Introducción
El teorema del valor intermedio nos dice que si
Veamos algunos problemas que se resuelven usando este teorema
Una aplicación directa del teorema del valor intermedio
Problema 1. Muestra que la ecuación
Sugerencia pre-solución. Formula un problema equivalente definiendo una función continua
Solución. La ecuación la podemos ver como
Tenemos que:
Tenemos que
Notemos que no se encontró el valor de la raíz de la ecuación, sin embargo mostramos la existencia de esta. Esta es una de las características del teorema del valor intermedio: exhibir la existencia de algo sin necesidad de encontrarlo explícitamente.
Definir una buena función
En ocasiones podemos definir dos funciones para un problema y hacerlas interactuar para obtener una sola función continua que nos permite resolver un problema.
Problema 2. Un montañista empezó a escalar una montaña el sábado a las 8:00 hrs y llegó a la cima a las 18:00 hrs del mismo día. Decidió pasar la noche en la cima de la montaña. El día domingo empezó a descender a las 8:00 hrs y llegó al punto de partida a las 18:00 hrs. Prueba que hubo una hora en la que en ambos días estuvo a la misma altura de la montaña.
Sugerencia pre-solución. Plantea el problema usando dos funciones continuas que denoten la altura conforme pasa el tiempo en ambos días. Tienes mucha flexibilidad, así que usa notación efectiva para simplificar los cálculos.
Solución. Veamos que para este problema, podemos establecer dos funciones continuas para describir el cambio de altura con respecto al tiempo en horas, una para el ascenso y otra para el descenso del montañista en ambos días.
Sean
Ahora bien, sea
Así,
Y como
entonces
Con esto podemos concluir que en el tiempo
Definir un buen intervalo
En algunas ocasiones no es directo qué valores tenemos que usar como los extremos del intervalo al que aplicaremos el teorema del valor intermedio. Un ingrediente adicional que se necesita en el siguiente problema es elegir de manera correcta el extremo derecho.
Problema 3. Prueba que si
Sugerencia pre-solución. Necesitarás modificar el problema un poco. Se quiere encontrar una solución a
Solución. Sea
Como
No puede existir otro además de
Más ejemplos
Puedes encontrar más problemas que se pueden resolver usando el teorema del valor intermedio en el libro Problem Solving Strategies de Loren Larson, en la Sección 6.2.