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Álgebra Superior I: Problemas de condicionales y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En esta entrada resolveremos problemas de temas vistos en entradas anteriores. Haremos algunos ejemplos relacionados con los conectores condicionales que vimos en una entrada anterior: la implicación y la doble implicación. También veremos algunos de cuantificadores lógicos.

Problemas resueltos

Problema. Si $P$ y $R$ son verdaderas y $Q$ es falsa, di si la siguiente proposición es verdadera o falsa: $$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R).$$

Solución. Haremos una tabla de verdad pero únicamente con los valores que nos dan, es decir, no vamos a hacer la tabla para todos los casos, sino únicamente los que nos interesan en este momento:

$P$$Q$$R$$P \lor R$ $Q \land R$$\neg (Q \land R)$$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R)$
$1$$0$$1$  $1$ $0$  $1$   $1$

Por lo tanto la proposición es verdadera para los valores de verdad dados.

$\square$

Problema. Di si las siguientes proposiciones sobre los números enteros son verdaderas o no:

  1. $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$
  2. $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$
  3. $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$
  4. $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

Solución.

Vamos a hacer algunas verificaciones sobre cada una de las proposiciones para encontrar su valor de verdad:

  • $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$

Como $3+1=4$ es verdadera y $0<10$ es verdadera también, entonces la proposición es verdadera.

  • $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$

Recordemos que la doble condicional es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Por un lado no es cierto que $4=5$ mientras que sí es verdad que $9+1=10$. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$

Vamos a ver la proposición por partes. Primero veamos que $((6<7) \lor (3^2=10))$ es una disyunción verdadera pues una de las proposiciones que la componen, $6<7$, lo es. Como $12<12^2$ es verdad, entonces la implicación tiene antecedente y subsecuente verdaderos y por lo tanto es verdadera.

  • $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

De nuevo vamos a dividir la proposición en sus partes, $(-1<1) \land (1<-1)$ y $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Primero notemos que $(-1<1) \land (1<-1)$ es falsa, pues no es cierto que $1<-1$.

Ahora, veamos cómo es $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Nota que $12=13-1$ y $12=12-1+1$, entonces $13-1=12-1+1$. Entonces esta primera parte es verdad, mientras que $1+1=2$ pero no es cierto que $2<2$. Así que es falso que $1+1<2$. Entonces $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ es falso.

Como $(-1<1) \land (1<-1)$, $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ son ambas falsas, entonces $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$ es verdadero.

$\square$

Nota: En este tipo de ejercicios, ¿viste cómo se dieron las argumentaciones de las proposiciones en cada caso? El secreto aquí fue «desarmar» las proposiciones en partes más pequeñas. Esto lo hacemos pues recuerda que los conectores son binarios, esto significa que su valor de verdad depende del valor de verdad de las dos proposiciones que conectan.

Así, para ver cuál es el valor de verdad de $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$, lo que hicimos fue deshacerlo en sus partes. Una parte $A$ fue $(6<7) \lor (3^2=10)$ y la otra parte $B$ fue $12<12^2$. Entonces bastaba con verificar cuáles eran los valores de verdad de $A$ y $B$. Para ello, volvimos a «desarmar» a $A$ en sus partes «atómicas». Es decir, desarmamos $(6<7) \lor (3^2=10)$ en $6<7$ y $3^2=10$ y estudiamos el valor de verdad de cada uno de ellos. Usualmente este tipo de pensamiento de «desarmar un problema en sus partes» te ayudará a verificar o demostrar cosas más adelante.

Problema. Sean $P(x)$, $Q(x)$ y $R(x)$ los siguientes predicados:

  • $P(x): x \leq 4$
  • $Q(x): x +1$ es par.
  • $R(x): x> 0$

Si nuestro universo de discurso son los números enteros, ¿cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones?

  1. $P(1)$
  2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$
  3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
  4. $R(-1) \lor P(2)$
  5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Solución.

1.$P(1)$

Es verdadera, pues $1 \leq 4$.

2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$

Como $P(1)$ es verdadera y además $1+1=2$ es par, entonces la proposición es verdadera.

3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$

Vamos a dividir la proposición en partes. Primero notemos que $P(0)$ es verdad. Mientras que $R(5) \Rightarrow Q(0)$ es falsa, ya que es cierto que $5>0$ pero es falso que $0+1$ sea par. Entonces la proposición es falsa.

4. $R(-1) \lor P(2)$

Como $R(-1)$ es falsa pero $P(2)$ es verdad, entonces la proposición es verdadera.

5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Como $-2>0$ es falsa, entonces $\neg R(-2)$ es verdad. Además, $-2<4$ es verdad. De esta manera la proposición es verdadera.

$\square$

Problema. Considera los siguientes predicados:

  • $P(x): 2x>0$
  • $Q(x):x>0$
  • $R(x): x=20$
  • $T(x):x<0$

Determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, considerando que nuestro universo de discurso son los números enteros. Si la proposición no es verdadera, da un contraejemplo o explicación de ello.

  1. $\forall x: (P(x) \Rightarrow Q(x))$
  2. $\exists x: (Q(x) \land T(x))$
  3. $\forall x: (R(x) \Rightarrow Q(x))$
  4. $\exists ! x:(R(x))$
  5. $ \nexists x :(Q(x) \land P(x))$

Solución.

  • $\forall x:(P(x) \Rightarrow Q(x))$

Nota que siempre que se cumple $2x>0$ entonces $x>0$ (más adelante demostrarás esto con toda formalidad, pero de momento lo daremos por cierto). Por lo tanto la proposición es verdadera.

  • $\exists x: (Q(x) \land T(x))$

Para que esto sucediera, necesitaríamos la existencia de al menos un elemento $x$ que cumpla $0<x$ y $x>0$, es decir necesitaríamos un elemento que sea positivo y negativo a la vez, pero esto no es posible. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $\forall x:(R(x) \Rightarrow Q(x))$

Lo que nos dice esta proposición es «Para todo número entero $x$ que cumpla $x=20$ entonces $x>0$» o dicho de otra manera: «Si un número entero es igual a 20, entonces será positivo.» Lo cuál es correcto, pues si el número es distinto a 20, la implicación será correcta (recuerda la tabla de verdad de la implicación), mientras que el único caso en donde la hipótesis se cumple es cuando $x=20$ y claramente es un número que cumple $x>0$. Entonces la proposición es verdadera.

  • $\exists ! x:(R(x))$

Esto nos quiere decir que existe un único número entero que sea igual a 20, e inmediatamente podemos saber que es verdadera, pero ¿A qué nos referiremos que un número sea igual a 20? Primero tendríamos que ponernos de acuerdo de qué significa la igualdad. Aunque ahora no lo haremos, piensa el cómo nos aseguraríamos de que es el único número entero que cumple esa propiedad. ¿Qué pasaría si no fuera cierto?

  • $ \nexists x: (Q(x) \land P(x))$

Lo que dice la proposición es que ningún número $x$ va a cumplir a la vez $x>0$ y $2x>0$, pero esto no es cierto, pues pensemos en $x=1$. Cumple $Q(x)$ ya que $1>0$ y cumple $P(x)$ porque $2\cdot 1=2>0$. Entonces podemos decir que es falso pues dimos un contraejemplo que contradijo la proposición.

$\square$

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Titular engañoso: PF detecta corrupción en NAIM

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Quiero poner otro ejemplo en el que el titular es engañoso, pero ahora «hacia el otro lado», pues también es necesario tener los hechos correctos aunque no cuadren con tu opinión. Consideremos «Policía Federal detecta corrupción por 17 mmdp en NAIM», de ayer en El Universal. Por muy bien que hace parecer la decisión de cancelarlo, también es información a medias.

El titular da la impresión de que ya es algo casi certero. Pero no es así. El Gobierno de México afirmó hoy que esta información es incorrecta. Hay una investigación de la Policía Federal que sugiere corrupción, pero hasta ahora no hay pruebas concretas o una denuncia por parte de ellos en la PGR con respecto a este caso de corrupción de construcción específico.

Es cierto que, cuando nos vamos a nivel subjetivo y confianza, mi punto de vista está a favor del gobierno actual (lo cual tal vez sea obvio a estas alturas, jejeje). Pero, más importante, el mensaje que quiero dejar en estos días es que hay que estar a las vivas en el nivel objetivo y no dejarse llevar sólo por titulares. Primero los datos bien y «el lo que falta» le completamos con lo que creemos.

El salario de los jueces y la Constitución

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Primera parte

Recientemente El Universal publicó una nota: «Suspende Corte reducción salarial de AMLO» (enlace abajo). Me gustaría tomarlo como ejemplo de un título, en el mejor de los casos, mal hecho, y en el peor un título intencionalmente polarizante.

De lejos el título da dos impresiones, la de «lero lero, AMLO no va a poder cumplir con nada de sus promesas» y por otro la de «qué terribles son los jueces». Cada quien puede extrapolar el título como guste y mostrarlo como evidencia de su postura política.

Pero el título es muy engañoso. La situación no está tan terrible como parece. Les cuento lo que encontré leyendo la nota, artículos relacionados y unos cuantos cachos de las reformas constitucionales y sus artículos transitorios.

Como contexto, los diputados fijan los sueldos de los funcionarios de gobierno. El logro de que se aprobara la Ley Federal de Remuneraciones es que regula cómo los diputados los asignan (histórico por sí mismo). Lo que los jueces suspendieron es la aplicación de esta Ley Federal de Remuneraciones para este ciclo, en lo que se aclaran recursos legales presentados por la oposición. La parte importante es: aunque la Ley esté suspendida, de cualquier forma, los diputados pueden fijar casi todos los salarios como gusten.

Incluso el artículo de El Universal lo aclara tangencialmente: «la medida de suspensión no impide aumentar o reducir los sueldos como así lo consideren». Siendo mayoría la facción de Morena, de cualquier forma establecerán las disminuciones de sueldos que se buscan. Bueno, casi. Esto es seguro en el caso del ejecutivo y legislativo.

Con el caso judicial, la medida es más complicada de ejercer. Como referencia, pongo un documento de artículos transitorios más abajo. Lo relevante es el artículo tercero transitorio de la página 70.

Pero bueno, para no confundirlos con términos legales, va un resumen. En efecto, parece ser que los salarios del poder judicial (ministros, magistrados y jueces) están blindados por el momento. De acuerdo al artículo citado, ellos tienen derecho a que no se baje su sueldo mientras dure su cargo. Hay que notar que este artículo transitorio fue decretado por EPN. Bastante criticable en vista de la diferencia abismal entre los salarios del poder judicial y la población promedio.

¿Esto quiere decir que ya valió la propuesta de AMLO para sueldos? Siendo matemáticamente estrictos, pues sí la tiene difícil de cumplir en su totalidad. Pero la vida no es matemáticamente estricta. Por el momento los diputados sí pueden efectuar las reducciones que quieren en el ejecutivo y el legislativo (al presidente, senadores y diputados), pero para el judicial se tendrá que realizar un cambio constitucional, que es más difícil pues la mayoría que se requiere tiene que ser, eh, mayor. Aquí es importante una presión social hacia diputados de la oposición y hacia los magistrados mismos.

Me gustaría agregar que la propuesta de AMLO no sólo incluye bajar los sueldos a los que ganan mucho en el gobierno, sino también subir sueldos a quienes ganan poco. Esta parte también se va a poder realizar.

En resumen: sí se están dando pasos concretos, evidenciables y tempranos hacia el cumplimiento de una de las promesas de campaña.

Segunda parte

Hoy me eché otro clavado en La Constitución, sus reformas y artículos transitorios para entender de fondo la polémica nacional de reducción de sueldos al poder judicial.

Es medio una continuación de mi post anterior. Como contexto, el otro día mencioné que la reducción de salarios es fácil de implementar en el poder ejecutivo y en el legislativo, y que la facción de Morena y aliados puede pasar la disminución correspondiente, avanzando hacia cumplir las promesas de campaña de la plataforma. Lo que no era claro es qué pasaría con jueces, magistrados y ministros.

Por una parte, los representantes del poder judicial dicen que La Constitución apara su derecho a que no se les bajen los salarios. Por otro lado, la Cámara de Diputados dice que La Constitución los respalda pues afirma que nadie debe poder ganar más que el presidente. Lo curioso: ambos tienen razón.

El artículo 94, en su antepenúltimo párrafo, dice «La remuneración… (de servidores judiciales)… no podrá ser disminuida durante su encargo.» El artículo 127.2 dice: «Ningún servidor público podrá recibir remuneración (…) mayor a la establecida para el Presidente…».

Viniendo de un contexto matemático, uno gritaría «¡Contradicción! Por reducción al absurdo La Constitución no existe. QED.». Pero no podemos hacer eso en la vida real. Desde mi punto de vista, el desahogo de la situación va por la siguiente vía.

Hay que comenzar haciendo una distinción entre tener un derecho, ejercerlo y ejercerlo responsablemente. Las tres son cosas substancialmente diferentes. Consideremos el derecho a la libertad de expresión. Es perfectamente válido tenerlo. Yo, como ciudadano, puedo ejercerlo (dando mi opinión, comentando con terceros, etc) o no (sólo aceptando opiniones ajenas, etc). La Constitución otorga el derecho, pero no forza su uso. Pero más aún, aunque este derecho esté otorgado, es incorrecto ejercer el derecho de manera irresponsable. Un ejemplo sería ejercer el derecho de libertad de expresión para incitar al odio o propiciar la calumnia, lo cual choca con otros derechos constitucionales otorgados. Hasta ahora en lo que quiero hacer énfasis es en que, incluso existiendo «derechos constitucionales contradictorios», hay principios subyacentes adicionales que nos dicen si algo es correcto.

Con esto en mente, tenemos dos artículos constitucionales contradictorios: uno que forza a bajar el sueldo de funcionarios judiciales, y otro que les otorga el derecho de mantener el sueldo que tienen. Los jueces, magistrados y ministros tienen ese derecho constitucional, pero no están obligados a ejercerlo. Ejercerlo perjudica de manera directa a otro principio constitucional, pero además de manera secundaria afecta a todos los terceros que no se pueden beneficiar si se impide la disminución de sus sueldos. Desde mi punto de vista, el que los miembros del poder judicial quieran ejercer su derecho dado por el artículo 94 entraría en el «uso irresponsable de derechos», sobre todo en vista del contexto de disparidad socioeconómica que tenemos.

En resumen: ambas partes tienen apoyo de (y por lo tanto violan) principios constitucionales. No tiene caso citar al 94 o al 127 y clamar que «el otro bando es un anticonstitucionalista», si a la par se ignora que el otro artículo también está ahí. Ya que ambos artículos están ahí, ¿cuál es la decisión que refleja mejor los intereses conjuntos del pueblo mexicano? ¿cuál es la intención que tenían esas leyes originalmente? ¿en cuál situación ambas partes ejercen (o no) sus derechos de manera más responsable?

Mi respuesta se infiere de mi texto. ¿Qué piensan ustedes?