(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota iniciaremos el estudio de los números naturales. Hasta ahora sabemos trabajar con conjuntos, podemos considerar su complemento, unirlos, intersecarlos, considerar subconjuntos de ellos, considerar particiones y relaciones de equivalencia, etc. Con estas herramientas vamos a dar una definición de los números naturales basada en el sucesor, esta definición implicará los llamados axiomas de Peano, en honor al matemático Giuseppe Peano quien en el siglo XIX, los estableció para definir los números naturales. Así nuestro primer objetivo es dar una definición conjuntista de los números naturales y ver que implica los axiomas de Peano. Puedes consultar el siguiente enlace para conocer más a profundidad la historia de cómo se formalizó la aritmética: Los axiomas de Peano.

Empecemos definiendo lo que es el sucesor de un conjunto $x.$

Definición

Sea $x$ un conjunto, el sucesor de $x$ es:

$x^{+}=x\cup \{x\}.$

Observa que si definimos al cero como el conjunto vacío tenemos que:

$0=\mathrm{\varnothing }$

y entonces su sucesor $0^{+}$ es:

$0^{+}={\mathrm{\varnothing }}^{+}=\mathrm{\varnothing }\cup \{\mathrm{\varnothing }\}=\{\mathrm{\varnothing }\}=\{0\}$

Ese sucesor $0^{+}$ será por definición el $1$, entonces:

$1^{+}=1\cup \{1\}=\{0\}\cup \{1\}=\{0,1\}$

que es por definición el número 2, y así sucesivamente:

$2^{+}=2\cup \{2\}=\{0,1\}\cup \{2\}=\{0,1,2\}=3$

$3^{+}=3\cup \{3\}=\{0,1,2\}\cup \{3\}=\{0,1,2,3\}=4$

$⋮$

$n^{+}=n\cup \{n\}=\{0,\dots ,n-1\}\cup \{n\}=\{0,\dots ,n\}=n+1$

Aceptaremos que esta construcción puede ser llevada a infinito, y lo postularemos como un axioma.

Axioma del infinito

Existe un conjunto que tiene al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Démosle ahora nombre a este tipo especial de conjuntos, aquellos que tienen al cero y todos sus sucesores.

Definición

Sea $A$ un conjunto. Decimos que $A$ es un conjunto de sucesores si tiene como elemento al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

El la Teoría de Conjuntos a los conjuntos de sucesores también se les llama conjuntos inductivos.

Observemos que el Axioma del infinito asegura la existencia de al menos un conjunto de sucesores. Tiene sentido entonces considerar la intersección de cualquier familia no vacía de conjuntos sucesores y veremos que la intersección también es un conjunto de sucesores.

Lema

Sea $\mathcal{F}$ una familia no vacía formada por conjuntos de sucesores, entonces $\bigcap \mathcal{F}$ es un conjunto de sucesores.

Demostración

Sea $\mathcal{F}$ una familia no vacía formada por conjuntos de sucesores. Como $\mathcal{F}$ es no vacía, sabemos por la nota nota 14 que podemos considerar el conjunto $\bigcap \mathcal{F}$ que es la intersección de la colección $\mathcal{F}$.

Como $A$ es un conjunto de sucesores para todo $A\in \mathcal{F}$, entonces $0\in A$, para todo $A\in \mathcal{F}$, así $0\in \bigcap \mathcal{F}$.

Veamos ahora que $\bigcap \mathcal{F}$ tiene al sucesor de cada uno de sus elementos.

Sea $x\in \bigcap \mathcal{F}$ entonces $x\in A$ para todo $A\in \mathcal{F}$. Como cada $A$ es un conjunto de sucesores, se tiene que $x^{+}\in A$ para todo $A\in \mathcal{F}$, así $x^{+}\in \bigcap \mathcal{F}$.

Concluimos finalmente que $\bigcap \mathcal{F}$ es un conjunto de sucesores.

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Con esta definición de conjunto de sucesores y el lema anterior vamos a definir a los números naturales siguiendo las ideas del libro de José Alfredo Amor mencionado en la bibliografía y las notas de clase de la Dra. Avella. Por el lema anterior, existe un conjunto de sucesores, digamos $T$, por lo que podemos considerar a todos los conjuntos de sucesores contenidos en $T$. La familia $$\{S\subseteq T|S\text{ es un conjunto de sucesores}\}$$ es no vacía ya que al menos $T$ es uno de sus elementos y, de acuerdo a lo estudiado en la nota 14, podemos considerar su intersección. Así, definiremos a los números naturales como la intersección de esta familia.

Definición

Dado $T$ un conjunto de sucesores fijo sea $\mathcal{F}=\{S\subseteq T|S\text{ es un conjunto de sucesores}\}$ la colección formada por todos los conjuntos de sucesores contenidos en $T$. El conjunto de los números naturales, denotado por $\mathbb{N}$ es:

$\mathbb{N}={\displaystyle \bigcap }\mathcal{F}$.

Observación 1

Por el lema anterior, $\mathbb{N}$ es un conjunto de sucesores, así $0\in \mathbb{N}$ y si $x\in \mathbb{N}$, entonces $x^{+}\in \mathbb{N}$.

Observación 2

Sea $A$ un conjunto de sucesores cualquiera, entonces, por el lema anterior, $A\cap T$ es un conjunto de sucesores, y como $A\cap T\subseteq T$, entonces $A\cap T$ pertenece a la familia $\mathcal{F}=\{S\subseteq T|S\text{ es un conjunto de sucesores}\}$. En consecuencia, por las propiedades de la intersección, sabemos que ${\displaystyle \bigcap }\mathcal{F}\subseteq A\cap T$ y que $A\cap T\subseteq A$. Por lo tanto ${\displaystyle \bigcap }\mathcal{F}\subseteq A$, es decir, $\mathbb{N}\subseteq A$.

Esto nos dice que $\mathbb{N}$ está contenido en cada conjunto de sucesores. Es decir, $\mathbb{N}$ es el conjunto de sucesores «más pequeño» posible.

Proposición

Si $A\subseteq \mathbb{N}$ es tal que:

$i)$ $0\in A$, y

$ii)$ para toda $n$, si $n\in A$, entonces $n^{+}\in A$,

se tiene que $\mathbb{N}\subseteq A$ y así $A=\mathbb{N}$.

Demostración

Sea $A\subseteq \mathbb{N}$ que cumple las condiciones $i$ y $ii$, entonces por definición $A$ es un conjunto de sucesores y de acuerdo a la observación previa sabemos que $\mathbb{N}$ está contenido en cada conjunto de sucesores, en particular $\mathbb{N}$ está contenido en $A$, es decir $\mathbb{N}\subseteq A$. Así, $A\subseteq \mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\subseteq A$ , por lo tanto $A=\mathbb{N}$.

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Veremos que la definición que dimos de los números naturales anteriormente implica los axiomas de Peano. Enunciemos dichos axiomas y notemos cómo se derivan de nuestra definición.

Axiomas de Peano

1. $0\in \mathbb{N}$.

2. Si $n\in \mathbb{N}$, entonces $n^{+}\in \mathbb{N}$.

3. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, $n^{+}\ne 0$.

4. $\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N}$ si $n^{+}=m^{+}$, entonces $n=m$.

5. Si $A\subseteq \mathbb{N}$ es tal que:

$i)$ $0\in A$, y

$ii)$ para todo $n$, si $n\in A$, entonces $n^{+}\in A$,

se tiene que $\mathbb{N}\subseteq A$ y así $A=\mathbb{N}$.

El quinto axioma de Peano se conoce como el Principio de inducción, lo estudiaremos con detalle ya que se usa mucho para hacer pruebas referentes a afirmaciones de los números naturales.

Observa que en nuestro caso los axiomas de Peano no se usarán como axiomas, es decir no partiremos de que se cumplen, pues hemos construido los números naturales a partir de conjuntos, así que se tomarán como una proposición y se demostrará que con esta construcción de los naturales se cumplen las condiciones enunciadas. Sin embargo, les llamaremos axiomas de Peano porque inicialmente se establecieron como axiomas que describían a la colección de los números naturales.

Demostración

Observa que por la observación 1, consecuencia del lema previo que afirma que $\mathbb{N}$ es un conjunto de sucesores, se tiene que $0\in \mathbb{N}$, y además si $x\in \mathbb{N}$, entonces $x^{+}\in \mathbb{N}$, por lo que se cumplen los incisos 1 y 2 que se querían demostrar. Por otro lado el inciso $5$ se cumple por la proposición antes demostrada.

Demostración de 3

Queremos demostrar que: $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, $n^{+}\ne 0$.

Sea $n\in \mathbb{N}$, por definición $n^{+}=n\cup \{n\}$. Como $n\in \{n\}$ tenemos que , $n\in n\cup \{n\}$. Así, $n\in n^{+}$ y entonces $n^{+}\ne \mathrm{\varnothing }=0$.

Para probar $4$ requerimos un resultado.

Lema

Todo elemento de un número natural es también subconjunto de éste.

La prueba de este lema será la primera que realizaremos mediante la técnica de inducción que se basa en el quinto axioma de Peano. La idea esencial es probar que cierta propiedad se cumple para todos los naturales formando un subconjunto $A$ de naturales con todos los naturales que sí cumplen la propiedad, y luego verificando que es igual a $\mathbb{N}$. Para ello probaremos que

$i)0\in A$ (llamada la base de inducción), y que

$ii)$ si $n\in A$, entonces $n^{+}\in A$ (llamado paso Inductivo (PI), para ello supondremos que $n\in A$, hipótesis que se conoce comúnmente como la hipótesis de inducción (HI), y probaremos que $n^{+}\in A$.

Con estas dos condiciones satisfechas podemos asegurar que $A=\mathbb{N}$ en virtud del quinto Axioma de Peano, y, por lo tanto, que la propiedad se cumple para todo número natural.

En la nota 18 estudiaremos con más detalle este tipo de demostraciones.

Demostración

Esta prueba se hará por inducción usando el quinto axioma de Peano.

Sea $A=\{n\in \mathbb{N}\mid six\in nentoncesx\subseteq n\}\subseteq \mathbb{N}$. Probaremos que $A$ cumple $i$ y $ii$ del inciso 5 de la proposición anterior y concluiremos con ello que $A=\mathbb{N}.$

i) Base de inducción. Primero vamos a probar que el $0\in A$. Como $0=\mathrm{\varnothing }$, $0$ no tiene elementos y por vacuidad se cumple entonces que si $x\in 0$, entonces $x\subseteq 0$ (ya que no existen elementos de $0$ y por lo tanto no podríamos exhibir ninguno que no sea subconjunto de $0$). Así, $0\in A$ y se cumple el inciso $i$.

ii) Paso Inductivo. (PI). Ahora, veamos que si $n\in A$, entonces $n^{+}\in A$.

Sea $n\in A$.

Ésta es nuestra hipótesis de inducción.

Demostración de que $n^{+}\in A$ usando la HI.

Observa que al estar $n$ en $A$, $n$ cumple la propiedad que caracteriza a los elementos de $A$, es decir, si $x\in n,entoncesx\subseteq n$. Demostremos con ello que $n^{+}\in A,$ es decir que todo elemento de $n^{+}$ es un subconjunto de $n^{+}$. Consideremos $x\in n^{+}=n\cup \{n\}$ y verifiquemos que $x\subseteq n^{+}$.

Caso $1$, $x\in n$

Como $n\in A$ y $x\in n$, entonces $x\subseteq n$, además $n\subseteq n\cup \{n\}=n^{+}$. Así, $x\subseteq n$ y $n\subseteq n^{+}$, entonces $x\subseteq n^{+}$.

Caso $2$, $x\in \{n\}$

En este caso $x=n$ y como $x=n\subseteq n\cup \{n\}=n^{+}$ tenemos que $x\subseteq n^{+}.$

En ambos casos, suponiendo que $n\in A$, se tiene que $x\in n^{+}implicaquex\subseteq n^{+},$ probando así que $n^{+}$ es un elemento de $A$.

El conjunto $A$ cumple entonces las condiciones del quinto axioma de Peano (que ya hemos demostrado), y por lo tanto $A=\mathbb{N}$.

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Demostración de 4

Sea $n,m\in \mathbb{N}$ tales que $n^{+}=m^{+}$, entonces $n\cup \{n\}=m\cup \{m\}$. Así, $n\in n\cup \{n\}=m\cup \{m\}$, lo que implica que $n\in m$ o $n=m$. Por otro lado $m\in m\cup \{m\}=n\cup \{n\}$, entonces $m\in n$ o $m=n$.

Supongamos por reducción al absurdo que $n\ne m$, entonces se concluye de lo anterior que $n\in m$ y $m\in n$. Por el lema previo $n\subseteq m$ y $m\subseteq n$, así $n=m$, lo cual es una contradicción y por lo tanto $n=m$.

Hemos verificado que la construcción que dimos de los números naturales cumple los axiomas de Peano.

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Para concluir esta nota, mencionaremos las definiciones y propiedades de la suma y el producto de los números naturales que acabamos de definir. Aunque se presentan las definiciones y se enuncian las propiedades, cabe destacar que las pruebas de las mismas, realizadas por inducción, se desarrollarán en la nota 18b con el fin de estudiar primero la inducción matemática en casos menos abstractos.

Definición. Suma en $\mathbb{N}$

Dado $n\in \mathbb{N}$ definimos:

$n+0=n,$

para todo $m\in \mathbb{N}$, $n+m^{+}=(n+m{)}^{+}.$

Propiedades de la suma

Sean $n,m,l\in \mathbb{N}.$

1. $n+0=n$. Neutro aditivo.
2. $(n+m)+l=n+(m+l)$. Asociatividad.
3. Si $n+l=m+l$, entonces $n=m$. Cancelación.
4. $n+m=m+n$. Conmutatividad.
5. Si $n\ne 0$ o $m\ne 0$, entonces $n+m\ne 0$

Observación 3

Hay que observar que una vez se tiene definida la suma en $\mathbb{N}$ se puede ver que $n^{+}=n+1$, donde $1$ es el sucesor de $0$.

Demostración

Sea $m=0$, por definición de la suma en $\mathbb{N}$ se tiene que $n+0^{+}=(n+0{)}^{+}$. Pero $0^{+}=1$ y por la definición de suma se tiene que $n+0=n$, por lo que sustituyendo tenemos que $n+1=n^{+}$.

Definición. Producto en $\mathbb{N}$

Dado $n\in \mathbb{N}$ definimos:

$n\cdot 0=0,$

para todo $m\in \mathbb{N}$, $n\cdot m^{+}=n\cdot m+n.$

Propiedades del producto

Sean $n,m,l\in \mathbb{N}.$

1. $1\cdot n=n$. Neutro multiplicativo.
2. $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$. Distributividad.
3. $n\cdot m=m\cdot n$. Conmutatividad.
4. $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$. Asociatividad.
5. Si $n\ne 0$ y $m\ne 0$, entonces $n\cdot m\ne 0$
6. Si $l\ne 0$ y $n\cdot l=m\cdot l$ entonces $n=m$. Cancelación.

Tarea Moral

1. Describe a los números naturales $3$, $5$ y $7$ como conjuntos, usando la definición conjuntista.

2. Determina si las siguientes afirmaciones se cumplen o no.

• $3\subseteq 5$
• $7\subseteq 5$
• $3\in 5$
• $7\in 3$

3. Prueba que si $n\in \mathbb{N}$, entonces $n=0$ o $n=m^{+}$ con $m\in \mathbb{N}$. Sugerencia: define $A=\{0\}\cup \{m^{+}|m\in \mathbb{N}\}$ y usa el principio de inducción para demostrar que $A=\mathbb{N}$.

Más adelante

En la siguiente nota definiremos el orden en los números naturales y veremos distintos ejemplos donde aplicaremos el principio de inducción matemática para hacer demostraciones.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Nota siguiente. Nota 17. El orden en los números naturales.