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Teoría de los Conjuntos I: Bases para cualquier espacio vectorial

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

Lo que haremos en esta última entrada es utilizar el axioma de elección para probar un resultado muy conocido en álgebra lineal: que todo espacio vectorial tiene una base. Para comprender algunos de los términos que utilizaremos en esta sección puedes consultar el curso de Álgebra Lineal I disponible aquí en el blog.

Recordatorio de definiciones

Daremos un breve recordatorio sobre qué quiere decir que un subconjunto arbitrario (finito o no) de un espacio vectorial sea generador, linealmente independiente o base.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $S\subseteq V$. Decimos que $S$ es generador si para cualquier $v\in V$ existe una cantidad finita de vectores $v_1,\ldots,v_n$ en $V$ y de escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ en $F$ tales que $$v=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n.$$

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $L\subseteq V$. Decimos que $L$ es linealmente independiente si para cualquier elección finita de vectores distintos $v_1,\ldots,v_n$ en $L$ y escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, la igualdad $$0=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n$$ implica que $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $B\subseteq V$. Decimos que $B$ es una base de $V$ si $B$ es generador y linealmente independiente.

Todo espacio vectorial tiene una base

Demostraremos el siguiente resultado

Teorema. Todo espacio vectorial tiene una base.

Demostración.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Lo que queremos mostrar es que existe un subconjunto $B$ de $V$ que genera a $B$ y que es linealmente independiente.

Si $V=\set{0}$, entonces $\emptyset$ es una base para $V$. Supongamos ahora que $V$ tiene al menos dos vectores distintos. Sea $\mathcal{F}=\set{L\subseteq V:L\ \textnormal{es un conjunto linealmente independiente}}$. Notemos que $\mathcal{F}$ es no vacío. En efecto, sea $v\in V$ un elemento distinto del vector cero. Luego, $\set{v}$ es linealmente independiente, por lo que $\set{v}\in\mathcal{F}$.

Lo que haremos ahora es probar que $\mathcal{F}$ es una familia de conjuntos de carácter finito. Sea $L$ un conjunto tal que $L\in\mathcal{F}$. Luego, $L$ es linealmente independiente y, por tanto, cualquier subconjunto de $L$ es linealmente independiente, en particular todos los subconjuntos finitos de $L$ son linealmente independientes. En consecuencia, cualquier subconjunto finito de $L$ pertence a $\mathcal{F}$.

Ahora, sea $L$ un conjunto tal que todo subconjunto finito de $L$ pertenece a $\mathcal{F}$. Para cualquier elección de vectores distintos $v_1,\ldots,v_n$ tenemos entonces que $\{v_1,\ldots,v_n\}$ es linealmente independiente. Pero entonces cualquier elección de escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tales que $$0=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n$$ cumple que $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$. Concluimos entonces que $L$ es linealmente independiente. Por tanto, $L\in\mathcal{F}$. Esto demuestra que $\mathcal{F}$ es una familia de conjuntos de carácter finito.

Ahora, por el axioma de elección (en la versión de lema de Tukey-Teichmüller) toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento $\subseteq$-maximal. Sea $B$ un elemento $\subseteq$-maximal en $\mathcal{F}$. Afirmamos que $B$ es una base para $V$. Como $B$ es linealmente independiente, sólo basta probar que $B$ genera a $V$.

Procedamos por contradicción y supongamos que $B$ no genera a $V$. Sea $v\in V$ que no esté en el espacio generado por $B$. Entonces $B\cup\set{v}$ sería un subconjunto de $V$ linealmente independiente que contiene propiamente a $B$ (ver, por ejemplo la última proposición en la entrada Conjuntos generadores e independencia lineal). ¡Esto contradice la maximalidad de $B$ con respecto a la contención en $\mathcal{F}$!

Así, $B$ es linealmente independientes y generador, y por lo tanto es una base de $V$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes resultados presentan algunos refinamientos del resultado mencionado. Por ejemplo, enuncian que «cualquier base parcial se puede completar» a una base, o que «de cualquier conjunto generador se puede extraer una base», etc.

  1. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $K$. Muestra que todo conjunto linealmente independiente está contenido en una base de $V$.
  2. Sea $V$ un espacio vectorial. Muestra que si $S$ es un subconjunto generador de $V$, entonces existe $\beta\subseteq S$ tal que $\beta$ es una base para $V$.
  3. Sea $V$ un espacio vectorial con base $\beta$. Si $S$ es un conjunto linealmente independiente, muestra que existe un subconjunto $S_1$ de $\beta$ tal que $S\cup S_1$ es una base para $V$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»