Introducción

Ya se ha visto que en una hilera armónica se tienen cuatro puntos colineales $A,B,C,D$, donde el segmento $AB$ está dividido por $C$ y $D$ en razones cuya razón es:
$\frac{AC}{CB}/\frac{AD}{DB}=-1.$
En este caso $A$ y $B$ están separados armónicamente por $C$ y $D$, pero que pasaría si estos cuatro puntos estuvieran en posiciones cualesquiera en la recta que se encuentran, es aquí donde entra la definición de razón cruzada.

Razón cruzada para hilera y haces

Definición. (Razón Cruzada) Dados cuatro puntos colineales distintos $A,B,C,D$ en una recta, diremos que la razón cruzada es:

$\frac{AC}{CB}/\frac{AD}{DB}=\{ABCD\}=k$ con $k\ne -1.$

Lo denotaremos $\{ABCD\}$.

También se le conoce como razón anarmónica y razón doble.

Observación. Si los cuatro puntos son armónicos, entonces $\{ABCD\}=-1$, de igual forma inversamente.

Definición. (Razón Cruzada con líneas concurrentes) Sean cuatro rectas concurrentes $OA$, $OB$, $OC$ y $OD$ en un punto $O$, que no se forme un haz armónico, entonces la razón cruzada es:

$\frac{sen(AOC)}{sen(COB)}/\frac{sen(AOD)}{sen(DOB)}$,

se denotará como $O\{ABCD\}$. De igual forma, la razón cruzada de cuatro líneas concurrentes $a,b,c,d$ se denotará $\{a,b,c,d\}$.

Observación. Dados cuatro puntos colineales $A,B,C,D$ se tienen estos casos:

1) $\{ABCC\}=1$ esto, ya que $\{ABCC\}=\frac{AC}{CB}/\frac{AC}{CB}=\frac{AC\ast CB}{CB\ast AC}=1$.

2) $\{ABCB\}=0$ esto ya que $\{ABCB\}=\frac{AC}{CB}/\frac{AB}{BB}=\frac{AC\ast BB}{CB\ast AB}=0$.

3) $\{ABCA\}=\mathrm{\infty }$ esto ya que $\{ABCA\}=\frac{AC}{CB}/\frac{AA}{AB}=\frac{AC\ast AB}{CB\ast AA}=\mathrm{\infty }$.

Por lo cual se puede demostrar que si la razón cruzada de cuatro puntos tiene uno de los valores $1,0,\mathrm{\infty }$ entonces dos de los puntos coinciden.

Teorema. (Razón Cruzada) Si se tienen cuatro puntos distintos $A,B,C,D$ en una recta y $O$ un punto (no está en la recta) entonces:

$\{ABCD\}=O\{ABCD\} .$

Demostración. Para demostrar el teorema se usará lo siguiente, si dos puntos finitos $A$ y $B$ distintos en una recta, sea $P$ otro punto de la misma recta y $C$ un punto que no está en la recta, entonces

$\frac{AP}{PB}=\frac{CA\ast sen(ACP)}{CB\ast sen(PCB)}$

Entonces usando lo anterior:

$\frac{AC}{CB}=\frac{OA\ast sen(AOC)}{OB\ast sen(COB)}$ y $\frac{AD}{DB}=\frac{OA\ast sen(AOD)}{OB\ast sen(DOB)}$

$\{ABCD\}=\frac{AC}{CB}/\frac{AD}{DB}=\frac{OA\ast sen(AOC)}{OB\ast sen(COB)}/\frac{OA\ast sen(AOD)}{OB\ast sen(DOB)}=\frac{sen(AOC)}{sen(COB)}/\frac{sen(AOD)}{sen(DOB)}=O\{ABCD\}.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Corolario. Sean dos rectas transversales a cuatro líneas de un haz, de las cuales ninguna pasa por el vértice, cortan a estas líneas en $A,B,C,D$ y $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ respectivamente, entonces $\{ABCD\}=\{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\}$.

Demostración. $\{ABCD\}=O\{ABCD\}= O\{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\}=\{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\}.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Corolario. Sean dos haces con vertices en $O$ y $O^{\prime }$ son subtendidos por la misma hilera de puntos $A,B,C,D$ entonces $O\{ABCD\}= O^{\prime }\{ABCD\}$.

Demostración. $O\{ABCD\}= \{ABCD\}=O^{\prime }\{ABCD\}.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Corolario. Sean $l$ y $l^{\prime }$ dos rectas en posición cualquiera y sean $A,B,C,D\in l$ y $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }\in l^{\prime }$. Si $\{ABCD\}=\{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\}$ y $O$ y $O^{\prime }$ son colineales con $A$ y $A^{\prime }$, entonces las intersecciones $OB$ y $O^{\prime }{B}^{\prime }$, $OC$ y $O^{\prime }{C}^{\prime }$, $OD$ y $O^{\prime }{D}^{\prime }$ son colineales.

Demostración. Sea $l^{\prime }$${}^{\prime }$ la recta que contiene a $B^{\prime }$${}^{\prime }$ y $C^{\prime }$${}^{\prime }$, y sean $A^{\prime }$${}^{\prime }=l^{\prime }$${}^{\prime }\cap O{O}^{\prime }$, $D^{\prime }$${}^{\prime }=OD\cap O^{\prime }{D}^{\prime }$ y sea $D^{\ast }=l^{\prime }$${}^{\prime }\cap O^{\prime }{D}^{\prime }$.
Tenemos que $\{ABCD\}=\{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\}$ entonces $\{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\}=\{A^{\prime }$${}^{\prime }{B}^{\prime }$${}^{\prime }{C}^{\prime }$${}^{\prime }{D}^{\ast }\}$.
$\Rightarrow$ $\{ABCD\}=\{A^{\prime }$${}^{\prime }{B}^{\prime }$${}^{\prime }{C}^{\prime }$${}^{\prime }{D}^{\ast }\}$
$\Rightarrow$ $O\{ABCD\}=\{A^{\prime }$${}^{\prime }{B}^{\prime }$${}^{\prime }{C}^{\prime }$${}^{\prime }{D}^{\ast }\}$
$\Rightarrow$ $D^{\prime }$${}^{\prime }=D^{\ast }.$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante…

Se seguirá abordando unas propiedades de la razón cruzada y además se construirá un cuarto elemento dada una razón.

Entradas relacionadas

• Ir a Geometría Moderna II
• Entrada anterior del curso: Ejercicios Unidad 3
• Siguiente entrada del curso: Construcción del cuarto elemento dada la razón