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Álgebra Lineal II: Adjunciones complejas y transformaciones unitarias

Por Ayax Calderón

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Introducción

Lo que hemos trabajado en esta unidad tiene su análogo para espacios hermitianos. En esta entrada haremos una recapitulación de los resultados que demostramos en el caso real, pero ahora los enunciaremos para el caso complejo. Las demostraciones son similares al caso real, pero haremos el énfasis correspondiente cuando haya distinciones para el caso complejo.

Adjunciones en espacios hermitianos

Uno de los ejercicios de la entrada Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos consiste en enunciar y demostrar el teorema de representación de Riesz para espacios hermitianos. Si recuerdas, eso es justo lo que se necesita para hablar de la adjunción, de modo que en espacios hermitianos también podemos definir la adjunción como sigue.

Definición. Sea $V$ un espacio hermitiano con producto interior hermitiano $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Definimos a la adjunta de $T$, como la única transformación lineal $T^\ast:V\to V$ que cumple la siguiente condición para todos $x,y$ en $V$:

$$\langle T(x),y\rangle =\langle x, T^*(y)\rangle$$

En el caso real la matriz de la transformación adjunta en una base ortonormal era la transpuesta. En el caso complejo debemos tomar la transpuesta conjugada.

Proposición. Sea $V$ un espacio hermitiano con producto interior hermitiano $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Sea $\mathcal{B}$ una base ortonormal de $V$. Se tiene que $$\text{Mat}_{\mathcal{B}}(T^\ast)=\text{Mat}_{\mathcal{B}}(T)^\ast.$$

La demostración queda como ejercicio.

Transformaciones unitarias e isometrías

En espacios hermitianos también podemos hablar de las transformaciones lineales que preservan la distancia: las isometrías. En el caso real, las isometrías de un espacio a sí mismo las llamábamos ortogonales, pero en el caso complejo usaremos otro nombre.

Definición. Sean $V_1, V_2$ espacios hermitianos sobre $\mathbb{C}$ con productos interiores hermitianos $\langle \cdot,\cdot \rangle_1,\langle \cdot,\cdot \rangle_2$. Diremos que una transformación lineal $T:V_1\to V_2$ es una isometría si es un isomorfismo de espacios vectoriales y para cualesquiera $x,y\in V_1$ se cumple que $$\langle T(x), T(y) \rangle_2 = \langle x,y\rangle_1.$$ Si $V_1$ $V_2$ son un mismo espacio hermitiano $V$, diremos que $T$ es una transformación unitaria.

Diremos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{C})$ se dice unitaria si $AA^\ast=I_n$. Puede demostrarse que si una matriz $A$ es unitaria, entonces la transformación $X\mapsto AX$ también lo es. Así mismo, se puede ver que si $T$ es una transformación unitaria, entonces cualquier representación matricial en una base ortonormal es unitaria.

Equivalencias de matrices y transformaciones unitarias

Así como en el caso real, hay muchas maneras de pensar a las transformaciones y a las matrices unitarias. Puedes pensar en los siguientes resultados como los análogos a las descripciones alternativas en el caso real.

Teorema. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $T$ es unitaria es decir, $\langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle$ para cualesquiera $x,y\in V$.
  2. $||T(x)||=||x||$ para cualquier $x\in V$.
  3. $T^*\circ T = Id$.

Teorema. Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. $A$ es unitaria.
  2. Las filas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$.
  3. Las columnas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$.
  4. Para cualquier $x\in \mathbb{C}^n$, se tiene que $$||Ax||=||x||$.

Propiedades de grupo y caracterización de unitarias

Así como en el caso real las transformaciones ortogonales forman un grupo bajo la composición, en el caso complejo las transformaciones unitarias también forman un grupo bajo la composición. Si hablamos de matrices unitarias, entonces forman un grupo bajo el producto de matrices. Es posible clasificar a las matrices unitarias así como se clasificó a las matrices ortogonales, sin embargo los resultados son notablemente más difíciles de expresar.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos de quiénes son las transformaciones complejas para las que se puede enunciar el teorema espectral en el caso complejo. Veremos el resultado correspondiente y haremos énfasis en las diferencias que debemos tomar en cuenta.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $A$ es una matriz unitaria, entonces $|\det A|=1$.
  2. Prueba que para que una transformación lineal $T$ de un espacio hermitiano sea unitaria, basta que a los vectores de norma $1$ los mande a vectores de norma $1$.
  3. Describe las matrices $A\in M_n(\mathbb{C})$ que son simultaneamente diagonales y unitarias.
  4. Demuestra que el producto de dos matrices unitarias es una matriz unitaria y que la inversa de una matriz unitaria es unitaria.
  5. Revisa nuevamente la entrada y realiza todas las demostraciones faltantes.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»