Introducción

En el video de axiomas de la probabilidad y sus propiedades se dio la definición de medida de probabilidad, así como algunas propiedades básicas que podíamos deducir de dicha definición. En esta ocasión abordaremos otra propiedad que nos será muy útil en los temas siguientes, esta, es conocida como la propiedad de continuidad de la probabilidad.

Continuidad de la probabilidad

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Demuestra que los incisos $a$ y $b$ de la proposición vista en el video son equivalentes, para esto solo te hace falta probar que el inciso $b$ también implica el inciso $a$.

• Sea $A_r,\ r\geq 1$, eventos tales que, para toda $r$, $P\left(A_r\right)=1$. Demuestra que $P\left(\displaystyle\bigcap_{r=1}^{\infty}A_r\right)=1$.

• Una moneda justa se lanza repetidamente. Demuestra que, con probabilidad uno, una cara se muestra tarde o temprano. Demuestra de manera similar que cualquier sucesión finita dada de caras y cruces ocurre eventualmente con probabilidad uno.

• Teorema de probabilidad total. Demuestra que si $B_1,B_2,\ldots$ es una partición de $\Omega$, entonces para cualquier evento $A$ se cumple que

$P\left(A\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{P\left(A\middle|\ B_i\right)P(B_i)}$.

• Teorema de Bayes. Demuestra que si $B_1,B_2,\ldots$ es una partición de $\Omega$ y sea $A$ un evento tal que $P\left(A\right)\neq 0$ entonces para cada $j=1,2,\ldots$

$P\left(B_j\middle|A\right)=\frac{P\left(A\middle|B_j\right)P\left(B_j\right)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{P\left(A\middle|B_i\right)P\left(B_i\right)}}$.

Más adelante…

Este resultado proporciona una herramienta para tratar las propiedades correspondientes a la descripción de las probabilidades asociadas a cantidades que se rigen por la aleatoriedad, cuyas funciones están definidas en el espacio de probabilidad y que llamaremos variables aleatorias.

Te invito a ver el siguiente video para saber más sobre este tema.

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