(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota veremos cómo las relaciones de equivalencia dan lugar a particiones y finalmente concluiremos que toda relación de equivalencia tiene asociada una partición y viceversa, mostrando que dicha correspondencia es una biyección. Con esta nota concluiremos la primera unidad del presente trabajo.
Teorema
Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$, entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.
Demostración
Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$
Por demostrar que:
$\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.
Vamos a mostrar que el conjunto $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ cumple la definición de partición.
i) Por demostrar que $\overline{x}\neq \emptyset$, $\forall x\in A$.
Sea $x\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $x\sim x$, así $x\in \overline{x}$ y entonces $\overline{x}\neq \emptyset$.
ii) Por demostrar que si $x,y\in A$ son tales que $\overline{x}\neq \overline{y} $, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.
En la nota anterior mostramos que: $x\sim y\Longrightarrow \overline{x}=\overline{y}$, que es equivalente a: $\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $ (llamada la contrapositiva de la implicación). También mostramos que $x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$. Así, tenemos que:
$ \overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $
y
$x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$
Por lo tanto se sigue que:
$\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.
Así, tenemos lo que queríamos mostrar.
iii) Por demostrar que $\bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}=A$
Prueba por doble contención.
$\subseteq$ primera contención.
Sea $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$, entonces $z\in \overline{x}=\set{y\in A\mid y\sim x}$ para alguna $x\in A$, en particular $z\in A$. Por lo tanto $ \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}\subseteq A$.
$\supseteq$ segunda contención.
Sea $z\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $z\sim z$ así $z\in \overline{z}$, concluimos que $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$. Por lo tanto $A \subseteq \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$.
Como se cumplen las tres condiciones para que sea una partición entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.
Ejemplos
1. $A=\set{1,2,3,4,5}$
$\mathcal R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (1,5), (5,1) (2,5), (5,2) , (3,4),(4,3)}$
$\overline{1}=\set{1,2,5}$
$\overline{3}=\set{3,4}$
$\set{ \overline{1}, \overline{3}}=\set{ \set{1,2,5}, \set{3,4}} $ es la partición inducida por $\mathcal R$.
2. $A=\set{1,2,3,4,5}$
$\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Si la partición en $A$ inducida por $\mathcal R$ es:
$ \set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $
¿Quién es $\mathcal R$?
Observemos que
$\mathcal R=\set{ (3,3), (2,2), (2,4), (4,4), (4,2), (1,1), (1,5), (5,5), (5,1) }$
es una relación de equivalencia que induce la partición $\set{ \overline{3}, \overline{2}, \overline{1} }=\set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $.
Teorema
Sea $A$ un conjunto, consideremos:
$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$
$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$
Existe una biyección entre $\mathcal R_A$ y $\mathcal P_A$.
Demostración
Sea $A$ un conjunto, consideremos:
$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$
$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$
Definimos:
$\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ con
$\psi(r)=\set{\overline{x}^r\mid x\in A}\, \, \, \forall r\in \mathcal R_A$
donde $ \overline{x}^r =\set{y\in A\mid (y,x)\in r} $, es decir $\psi(r)$ es la colección de clases de equivalencia dadas por la relación $r$.
Veamos que $\psi$ es inyectiva.
Sean $r,\rho\in \mathcal R_A$ tales que $\psi(r)=\psi(\rho)$.
Por demostrar que $r=\rho$.
La prueba se hará por doble contención
$\subseteq$ primera contención.
Sea $(a,b)\in r$ entonces por simetría $(b,a)\in r$ y entonces $b\in \overline{a}^r$.
Por otro lado $ \overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }=\psi(r)$ que por hipótesis es igual $\psi(\rho)= \set{ \overline{x}^{\rho}\mid x\in A }$ , de manera que $ \overline{a}^r = \overline{c}^{\rho}$ para alguna $c\in A$. Como $b\in \overline{a}^r$, entonces $b\in \overline{c}^{\rho}$, así $(b,c)\in \rho$, y por simetría $(c,b)\in \rho$. También $a\in \overline{a}^r= \overline{c}^{\rho}$, así $(a,c)\in \rho$. Como $(a,c)\in \rho$ y $(c,b)\in \rho$, por transitividad $(a,b)\in \rho$. Por lo tanto $r\subseteq \rho$.
$\supseteq$ segunda contención. Es análoga y se deja como ejercicio al lector.
Concluimos finalmente que $r=\rho$ y así la función $\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ es inyectiva.
Veamos ahora que $\psi$ es suprayectiva.
Sea $p=\set{A_i\mid i\in I}$ una partición de $A$.
Definimos $r$ una relación en $A$ como:
$(x,y)\in r$ si y sólo si existe $i\in I$ tal que $(x,y)\in A_i$.
Ésta es una relación de equivalencia (demuéstralo).
Por demostrar que $\psi(r)=p$, es decir que $\set{\overline{x}^r\mid x\in A}=p$
La prueba es por doble contención.
$\subseteq$ primera contención.
Sea $\overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }$.
Por demostrar que $\overline{a}^r\in p$.
Como $A= \bigcup\limits_{i\in I}A_i$ entonces $a\in A_j$ para alguna $j\in I$. De hecho como $p$ es una partición, $A_j$ es el único elemento de $p$ al que pertenece $a$.
Pero
$\overline{a}^r=\set{b\in A\mid (b,a)\in r}=\set{b\in A\mid \exists i\in I \,\, tal \,\, que \,\, b,a\in A_i}=\set{b\in A\mid b\in A_j}=A_j\in p,$ y por lo tanto $\overline{a}^r\in p,$ y así $\psi(r)\subseteq p$.
$\supseteq$ segunda contención.
Sea $A_j\in p$ con $j\in I$. Sabemos que $A_j\neq \emptyset$,entonces podemos considerar $a\in A_j$, y como acabamos de ver en la primera contención, $A_j=\overline{a}^r\in \set{\overline{x}^r\mid x\in A}=\psi(r)$. Así, $p\subseteq \psi(r)$.
Con estas dos contenciones hemos probado que $p=\psi(r)$. De esta forma, dada una partición $p$ existe una relación de equivalencia que bajo $\psi$ da por resultado $p$. Por lo tanto $\psi$ es suprayectiva.
Como $\psi$ es suprayectiva e inyectiva, entonces $\psi$ es biyectiva.
$\square$
Tarea Moral
- Encuentra todas las posibles particiones de $\set{3,6,7,9}$, y para cada una de ellas encuentra la relación de equivalencia asociada.
- Considera la relación $\mathcal R$ en $\mathbb Z$, dada por: $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $4$ divide a $b-a$. Verifica que las distintas clases de equivalencia forman una partición de $\mathbb Z$.
- Sea $A=\set{1,2,3,4,5}$ y considera la relación dada por:
$R=\set{(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(4,5),(5,4)}$
Encuentra la partición asociada.
Más adelante
Con esta nota hemos terminado la unidad 1 del curso de Álgebra superior I. En las siguiente nota iniciaremos la unidad 2 donde haremos un estudio de los números naturales a partir de la definición conjuntista.
Enlaces relacionados
Nota anterior. Nota 14 Familias de conjuntos y particiones.
Nota siguiente. Nota 16. Los números naturales.