(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota veremos cómo las relaciones de equivalencia dan lugar a particiones y finalmente concluiremos que toda relación de equivalencia tiene asociada una partición y viceversa, mostrando que dicha correspondencia es una biyección. Con esta nota concluiremos la primera unidad del presente trabajo.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal{R}$ una relación de equivalencia en $A$, entonces $\{\bar{x}\mid x\in A\}$ es una partición de $A$.

Demostración

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal{R}$ una relación de equivalencia en $A$

Por demostrar que:

$\{\bar{x}\mid x\in A\}$ es una partición de $A$.

Vamos a mostrar que el conjunto $\{\bar{x}\mid x\in A\}$ cumple la definición de partición.

i) Por demostrar que $\bar{x}\ne \mathrm{\varnothing }$, $\mathrm{\forall }x\in A$.

Sea $x\in A$, como $\mathcal{R}$ es reflexiva $x\sim x$, así $x\in \bar{x}$ y entonces $\bar{x}\ne \mathrm{\varnothing }$.

ii) Por demostrar que si $x,y\in A$ son tales que $\bar{x}\ne \bar{y}$, entonces $\bar{x}\cap \bar{y}=\mathrm{\varnothing }$.

En la nota anterior mostramos que: $x\sim y⟹\bar{x}=\bar{y}$, que es equivalente a: $\bar{x}\ne \bar{y}⟹x\nsim y$ (llamada la contrapositiva de la implicación). También mostramos que $x\nsim y⟹\bar{x}\cap \bar{y}=\mathrm{\varnothing }$. Así, tenemos que:

$\bar{x}\ne \bar{y}⟹x\nsim y$

y

$x\nsim y⟹\bar{x}\cap \bar{y}=\mathrm{\varnothing }$

Por lo tanto se sigue que:

$\bar{x}\ne \bar{y}⟹\bar{x}\cap \bar{y}=\mathrm{\varnothing }$.

Así, tenemos lo que queríamos mostrar.

iii) Por demostrar que $\bigcup _{x\in A}\bar{x}=A$

Prueba por doble contención.

$\subseteq$ primera contención.

Sea $z\in \bigcup _{x\in A}\bar{x}$, entonces $z\in \bar{x}=\{y\in A\mid y\sim x\}$ para alguna $x\in A$, en particular $z\in A$. Por lo tanto $\bigcup _{x\in A}\bar{x}\subseteq A$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $z\in A$, como $\mathcal{R}$ es reflexiva $z\sim z$ así $z\in \bar{z}$, concluimos que $z\in \bigcup _{x\in A}\bar{x}$. Por lo tanto $A\subseteq \bigcup _{x\in A}\bar{x}$.

Como se cumplen las tres condiciones para que sea una partición entonces $\{\bar{x}\mid x\in A\}$ es una partición de $A$.

Ejemplos

1. $A=\{1,2,3,4,5\}$

$\mathcal{R}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(1,5),(5,1)(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}$

$\bar{1}=\{1,2,5\}$

$\bar{3}=\{3,4\}$

$\{\bar{1},\bar{3}\}=\{\{1,2,5\},\{3,4\}\}$ es la partición inducida por $\mathcal{R}$.

2. $A=\{1,2,3,4,5\}$

$\mathcal{R}$ una relación de equivalencia en $A$. Si la partición en $A$ inducida por $\mathcal{R}$ es:

$\{\{3\},\{2,4\},\{1,5\}\}$

¿Quién es $\mathcal{R}$?

Observemos que

$\mathcal{R}=\{(3,3),(2,2),(2,4),(4,4),(4,2),(1,1),(1,5),(5,5),(5,1)\}$

es una relación de equivalencia que induce la partición $\{\bar{3},\bar{2},\bar{1}\}=\{\{3\},\{2,4\},\{1,5\}\}$.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

${\mathcal{R}}_A=\{r\mid resunarelacióndeequivalencia\}$

${\mathcal{P}}_A=\{p\mid pesunaparticióndeA\}$

Existe una biyección entre ${\mathcal{R}}_A$ y ${\mathcal{P}}_A$.

Demostración

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

${\mathcal{R}}_A=\{r\mid resunarelacióndeequivalencia\}$

${\mathcal{P}}_A=\{p\mid pesunaparticióndeA\}$

Definimos:

$\psi :{\mathcal{R}}_A\to {\mathcal{P}}_A$ con

$\psi (r)=\{{\bar{x}}^r\mid x\in A\}\mathrm{\forall }r\in {\mathcal{R}}_A$

donde ${\bar{x}}^r=\{y\in A\mid (y,x)\in r\}$, es decir $\psi (r)$ es la colección de clases de equivalencia dadas por la relación $r$.

Veamos que $\psi$ es inyectiva.

Sean $r,\rho \in {\mathcal{R}}_A$ tales que $\psi (r)=\psi (\rho )$.

Por demostrar que $r=\rho$.

La prueba se hará por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $(a,b)\in r$ entonces por simetría $(b,a)\in r$ y entonces $b\in {\bar{a}}^r$.

Por otro lado ${\bar{a}}^r\in \{{\bar{x}}^r\mid x\in A\}=\psi (r)$ que por hipótesis es igual $\psi (\rho )=\{{\bar{x}}^{\rho }\mid x\in A\}$ , de manera que ${\bar{a}}^r={\bar{c}}^{\rho }$ para alguna $c\in A$. Como $b\in {\bar{a}}^r$, entonces $b\in {\bar{c}}^{\rho }$, así $(b,c)\in \rho$, y por simetría $(c,b)\in \rho$. También $a\in {\bar{a}}^r={\bar{c}}^{\rho }$, así $(a,c)\in \rho$. Como $(a,c)\in \rho$ y $(c,b)\in \rho$, por transitividad $(a,b)\in \rho$. Por lo tanto $r\subseteq \rho$.

$\supseteq$ segunda contención. Es análoga y se deja como ejercicio al lector.

Concluimos finalmente que $r=\rho$ y así la función $\psi :{\mathcal{R}}_A\to {\mathcal{P}}_A$ es inyectiva.

Veamos ahora que $\psi$ es suprayectiva.

Sea $p=\{A_i\mid i\in I\}$ una partición de $A$.

Definimos $r$ una relación en $A$ como:

$(x,y)\in r$ si y sólo si existe $i\in I$ tal que $(x,y)\in A_i$.

Ésta es una relación de equivalencia (demuéstralo).

Por demostrar que $\psi (r)=p$, es decir que $\{{\bar{x}}^r\mid x\in A\}=p$

La prueba es por doble contención.

$\subseteq$ primera contención.

Sea ${\bar{a}}^r\in \{{\bar{x}}^r\mid x\in A\}$.

Por demostrar que ${\bar{a}}^r\in p$.

Como $A=\bigcup _{i\in I}{A}_i$ entonces $a\in A_j$ para alguna $j\in I$. De hecho como $p$ es una partición, $A_j$ es el único elemento de $p$ al que pertenece $a$.

Pero

${\bar{a}}^r=\{b\in A\mid (b,a)\in r\}=\{b\in A\mid \mathrm{\exists }i\in Italqueb,a\in A_i\}=\{b\in A\mid b\in A_j\}=A_j\in p,$ y por lo tanto ${\bar{a}}^r\in p,$ y así $\psi (r)\subseteq p$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $A_j\in p$ con $j\in I$. Sabemos que $A_j\ne \mathrm{\varnothing }$,entonces podemos considerar $a\in A_j$, y como acabamos de ver en la primera contención, $A_j={\bar{a}}^r\in \{{\bar{x}}^r\mid x\in A\}=\psi (r)$. Así, $p\subseteq \psi (r)$.

Con estas dos contenciones hemos probado que $p=\psi (r)$. De esta forma, dada una partición $p$ existe una relación de equivalencia que bajo $\psi$ da por resultado $p$. Por lo tanto $\psi$ es suprayectiva.

Como $\psi$ es suprayectiva e inyectiva, entonces $\psi$ es biyectiva.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

1. Encuentra todas las posibles particiones de $\{3,6,7,9\}$, y para cada una de ellas encuentra la relación de equivalencia asociada.
   
2. Considera la relación $\mathcal{R}$ en $\mathbb{Z}$, dada por: $(a,b)\in \mathcal{R}$ si y sólo si $4$ divide a $b-a$. Verifica que las distintas clases de equivalencia forman una partición de $\mathbb{Z}$.
   
3. Sea $A=\{1,2,3,4,5\}$ y considera la relación dada por:
   $R=\{(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(4,5),(5,4)\}$
   Encuentra la partición asociada.
   

Más adelante

Con esta nota hemos terminado la unidad 1 del curso de Álgebra superior I. En las siguiente nota iniciaremos la unidad 2 donde haremos un estudio de los números naturales a partir de la definición conjuntista.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 14 Familias de conjuntos y particiones.

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