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Introducción

En la entrada anterior vimos algunas equivalencias del axioma de elección. En esta nueva entrada veremos algunas otras equivalencias del mismo axioma, pero en términos de órdenes. Estas versiones no son tan evidentes e incluso resultan sorprendentes. En muchas ramas de las matemáticas se apela a las formas equivalentes del axioma de elección que veremos a continuación, por lo que es importante tratarlas.

Familias de caracter finito

Para llegar al lema de Zorn, necesitaremos desarrollar previamente algo de teoría. La siguiente definición jugará un papel clave a lo largo de esta entrada.

Definición. Sea $F$ una familia de conjuntos. Decimos que $F$ es de carácter finito si dado un conjunto $A$ se tiene que $A \in F$ si y sólo si todo subconjunto finito de $A$ está en $F$ .

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

Sea $F$ la familia vacía. Luego, por vacuidad, un conjunto $A \in F$ si y sólo si todo subconjunto finito de $A$ está en $F$ .

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto y $F = P (X)$ su conjunto potencia. Luego, si $A$ es un conjunto tal que $A \in F$ , entonces $A \subseteq X$ y, por tanto, todo subconjunto finito de $A$ es un subconjunto de $X$ , por lo que todo subconjunto finito de $A$ está en $P (X)$ . Ahora, sea $A$ un conjunto tal que cualquiera de sus subconjuntos finitos está en $P (X)$ . Veamos que $A \in P (X)$ , es decir, que $A \subseteq X$ . Sea pues $a \in A$ cualquier elemento. Luego, ${a}$ es un subconjunto finito de $A$ por lo que ${a} \in P (X)$ y, en consecuencia, ${a} \subseteq X$ , lo cual es equivalente a que $a \in X$ . Por tanto, $A \subseteq X$ , lo que muestra que $A \in P (X)$ . De modo que para todo conjunto $X$ su conjunto potencia $P (X)$ es una familia de conjuntos de carácter finito.

En el último ejemplo tenemos una familia de carácter finito no vacía que tiene al vacío como elemento, pues el conjunto potencia de cualquier conjunto siempre tiene al vacío Esto no sólo ocurre para este caso particular, si tenemos una familia no vacía de carácter finito, entonces el conjunto vacío es un elemento de dicha familia. En efecto, sea $F$ cualquier familia no vacía de carácter finito. Luego, sea $A \in F$ . Dado que $\emptyset \subseteq A$ y $\emptyset$ es finito, entonces $\emptyset \in F$ .

Un poco más adelante necesitaremos del siguiente lema. En un conjunto parcialmente ordenado $(X, \leq)$ , una cadena es un subconjunto $Y$ de $X$ tal que la restricción de $\leq$ a $Y$ es un orden total. Dicho de otra forma, en $Y$ cualesquiera dos elementos son $\leq$ -comparables.

Lema. Sea $F$ una familia de carácter finito y sea $B$ una cadena en $F$ con respecto a la contención, entonces $⋃ B \in F$ .

Demostración.

Dado que $F$ es de carácter finito basta mostrar que cada subconjunto finito de $⋃ B$ está en $F$ . Sea $F$ un subconjunto finito de $⋃ B$ . Luego, para cada $x \in F$ existe $B_{x} \in B$ tal que $x \in B_{x}$ . Dado que $F$ es finito existe un natural $n$ y una función biyectiva $f : n \to F$ , por lo que podemos expresar a $F$ como el conjunto ${f (m) : m \in n}$ . Luego, $F \subseteq \cup_{m \in n} B_{f (m)}$ . Ahora, como $B$ es una cadena, entonces existe $m_{0} \in n$ tal que $B_{f (m)} \subseteq B_{f (m_{0})}$ para todo $m \in n$ , así que $F \subseteq B_{f (m_{0})}$ . Finalmente, como $B_{f (m_{0})} \in F$ y $F$ es un subconjunto finito de $B_{f (m_{0})}$ , entonces $F \in F$ . Esto muestra que $⋃ B \in F$ .

El lema de Tukey-Teichmüller

Para probar el siguiente teorema debemos asumir que el axioma de elección se cumple. El resultado que enunciamos a continuación John W. Tukey lo enuncia y demuestra en su tesis doctoral en 1939.

Teorema. (Lema de Tukey-Teichmüller). Toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento $\subseteq$ -maximal.

Demostración.

La prueba será por contradicción. Supongamos entonces que existe una familia no vacía $F$ de carácter finito tal que no tiene elementos $\subseteq$ -maximales. Luego, para cada $F \in F$ definamos $A_{F} = {E \in F : F ⊊ E}$ , es decir, $A_{F}$ es el conjunto de todos los elementos de $F$ que contienen propiamente a $F$ . Dado que $F$ no tiene elementos $\subseteq$ -maximales, para cada $F \in F$ el conjunto $A_{F}$ es no vacío.

Sea $E = {A_{F} : F \in F}$ , la cual es una famila no vacía de conjuntos no vacíos. Por el teorema de la entrada anterior sobre algunas de las equivalencias del axioma de elección, existe una función $f : F \to ⋃ E$ de tal forma que $f (F) \in A_{F}$ para todo $F \in F$ . Luego, como $f (F) \in A_{F}$ para cada $F \in F$ , entonces $F ⊊ f (F)$ para todo $F \in F$ .

Utilizando esta función $f$ diremos que una subfamilia $G$ de $F$ es $f$ -inductiva si tiene las siguientes propiedades:

$\emptyset \in G$ .
$A \in G$ implica $f (A) \in G$ .
Si $B$ es una $\subseteq$ -cadena contenida en $G$ , entonces $⋃ B \in G$ .

Dado que $F$ es una familia de carácter finito no vacía tenemos que $\emptyset \in F$ . Ahora, si $F \in F$ , entonces $f (F) \in F$ por la elección de la función $f$ . Finalmente, si $B$ es una $\subseteq$ -cadena contenida en $F$ , entonces, por el lema previo, $⋃ B \in F$ . Así pues, $F$ es una subfamilia de $F$ que es $f$ -inductiva. Consecuentemente, la familia de conjuntos ${G \subseteq F : G es f -inductiva}$ es no vacía. Podemos considerar así al conjunto $G_{0} := ⋂ {G \subseteq F : G es f -inductiva}$ .

Veamos que $G_{0}$ es $f$ -inductiva. Primero, como $\emptyset \in G$ para toda subfamilia $f$ -inductiva de $F$ , entonces $\emptyset \in G_{0}$ . Ahora, si $A \in G_{0}$ , entonces $A \in G$ para toda familia $f$ -inductiva de $F$ , por lo que, por definición de subfamilia $f$ -inductiva, $f (A) \in G$ para toda familia $f$ -inductiva de $F$ y, por ende, $f (A) \in G_{0}$ . Por último, si $B$ es un $\subseteq$ -cadena contenida en $G_{0}$ , entonces $B$ es una $\subseteq$ -cadena contenida en cada subfamilia $f$ -inductiva de $F$ , por lo que $⋃ B$ pertenece a cada una de estas subfamilias $f$ -inductivas y, consecuentemente, $⋃ B \in G_{0}$ . Esto muestra que $G_{0}$ es $f$ -inductiva.

Por el párrafo anterior tenemos que toda subfamilia $f$ -inductiva de $F$ contiene a $G_{0}$ . Lo que haremos ahora es probar que $G_{0}$ es una $\subseteq$ -cadena, es decir, que para cualesquiera $A$ y $B$ elementos de $G_{0}$ se tiene que $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$ .

Definamos el conjunto $H = {A \in G_{0} : si B \in G_{0} y B ⊊ A, entonces f (B) \subseteq A} .$

Notemos que $H$ es no vacío. En efecto, si consideramos $A = \emptyset$ , entonces $A \in H$ , ya que si $B \in G_{0}$ es un subconjunto propio de $A$ , entonces, por vacuidad, $f (B) \subseteq A$ , pues $\emptyset$ no tiene subconjuntos propios.

Veamos ahora que para cualquier $A \in H$ y cualquier $C \in G_{0}$ , se cumple que $C \subseteq A$ o $f (A) \subseteq C$ . Sea pues $A \in H$ cualquier elemento. Definamos $G_{A} = {C \in G_{0} : C \subseteq A o f (A) \subseteq C}$ . Notemos que si $C \in G_{A}$ , entonces $C \subseteq A$ o bien, $f (A) \subseteq C$ por lo que $A \subseteq C$ , ya que $A ⊊ f (A)$ . Así que para probar que $A \subseteq C$ o $C \subseteq A$ para cualquier $C \in G_{0}$ , basta probar que $G_{A} = G_{0}$ .

Lo que haremos será mostrar que $G_{A}$ es una subfamilia de $F$ que es $f$ -inductiva. Primero, como $\emptyset \in G_{0}$ y $\emptyset \subseteq A$ , entonces $\emptyset \in G_{A}$ . Luego, si $C \in G_{A}$ , entonces o bien $C ⊊ A$ o $C = A$ o $f (A) \subseteq C$ . Si $C ⊊ A$ , entonces $f (C) \subseteq A$ pues $A \in H$ . Si $C = A$ , entonces $f (A) = f (C)$ y por tanto $A \subseteq f (A) = f (C)$ . Si $f (A) \subseteq C$ , entonces $A \subseteq C$ y, por ende, $A \subseteq f (C)$ , ya que $C ⊊ f (C)$ . En cualquier posibilidad tenemos que $f (C) \subseteq A$ o $f (A) \subseteq f (C)$ , lo que implica que $f (C) \in G_{A}$ . Sea ahora $B$ una cadena en $G_{A}$ . Si $C \subseteq A$ para todo $C \in B$ , entonces $⋃ B \subseteq A$ . Si existe $C \in B$ tal que $f (A) \subseteq C$ , entonces $f (A) \subseteq ⋃ B$ , pues $C \subseteq ⋃ B$ . Como estas son las únicas posibilidades, concluimos que o bien $⋃ B \subseteq A$ o $f (A) \subseteq ⋃ B$ y, por tanto, $⋃ B \in G_{A}$ . Estas propiedades muestran que $G_{A}$ es una subfamilia de $F$ que es $f$ -inductiva.

En consecuencia, $G_{0} \subseteq G_{A}$ . Luego, por definición tenemos que $G_{A} \subseteq G_{0}$ y, por consiguiente, tenemos la igualdad $G_{0} = G_{A}$ .

Así pues, para todo $A \in H$ y cualquier $C \in G_{0}$ , o bien $C \subseteq A$ o $A \subseteq C$ .

Para terminar de probar que $G_{0}$ es una cadena basta probar que $H$ es una subfamilia $f$ -inductiva de $F$ . Primero, ya vimos que $\emptyset \in H$ . Ahora, sea $A \in H$ y sea $B \in G_{0}$ cualquier elemento tal que $B ⊊ f (A)$ . Dado que $B \in G_{A} = G_{0}$ , entonces $B \subseteq A$ o $f (A) \subseteq B$ , pero hemos supuesto que $B ⊊ f (A)$ , por lo que es imposible que $f (A) \subseteq B$ y, en consecuencia, $B \subseteq A$ . Luego, si $B ⊊ A$ , entonces $f (B) \subseteq A$ pues $A \in H$ y, por tanto, $f (B) \subseteq f (A)$ . Si $B = A$ , entonces $f (B) = f (A) \subseteq f (A)$ . Por lo tanto, $f (B) \subseteq f (A)$ . Esto muestra que $f (A) \in H$ . Para finalizar, sea $B$ una $\subseteq$ -cadena de $H$ . Sea $B \in G_{0}$ cualquier elemento tal que $B ⊊ ⋃ B$ . Si existe $C \in B$ tal que $B \subseteq C$ , entonces $B ⊊ C$ o $B = C$ , en el primer caso tendríamos que $f (B) \subseteq C$ , porque $C \in H$ , y por ende que $f (B) \subseteq ⋃ B$ ; supongamos ahora que $B = C$ , entonces, $B \in H$ (pues $C$ es un elemento de $H$ ) y $⋃ B \in G_{0} = G_{B}$ . Así, $⋃ B \subseteq B$ o $f (B) \subseteq ⋃ B$ , pero $⋃ B \subseteq B$ es imposible pues supusimos que $B ⊊ ⋃ B$ , por lo que debe ocurrir necesariamente que $f (B) \subseteq ⋃ B$ . De modo que si existe $C \in B$ tal que $B \subseteq C$ , entonces $f (B) \subseteq ⋃ B$ . Supongamos ahora que $B ⊈ C$ para todo $C \in B$ . Ahora, como $B \in G_{0}$ y $G_{0} = G_{C}$ para todo $C \in B \subseteq H$ , entonces $B \in G_{C}$ para todo $C \in B$ . Consecuentemente, $B \subseteq C$ o $f (C) \subseteq B$ para cada $C \in B$ , pero asumimos ahora que $B ⊈ C$ para todo $C \in B$ , por lo que $f (C) \subseteq B$ para todo $C \in B$ y, por consiguiente, $C \subseteq B$ para todo $C \in B$ , lo cual implica que $⋃ B \subseteq B$ pero esto contradice el hecho de que $B ⊊ ⋃ B$ . De modo que, necesariamente, debe existir $C \in B$ tal que $B \subseteq C$ , lo cual vimos implica que $f (B) \subseteq ⋃ B$ . Esto demuestra que $⋃ B \in H$ . Por lo tanto, $H$ es una subfamilia de $F$ que es $f$ -inductiva.

Como consecuencia del párrafo anterior tenemos que $G_{0} \subseteq H$ , pero por definición sabemos que $H \subseteq G_{0}$ , lo cual implica $G_{0} = H$ .

De esta serie de argumentos tenemos que si $A, B \in G_{0}$ , entonces $A \in H$ y $B \in G_{A}$ , por lo que $B \subseteq A$ o bien $f (A) \subseteq B$ , es decir, $B \subseteq A$ o $A \subseteq B$ . Por lo tanto, cualesquiera dos elementos de $G_{0}$ son $\subseteq$ -comparables y, en consecuencia, $G_{0}$ es una $\subseteq$ -cadena.

Consideremos ahora $M = ⋃ G_{0}$ , el cual es un elemento de $G_{0}$ por ser $G_{0}$ $f$ -inductiva y una subcadena de sí misma. Ahora para todo $A \in G_{0}$ se tiene que $A \subseteq ⋃ G_{0} = M$ . Por otro lado, como $M \in G_{0}$ , entonces $f (M) \in G_{0}$ y, por tanto, $f (M) \subseteq M$ ; sin embargo, como $M \in F$ , entonces $M ⊊ f (M)$ , pero esto es una contradicción.

Dado que esta contradicción viene de suponer que $F$ no tiene un elemento $\subseteq$ -maximal, concluimos que $F$ sí tiene un elemento $\subseteq$ -maximal.

El principio maximal de Hausdorff

Pasemos ahora a un resultado muy cercano al lema de Zorn, demostrado por Felix Hausdorff en 1914. Se obtiene rápidamente al aplicar el lema de Tukey-Teichmüller.

Teorema. (Principio Maximal de Hausdorff). Cualquier conjunto no vacío y parcialmente ordenado tiene una cadena $\subseteq$ -maximal.

Demostración.

Sea $A \neq \emptyset$ y $\leq$ un orden parcial para $A$ . Sea $C = {B \subseteq A : B es una cadena}$ . Recordemos que $B \subseteq A$ es una cadena en $A$ si cualesquiera dos elementos en $B$ son comparables con el orden de $A$ .

Lo que queremos probar es que existe $C \in C$ tal que ningún otro elemento de $C$ contiene propiamente a $C$ . Para ello probaremos que $C$ es una familia no vacía de carácter finito y aplicaremos el lema de Tukey-Teichmüller para concluir que $C$ tiene un elemento $\subseteq$ -maximal.

Supongamos que $B \in C$ es cualquier elemento. Luego, sea $B^{'} \subseteq B$ un conjunto finito. Veamos que $B^{'}$ es una cadena en $A$ , es decir, que cualesquiera dos elementos de $B^{'}$ son comparables con el orden de $A$ . Si $B^{'} = \emptyset$ , por vacuidad $B^{'}$ es una cadena en $A$ . Asumamos ahora que $B^{'} \neq \emptyset$ y sean $a, b \in B^{'}$ cualesquiera elementos. Luego, como $a, b \in B^{'}$ , entonces $a, b \in B$ y como $B$ es una cadena en $A$ , entonces $a$ y $b$ son comparables con el orden de $A$ , y esto muestra que $B^{'}$ es también una cadena en $A$ , por lo que $B^{'} \in C$ .

Supongamos ahora que $B$ es un conjunto tal que cualquiera de sus subconjuntos finitos está en $C$ . Ciertamente $B \subseteq A$ , pues si $a \in B$ , entonces ${a} \in C$ , es decir, ${a}$ es una cadena en $A$ , por lo que $a \in A$ . Ahora, si $a, b \in B$ , entonces ${a, b} \in C$ y, por tanto, ${a, b}$ es una cadena en $A$ , es decir, $a$ y $b$ son comparables con el orden de $A$ . Por tanto, $B$ es una cadena en $A$ , ya que cualesquiera dos de sus elementos son comparables con el orden de $A$ .

Esta serie de argumentos muestra que $C$ es una familia de conjuntos de carácter finito. Por el lema de Tukey-Teichmüller, $C$ tiene un elemento $\subseteq$ -maximal, es decir, existe una cadena en $A$ que es $\subseteq$ -maximal.

El lema de Zorn

Finalmente enunciaremos y demostraremos una de las versiones más usadas del axioma de elección: el conocido lema de Zorn. Este resultado fue demostrado por Max Zorn en 1935 (y de manera independiente por Kazimierz Kuratowski en 1922). Para nuestra demostración usaremos el principio maximal de Hausdorff.

Teorema. (Lema de Kuratowski-Zorn). Cualquier conjunto parcialmente ordenado y no vacío en el cual toda cadena tiene una cota superior tiene un elemento maximal.

Demostración.

Sea $(A, \leq)$ un conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena tiene una cota superior. Por el principio maximal de Hausdorff el conjunto $A$ tiene una cadena $\subseteq$ -maximal. Sea pues $C \subseteq A$ una cadena $\subseteq$ -maximal de $A$ . Luego, por hipótesis, existe $a \in A$ cota superior de $C$ , es decir, $c \leq a$ para todo $c \in C$ . Ahora, notemos que $a$ es maximal con respecto a $\leq$ , ya que si existiera $x \in A$ tal que $a < x$ , entonces $x \neq a$ y $x \notin C$ , por lo que $C \cup {x}$ sería una cadena en $A$ que contiene propiamente a $C$ y esto contradice la maximalidad de $C$ con respecto a la contención en el conjunto de cadenas de $A$ . Por lo tanto, $a$ es un elemento maximal en $A$ . ¹

Tarea moral

Prueba que la intersección de un sistema de familias $f$ -inductivas es una familia $f$ -inductiva.
Sea $X$ un conjunto. Prueba que si $X$ puede ser bien ordenado, entonces $P (X)$ puede ser linealmente ordenado. (Sugerencia: dados $A, B \in P (X)$ considera al mínimo de $A Δ B$ ).
Demuestra que para cualesquiera dos conjuntos $A$ y $B$ , o bien existe una función inyectiva $f : A \to B$ , o bien existe una función inyectiva $g : B \to A$ .
Demuestra que la colección $F$ de subconjuntos finitos de $N$ no es de caracter finito.

Más adelante…

En la siguiente entrada comenzaremos probando un resultado algo antintuitivo: que cualquier conjunto puede ser bien ordenado. Por ejemplo, a $R$ se le podrá dar un orden de manera que cualquier subconjunto no vacío tenga mínimo. ¡Esto es muy difícil de imaginar! Sobre todo si pensamos en el orden usual de $R$ . El resultado que probaremos será existencial (y no constructivo), así que aunque tengamos la garantía de que dicho buen orden existe, no podremos saber muy bien cuál es.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

También puedes consultar las pruebas de los lemas que aparecen en esta entrada en: Hernández, F. (2019). Teoría de Conjuntos. Una introducción. (2. $^{a}$ ed.). México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM., pp. 169-171. ↩︎

Introducción

En esta entrada tendremos un acercamiento a una de las grandes controversias que tuvó la teoría de los conjuntos: la paradoja de Russell, también llamada paradoja del barbero. Es importante que prestes especial atención al esquema de comprensión que vimos en la entrada anterior, pues a partir de la paradoja de Rusell y el esquema de comprensión estudiaremos al contradictorio «conjunto de todos los conjuntos».

La paradoja del barbero

«En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme!. Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.»
López Mateos, Manuel (1978). Los Conjuntos. México D.F.: Publicaciones del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Si analizamos la historia anterior, As-Samet estaba metido en verdaderos problemas debido al mandato del emir. Dado que As-Samet era barbero, podía afeitarse a sí mismo, entonces el barbero no debía afeitarlo. Sin embargo, decir que él mismo se puede afeitar es igual a decir que el barbero lo puede afeitar y eso desobedece el mandato, por lo tanto no debe afeitarse. Ahora, como no se puede afeitar a sí mismo, entonces el barbero debe afeitarlo, es decir, él debe afeitarse, y eso también desobedece el mandato. Por lo tanto, As-Samet debe afeitarse si y sólo si As-Samet no debe afeitarse, lo cual es un absurdo. ¡Qué gran lío!

Formalización de la paradoja del barbero

Vimos en la entrada anterior que el esquema de comprensión nos permite construir conjuntos a partir de elementos en un conjunto con una propiedad. A continuación definiremos a una colección y veremos que hay colecciones que no son conjuntos.

Definición: Dada $P (x)$ una propiedad, definimos a la colección determinada por $P$ como todos los conjuntos que satisfacen a la propiedad $P$ . A dicha colección la denotaremos mediante ${x : P (x)}$ .

Ahora que hemos definido a una colección, vamos a ver un ejemplo de que no toda colección será un conjunto. Para ello, presentaremos esta paradoja dando una propiedad « $P (x) : x \notin x$ » que se interpreta como $x$ no se pertenece a sí mismo. Definimos $B$ como la colección $B = {x : P (x)}$ , tenemos lo siguientes casos:

Si $B \in B$ , entonces $P (B)$ se cumple, es decir, $B \notin B$ .
Si $B \notin B$ , entonces $P (B)$ no se satisface, es decir, no es cierto que $B \notin B$ , por lo que $B \in B$ .

Ahora, si juntamos los casos anteriores tendremos que $B \in B$ si y sólo si $B \notin B$ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, es imposible que $B$ sea un conjunto.

La colección de todos los conjuntos

La idea anterior es problemática, pero informal: no hemos dicho por qué sí nos lleva a problemas dentro de nuestro sistema axiomático. El problema se originaría de suponer que hay un conjunto de todos los conjuntos.

Proposición. El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración. (Por reducción al absurdo).

Supongamos que el conjunto de todos los conjuntos sí existe. Sea $V$ dicho conjunto y consideremos « $P (x) : x \notin x$ », tenemos que $A = {x \in V : x \notin x}$ es un conjunto por el esquema de comprensión. De modo que $A \in V$ pues $V$ tiene a todos los conjuntos, además $P (A)$ puede o no ser verdadero, evaluemos los dos casos posibles.

Si $P (A)$ es verdadero, entonces $A \notin A$ y por lo tanto, $A \in A$ .
Si $P (A)$ es falso, entonces $A \in A$ y por lo tanto, $A \notin A$ .

Por lo tanto, $A \in A$ si y sólo si $A \notin A$ lo cuál es una contradicción. Dado que esta vino de suponer que $V$ es un conjunto, concluimos que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Denotaremos a $V$ como la colección de todos los conjuntos.

La conclusión que obtenemos es que para dar un conjunto requerimos más que una propiedad, necesitamos también que los elementos que satisfagan dicha propiedad sean elementos de algo que previamente ya sabemos es un conjunto. Este problema lo soluciona el esquema de comprensión.

Tarea moral

Con los temas que hemos visto hasta este momento demuestra o explica los siguientes ejercicios:

¿Cómo podemos averiguar si dos conjuntos son diferentes?
Explica con tus palabras porqué ${x : x \notin x}$ no es un conjunto.
Escribe colecciones que consideres que son conjuntos. Más adelante tendrás el conocimiento necesario para determinar si dichas colecciones son o no conjuntos.

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos axiomas de construcción: el axioma del par y el axioma de unión. Estos, junto con el esquema de comprensión nos proporcionarán las herramientas necesarias para construir nuevos conjuntos.

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