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Cálculo Diferencial e Integral I: La derivada de la función inversa

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

En esta entrada estudiaremos la relación que existe entre la derivada de una función y la derivada de su función inversa (en los casos donde esta última exista). Para ello, estableceremos una restricción, enfocándonos en las funciones que son estrictamente monótonas y, usando los resultados de la continuidad de la función inversa, podremos asegurar la continuidad de sus funciones inversas.

Derivada de la función inversa

Consideremos una función que sea estrictamente monótona y continua en un intervalo $A$, entonces se tiene que la inversa $f^{-1}$ está definida sobre el intervalo $B = f(A)$. Con la finalidad de relacionar ambas funciones, usaremos el hecho de que la composición de ambas genera la función identidad, es decir, $f^{-1}(f(x))=x$. Además, si ambas funciones son derivables y considerando $a \in A$ y $f(a) = b \in B$, mediante la regla de la cadena obtenemos:

\begin{gather*}
& (f^{-1}(f(a)) )’ = a’. \\ \\
\Rightarrow & (f^{-1})'(f(a)) \cdot f'(a) = 1. \\ \\
\Rightarrow & (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}.
\end{gather*}

Es importante destacar que para aplicar la regla de la cadena se asumió que tanto $f$ como $f^{-1}$ son derivables. Por lo que esto no nos ayuda a probar que $f^{-1}$ es derivable, pero nos permite tener una noción de qué debería suceder en caso de serlo.

A continuación probaremos el Teorema de Carathéodory que quedó como tarea moral en esta entrada y que nos será de utilidad más adelante.

Teorema de Carathéodory. Sea $f$ definida en un intervalo $A$ y sea $a \in A$. Entonces $f$ es derivable en $a$ si y solo si existe una función $\rho$ en $A$ que es continua en $a$ y satisface:
$$f(x) – f(a) = \rho (x) (x-a) \text{ para } x \in A.$$
En este caso, se tiene que $\rho(a) = f'(a)$.

Demostración.

$ \Rightarrow]$ Sea $A$ un intervalo y supongamos que $f: A \to \RR$ es derivable en $a \in A$.

Como $f'(a)$ existe, podemos definir la siguiente función.

$$\rho (x) = \begin{cases} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} & \text{ si } x \neq a \text{ y } x \in A \\
f'(a) & \text{ $x = a$}. \end{cases}$$

Podemos observar que la función tiene la estructura de la definición de límite en $a$. Además, como $\lim\limits_{x \to a} \rho(x) = f'(a)$, se concluye que $\rho$ es una función continua en $a$. Si $x \in A$, podemos dividir el problema en dos casos.

Caso1: $x = a$.

Como $x= a$, entonces tanto para $f(x)-f(a)$ como para $\rho (x) (x-a)$ se obtiene cero, por lo cual se cumple que $f(x) – f(a) = \rho (x) (x-a)$.

Caso 2: $x \neq a$.

Se sigue que $x-a \neq 0$, y por tanto

\begin{align*}
\rho (x) (x-a) & = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} (x-a) \\
& = f(x)-f(a).
\end{align*}

De ambos casos, se concluye que $f(x) – f(a) = \rho (x) (x-a)$.

$\Leftarrow]$ Sea $A$ un intervalo y supongamos que existe una función $\rho$ que es continua en $a$ y que cumple $$f(x) – f(a) = \rho (x) (x-a) \text{ para } x \in A.$$

Consideremos $x \neq a$. Al dividir la expresión anterior entre $x-a \neq 0$ y usando el hecho de que $\rho$ es continua en $a$, se tiene que el siguiente límite existe

\begin{align*}
\rho(a) & = \lim_{x \to a} \rho(x) \\
& = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
\end{align*}

Se concluye que $f$ es derivable en $a$ y $f'(a) = \rho(a)$.

$\square$

Ahora veremos un teorema que nos indica qué sucede con la derivada de la función inversa.

Teorema. Sean $A \subset \RR$ un intervalo y $f:A \to \RR$, tal que $f$ es estrictamente monótona y continua en $A$. Sean $B = f(A)$ y $f^{-1}: B \to \RR$ la función estrictamente monótona y continua inversa de $f$. Si $f$ es derivable en $a \in A$ y si $f'(a) \neq 0$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $b = f(a)$ y

$$f^{-1}(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$$

Demostración.

Para $a \in \RR$, por el teorema de Carathéodory, se obtiene una función $\rho$ en $A$ tal que $\rho$ es continua en $a$ y se cumple que

$$f(x)-f(a) = \rho(x)(x-a), \text{ para }x \in A.$$

y $\rho(a)=f'(a)$. Puesto que $\rho(a) \neq 0$ por hipótesis, existe un intervalo alrededor de $a$ donde la función no es cero, es decir, existe $V = (a-\delta, a+\delta)$ tal que $\rho(x) \neq 0$ para todo $x \in V \cap A$ (por el primer teorema visto en esta entrada).

Por lo anterior, si $U = f(V)$, entonces $f^{-1}$ satisface que $f(f^{-1}(y)) = y$ para todo $y \in U$, así se tiene que

\begin{gather*}
y-b=f(f^{-1}(y))-f(a) = \rho(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1}(y)-f^{-1}(b)). \\ \\
\therefore y-b = \rho(f^{-1}(y)) \cdot (f^{-1}(y)-f^{-1}(b)).
\end{gather*}

Dado que $\rho(f^{-1}(y)) \neq 0$ para $y \in U$, de la expresión anterior se sigue

$$f^{-1}(y)-f^{-1}(b) = \frac{1}{\rho (f^{-1}(y))} \cdot (y-b).$$

Como la función $1/(\rho \circ f^{-1})$ es continua en $b$, se aplica el teorema de Carathéodory para concluir que $(f^{-1})'(b)$ existe, y además

\begin{align*}
(f^{-1})'(b) & = \frac{1}{\rho(f^{-1}(b))} \\
& =\frac{1}{\rho(a)} \\
& = \frac{1}{f'(a)}.
\end{align*}

$$\therefore (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}.$$

$\square$

Es posible relajar los supuestos hechos respecto a la función $f^{-1}$, con lo que se obtiene el siguiente teorema.

Teorema. Sea $f: A \to \RR$ estrictamente monótona en $A$. Sea $B = f(A)$ y sea $f^{-1}: B \to \RR$ la función inversa de $f$. Si $f$ es derivable en $A$ y $f'(x) \neq 0$ para $x \in A$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $B$ y

$$(f^{-1})’ (b) = \frac{1}{(f’ \circ f^{-1}) (b)} \text{, para }b \in B.$$

Demostración.

Si $f$ es derivable en $A$, entonces se tiene que $f$ es continua en $A$ y por hipótesis es estrictamente monótona, por las propiedades revisadas en esta entrada, se sigue que $f^{-1}$ es continua en $B$ y estrictamente monótona. Por el teorema anterior, podemos concluir que

$$(f^{-1})’ (b) = \frac{1}{(f’ \circ f^{-1})(b)}.$$

$\square$

Ejemplos de la derivada de la inversa

Ejemplo 1. Encuentra la derivada en $b=8$ de la función inversa de $f(x) = x^5 + 4x + 3.$

Notamos que $f$ es continua y estrictamente creciente. Además, $f'(x) = 5x^4 + 4$ nunca es cero. Por el teorema revisado en esta entrada, su función inversa es derivable en cada punto. Si se toma $b= 8$, entonces, considerando que $f(1) = 8$, se obtiene que

\begin{align*}
(f^{-1})'(8) & = (f^{-1})'(f(1)) \\
& = \frac{1}{f'(1)} \\
& = \frac{1}{9}.
\end{align*}

$$\therefore (f^{-1})'(x) = \frac{1}{9}.$$

Ejemplo 2.

Consideremos $f_n(x)=x^n$ para todo $x$ si $n$ es impar. Y $f_n(x)=x^n$ para todo $x \geq 0$ si $n$ es par. Para ambos casos, $f_n$ es una función continua y estrictamente monótona, cuya función inversa está dada por $f_n^{-1}(y) = y^{1/n}$.

Así, por el teorema revisado en esta entrada, para $y \neq 0$ se tiene que

\begin{align*}
(f^{-1})'(y) & = \frac{1}{f_n'(f_n^{-1}(y))} \\ \\
& = \frac{1}{n(f_n^{-1}(y))^{n-1}} \\ \\
& = \frac{1}{n(y^{1/n})^{n-1} } \\ \\ 
& = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{y^{1-1/n}} \\ \\
& = \frac{1}{n} \cdot y^{1/n-1}.
\end{align*}

$$\therefore (f^{-1})'(y) = \frac{1}{n} \cdot y^{1/n-1}.$$

Por tanto, si $f(x) = x^a$ y $a$ es un entero o el recíproco de un número natural, entonces $f'(x) = ax^{a-1}$. A continuación probaremos que esto también es cierto para cualquier racional.

Sea $a = m/n$, donde $m$ es un entero y $n$ es un número natural. Si

$$f(x) = x^{m/n} = (x^{1/n})^m.$$

Empleando la regla de la cadena tenemos

\begin{align*}
f'(x) & = m(x^{1/n})^{m-1} \cdot \frac{1}{n} \cdot x^{1/n-1} \\
& = \frac{m}{n} \cdot x^{(m/n-1/n)+(1/n-1)} \\
& = \frac{m}{n} x^{m/n-1}.
\end{align*}

$$\therefore f'(x) = \frac{m}{n} x^{m/n-1}.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada probaremos que las funciones trigonométricas son derivables en su dominio y estudiaremos también qué sucede para sus funciones inversas, para lo cual emplearemos lo que se ha visto en la presente entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Explica por qué es fundamental la hipótesis de que $f'(a) \neq 0$ en el primer teorema revisado en esta entrada.
  • Para cada función $f$, encuentra su inversa $f^{-1}$:
    • $f(x) = x^3+1.$
    • $f(x) = (x-1)^3.$
    • $f(x) = \begin{cases} x, & x \text{ racional} \\ -x, & x \text{ irracional}. \end{cases}$
  • Dado que la función $h(x) = x^3+2x+1$ para $x \in \RR$ tiene una inversa $h^{-1}$ en $\RR,$ encuentra el valor de $(h^{-1})'(y)$ en los puntos correspondientes a $x=0,1,-1.$
  • Supón que $f$ es derivable con derivada $f'(x) = (1+x^3)^{-1/2}.$ Demuestra que $g = f^{-1}$ satisface $g^{(2)}(x) = \frac{3}{2}g(x)^2.$ Nota: $g^{(2)}(x)$ hace referencia a derivar dos veces la función $g,$ es decir, $g^{(2)}(x) = (g'(x))’.$
  • Halla una fórmula para $(f^{-1})^{(2)}.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»