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Ecuaciones Diferenciales I: Campos de pendientes y su ecuación diferencial asociada

Introducción

Hasta ahora hemos aprendido algunas propiedades de las funciones solución de una ecuación diferencial, éstas funciones son expresiones analíticas que nos son útiles para describir una solución de una ED sin embargo, no siempre es necesario obtener dicha expresión analítica para lograr describir las soluciones de una ED. En este entrada vamos a hacer un análisis geométrico (o cualitativo) sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$.

Campos de pendientes

De tus cursos de cálculo diferencial recordarás que, geométricamente, la derivada $\dfrac{dy}{dx}$ de una función derivable $y = y(x)$ corresponde a la pendiente de las rectas tangentes en cada punto de la gráfica de la función $y(x)$, éste resultado nos será de utilidad para intentar describir cualitativamente las soluciones a una EDO de la forma normal $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$.

Definición: La función $f$ de una ecuación diferencial en su forma normal $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$ se llama función pendiente o función razón.

De acuerdo a la definición de solución de una ED, la función $y(x)$ es necesariamente derivable y por tanto continua en un intervalo $\delta$, esto nos garantiza que la curva solución en $\delta$ no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto $(x, y(x))$. Si la función $y(x)$ es solución entonces tiene una gráfica en el plano $XY$, la gráfica corresponde a la curva solución y la pendiente en cada punto de la curva está dada por $m = \dfrac{dy}{dx}$, es decir, el valor de la función razón $f(x, y(x)) = f(x, y)$ es el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto $(x, y)$ de la curva solución de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$. Así, para cada punto $(x, y)$ en el plano $XY$ se le puede asociar una número dado por la función razón y que corresponde a la pendiente de la recta tangente de una curva solución que pasa por ese punto $(x, y)$.

Definición: El valor $f(x, y)$ que la función $f$ le asigna al punto $(x, y)$ representa la pendiente de una recta y la visualización de dicho valor corresponderá a un segmento de recta llamado elemento lineal.

Elemento lineal $r$ a un punto de la curva solución.

Considerando todo lo anterior, podemos construir en el plano $XY$ un conjunto de elementos lineales dados por el valor de la función razón en cada punto $(x, y)$.

Ejemplo: Para que quede mucho más claro lo anterior vamos a visualizar los elementos lineales de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

En este caso la función razón es $f(x, y) = x -y$, $x$ y $y$ pueden tomar cualquier valor en $ \mathbb{R}$. En la siguiente tabla tenemos algunos valores de $x$ y $y$ para nuestro ejemplo. En la primera fila tenemos los valores de $x$ en el intervalo $(-4, 4)$ en pasos de una unidad y en la primer columna tenemos los valores de $y$ en el intervalo $(-4, 4)$ en pasos de una unidad, el resto de valores corresponde al valor de la función razón $f(x, y) = x -y$ evaluada en los valores correspondientes, por ejemplo si $x = -2$ y $y = 4$, entonces $f(x, y) = x -y = -2 -4 = -6$ tal como se indica en la tabla.

$x$
$y$
-4-3-2-101234
-4012345678
-3-101234567
-2-2-10123456
-1-3-2-1012345
0-4-3-2-101234
1-5-4-3-2-10123
2-6-5-4-3-2-1012
3-7-6-5-4-3-2-101
4-8-7-65-4-3-2-10

Con ayuda de esta tabla podemos construir un conjunto de elementos lineales con pendiente según el valor de la función razón (recuerda que una recta de $45^{\circ}$ tiene pendiente $m = 1$).

Elementos lineales de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$

Aumentando el número de valores para $x$ y $y$ en los rangos $(-4, 4)$ se puede obtener un conjunto mayor de elementos lineales.

Conjunto mayor de elementos lineales de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

¿Notas un patrón en esta última imagen?. Anteriormente mencionamos que el valor de la función razón $f(x, y)$ es el valor de la pendiente de la recta tangente en un punto $(x, y)$ de la curva solución de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$, en este caso los elementos lineales corresponden a las rectas tangentes a las curvas solución de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x -y$, es decir, los elementos lineales son tangentes a funciones $y(x)$ ¡que son solución a la ecuación diferencial!, basta trazar curvas solución a lo largo de los elementos lineales para hallar gráficamente las soluciones a la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

$4$ curvas solución de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$.

Ya vimos que una ecuación diferencial puede tener infinitas soluciones o bien que hay una familia de soluciones, en este caso, en la gráfica se muestran $4$ curvas solución correspondientes a $4$ soluciones $y = y(x)$ particulares, cada una se obtiene con distintos valores iniciales.

Lo importante que debes notar es que, a pesar de no tener la forma explícita (o implícita) de la función solución $y = y(x)$, gráficamente ¡ya conocemos las posibles gráficas de las curvas solución! de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$. También es importante notar que el signo de la pendiente nos dice si la curva es creciente o decreciente, esto por su puesto es así debido al resultado de cálculo en donde si $\dfrac{dy}{dx} > 0$ o $\dfrac{dy}{dx} < 0$ para toda $x$ en un intervalo $\delta$ entonces la función derivable $y = y(x)$ es creciente o decreciente en $\delta $ respectivamente.

La solución general a la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$ es $y(x) = x -1 + \dfrac{c}{e^{x}}$ (compruébalo sustituyendo $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$ en la EDO y verifica que se cumple la relación), como tarea moral usa un graficador de funciones y traza la gráfica de la función $y(x) = x -1 + \dfrac{c}{e^{x}}$ dándole valores arbitrarios a la constante $c$ y nota como obtendrás las curvas solución parecidas a la imagen anterior. De acuerdo a la imagen puedes notar que las $4$ curvas solución que se muestran corresponden a los valores iniciales $y(-3) = 0$, $y(-0.85) = -3.38$, $y(0) = 0$ y $y(2.58) = -2.06$.

$\square$

Definición: Un bosquejo con pequeños elementos lineales trazados en diversos puntos del plano $XY$ para mostrar la pendiente de la curva solución en el punto correspondiente se llama campo de pendientes o campo de direcciones de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$.

Las imágenes anteriores corresponden al campo de pendientes de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$. Un campo de pendientes indica el «flujo de las soluciones» y facilita el trazo de cualquier solución particular, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada, esto permite observar a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano donde la solución presenta un comportamiento poco común.

En este contexto una curva solución también es llamada curva integral.

Definición: Una curva integral es una curva en el plano $XY$ tal que es tangente al campo de direcciones en cada punto de la curva.

Método de las isóclinas

Con lo visto anteriormente ya podemos crear campos de pendientes pero como notarás es un proceso muy tardado pues hay que ir evaluando punto a punto del plano para obtener el valor de la pendiente en dicho punto y así poder dibujar un elemento lineal, esto puede ser mucho más rápido si se utilizan paquetes computacionales que lo realicen, sin embargo existe un método que nos permite dibujar elementos lineales de manera más rápida sin necesidad de ir evaluando punto a punto, este método es conocido como el método de las isóclinas.

Definición: Una isóclina para la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$ es un conjunto de puntos en el plano $XY$ donde todas las soluciones tienen la misma pendiente $m = \dfrac{dy}{dx}$.

En otras palabras, una isóclina es una curva de nivel de la función $f(x, y)$, si es una curva de nivel entonces $f(x, y) = k$, donde $k$ es una constante arbitraria, si sustituimos $f(x, y) = k$ en la EDO obtenemos $\dfrac{dy}{dx} = k$, con esta ecuación podemos ver que en efecto para todas las soluciones $y = y(x)$ va a haber puntos donde la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ sera la misma, una constante.

Con este método sólo basta encontrar las isóclinas de una EDO y sobre ellas dibujar elementos lineales que tengan la misma pendiente obteniendo así el campo de pendientes y por tanto las curvas solución de la EDO. Para que esto quede mucho más claro construyamos las isóclinas de la ecuación diferencial de nuestro ejemplo anterior.

Ejemplo: Hallas las isóclinas y el campo de pendientes de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = x -y$

Solución: Lo primero que debemos de hacer es igualar nuestra ecuación diferencial a una constante.

$$\dfrac{dy}{dx} = x -y = k $$

Y despejamos la función dependiente $y$ en términos de la función independiente y la constante.

$$y = y(x) = x -k$$

Es claro que es la ecuación de una recta, para cada valor arbitrario de $k$ se obtiene una recta distinta, lo importante es que a lo largo de toda esa recta hay elementos lineales con la misma pendiente, sólo basta evaluar un punto de cada isóclina en la función razón y obtendremos el valor de la pendiente para toda la isóclina.

Isóclinas de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x -y$

En la imagen vemos que a lo largo de cada isóclina (en este caso rectas marcadas de rojo) los elemento lineales tienen la misma pendiente recuperando así el campo de pendientes que ya habíamos obtenido anteriormente.

Este método es muy útil si lo que queremos es obtener una campo de pendientes de manera manual. Una vez obtenido el campo de pendientes procedemos a dibujar las curvas solución como lo hicimos con anterioridad.

Dos casos especiales

Vamos a estudiar brevemente dos casos especiales de ecuaciones diferenciales.

Hemos trabajado con la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x, y(x))$ pero es posible que ocurra que la función razón sólo sea función de la variable dependiente $y(x)$ o sólo de la variable independiente $x$, es decir, tener las ecuaciones

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} = f(y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dy}{dx} = f(x)
\end{align*}

Más adelante veremos que estas ecuaciones son más fácil de resolver analíticamente debido a que son lo que se conoce como ecuaciones separables, pero por ahora vamos a hacer un análisis cualitativo como lo hemos estando haciendo en esta entrada.

Campo de pendientes para $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$

El hecho de tener la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$ en su forma normal nos permite reconocer que la pendiente de un elemento lineal en cualquier punto es la misma que la de cualquier otro punto con la misma coordenada $x$.

Campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = x$.

En la imagen tenemos como ejemplo el campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = f(x) = x$. Las curvas verdes representan dos curvas solución de la ecuación pero lo que es interesante es que a lo largo de las líneas verticales (líneas amarillas) todos los elementos lineales tienen la misma pendiente.

Geométricamente podemos decir que en un campo de pendientes si los elementos lineales sobre cada línea vertical del dominio en consideración son paralelos entonces la ecuación diferencial correspondiente es de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$

Campo de pendientes para $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$

En el caso en el que la función razón sólo depende de la variable dependiente los elementos lineales de un campo de pendientes van a tener la misma pendiente en dos puntos diferentes con la misma coordenada $y$, es decir, el campo de pendientes es paralelo a lo largo de cada línea horizontal.

Campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y$.

En la imagen tenemos como ejemplo el campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y$, las curvas verdes corresponden a algunas de las curvas solución de la ecuación mientras que las líneas amarillas sólo intentan hacer notar que las pendientes de los elementos lineales para un valor de $y$ son las mismas.

Hasta aquí concluimos la entrada, en la siguiente continuaremos explorando más sobre la teoría cualitativa de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Dibuja el campo de pendientes de las siguientes ecuaciones diferenciales. Hazlo en una hoja de papel usando el método de las isóclinas y posteriormente verifica tu resultado usando un programa computacional. Una vez construido el campo de pendientes dibuja tres curva solución aproximadas, donde cada una pase por cada uno de los puntos indicados.
  • $\dfrac{dy}{dx} = 1-y$ $\hspace{2cm}$ Puntos: $(0, 3)$; $\hspace{0.4cm}$ $(-2, -1)$; $\hspace{0.4cm}$ $(0, 1)$
  • $\dfrac{dy}{dx} = x^{2} -y -2$ $\hspace{1cm}$ Puntos: $(-1, 1)$; $\hspace{0.4cm}$ $(4, 0)$; $\hspace{0.4cm}$ $(0, -2)$
  • $\dfrac{dy}{dx} = xy$ $\hspace{2.5cm}$ Puntos: $(0,1)$; $\hspace{0.4cm}$ $(1, -2)$; $\hspace{0.4cm}$ $(-3, 2)$
  1. Dado los siguientes campos de pendientes, determina la opción qué indica la ecuación diferencial que corresponde al campo de pendientes.
Campo de pendientes.
  • a) $\dfrac{dy}{dx} = \sin(x) + \cos(x)$; $\hspace{0.5cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx} = \sin(x) \cos(x)$; $\hspace{0.5cm}$ c) $\dfrac{dy}{dx} = 2\sin(x)$
Campo de pendientes.
  • a) $\dfrac{dy}{dx} = x^{2} + y^{2}$; $\hspace{0.5cm}$ b) $\dfrac{dy}{dx} = 5y^{2}$; $\hspace{0.5cm}$ c) $\dfrac{dy}{dx} = x^{2} -y^{2}$

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con las descripciones cualitativas de las soluciones a una ecuación diferencial, en particular estudiaremos en mayor profundidad las ecuaciones de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ llamadas ecuaciones diferenciales autónomas.

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