$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

Es momento de interactuar entre dos espacios métricos, $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$, cada uno con su respectivo conjunto de puntos y métrica definida en ellos. Podemos relacionar puntos del espacio métrico $X$ con puntos en el espacio métrico $Y$. Será natural preguntarse qué ocurre con las distancias en el nuevo espacio métrico, en comparación con el de origen. Considera la siguiente:

Definición. Imagen de un conjunto. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $A\subset X$ y $f:X\to Y$, es una función, entonces $f$ define un conjunto en $Y$ dado por $f(A):=\{f(x)|x\in A\}$, que llamaremos la imagen de $A$ bajo $f$ y es la colección de elementos que se le asignan a cada elemento de $A$.

Ahora preguntamos: ¿bajo qué circunstancias una función envía puntos de $A\subset X$ a puntos en $Y$ que se aproximan a algún punto $L\in Y$?

Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$, por definición, todas sus bolas abiertas tienen elementos en $A$ distintos de $x_0$. Podemos así, identificar puntos cercanos a $x_0$, según la distancia $d_X$, que bajo la función $f$ sean enviados a puntos en $Y$ que estén cerca de un punto $L$, según la distancia $d_Y$.
Como los puntos cerca de $L$ en $(Y,d_Y)$ son los que están en la bola de radio $\epsilon$ con centro en $L,$ se busca conseguir que los puntos cerca de $x_0$ caigan justamente en $B_Y(L,\epsilon )$. (El subíndice $Y$ en $B_Y$ nos recuerda en qué espacio métrico es considerada la bola abierta. Recuerda que pueden ser diferentes, según la métrica a la que se refiera).

De manera formal tenemos la siguiente:

Definición. Límite de una función. Sea $f:X\to Y$ una función entre espacios métricos y $x_0$ un punto de acumulación de $A$. Decimos que el límite de $f$, cuando $x$ tiende al punto $x_0$ es $L\in Y$, si ocurre que para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para todo $x\ne x_0,\text{ si }d(x,x_0)<\delta$ entonces $d(f(x),L)<\epsilon$. Se denota como:
$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$$
Se dice entonces que $f(x)\to L$ cuando $x\to x_0$.

Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $f(B_X(x_0,\delta )\setminus \{x_0\})\subset B_Y(L,\epsilon )$.

Veamos un resultado que nos permite concluir límites a partir de sucesiones.

Proposición. Considera $A\subset X$ y $x_0\in A$ un punto de acumulación en $A$. Entonces $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$$ si y solo si para toda sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ en $A\setminus \{x_0\}$ tal que $x_n\to x_0$ ocurre que $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=L$$.
Demostración:
Sea $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión en $A\setminus \{x_0\}$ que converge a $x_0$ y sea $\epsilon >0$. Como $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ entonces existe $\delta >0$ tal que para todo $x\ne x_0,\text{ si }d(x,x_0)<\delta$ entonces $d(f(x),L)<\epsilon$.

Como $(x_n)\to x_0$, entonces existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n\ge N,d(x_n,x_0)<\delta$, así $\mathrm{\forall }n\ge N,d(f(x_n),L)<\epsilon$ por lo tanto $f(x_n)\to L$ en $Y$.

Las siguientes proposiciones son propiedades de límites de funciones en los espacios métricos mencionados:

Proposición. Sean $f:A\to \mathbb{C}$ y $g:A\to \mathbb{C}$. Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L_1$ y $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=L_2$, se tiene que:

a) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\pm g(x)=L_1\pm L_2$
b) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)g(x)=L_1{L}_2$
c) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)/g(x)=L_1/L_2$ cuando $L_2\ne 0$

La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sean $f,g:A\subset X\to {\mathbb{R}}^n$ Si se definen
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ y $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ entonces si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L_1$ y $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=L_2$, se tiene que:

a) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\pm g(x)=L_1\pm L_2$.
b) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\cdot g(x)=L_1\cdot L_2$.
c) $\underset{x\to x_0}{lim}\lambda f(x)=\lambda L_1$con $\lambda \in \mathbb{R}$.

La demostración se deja como ejercicio.

Más adelante…

Veremos el caso para cuando la función sí está definida en $x_0\in A\subset X$ y más aún, la función tiene como límite al punto $f(x_0)$. Hablaremos así de funciones continuas en un punto $x_0$ y observaremos el efecto que estas funciones producen en subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio métrico.

Tarea moral

1. Demuestra las dos proposiciones anteriores.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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