z)$ en el punto $z_0$ de tal forma que la función sea continua en dicho punto.
a) $f(z) = \dfrac{z^3 – z_0}{z – z_0}$.
b) $f(z) = \left(\dfrac{1}{z – z_0}\right)\left( \dfrac{1}{z} – \dfrac{1}{z_0}\right)$.
c) $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)}{|\,z\,|^2}$.
d) $f(z) = \dfrac{\left(\operatorname{Re}(z)\right)^2 – \left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}{|\,z\,|^2}$.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es continua en $z_0 \in S$, entonces $|\,f\,|$ es continua en $z_0 \in S$. ¿Es cierto el recíproco?
Considera la siguiente función definida en $\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+1}{4z+3} & \text{si} & z \neq \frac{-3}{4}, \\ \infty & \text{si} & z = \frac{-3}{4}. \end{array} \right. \end{equation*} Analiza la continuidad de $f$ en $z = -\frac{3}{4}$.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es uniformemente continua en $S$, entonces $f$ es continua en $S$. ¿Es cierto el recíproco?
Sea $f(z)=\dfrac{1}{z^2}$, prueba que:
a) $f$ es uniformemente continua en $S = \left\{z\in\mathbb{C} : \frac{1}{2} \leq |\,z\,| \leq 1\right\}$,
b) $f$ no es uniformemente continua en $S = \{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal el concepto de continuidad y continuidad uniforme para funciones complejas. Caracterizamos la continuidad (y la continuidad uniforme) de las funciones complejas a través de la continuidad (y la continuidad uniforme) de su parte real e imaginaria, en particular vimos que toda función compleja continua es de la forma $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$.

Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son muy similares a las de las funciones reales, veremos en la siguiente entrada que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones, el cual es el caso de la diferenciabilidad compleja.

La siguiente entrada abordaremos la diferenciabilidad en el sentido complejo y veremos que la diferenciabilidad para $\mathbb{R}^2$, que hemos estudiado en nuestros cursos de Cálculo, no bastará para garantizar la diferenciabilidad en el sentido complejo.

Entradas relacionadas

Ir a Variable Compleja I.
Entrada anterior del curso: Límites en $\mathbb{C}$.
Siguiente entrada del curso: Diferenciabilidad en el sentido complejo.

Variable Compleja I: Límites en $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Deja un comentario

Introducción

A lo largo de nuestros cursos de Cálculo hemos trabajado con el concepto de límite a detalle, ya que como sabemos, conceptos esenciales en la teoría de las funciones reales como el de continuidad y derivada, además de muchos otros, tienen sustento y se definen precisamente a través del límite. Intuitivamente sabemos que el límite de una función real, cuando existe, digamos $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = L$, nos dice que los valores de la función $f$ estarán tan cercanos al número real $L$ siempre que $x$ esté próximo a $x_0$, pero sin llegar a ser igual a dicho valor.

En esta entrada veremos que al igual que en el caso real, el concepto de límite para funciones complejas nos permitirá hablar de la continuidad y la diferenciabilidad de una función compleja. Aunque el concepto de límite para funciones complejas será idéntico a nuestra idea de proximidad en el caso real, veremos que el caso complejo es mucho más rico ya que aquí consideraremos más de dos posibles direcciones en que un número complejo se aproxime a otro.

Límite complejo

Recordemos que para $S\subset\mathbb{C}$, el conjunto $S’$ denota al conjunto de los puntos de acumulación de $S$.

Definición 14.1. (Límite de una función compleja.)
Sea $S \subset \mathbb{C}$ y sea $z_0 \in S’$. Dada $f\in\mathcal{F}(S)$, diremos que el número complejo $L\in\mathbb{C}$ es el límite de $f(z)$ cuando z tiende a $z_0$, lo cual denotamos como $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = L$, si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – L\,|<\varepsilon$.

Observación 14.1.
En caso de existir el límite, este es único. Supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L_1$ y $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L_2$. Por la definición 14.1 tenemos que dado $\varepsilon>0$ existen $\delta_1>0$ y $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z – z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z – z_0\,|<\delta_2$, entonces $|\,f(z) – L_1\,|<\frac{\varepsilon}{2}$ y $|\,f(z) – L_2\,|<\frac{\varepsilon}{2}$. Como $z_0 \in S’$, entonces para $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\} > 0$ existe $z^* \in S$ tal que $0<|\,z^* – z_0\,| < \delta$, por lo que: \begin{equation*} |\,L_1 – L_2\,| \leq |\,f(z^*) – L_1\,| + |\,f(z^*) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*} Como se cumple para todo $\varepsilon>0$, entonces $L_1 = L_2$.

Observación 14.2.
Primeramente, notemos que la existencia del límite $L$ no depende de que la función $f$ esté definida en el punto $z_0$. Por otra parte, de acuerdo con la observación 14.1 tenemos que para garantizar la existencia de $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$, debe suceder que la función $f$ evaluada en $z$ se aproxime siempre al mismo número complejo $L$, esto sin importar la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$, figura 68. Es decir, si $f$ se aproxima a dos números complejos distintos, digamos $L_1$ y $L_2$, cuando $z$ se aproxima a $z_0$ siguiendo dos trayectorias distintas, entonces $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$ no existe.

Figura 68: Gráfica de los planos $z$ y $w$ donde se representan dos posibles formas en que $f(z)$ se aproxima a $L$ conforme $z$ se aproxima a $z_0$. La existencia del límite no depende de la forma en que $z$ se aproxime a $z_0$.

Ejemplo 14.1.
a) Consideremos la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \dfrac{z^2 + 4}{z-2i}. \end{equation*} Es claro que el dominio natural de $f$ es $S = \mathbb{C} \setminus\{2i\}$. Sin embargo, veamos que $\lim\limits_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

Solución. Sea $z \in S$. Notemos que: \begin{equation*} \dfrac{z^2 + 4}{z-2i} \,-\, 4i = \dfrac{(z+2i)(z-2i)}{z-2i} \,- \, 4i = z – 2i, \end{equation*} por lo que:

\begin{equation*}|\,f(z) – 4i\,| = |\,z – 2i\,|. \end{equation*} Entonces para $\varepsilon>0$ definimos $\delta = \varepsilon$, entonces $|\,f(z) – 4i\,|<\varepsilon$ si $0<|\,z – 2i\,|<\delta$, es decir $\lim\limits_{z \to 2i} f(z) = 4i$.

b) Consideremos a la función $f(z) = \overline{z}^2 – 2$. Es claro que la función $f$ está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que $\lim\limits_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

Solución. Sean $z\in\mathbb{C}$ y $\varepsilon>0$. Notemos que: \begin{align*}|\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| & = |\,\overline{z}^2 – 2i\,| = |\,\overline{\overline{z}^2 – 2i}\,| = |\,z^2 + 2i\,|\\ & = |\,z-(1-i)\,| \, |\,z+(1-i)\,|\\
&\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( |\,z-(1-i)\,| + 2|\,1-i\,| \bigg). \end{align*} Haciendo $0<|\,z-(1-i)\,|<1$ tenemos que: \begin{align*} |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| &\leq |\,z-(1-i)\,| \, \bigg( 1 + 2\sqrt{2} \bigg) \end{align*} Por lo que tomando $\delta= \text{mín}\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{1+2\sqrt{2}}\right\}>0$, se sigue que si $0<|\,z-(1-i)\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – (-2+i)\,| = |\,\overline{z}^2 – 2 -(-2+2i)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{z\to 1-i} f(z) = -2 + 2i$.

c) Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante. Consideremos a las funciones $f(z) = c$, $g(z)=z$ y $h(z)=\overline{z}$. Es claro que dichas funciones complejas están definidas en todo $\mathbb{C}$. Entonces para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c,\\ \lim_{z \to z_0} g(z) = z_0,\\ \lim_{z \to z_0} h(z) = \overline{z_0}. \end{align*}

Ejemplo 14.2.
Consideremos a la función: \begin{equation*} f(z) = \dfrac{z}{\overline{z}}, \end{equation*} cuyo dominio es $S =\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Veamos que $\lim\limits_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Solución. De acuerdo con la observación 14.2, basta encontrar dos trayectorias por las que $z$ se aproxime a $0$ que nos den valores distintos para dicho límite.

Notemos que si nos acercamos a $0$ a través del eje real, es decir tomando $z=x+i0$, con $x\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x+i0}{x-i0} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1. \end{equation*}

Mientras que si nos acercamos a $0$ a través del eje imaginario, es decir tomando $z=0+iy$, con $y\rightarrow 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} f(z) = \lim_{z \to 0} \dfrac{z}{\overline{z}} = \lim_{y \to 0} \dfrac{0+iy}{0-iy} = \lim_{y \to 0} \dfrac{iy}{-iy} = -1. \end{equation*}

Por lo que $\lim\limits_{z\to 0} f(z)$ no existe.

Observación 14.3.
De acuerdo con la proposición 8.6 de la entrada 8, tenemos que para $z_0\in\mathbb{C}$ y $S\subset\mathbb{C}$ se cumple que $z_0$ es un punto de acumulación de $S$ si y solo si existe una sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1}$ en $S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.

Este resultado es útil para caracterizar la existencia del límite de una función compleja a través de sucesiones complejas, para ello planteamos la siguiente:

Proposición 14.1.
Sean $S \subset \mathbb{C}$, $z_0\in S’$, $L\in\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Entonces se cumple que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$ si y solo si $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.

Demostración. Dadas las hipótesis tenemos:

$\Rightarrow)$
Supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$. Veamos que $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.

Dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|z-z_0|<\delta$, entonces $0<|f(z)-L|<\varepsilon$.

Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}\subset S$ una sucesión tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$. Para $\delta>0$ se cumple para toda $n\geq N$ que $0<|\,z_n – z_0\,|<\delta$. Por lo tanto: \begin{equation*} |\,f(z_n) – L\,| < \varepsilon, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} es decir que $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que para toda sucesión $\{z_n\}_{n \geq 1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in \mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$, se cumple que $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = L$. Veamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$.

Por reducción al absurdo supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) \neq L$. Entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existe $z_\delta \in S$ tal que $0<|\,z_\delta – z_0\,| < \delta$ y $0<|\,f(z_\delta) – L\,| \geq \varepsilon$.

Dado que para toda $n\in \mathbb{N}^+$ se cumple que $\frac{1}{n}$ es positivo, entonces existe $z_n \in S$ tal que: \begin{equation*} 0<|\,z_n – z_0\,|<\frac{1}{n} \quad \text{y} \quad |\,f(z_n) – L\,| \geq \varepsilon, \end{equation*} es decir que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$, con $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$, converge a $z_0$, pero la sucesión $\{f(z_n)\}_{n\geq 1}$ no converge a $L$, lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L$.

$\blacksquare$

Observación 14.4.
De acuerdo con la proposición 12.1 de la entrada 12, sabemos que toda función compleja $f$ puede escribirse de la forma: \begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} con $u(x,y)$ y $v(x,y)$ funciones reales que corresponden con su parte real e imaginaria, respectivamente. Veamos que podemos garantizar la existencia del límite de una función compleja a través de estas funciones, para ello recordemos primeramente la definición de límite para una función real de dos variables, vista en nuestros cursos de Cálculo.

Definición 14.2. (Límite de una función real de dos variables.)
Sean $U\subset\mathbb{R}^2$ un conjunto abierto y $u: U\to \mathbb{R}$ una función real de dos variables, digamos $x$ e $y$. Para $(x_0, y_0) \in U’$ y $a\in \mathbb{R}$ diremos que: \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} u(x,y) = a, \end{equation*} si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $(x,y)\in U$ y $0<\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$, entonces: \begin{equation*} |u(x,y) – a| < \varepsilon. \end{equation*}

Proposición 14.2.
Sean $S\subset\mathbb{C}$, $z_0=x_0+iy_0\in S’$ y $L=a+ib\in\mathbb{C}$. Entonces para toda función compleja $f(z) = u(z)+iv(z)$ definida en $S$ se cumple que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to z_0} u(z) = a \,\,\, \text{y} \,\, \lim_{z \to z_0} v(z) = b. \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, de acuerdo con la observación 3.1 tenemos que para todo $z=x+iy\in S$ se cumple que: \begin{equation*} |\,u(z) – a\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,u(z) – a\,| + |\,v(z) – b\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,v(z) – b\,| \leq |\,f(z) – L\,| \leq |\,u(z) – a\,| + |\,v(z) – b\,|. \end{equation*} Considerando las definiciones 14.1, 14.2 y las desigualdades anteriores se sigue el resultado.

$\blacksquare$

De acuerdo con la proposición 14.2, tenemos que la existencia de un límite en $\mathbb{C}$ está garantizada por la existencia de los límites de dos funciones reales, por lo que podemos utilizar los resultados que conocemos para límites de funciones reales de dos variables para verificar si dicho límite existe en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 14.3.
Consideremos a la función $f(z) = z^2$, la cual está definida en todo $\mathbb{C}$. Veamos que para todo $z_0\in\mathbb{C}$ se cumple: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = z_0^2. \end{equation*}

Solución. Procediendo por la definición 14.1 es fácil probar la existencia de dicho límite. Sin embargo, podemos hacer uso de la proposición 14.2 para probar el resultado.

Sean $z=x+iy, z_0 = x_0+iy_0 \in \mathbb{C}$ con $z_0$ fijo. Entonces tenemos que: \begin{equation*} f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), \end{equation*} donde $\operatorname{Re}(f(z)) = u(x,y) = x^2 -y^2$ e $\operatorname{Im}(f(z))=v(x,y) = 2xy$. Tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} \operatorname{Re}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} u(x,y) = x_0^2 – y_0^2,\\ \lim_{z \to z_0} \operatorname{Im}(f(z)) = \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} v(x,y) = 2x_0 y_0. \end{align*} Por lo tanto $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = x_0^2 – y_0^2 + i2x_0y_0 = z_0^2$.

Observación 14.5.
Notemos que para la función $f(z)=z^n$, con $n\in\mathbb{N}^+$ y $z\in\mathbb{C}$, se puede probar por inducción que para todo $z_0\in\mathbb{C}$: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} z^n = z_0^n. \end{equation*}

Proposición 14.3. (Álgebra de límites.)
Sean $f,g\in\mathcal{F}(S)$, sea $z_0 \in S’$ y sean $c, L_1, L_2 \in \mathbb{C}$. Supongamos que $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = L_1$, $\lim\limits_{z \to z_0} g(z) = L_2$. Entonces:

$\lim\limits_{z \to z_0} \left[f(z) \pm c g(z)\right] = L_1 \pm c \, L_2$.
$\lim\limits_{z \to z_0} \left[f(z)g(z)\right] = L_1L_2$.
Si $L_2 \neq 0$, entonces $\lim\limits_{z \to z_0} \left[\dfrac{f(z)}{g(z)}\right] = \dfrac{L_1}{ L_2}$.

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que:

Si $c = 0$ entonces se sigue el resultado. Supongamos que $c\neq 0$ y sea $\varepsilon>0$, entonces existen $\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tales que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta_1$, $0<|\,z-z_0\,|<\delta_2$, entonces: \begin{align*} |\,f(z) – L_1\,| < \frac{\varepsilon}{2},\\ |\,g(z) – L_2\,| < \frac{\varepsilon}{2|c|}. \end{align*} Por lo que tomando $\delta = \text{mín}\{\delta_1, \delta_2\}>0$, tenemos que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) \pm cg(z) – (L_1 \pm c \, L_2) \,| \leq |\,f(z) – L_1\,| + |\,c\,| \, |\,g(z) – L_2\,| < \varepsilon. \end{equation*}
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 14.6.
De acuerdo con la proposición 14.3 y el inciso (c) del ejemplo 14.1, podemos calcular de forma inmediata el límite de un polinomio en cualquier punto, o el límite de una función racional en un punto donde dicha función esté definida, simplemente evaluando el polinomio o la función racional en el punto dado.

Ejemplo 14.4.
Hallar cada uno de los siguientes límites:
a) $\lim\limits_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z – 3i}$.
b) $\lim\limits_{z \to 2+3i} (z – 5i)^2$.
c) $\lim\limits_{z \to i} 3z^2 + 2z -1$.

Solución. Considerando la observación 14.6 y las propiedades de los límites tenemos:
a) \begin{align*} \lim_{z \to 3i} \dfrac{z^2 + 9}{z – 3i} & = \lim_{z \to 3i} \dfrac{(z + 3i)(z – 3i)}{z – 3i}\\ & = \lim_{z \to 3i} z + 3i\\ & = \lim_{z \to 3i} z + \lim_{z \to 3i} 3i\\ & = 3i + 3i\\ & = 6i. \end{align*}

b) \begin{align*} \lim_{z \to 2+3i} (z – 5i)^2 & = \lim_{z \to 2+3i} (z – 5i)(z – 5i)\\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z – 5i\right)^2\\ & = \left(\lim_{z \to 2+3i} z – \lim_{z \to 2 + 3i} 5i \right)^2\\ & = \left(2 + 3i – 5i \right)^2\\ & = \left( 2 – 2i\right)^2\\ & = -8i. \end{align*}

c) \begin{align*} \lim_{z \to i} 3z^2 + 2z – 1 & = 3 \lim_{z \to i} z^2 + 2\lim_{z \to i} z – \lim_{z \to i} 1\\ & = 3\left( \lim_{z \to i} z\right)^2 + 2i – 1\\ & = 3i^2 + 2i – 1 \\ & = -4 + 2i. \end{align*}

De acuerdo con la proposición 14.3, tenemos que las propiedades de los límites para funciones reales se extienden para el caso complejo. Veamos que otras propiedades de los límites para funciones reales pueden ser modificadas para el caso de funciones complejas.

Proposición 14.4. (Teorema de comparación.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$, $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones y $z_0\in S’$.

Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=0$ y para algún $r>0$ se cumple que $|\,g(z)\,| \leq |\,f(z)\,|$ para toda $z\in B(z_0,r)\setminus\{z_0\}$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=0$.
Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=0$ y para algún $r>0$ se cumple que existe $M>0$ tal que $|\,g(z)\,| \leq M$ para toda $z\in B(z_0,r)\setminus\{z_0\}$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) g(z) =0$.

Demostración. Dadas la hipótesis, tenemos que:

Para $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)\,|<\varepsilon$. Sea $z\in B(z_0,\delta)\setminus\{z_0\}$, entonces $|\,g(z)\,| \leq |\,f(z)\,|$, por lo que $|\,g(z) – 0\,| < \varepsilon$ siempre que $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, es decir $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=0$.
Para $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)\,|<\varepsilon$. Dado que para $z\in B(z_0,\delta)\setminus\{z_0\}$ se cumple que existe $M>0$ tal que $|\,g(z)\,| \leq M$, entonces para $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ tenemos que: \begin{equation*} 0 \leq |\,f(z) g(z)\,| \leq M |\,f(z)\,|. \end{equation*} De acuerdo con el ejercicio 3 de esta entrada y la proposición 14.3(2) tenemos que $\lim\limits_{z\to z_0} M |f(z)| =0$, entonces considerando el inciso anterior se cumple que $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) g(z) =0$.

$\blacksquare$

Consideremos ahora a la función $f(z) = 1/z$, dada en el ejemplo 12.1(d). Al pensarla como una función compleja definida en $\mathbb{C}$, es claro que el dominio $S$ de dicha función es $S = \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Sin embargo, considerando al plano complejo extendido tomemos $f:S\subset\mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$, por lo que podemos definir a la imagen de $z=0$ bajo dicha función como el punto al infinito, es decir $w = f(z) = \infty$. Es claro que al trabajar con $\mathbb{C}_\infty$ la función f es biyectiva, por lo que podemos pensar en la inversa de $f$, es decir en $z = f^{-1}(w) = 1/w$. Entonces ¿qué pasa con $\lim\limits_{w\to 0} f(f^{-1}(w))$? ¿y con $\lim\limits_{z \to \infty} f(z)$? ¿Qué relación hay entre dichos límites?

Por otra parte, como vimos en la entrada 11, cuando pensamos en que un número complejo tiende a infinito, lo cual denotamos como $z \to \infty$, estamos considerando que su módulo crece de manera arbitraria, es decir $|\,z\,| \to \infty$. Del mismo modo al hablar de una función $f$ que tiende a infinito, lo cual denotamos como $f(z) \to \infty$, estamos considerando que el módulo de dicha función crece de forma arbitraria, es decir $|\,f(z)\,| \to \infty$.

Para formalizar todo lo anterior consideremos las siguientes definiciones.

Definición 14.3. ($\rho$-vecindad de $\infty$.)
Sea $\rho>0$ suficientemente pequeño. En el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$, una $\rho$-vecindad de $\infty$ o simplemente una vecindad de $\infty$, es el conjunto: \begin{equation*} B(\infty, \rho) = \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, \frac{1}{\rho} < |\,z\,| \right\}. \end{equation*} Un conjunto $U\subset\mathbb{C}_\infty$ abierto que contenga a una $\rho$-vecindad de $\infty$, para algún $\rho>0$, es también una $\rho$-vecindad de $\infty$.

Definición 14.4. (Límites al infinito e infinitos.)
Sea $f:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función.

Diremos que $\lim\limits_{z\to \infty} f(z) = w_0$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z) – w_0\,| < \varepsilon. \end{equation*}
Diremos que $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}
Diremos que $\lim\limits_{z\to \infty} f(z) = \infty$ si para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z\,|>\frac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*}

Ejemplo 14.5.
a) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z^2}$, con $z\neq 0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to \infty} f(z) = 0. \end{equation*} Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\sqrt{\varepsilon}>0$, si $z\neq 0$ y $|\,z\,| > \dfrac{1}{\delta}$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z) – 0\,\right| = \left|\,\frac{1}{z^2} – 0\,\right| = \frac{1}{|\,z^2\,|} = \frac{1}{|\,z\,|^2} < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{z\to \infty} f(z) = 0$.
b) Sea $f(z) = \dfrac{1}{z-3}$, con $z\neq 3$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to 3} f(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Sea $\varepsilon>0$. Notemos que para $\delta=\varepsilon>0$, si $z\neq 3$ y $0<|\,z-3\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} \left|\,f(z)\,\right| = \left|\,\frac{1}{z-3}\,\right| = \frac{1}{|\,z-3\,|} > \frac{1}{\varepsilon}. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{z\to 3} f(z) = \infty$.

De lo anterior tenemos que los valores $z_0$ y $L$ en la definición 14.1 pueden ser sustituidos de forma indistinta por el punto al infinito, es decir en: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = L, \end{equation*} podemos remplazar a $z_0$ y/o $L$ por $\infty$, para ello solo habría que remplazar apropiadamente sus vecindades por vecindades de $\infty$. Para tener más claro esto y poder trabajar de manera más sencilla con estos límites tenemos el siguiente resultado.

Proposición 14.5.
Sea $f:S \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función y sean $z_0$ en el plano $z$, que corresponde al del dominio de $f$, y $w_0$ en el plano $w$, que corresponde al plano de la imagen de $f$, observación 12.1, entonces:

\begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to z_0} \frac{1}{f(z)} = 0. \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = w_0 \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} f\left(\frac{1}{z}\right) = w_0. \end{equation*}
\begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty \quad \text{si y solo si} \quad \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = 0. \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que:

Sea $z\in S$. Si $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = \infty$ existe, entonces de la definición 14.4(2) tenemos que para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} |\,f(z)\,| > \frac{1}{\varepsilon} \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Notemos que para el punto $w=f(z)$ se tiene que $|\,w\,| > 1/\varepsilon$, es decir $w$ pertenece a un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$, siempre que $0<|\,z-z_0\,|<\delta$. De lo anterior tenemos que: \begin{equation*} \left|\,\frac{1}{f(z)} – 0 \,\right| = \left|\,\frac{1}{f(z)}\,\right| = \frac{1}{|f(z)|} < \varepsilon \quad \text{si} \quad 0<|\,z-z_0\,|<\delta. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{z \to z_0} \dfrac{1}{f(z)} = 0$.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

La proposición 14.5 es de gran utilidad al trabajar con el punto al infinito. La idea de dicha proposición es representar al punto al infinito y su entorno mediante sus imágenes en la función $w = f(z) = 1/z$. Esto es, el punto $z=\infty$ corresponde con el punto $w=0$ y un $\varepsilon$-vecindario de $\infty$ corresponde con un $\varepsilon$-vecindario de $0$. Por lo que la existencia de un límite de una función $f(z)$ que considere al punto $z=\infty$ dependerá de la existencia de un límite que considere al punto $w=0$.

Ejemplo 14.6.
a) Consideremos a la función $f(z) = \dfrac{2z^3-1}{z^2+1}$ definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{i,-i\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} f(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} f(1/z) = \frac{(2/z^3)-1}{(1/z^2)+1}, \quad \quad \frac{1}{f(1/z)} = \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1}. \end{equation*} De acuerdo con la proposición 14.5 como: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} \frac{1}{f(1/z)} = \lim_{z \to 0} \frac{(1/z^2)+1}{(2/z^3)-1} = \lim_{z \to 0} \frac{z^3\left[(1/z^2)+1\right]}{z^3\left[(2/z^3)-1\right]} = \lim_{z \to 0} \frac{z^3 + z}{2 – z^3} = 0. \end{equation*} Entonces $\lim\limits_{z \to \infty} f(z) = \infty$.
b) Consideremos a la función $g(z) = \dfrac{iz+3}{z+1}$ con dominio $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} g(z) = \infty. \end{equation*} Solución. Notemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to -1} \frac{1}{g(z)} = \lim_{z \to -1} \frac{z+1}{iz+3} = 0. \end{equation*} Por lo que se sigue de la proposición 14.5 que $\lim\limits_{z \to \infty} g(z) = \infty$.
c) Sea $h(z) = \dfrac{2z+i}{z+1}$ una función definida en $S=\mathbb{C}\setminus\{-1\}$. Veamos que: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} h(z) = 2. \end{equation*} Solución. De acuerdo con la proposición 14.5 como: \begin{equation*} \lim_{z \to 0} h(1/z) = \lim_{z \to 0} \frac{(2/z)+i}{(1/z)+1} = \lim_{z \to 0} \frac{2+iz}{1 + z} = 2. \end{equation*} Entonces $\lim\limits_{z \to \infty} h(z) = 2$.

Tarea moral

Completa la demostración de las proposiciones 14.3 y 14.5.
Considera a la función $f(z) = \dfrac{zi}{2}$ definida en el disco abierto $B(0,1)$. Prueba usando la definición que: \begin{equation*} \lim_{z \to 1} f(z) = \frac{i}{2}. \end{equation*}
Usando la definición de límite prueba que si: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} f(z) = w_0, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} |\,f(z)\,| = |w_0|. \end{equation*} ¿Es cierto el recíproco?
Considera la función $T:S\subset\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} T(z) = \frac{az+b}{cz+b}, \quad \text{con} \,\, ad – bc \neq 0. \end{equation*} Usando la definición, prueba que:
a) Si $c=0$, entonces: \begin{equation*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \infty. \end{equation*} b) Si $c\neq 0$, entonces: \begin{align*} \lim_{z \to \infty} T(z) = \frac{a}{c},\\ \lim_{z \to -\frac{d}{c}} T(z) = \infty. \end{align*}
Sean $a\in\mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones. Considerando la definición 14.4 prueba las siguientes reglas para límites que consideran al punto al infinito.
a) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\left[ f(z) + g(z) \right]=\infty$.
b) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\left[ f(z) \cdot g(z) \right]=\infty$.
c) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty = \lim\limits_{z\to z_0} g(z)$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\left[ f(z) \cdot g(z) \right]=\infty$.
d) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=a$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=0$.
e) Si $\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=\infty$ y $\lim\limits_{z\to z_0} g(z)=a\neq 0$, entonces $\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{g(z)}{f(z)}=\infty$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal la definición de límite desde el enfoque de la variable compleja. Mediante una serie de resultados hemos caracterizado el límite complejo a través del estudio de la parte real e imaginaria de una función compleja, ya que dichas funciones reales las hemos estudiado a detalle en nuestros cursos de Cálculo, por lo que los resultados que conocemos para dichas funciones pueden emplearse al trabajar con funciones complejas.

Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son idénticas a las de las funciones reales de variable real, veremos en las siguientes entradas que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones.

La siguiente entrada abordaremos un concepto fundamental en el estudio de las funciones complejas, el de continuidad, el cual estará ligado al concepto de límite, por lo que los resultados de esta entrada nos serán de utilidad.

Entradas relacionadas

Ir a Variable Compleja I.
Entrada anterior del curso: Funciones multivaludas.
Siguiente entrada del curso: Continuidad en $\mathbb{C}$.

Variable Compleja I: Topología de $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Deja un comentario

Introducción

De manera intuitiva podemos considerar a un espacio métrico como un conjunto en el cual se puede hablar de la “distancia” entre sus elementos, por lo que definir lo que entendemos por distancia es de suma importancia. Para ello en esta entrada introduciremos los conceptos de distancia o métrica y espacio métrico. Es importante considerar que estos conceptos se analizan en primera instancia en un curso de Cálculo III y con mayor detalle en un curso de Análisis Matemático, por lo que es recomendable acompañar estos conceptos con algún material complementario, pues algunos resultados de los espacios métricos se darán por válidos y/o conocidos. Puedes consultar los libros Metric Spaces de Satish Shirali y Metric Spaces de Mícheál Ó Searcoid, o cualquier libro sobre topología de espacios métricos.

En la entrada anterior la métrica euclidiana $d$ nos permitió describir algunos lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ con los que ya estábamos familiarizados en $\mathbb{R}^2$. Es importante mencionar que existen otras formas de definir la distancia entre dos números complejos $z$ y $w$. Sin embargo para los fines del curso estaremos utilizando la métrica euclidiana definida en la entrada anterior.

Hablar de la «topología» en $\mathbb{C}$ hace referencia a un resultado de los espacios métricos en el que se prueba que en un espacio métrico $(X,d)$ la métrica $d$ induce una topología en el conjunto $X$. Por lo que en esta entrada analizaremos la topología inducida por la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$ en $\mathbb{C}$.

Lo anterior nos motiva a definir algunos conjuntos de puntos de $\mathbb{C}$ que serán necesarios para continuar en el estudio de la topología en $\mathbb{C}$. Por lo que introducir el concepto de disco o vecindad será de gran utilidad para caracterizar a los conjuntos de $\mathbb{C}$, así como para dar una definición formal de límite y continuidad en $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}$ como un espacio métrico

Definición 7.1. (Métrica y espacio métrico.)
Un conjunto $X\neq\emptyset$ dotado con una función $d: X \times X \to [0,\infty)$ es llamado un espacio métrico, lo cual se denota como $(X,d)$, si la función $d$ cumple las siguientes propiedades para todo $x,y, z\in X$:

$d(x, y) \geq 0$.
$d(x,y) = 0$ si y solo si $x=y$.
Simetría: $d(x,y) = d(y,x)$.
Desigualdad del triángulo: $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$.

Dicha función $d$ es llamada métrica en $X$ o función distancia en $X$. Es común denotar a la métrica en $X$ como $d_X$ cuando se están trabajando con varios espacios métricos y se requiere especificar donde está definida dicha métrica.

Ejemplo 7.1.

a) Consideremos al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. La función $d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to [0,\infty)$ dada por:\begin{equation*}
d(x,y) = |\,x-y\,|,
\end{equation*} utilizando las propiedades del valor absoluto es fácil verficar que $d$ es una métrica en $\mathbb{R}$.

b) Si $X = \mathbb{R}^n$, entonces para $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ y $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ en $X$ se define:\begin{equation*}
d(x,y) = \left(\sum_{k=1}^{n} (x_k – y_k)^2 \right)^{1/2}.
\end{equation*}
La función $d$ es llamada la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^n$.

c) Sea $X$ cualquier conjunto no vacío, entonces se define a la métrica discreta en $X$ como la función:
\begin{equation*}
d(x,y) = \left\{
\begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & x = y,\\
1 & \text{si} & x \neq y.
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Usando la definición del módulo es fácil probar que la distancia euclidiana, dada en la definición 6.1 de la entrada anterior, es una función $d: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \rightarrow [0,\infty)$ que satisface las condiciones para ser una métrica.

Proposición 7.1. (El espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.)
El conjunto $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$, $z,w\in\mathbb{C}$, es un espacio métrico.

Demostración. Sean $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$, entonces:

$d(z_2, z_1) \geq 0$, se sigue de la definición del módulo de un número complejo.
Ejercicio.
Ejercicio.
Queremos probar que:
\begin{equation*}
d(z_2, z_1) \leq d(z_2, z_3) + d(z_3, z_1),
\end{equation*}o equivalentemente que:
\begin{equation*}
|\,z_2 – z_1\,| \leq |\,z_2 – z_3\,| + |\,z_3 – z_1\,|.
\end{equation*}

Sean $z = z_2 – z_3$ y $w = z_3 – z_1$, entonces podemos reescribir $z + w = z_2 – z_1$ y así probar que:
\begin{equation*}
|\, z + w \, | \leq |\,z\,| + |\,w\,|,
\end{equation*}lo cual se sigue de la proposición 3.2.

$\blacksquare$

Observación 7.1.
De acuerdo con la proposición 7.1 y la definición 7.1 tenemos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d$ forma un espacio métrico, denotado por $(\mathbb{C}, d)$. Es importante mencionar que en esta entrada daremos algunos resultados de manera general para un espacio métrico $(X,d_X)$ y cuando sea necesario puntualizar algo del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ trabajaremos de manera particular con dicho espacio métrico.

Definición 7.2.
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se define a la circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho$ en $\mathbb{C}$, figura 40a, como el conjunto de puntos:
\begin{equation*}
C(z_0,\rho)= \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| = \rho\right\}.
\end{equation*}

De acuerdo con la entrada anterior sabemos que las ecuaciones:\begin{align*}
|\,z-z_0\,|< \rho,\\
|\,z-z_0\,|> \rho,
\end{align*} nos describen a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que caen dentro o fuera de la circunferencia $C(z_0,\rho)$ respectivamente, figura 40b.

Definición 7.3. (Disco o $\rho$-vecindad.)
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se definen en $\mathbb{C}$ a los conjuntos: \begin{equation*}
B(z_0,\rho)= \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| < \rho\},
\end{equation*} \begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho)= \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| \leq \rho\},
\end{equation*} como el disco abierto de radio $\rho$ y centro $z_0$ o la $\rho$-vecindad de $z_0$, figura 41(a), y el disco cerrado de radio $\rho$ y centro $z_0$, figura 41(b), respectivamente.

Figura 40: Circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Observación 7.2.
En ocasiones será necesario trabajar con una $\rho$-vecindad de $z_0$ sin considerar al punto $z_0$, es decir $B^*(z_0,\rho) = B(z_0,\rho) \setminus \{z_0\}$, en dado caso llamaremos a ese conjunto como una $\rho$-vecindad perforada o un disco perforado.
Análogamente se puede hablar de un disco cerrado perforado como el conjunto $\overline{B}^*(z_0,\rho) = \overline{B}(z_0,\rho) \setminus \{z_0\}$.

Definición 7.4. (Punto interior y conjunto abierto.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que $z_0\in \mathbb{C}$ es un punto interior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho)\subset S$.
Al conjunto de puntos interiores de $S$ se le denota como $\operatorname{int}S$ o $ \mathring{S}$. Si se cumple que $S = \operatorname{int}S$, entonces diremos que $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.

De acuerdo con la definición de $\operatorname{int}S$, notemos $\operatorname{int}S\subset S$. De hecho, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\operatorname{int}S$ es un conjunto abierto y es el mayor subconjunto abierto de $X$ contenido en $S$.

Figura 41: Disco abierto y cerrado con centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Definición 7.5. (Conjunto cerrado.)
Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ se dice que es cerrado en $\mathbb{C}$ si su complemento $S^C = \mathbb{C}\setminus S$ es abierto en $\mathbb{C}$.

Observación 7.3.
Comunmente denotaremos a los conjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ con la letra $U$ y a los conjuntos cerrados de $\mathbb{C}$ con la letra $F$.

Ejemplo 7.2.
Utilizando la desigualdad del triángulo es fácil verificar que:

a) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0<|\,z\,|<1\}$ es abierto en $\mathbb{C}$, figura 42a.

b) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, figura 42b.

c) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es abierto ni cerrado en $\mathbb{C}$, figura 43.

d) Los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son conjuntos abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ¿por qué?

Figura 42: Conjuntos del ejemplo 7.1 inciso a) y b).

Figura 43: El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es cerrado ni es abierto en $\mathbb{C}$.

Definición 7.6. (Punto exterior y punto frontera.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto exterior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$.
Por otra parte, diremos que $z_0$ es un punto frontera de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene que $B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset$ y $B(z_0,\rho) \cap \mathbb{C}\setminus S \neq \emptyset$.

Al conjunto de los puntos exteriores de $S$ se le denota como $\operatorname{ext}S$. Mientras que al conjunto de los puntos frontera de $S$ se le denota como $\partial S$.

Definición 7.7. (Punto de acumulación o punto límite y punto aislado.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de acumulación o un punto límite de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho)\setminus\{z_0\} \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*} O equivalentemente que para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
\{ z \in S : 0 < |\,z-z_0\,|<\rho\} \neq \emptyset.
\end{equation*}

Si se cumple que $z_0\in S$, pero $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, entonces diremos que $z_0$ es un punto aislado de $S$. En este caso se tiene que existe algún $\varepsilon>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(z_0,\varepsilon) \cap S = \{z_0\}.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de acumulación lo denotaremos como $S’$ y lo llamaremos el conjunto derivado de $S$.

Definición 7.8. (Punto de adherencia.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de adherencia de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de adherencia lo llamaremos la cerradura o la clausura de $S$ y lo denotaremos como $\overline{S}$.

De acuerdo con la definición de $\overline{S}$, tenemos que $S \subset \overline{S}$. Además, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\overline{S}$ es un conjunto cerrado y es el menor subconjunto cerrado de $X$ que contiene a $S$.

De hecho, dado un espacio métrico $(X,d_X)$ y $S\subset X$, se tiene que $S$ es cerrado en $X$ si y solo si $S = \overline{S}$.

Proposición 7.2.
Consideremos al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana. Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$ si y sólo si $S$ contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $S$ es cerrado en $\mathbb{C}$. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$ un punto de acumulación de $S$. Por reducción al absurdo supongamos que $z_0 \in \mathbb{C}\setminus S$. Notemos que por definición $\mathbb{C}\setminus S$ es un conjunto abierto, por lo que para algún $\rho>0$ se tiene que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, es decir que al disco abierto $B(z_0,\rho)$ no pertenece ningún punto de $S$, lo cual contradice el hecho de que $z_0$ es un punto de acumulación de $S$. Por lo tanto $z_0\in S$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que a $S$ pertenecen todos sus puntos de acumulación. Entonces para algún $z_0 \in \mathbb{C} \setminus S$ se cumple que $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, por lo que existe $\rho>0$ tal que $B(z_0, \rho)$ no tiene puntos de $S$, por lo que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, por tanto $\mathbb{C}\setminus S$ es abierto, de donde se sigue que $S$ es cerrado.

$\blacksquare$

Ejemplo 7.3.
Veamos que no necesariamente todo punto de un conjunto cerrado debe ser un punto de acumulación del mismo. Consideremos al conjunto:
\begin{equation*}
S = \left\{z\in\mathbb{C}\, : \, z = \frac{1}{n}, \,\, n\in\mathbb{N}^+ \right\} \cup \left\{0\right\}.
\end{equation*}

Es claro que $S\subset\mathbb{C}$. Notemos que el único punto de acumulación de $S$ es $z=0$. Desde que dicho punto pertenece a $S$, por la proposición 7.2 es claro que $S$ es cerrado. Por otra parte no es díficil convencerse de que salvo $z=0$, el resto de los puntos de $S$ son puntos aislados, ya que basta con tomar $\rho = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} > 0$ para que se cumpla que:
\begin{equation*}
B\left(\frac{1}{n}, \rho\right) \cap S = \left\{\frac{1}{n}\right\}.
\end{equation*}

Definición 7.9. (Conjunto acotado.)
Un conjunto $S \subset \mathbb{C}$ se dice que es acotado si existe un número real $R>0$ tal que $|\,z\,| < R$ para todo $z\in S$.

Esta definición nos dice que $S$ es acotado si puede ser completamente encerrado por un $R$-vecindario del origen.

Ejemplo 7.4.
Sea $X = \left\{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\right\} \cup \{2\}$, figura 44. Entonces:

a) Los puntos interiores de $X$ son el conjunto $\operatorname{int} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\}$.

b) Los puntos exteriores de $X$ son el conjunto $\operatorname{ext} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 1 < |\,z\,|\} \cap \{z\in\mathbb{C} \, : \, z \neq 2\}$.

c) La frontera de $X$ es el conjunto $\partial X = \{0, 2\} \cup \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z\,|=1\}$.

d) Los puntos de acumulación de $X$ son el conjunto $X’ = \{z\in\mathbb{C} \, : \, |\,z\,|\leq 1\}$.

e) El punto $z=2$ es un punto aislado de $X$.

f) Tomando $R=3>0$ es claro que el conjunto $X$ es acotado ya que $|\,z\,|< R$ para todo $z\in X$.

Figura 44: Puntos del conjunto $X$ del ejemplo 7.2.

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo (y Análisis Matemático) sabemos que en un espacio métrico, en este caso en $(\mathbb{C},d)$, se cumple que:

Proposición 7.3.
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Sean $z_0 \in X$ y $S\subset X$, entonces:

Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $X$.
Para todo $\rho>0$, la $\rho$-vecindad de $z_0$, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) < \rho\},
\end{equation*} es un conjunto abierto en $X$.
Para todo $\rho>0$, el disco cerrado, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) \leq \rho\},
\end{equation*} es un conjunto cerrado en $X$.
$S’ \subset \overline{S}$.
$\overline{S} = S \cup S’$.
$\overline{S} = \operatorname{int}S \cup \partial S$.
$X = \operatorname{int}S \cup \operatorname{ext}S \cup \partial S$.
Si $A \subset B$, entonces:
a) $\overline{A} \subset \overline{B}$.
b) $\operatorname{int}A \subset \operatorname{int}B$.
La unión de un número arbitrario de conjuntos abiertos en $X$ es también un conjunto abierto en $X$.
La intersección de un número finito de conjuntos abiertos en $X$ es un conjunto abierto en $X$.
La intersección de un número arbitrario de conjuntos cerrados en $X$ es también un conjunto cerrado en $X$.
La unión de un número finito de conjuntos cerrados en $X$ es un conjunto cerrado en $X$.

Demostración.

Ejercicio.
Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in B(z_0,\rho)$ y sea $\varepsilon = \rho – d_X(z_0, z) > 0 $. Considerando la desigualdad del triángulo tenemos que para todo $w \in B(z,\varepsilon)$ se cumple que:
\begin{equation*}
d_X(w, z_0) \leq d_X(w, z) + d_X(z, z_0) < \varepsilon + d_X(z, z_0) = \rho,
\end{equation*} por lo que $B(z,\varepsilon) \subset B(z_0, \rho)$ para todo $z\in B(z_0,\rho)$.

Figura 45: Todo disco abierto $B(z_0,\rho)$ es un conjunto abierto en $X$.

Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in \overline{\overline{B}(z_0,\rho)}$, entonces para todo $\varepsilon > 0$ existe:
\begin{equation*}
z_\varepsilon \in B(z,\varepsilon)\cap \overline{B}(z_0,\rho).
\end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo, para todo $\varepsilon > 0$ se cumple que:
\begin{equation*}
d_X(z, z_0) \leq d_X(z, z_\varepsilon) + d_X(z_\varepsilon, z_0) < \varepsilon + \rho,
\end{equation*} de donde se sigue que $d(z, z_0) < \rho$, por lo que $\overline{\overline{B}(z_0,\rho)}\subset \overline{B}(z_0,\rho)$. Entonces
\begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho) = \overline{\overline{B}(z_0,\rho)},
\end{equation*} por lo tanto, todo disco cerrado es un conjunto cerrado en $X$.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Sea $\{ G_j : j\in J\}$, con $J$ un conjunto de índices, una colección de conjuntos abiertos en $X$. Tomemos a $z\in G = \bigcup\limits_{j\in J} G_j$, entonces $z \in G_j$, para algún $j\in J$, así por la definición 7.4 tenemos que existe $\rho>0$ tal que $B(z,\rho) \subset G_j \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
Sean $G_1, G_2, \ldots , G_n$ subconjuntos abiertos de $X$ y sea $z \in G = \bigcap\limits_{k=1}^{n} G_k$. Tenemos que $z\in G_k$ para $k=1,2, \ldots, n$, por lo que por la definición 7.4 se tiene que para cada $k$ existe $\rho_k > 0$ tal que $B(z,\rho_k) \subset G_k$. Si tomamos a $\rho = \operatorname{min}{\rho_k : 1 \leq k \leq n}$, entonces para cada $k$, con $1 \leq k \leq n$, se cumple que $B(z,\rho) \subset B(z,\rho_k) \subset G_k$. Entonces $B(z,\rho) \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
Ejercicio.
Ejercicio.

$\blacksquare$

Es posible encontrar la prueba de estas propiedades en algún libro de topología o de topología de espacios métricos, como Topología de espacios métricos de Ignacio L. Iribarren.

Definición 7.10. (Conjunto denso.)
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Diremos que un conjunto $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A} = X$.

Ejemplo 7.5.

a) El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ con la métrica usual de $\mathbb{R}$, $d(x,y) = |\,x-y\,|$.

b) El conjunto ${x+iy : x,y\in\mathbb{Q}}$ es denso en $\mathbb{C}$ con la métrica euclidiana.

Tarea moral

Prueba que las siguientes funciones $d_i: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \to [0,\infty)$, con $i=1,2$, dadas por:
\begin{equation*}
d_1(x+iy, a+ib) = |\,x-a\,| + |\,y-b\,|,
\end{equation*} \begin{equation*}
d_2(x+iy, a+ib) = \text{máx}\left\{|\,x-a\,|,|\,y-b\,|\right\},
\end{equation*} son también una métrica en $\mathbb{C}$.
Considera la observación 7.2 y argumenta porqué esos conjuntos se pueden definir respectivamente como:
\begin{equation*}
B^*(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|<\rho\},
\end{equation*} \begin{equation*}
\overline{B^*}(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|\leq\rho\}.
\end{equation*} ¿Cómo son esos conjuntos en $\mathbb{C}$? ¿Cerrados, abiertos o ninguno de los dos? Describe al conjunto de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación y de adherencia. ¿Son acotados esos conjuntos?
Argumenta porqué los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ejemplo 7.2(c).
Completa la demostración de las proposiciones 7.1 y 7.3.
Hasta ahora sabemos que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$. Por otra parte, de nuestros cursos de cálculo sabemos que un intervalo abierto en $\mathbb{R}$, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
(a,b) = \{ x\in\mathbb{R} \,:\, a<x<b\},
\end{equation*} es un conjunto abierto en $\mathbb{R}$. Prueba que dicho conjunto no es abierto en $\mathbb{C}$.
Utilizando la definición describe cómo son los siguientes conjuntos de $\mathbb{C}$, es decir ¿son abiertos o cerrados o ninguna de las dos en $\mathbb{C}$? ¿Son acotados?
a) Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$, definimos:\begin{align*}
A = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Re}(z)<b\},\\
B = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Im}(z)<b\}.
\end{align*} b) $X = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, \operatorname{Re}(z)<0\} \cup \{0\}$.
c) $Y = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, 0\leq\operatorname{Im}(z)\}$.

Considera a los siguientes conjuntos:
a) $S_1 = B(0,1)$.
b) $S_2 = \overline{B}\left(-1-i\sqrt{2},\frac{7}{8}\right)$.
c) $S_3 = \overline{B}\left(2+i\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$.
De acuerdo con la proposición 7.2 tenemos que $S_1$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$, mientras que $S_2$ y $S_3$ son conjuntos cerrados en $\mathbb{C}$. Describe los puntos interiores, exteriores y frontera de cada uno de los tres conjuntos.

Considera al siguiente conjunto:
\begin{equation*}
S = \left\{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Im}(z)\,| < |\,\operatorname{Re}(z)\,| \right\},
\end{equation*} el cual está representado en la figura 46. Prueba que:
a) $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.
b) $\partial S = \{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z)\,|\}$.
c) Los puntos de acumulación de $S$ son precisamente la clausura de $S$, es decir $\overline{S}$.
d) $S$ no es cerrado en $\mathbb{C}$.
e) $S$ no es acotado en $\mathbb{C}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos hecho una breve descripción de la topología de los espacios métricos, en particular analizamos la topología del plano complejo $\mathbb{C}$. Esta caracterización de $\mathbb{C}$ como un espacio métrico nos será de gran utilidad en las siguientes entradas para poder continuar el estudio del campo de los números complejos.

En esta entrada hemos visto que existe una estrecha relación entre la topología de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$, lo cual no debe sorprendernos ya que como espacios vectoriales dichos conjuntos son isomorfos, ver ejercicio 6 de la entrada 2. Más adelante veremos que como espacios métricos son homeomorfos, por lo que muchas propiedades que conocemos para $\mathbb{R}^2$ nos permitirán caracterizar a los números complejos. Por otra parte es fácil convencerse que la topología de $\mathbb{C}$ induce en $\mathbb{R}$ su topología usual considerando la distancia definida mediante el valor absoluto.

La siguiente entrada abordaremos las sucesiones en $\mathbb{C}$ y discutiremos la completez del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana.

Entradas relacionadas

Ir a Variable Compleja I.
Entrada anterior del curso: Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.
Siguiente entrada del curso: Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Archivo de la etiqueta: variable compleja

Variable Compleja I: Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja.

Introducción

Tarea moral

Más adelante…

Entradas relacionadas

Variable Compleja I: Continuidad en $\mathbb{C}$

Introducción

Continuidad de funciones complejas

Tarea moral

Más adelante…

Entradas relacionadas

Variable Compleja I: Límites en $\mathbb{C}$

Introducción

Límite complejo

Tarea moral

Más adelante…

Entradas relacionadas

Variable Compleja I: Topología de $\mathbb{C}$

Introducción

$\mathbb{C}$ como un espacio métrico

Tarea moral

Más adelante…

Entradas relacionadas