Introducción

De las clases en el bachillerato recordarás las siguientes definiciones, utilizando el triángulo rectángulo de la imagen siguiente:

$$\begin{array}{rlrl}sen\theta & =\frac{\text{cat op}}{\text{hip}}=\frac{b}{c}& csc\theta & =\frac{\text{hip}}{\text{cat op}}=\frac{c}{b}\\ cos\theta & =\frac{\text{cat ad}}{\text{hip}}=\frac{a}{c}& sec\theta & =\frac{\text{hip}}{\text{cat ad}}=\frac{c}{a}\\ tan\theta & =\frac{\text{cat op}}{\text{cat ad}}=\frac{b}{a}& cot\theta & =\frac{\text{cat ad}}{\text{cat op}}=\frac{a}{b}\end{array}$$
donde:
cat op = cateto opuesto ; cat ad = cateto adyacente e hip= hipotenusa.

También recordemos que tenemos la siguiente equivalencia:

$360°$ es equivalente a $2\pi$.

A lo largo de esta entrada veremos las principales características de este conjunto de funciones, sus gráficas y algunas identidades trigonométricas.

Identidades trigonométricas Pitagóricas

Si tomamos a la circunferencia unitaria y un triángulo rectángulo como en la imagen:

Observamos que al sustituir el valor hip $=1$ en las definiciones anteriores para el $sen\theta$ y el $cos\theta$ tenemos:
$$\begin{array}{rlrl}sen\theta & =\frac{\text{cat op}}{\text{1}}& cos\theta & =\frac{\text{cat ad}}{\text{1}}\\ & =\text{cat op}& & =\text{cat ad}\\ & =b& & =a\end{array}$$

Dadas las igualdades obtenidas e hip$=1$ al sustituir para el resto de las funciones tenemos:
$$\begin{array}{rlrl}tan\theta & =\frac{sen\theta }{cos\theta }& cot\theta & =\frac{cos\theta }{sen\theta }\\ sec\theta & =\frac{1}{cos\theta }& csc\theta & =\frac{1}{sen\theta }\end{array}$$

Recordemos el conocido Teorema de Pitágoras que nos da una relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo:
$$a^2+b^2=c^2.$$

Si lo aplicamos al triángulo rectángulo obtenido en la imagen anterior donde:
$$\begin{array}{rlrlrl}a& =cos\theta & b& =sen\theta & c& =1\end{array}$$
entonces tenemos la siguiente igualdad:
$$\begin{array}{}\text{(1)}& co{s}^2\theta +se{n}^2\theta =1.\end{array}$$
Si dividimos $(1)$ entre $co{s}^2\theta$ obtenemos:
$$\frac{co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta }+\frac{se{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }=\frac{1}{co{s}^2\theta }.$$
Que simplificando sería:
$$\begin{array}{}\text{(2)}& 1+ta{n}^2\theta =se{c}^2\theta .\end{array}$$

Ahora bien si decidimos dividir $(1)$ entre $se{n}^2\theta$:
$$\frac{co{s}^2\theta }{se{n}^2\theta }+\frac{se{n}^2\theta }{se{n}^2\theta }=\frac{1}{se{n}^2\theta }.$$
Que finalmente sería:
$$\begin{array}{}\text{(3)}& co{t}^2\theta +1=cs{c}^2\theta .\end{array}$$

Las igualdades $(1)$, $(2)$ y $(3)$ son llamadas Identidades Pitagóricas:
$$\begin{array}{rl}co{s}^2\theta +se{n}^2\theta & =1,\\ 1+ta{n}^2\theta & =se{c}^2\theta ,\\ co{t}^2\theta +1& =cs{c}^2\theta .\end{array}$$

Otras identidades trigonométricas

Otras identidades trigonométricas que son de utilidad son las de suma de ángulos:
$$\begin{array}{rl}cos(\alpha +\beta )& =cos(\alpha )cos(\beta )–sen(\alpha )sen(\beta ),\\ sen(\alpha +\beta )& =cos(\alpha )sen(\beta )+cos(\beta )sen(\alpha ).\end{array}$$
Para la resta de ángulos tendríamos un par similar:
$$\begin{array}{rl}cos(\alpha -\beta )& =cos(\alpha )cos(\beta )+sen(\alpha )sen(\beta ),\\ sen(\alpha –\beta )& =cos(\alpha )sen(\beta )–cos(\beta )sen(\alpha ).\end{array}$$
Ahora veremos cómo obtener las identidades para los ángulos dobles:
$$\begin{array}{rl}cos(2\alpha )& =cos(\alpha +\alpha )\\ & =cos(\alpha )cos(\alpha )–sen(\alpha )sen(\alpha )\\ & =co{s}^2\alpha –se{n}^2\alpha \end{array}$$
Por lo tanto tendríamos para el coseno de $2\alpha$:
$$\begin{array}{}\text{(4)}& cos(2\alpha )=co{s}^2\alpha –se{n}^2\alpha .\end{array}$$
Si procedemos análogamente para el seno de $2\alpha$:
$$\begin{array}{rl}sen(2\alpha )& =sen(\alpha +\alpha )\\ & =cos(\alpha )sen(\alpha )+cos(\alpha )sen(\alpha )\\ & =2sen(\alpha )cos(\alpha )\end{array}$$
Así concluimos que:
$$\begin{array}{}\text{(5)}& sen(2\alpha )=2sen(\alpha )cos(\alpha ).\end{array}$$
También tenemos un par de identidades que relacionadas con el $se{n}^2\theta$ y el $co{s}^2\theta$:
$$\begin{array}{rlrl}se{n}^2\theta & =\frac{1}{2}(1-cos(2\theta )),& co{s}^2\theta & =\frac{1}{2}(1+cos(2\theta )).\end{array}$$
Se dejará como ejercicios en la Tarea moral obtener este par de igualdades.

Simetrías

Retomando la imagen anterior, si ahora reflejamos al triángulo respecto al eje $x$, tenemos lo siguiente:

donde observamos los siguiente:
$$\begin{array}{rlrlr}\beta & =–\theta & c_2& =1& b_2=sen(-\theta )\end{array}$$

Así al considerar a los puntos $p_1$ y $p_2$ tenemos que estarían definidos de la siguiente manera:
$$\begin{array}{rlrl}{p}_1& =(cos(\theta ),sen(\theta ))& p_2& =(cos(-\theta ),sen(-\theta ))\end{array}$$
Resaltamos para $p_2$ que:
$$p_2=(cos(-\theta ),sen(-\theta ))=(cos(\theta ),-sen(\theta )).$$
de esta igualdad podemos determinar si las funciones seno y coseno son pares o impares, este ejercicio formará parte de la Tarea moral.

Función periódica

Definición (función periódica): Decimos que una función $f$ es periódica si existe $N\in \mathbb{R}$ tal que para todo $x\in D_f$ cumple que:
$$f(x)=f(x+N)$$
y $|N|$ se llama periodo de $f$.
En la siguiente imagen observamos que $\alpha =\pi$ por lo que tendríamos que el nuevo triángulo agregado es en realidad el original rotado:

Así tendríamos la siguiente definición para los puntos $p_1$ y $p_3$:

$$\begin{array}{rlrl}{p}_1& =(cos(\theta ),sen(\theta ))& p_3& =(cos(\theta +\pi ),sen(\theta +\pi ))\end{array}$$

Si rotamos el triángulo ahora $\alpha =2\pi$ tenemos que $p_4$ estaría definido como:
$$p_4=(cos(\theta +2\pi ),sen(\theta +2\pi )).$$

¡Y observamos que obtenemos el triángulo original! Consecuentemente tenemos las siguientes igualdades:
$$\begin{array}{rl}sen(\theta )& =sen(\theta +2\pi ),\\ cos(\theta )& =cos(\theta +2\pi ).\end{array}$$
Aplicando la definición decimos que las funciones seno y coseno son periódicas con periodo $N=2\pi$.
En las gráficas de las funciones observamos el comportamiento anterior, cada $2\pi$ se comienzan a repetir los valores:

Observación: Vemos que para todo $x\in \mathbb{R}$ ocurre:
$$-1\le sen(x)\le 1$$
$$-1\le cos(x)\le 1$$
por lo que las funciones seno y coseno son acotadas.

Consideraremos los siguientes dominios donde cada una de las funciones cumple ser inyectiva :
$$\begin{array}{r}sen:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to [-1,1]\end{array}$$

$$\begin{array}{r}cos:[0,\pi ]\to [-1,1]\end{array}$$

Más adelante

En la próxima entrada, continuaremos con las definiciones de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Por lo tanto, realizaremos un análisis similar al dado para las funciones seno y coseno.

Tarea moral

• Obtener las siguientes identidades trigonométricas:
  • $$se{n}^2\theta =\frac{1}{2}(1-cos(2\theta )).$$
  • $$co{s}^2\theta =\frac{1}{2}(1+cos(2\theta )).$$
  • $$tan(\alpha +\beta )=\frac{tan(\alpha )+tan(\beta )}{-tan(\alpha )tan(\beta )}.$$
    Sugerencia.-Considera la igualdad:
    $$tan\theta =\frac{sen\theta }{cos\theta }$$
• Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las opciones anteriores:
  • $sen(\theta ).$
  • $cos(\theta ).$
• Obtén la gráfica de las siguientes funciones:
  • $f(x)=sen(x+\frac{\pi }{2}).$
  • $f(x)=-2cos(x)+1.$

Entradas relacionadas

• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones polinomiales y racionales. Análisis geométrico de funciones.
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»