$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

Probablemente estés familiarizado con las funciones continuas de los cursos de cálculo. Esta noción se retoma para funciones entre espacios métricos. Diremos que una función entre espacios métricos $X$ y $Y,$ $f:X\to Y$ es continua en un punto $x_0$ de $X$ si para puntos que están «junto a» $x_0$ en $X$, los puntos correspondientes bajo la función $f$ también están junto a $f(x_0).$ Este tipo de funciones nos permite identificar propiedades entre los espacios métricos que relaciona. En esta entrada comenzaremos a explorar algunos resultados. Comencemos con la definición:

Definición. Función continua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Diremos que una función $\varphi :X\to Y$ es continua en el punto $x_0\in X$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para todo $x\in X$ si $d_X(x,x_0)<\delta$ entonces $d_Y(\varphi (x),\varphi (x_0))<\epsilon$. Si $\varphi :X\to Y$ es continua en cada punto de $A\subset X$, diremos que $\varphi$ es continua en $A$.

Si comparas esta definición con la de la entrada anterior, Límite de una función, estarás de acuerdo en que una funcíon $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si
$$\underset{x\to x_0}{lim}\varphi (x)=\varphi (x_0)$$

Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: La función $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si para todo $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $\varphi (B_X(x_0,\delta ))\subset B_Y(\varphi (x_0),\epsilon )$. Observa que en la definición de continuidad, a diferencia de la de límite, no se excluye al punto de continuidad $x_0$.

Ejemplos

La función constante
Para cualesquiera dos espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ la función constante $\varphi :X\to Y$ tal que para todo $x\in X,\varphi (x)=c$ para algún $c\in Y$, es continua en cualquier punto de $X.$

Demostración:
Sea $\epsilon >0$ y $\delta =1$ (cualquier valor para delta funciona). Sea $x_0\in X$. Entonces si $d_X(x_0,x)<1$ se cumple que $d_Y(\varphi (x_0),\varphi (x))=d_Y(c,c)=0<\epsilon .$ Por lo tanto, $f$ es continua en $X.$

Cualquier función que tenga como dominio al espacio discreto es continua.

Demostración:
Sea $(X,d_{disc})$ el espacio discreto, $(Y,d_Y)$ espacio métrico y $\varphi :X\to Y$. Sea $\epsilon >0$ y sea $x_0\in X$. Entonces, si $\delta =1$ (cualquier delta mayor que cero pero menor igual que $1$ funciona) tenemos:
$d_{disc}(x_0,x)<\delta$ entonces $x_0=x$ así $d_Y(\varphi (x_0),\varphi (x))=d_Y(\varphi (x_0),\varphi (x_0))=0<\epsilon .$ Por lo tanto, $\varphi$ es continua en el espacio discreto $X$.

La siguiente proposición expresa la continuidad en términos de sucesiones.
Proposición. La función $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si y solo si para toda sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que converge en $X$ se cumple que:
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\varphi (x_n)=\varphi (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n).$$ La demostración se deja como ejercicio. Te sugerimos comparar esta proposición con la que concluye el límite de una función a partir de sucesiones vista en Límite de una función.

Las siguientes son propiedades de las funciones continuas:

Proposición. Sean $\varphi ,\psi :A\subset X\to \mathbb{C}$ funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:

a) $\varphi (x)\pm \psi (x)$ es continua en $x_0$.
b) $\varphi (x)\psi (x)$ es continua en $x_0$.
c) $\varphi (x)/\psi (x)$ es continua en $x_0$ cuando $\psi (x_0)\ne 0$

La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sean $\varphi ,\psi :A\subset X\to {\mathbb{R}}^n$ dos funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:
a)$(\varphi \pm \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
b)$(\varphi \cdot \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
c) $\lambda \varphi (x)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ es continua en $x_0$.

La demostración se deja como ejercicio.

Antes de continuar, veamos con detenimiento la siguiente:
Definición. Imagen inversa. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos y $f:X\to Y$ una función entre ellos. Si $U\subset Y,$ diremos que la imagen inversa del subconjunto $U$, es el conjunto de todos los elementos de $X$ que bajo la función $f$ están en $U$. Se denota como $f^{-1}(U).$ Formalmente tenemos:
$$f^{-1}(U)=:\{x\in X:f(x)\in U\}$$

Nota: Ten cuidado de no confundir el concepto de imagen inversa $f^{-1}(U)$ (que es una forma de definir conjuntos en $X$ a partir de un conjunto en $Y$) con el concepto de la función inversa de $f$ que, aunque también se denota como $f^{-1},$ hace referencia a una función que se evalúa en puntos de $Y$ y solo existe cuando $f$ es biyectiva.

Ahora consideremos un conjunto $U_1\subset X.$ La función $f$ define en $Y$ el conjunto $f(U_1)$. Si renombramos a este conjunto como $U_2$ y buscamos identificar ahora la imagen inversa de este nuevo conjunto, ¿regresaremos al mismo conjunto $U_1$ del cual partimos? Observa que, dependiendo la naturaleza de la función, es posible que la imagen inversa nos arroje un conjunto más grande que el $U_1$ inicial, sin embargo $U_1$ estará contenido.

Esto ocurre porque es posible que haya puntos en $U_2$ que son igualmente asignados por la función $f$ para puntos fuera de $U_1$.

¿Bajo qué condiciones no pasaría esto?

Para finalizar esta sección, veamos las siguientes propiedades de las funciones continuas:

Proposición. Sean $X$ y $Y$ espacios métricos y $\varphi :X\to Y$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) $\varphi :X\to Y$ es continua.
b) Para todo subconjunto abierto $U\subset Y$, ${\varphi }^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $X.$
c) Para todo subconjunto cerrado $V\subset Y$, ${\varphi }^{-1}(V)$ es un conjunto cerrado en $X.$

Demostración:
Para probar a) $\Rightarrow$ b) considera $U\subset Y$ abierto y $x\in {\varphi }^{-1}(U).$ Entonces existe $\epsilon >0$ tal que $B_Y(\varphi (x),\epsilon )\subset U$, pues $U$ es abierto. Como $\varphi$ es continua en $x$, entonces existe $\delta >0$ tal que $\varphi (B_X(x,\delta ))\subset B_Y(\varphi (x),\epsilon )\subset U.$ Por lo tanto $B_X(x,\delta ))\subset {\varphi }^{-1}(U)$ lo que demuestra que ${\varphi }^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $X.$

Para probar b) $\Rightarrow$ c) considera $V\subset Y$ cerrado. Entonces $Y\setminus V$ es abierto en $Y$. Así ${\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ es abierto en $X$ de modo que $X\setminus {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ es cerrado en $X$.
Nota que ${\varphi }^{-1}(V)=X\setminus {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ pues $x\in {\varphi }^{-1}(V)$ $\iff$ $\varphi (x)\in V$ $\iff$ $\varphi (x)\notin (Y\setminus V)$ $\iff$ $x\notin {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$ $\iff$ $x\in X\setminus {\varphi }^{-1}(Y\setminus V)$. Por lo tanto ${\varphi }^{-1}(V)$ es cerrado en $X.$

Para probar c) $\Rightarrow$ a) considera $x\in X$. Sea $\epsilon >0$ entonces la bola $B_Y(\varphi (x),\epsilon )$ es abierto por lo tanto su complemento $Y\setminus B_Y(\varphi (x),\epsilon )$ es cerrado. Por hipótesis, la imagen inversa dada por ${\varphi }^{-1}(B_Y(\varphi (x),\epsilon ))$ es un conjunto cerrado en $X$. En consecuencia el complemento de ${\varphi }^{-1}(B_Y(\varphi (x),\epsilon ))$ es un conjunto abierto en $X$ que tiene a $x$ como elemento. Llamemos $U$ a este conjunto.

Como $U$ es abierto, existe $\delta >0$ tal que $B_X(x,\delta )\subset U$. Por lo tanto la imagen $f(B_X(x,\delta ))\subset B_Y(\varphi (x),\epsilon )$ lo que prueba que la función $\varphi$ es continua en $x$. Como $x$ fue arbitrario, se concluye que $\varphi$ es continua en el espacio $X$.

Más adelante…

Veremos cómo la existencia de funciones continuas entre dos espacios muestra propiedades que se conservan en ambos. Ya no hablaremos solo de la cercanía a los puntos, sino que haremos esa distancia más específica y comparable a la registrada en el espacio del dominio. Conoceremos así a los espacios isomorfos y homeomorfos.

Tarea moral

1. Demuestra que la función $\varphi :X\to Y$ es continua en $x_0\in X$ si y solo si para toda sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ que converge en $X$ se cumple que:
   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n)$$.
2. Demuestra que si $\varphi ,\psi :A\subset X\to \mathbb{C}$ son funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:
   a) $\varphi (x)\pm \psi (x)$ es continua en $x_0$.
   b) $\varphi (x)\psi (x)$ es continua en $x_0$.
   c) $\varphi (x)/\psi (x)$ es continua en $x_0$ cuando $\psi (x_0)\ne 0$
3. Demuestra que si $\varphi ,\psi :A\subset X\to {\mathbb{R}}^n$ son dos funciones continuas en $x_0\in X$, entonces:
   a)$(\varphi \pm \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
   b)$(\varphi \cdot \psi )(x)$ es continua en $x_0$.
   c) $\lambda \varphi (x)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ es continua en $x_0$.
4. Usa la última proposición de esta sección para probar que cualquier función que tenga como dominio al espacio discreto es continua.
5. ¿Es posible concluir que cualquier función que tenga como contradominio al espacio discreto es continua?

Enlaces

• Análisis Matemático.
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