Introducción

Se tiene una correspondencia geométrica fundamental, la cual implica la transformación de cada punto del plano en una línea recta única y viceversa, mediante el uso de una circunferencia. La línea recta vinculada a un punto se denomina la polar de dicho punto, mientras que el punto mismo recibe el nombre de polo de la línea, es por ello que estudiaremos el tema de polos y polares.

Polos y Polares

Definición. Dada una circunferencia $C(O,r)$, dos puntos inversos $P$ y $Q$ respecto a $C(O,r)$. Sea $p$ la perpendicular a $OQ$ y que pasa por $Q$, y sea $q$ la perpendicular a $OP$ y pasa por $P$.

Entonces se dirá que «$p$ es la recta polar de $P$» y «$q$ es la recta polar de $Q$» ambas respecto a $C$. De igual forma se dirá que «$Q$ es el polo de $q$» y «$P$ es el polo de $p$» ambos respecto a $C$.

Se cumplen varias propiedades:

1.- Si $P$ es un punto exterior a la circunferencia, entonces $p$ es secante a la circunferencia $C$.

2.- Si $P$ es un punto de $C$, entonces $p$ es tangente a la circunferencia $C$.

3.- Si $P$ es un punto interior a $C$, entonces $p$ es ajena a la circunferencia $C$.

4.- La polar del centro de la circunferencia es la línea al infinito, y el polo de un diámetro de circunferencia $C$ es un punto al infinito.

Teorema. (Fundamental de Polos y Polares) Si respecto a una circunferencia dada $C(O,r)$, la polar de $P$ pasa por $Q$ entonces la polar de $Q$ pasa por $P$. A las rectas $p$ y $q$, se les llama conjugadas polares y, a los puntos $P$ y $Q$ se les denomina conjugados polares.

Demostración. Se tiene que $p$ es la polar de $P$ y $Q$ pertenece a $p$, ahora se tiene que $Q^{\prime }$ es el inverso de $Q$ entonces $OP\times O{P}^{\prime }=r^2=OQ\times O{Q}^{\prime }$, por lo cual se tiene un cuadrilátero cíclico $P{P}^{\prime }Q{Q}^{\prime }$, entonces $Q^{\prime }P$ es perpendicular a $OQ$.

Por lo tanto, $Q^{\prime }P=q$ es polar de $Q$.

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Corolario. Sean $p$ y $q$ líneas tales que, con respecto a una circunferencia $C$ dada, se dice que el polo de $p$ está en $q$, entonces el polo de $q$ está en $p$.

Demostración. Dadas $p$ y $q$ dos rectas y $P$ el polo de $p$, supongamos que $P$ está en $q$.

Sea $P^{\prime }$ el inverso de $P$ y $P^{\prime }$ perteneciente a $p$. Sean $O{Q}^{\prime }$ perpendicular a $q$ y $Q$ es $O{Q}^{\prime }$ intersección con $p$, pero $P{Q}^{\prime }QP$ es un cuadrilátero cíclico, la circunferencia que lo contiene es ortogonal a $C$ y su inversa respecto a $C$ es ella misma, también $OP\times O{P}^{\prime }=OQ\times O{Q}^{\prime }=r^2$.

Entonces $Q$ y $Q^{\prime }$ son inversas, por lo tanto, $Q$ es polo de $q$.

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«Se puede decir que las polares de una hilera son las líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.»

Definición. (Puntos Conjugados) Dados dos puntos $P$ y $Q$ con respecto a una circunferencia, tales que la polar de uno pasa por el otro, diremos que $P$ y $Q$ son puntos conjugados respecto a la circunferencia $C$.

Definición. (Líneas Conjugadas) Respecto a una circunferencia $C$, se tienen dos líneas $p$ y $q$ tales que el polo de una está en el otro, se dirá que $p$ y $q$ son rectas conjugadas respecto a la circunferencia $C$.

Se tienen las siguientes propiedades:

1.- De dos puntos conjugados distintos en una línea que interseque la circunferencia, uno está dentro y el otro fuera de la circunferencia.

Demostración. Sea $r$ la línea que contiene a $P$ y $Q$, sea $R$ el polo de $r$ por lo cual la polar de $R$ es $r$ y pasa por $P$, entonces la polar de $P$ pasa por $R$, ahora como $P$ y $Q$ son conjugados entonces la polar de $P$ pasa por $Q$, por lo cual la polar de $P$ es la línea $RQ$ !

Por lo tanto, uno de los dos puntos conjugados está dentro y el otro afuera de la circunferencia.

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2.- Dadas dos líneas distintas conjugadas que se intersecan fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.

3.- Cualquier punto en la circunferencia es conjugado a todos los puntos de la tangente en ese punto.

4.- Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.

Más adelante…

La relación armónica está relacionada con respecto a lo hablado de polos y polares, por lo cual más adelante se hablara sobre teoremas relacionados con ambos temas.

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