$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

«Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de «proximidad», una idea que está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la Topología y el Análisis.

Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M.Fréchet en 1906. Probó que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados podían extenderse de manera natural a los espacios métricos. Más tarde, el concepto fue desarrollado por F. Hasdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes». (Diaz, 1998).

¿Qué es un espacio métrico?

Pensemos en un conjunto de elementos que representamos como puntos. Supongamos que cada vez que tomamos dos puntos cualesquiera del conjunto podemos hablar de la distancia que hay entre ellos (como un valor numérico específico), entonces tenemos un espacio métrico cuando se cumplen ciertas condiciones.

Como representación de la idea de distancia observa el siguiente esquema. Aunque en él se muestran solo algunas de las distancias entre dos puntos, esta debe estar definida entre cualquier par del conjunto. Nota que la distancia del punto $x$ a sí mismo es $0$. Así lo será también la distancia de cualquier punto a sí mismo.

La distancia cumplirá lo siguiente:

De manera formal, tenemos lo siguiente:

Definición. Espacio métrico. Un espacio métrico $(X,d)$ es un par ordenado donde $X$ es un conjunto no vacío, (cuyos elementos llamaremos puntos) y $d$ es la métrica asociada a este.

Definición. Métrica. Llamaremos métrica o distancia en $X$ a una relación $d:X\times X\to \mathbb{R}$ que satisface los siguientes tres axiomas para cualesquiera $x$, $y$, $z$ $\in X$:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & d(x,y)=0\text{si y solo si}x=y\text{(2)}& & d(x,y)=d(y,x)\text{(3)}& & d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)\end{array}$$

Nota: La distancia nunca es negativa. De estos axiomas se deduce que si $x\ne y$ entonces $0<d(x,y)$ pues:
$$\begin{array}{rl}0& =d(x,x)\\ & \le d(x,y)+d(y,x)\\ & =d(x,y)+d(x,y)\\ & =2d(x,y)\end{array}$$

Luego de multiplicar por ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ambos lados, se deduce que $0\le d(x,y)$. Como $x\ne y$ concluimos a partir del axioma $(1)$ que $0<d(x,y)$.

Naturalmente estaremos pensando en la forma en que usualmente medimos las distancias a nuestro alrededor. ¿Sí satisfacen la definición de métrica estos métodos convencionales? ¿Habrá otras maneras de asignar distancias?

Ejemplos de espacios métricos

La métrica discreta

Sea $X$ un conjunto no vacío. Si para cualesquiera $x,y\in X$ definimos $d:X\times X\to \mathbb{R}$ como:

$$d(x,y)=\{\begin{array}{lcc}0& si& x=y\\ \\ 1& si& x\ne y\end{array}$$

Entonces $d$ es una métrica en $X.$ En este caso $(X,d)$ recibe el nombre de espacio discreto.

Demostración: Sean $x,y,z\in X$. El axioma $(1)$ se cumple por definición.

Para demostrar el axioma $(2)$ veamos que si $x=y$ entonces $d(x,y)=0=d(y,x)$. Por otro lado, si $x\ne y$ entonces $d(x,y)=1=d(y,x)$. En cualquier caso $d(x,y)=d(y,x)$.

Para demostrar $(3)$ veamos que si $x=y$ entonces $d(x,y)=0$. Como las distancias siempre son mayores o iguales a cero se sigue que $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$.
Por otro lado, si $x\ne y$ entonces $d(x,y)=1$ y tenemos los siguientes casos:

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ con la métrica usual

Sean $x,y\in \mathbb{R}$. Entonces $d$ definida como

$$d(x,y)=|x-y|=\{\begin{array}{lcc}x-y& si& x\ge y\\ \\ y-x& si& x<y\end{array}$$

es una métrica en $\mathbb{R}.$

Demostración:
$(1)$ Sean $x,y,z\in \mathbb{R}$ entonces $d(x,y)=0\text{ si y solo si }|x-y|=0\text{ si y solo si }x=y$.

$(2)$ $d(x,y)=|x-y|=|y-x|=d(y,x)$.

$(3)$ $d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\le |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y)$.

El conjunto ${\mathbb{R}}^n$ con la métrica usual

Sean $x,y,z\in {\mathbb{R}}^n$, con $x=(x_1,\dots ,x_n)$, $y=(y_1,\dots ,y_n)$ y $z=(z_1,\dots ,z_n),$ definimos

$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2},$

entonces $d$ es una métrica en ${\mathbb{R}}^n.$

Demostración:
$(1)$
$$\begin{array}{rl}d(x,y)=0& ⟺\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}=0\\ & ⟺\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n,(x_i-y_i{)}^2=0\\ & ⟺\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n,x_i=y_i\\ & ⟺x=y\end{array}$$

$(2)$
Para cada $i=1,\dots ,n,(x_i-y_i{)}^2=(y_i-x_i{)}^2$ entonces:
$$\begin{array}{rl}\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}& =\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+\dots +(y_n-x_n{)}^2}\\ \text{ Por lo tanto }d(x,y)& =d(y,x)\end{array}$$

$(3)$
$$\begin{array}{rl}d(x,y)& =\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}\\ & =\sqrt{(x_1-z_1+z_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-z_n+z_n-y_n{)}^2}\\ & \le \sqrt{(x_1-z_1{)}^2+\dots +(x_n-z_n{)}^2}+\sqrt{(z_1-y_1{)}^2+\dots +(z_n-y_n{)}^2}\\ & =d(x,z)+d(z,y)\end{array}$$

Este espacio métrico es llamado el «espacio aritmético euclídeo de $n$ dimensiones ${\mathbb{R}}^n$»

El conjunto $C^0[a,b]:=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}:\text{f es función continua}\}$

Para recordar la definición de función continua en $\mathbb{R}$ puedes consultar el siguiente link: Cálculo Diferencial e Integral I: Definición de continuidad y sus propiedades.

Considera $f,g\in C^0[a,b]$. Para cada $t\in [a,b]$ identifiquemos la medida del segmento que une a los puntos$(t,f(t))$ y $(t,g(t))$. El segmento más grande representará la distancia entre ambas funciones.

Definimos:
$$d(f,g)=\underset{a\le t\le b}{max}|f(t)-g(t)|$$
Recordemos que este máximo existe, pues al ser $f$ y $g$ funciones continuas, también lo es $|f-g|$ lo que le permite alcanzar su máximo en el compacto $[a,b]$. En consecuencia $d$ es una métrica en el espacio de funciones $C^0[a,b].$

Demostración: Sean $f,g\in C^0[a,b]$

$(1)$ $$\begin{array}{rl}d(f,g)=0& ⟺0=\underset{a\le t\le b}{max}|f(t)-g(t)|\\ & ⟺\mathrm{\forall }t\in [a,b],|f(t)-g(t)|=0\\ & ⟺\mathrm{\forall }t\in [a,b],f(t)=g(t)\\ & ⟺f=g\end{array}$$

$(2)$
Como $\mathrm{\forall }t\in [a,b],f(t)$ y $g(t)\in \mathbb{R}$, entonces $|f(t)-g(t)|=|g(t)-f(t)|$. Así:
$$\begin{array}{rl}d(f,g)& =\underset{a\le t\le b}{max}|f(t)-g(t)|\\ & =\underset{a\le t\le b}{max}|g(t)-f(t)|\\ & =d(g,f)\\ \text{Por lo tanto }d(f,g)& =d(g,f).\end{array}$$

$(3)$
Como $f$ y $g$ son funciones continuas en un conjunto compacto entonces la función $f-g$ también es continua en el compacto $[a,b]$ y alcanza su máximo: $\underset{a\le t\le b}{max}|f(t)-g(t)|=|f(t_1)–g(t_1)|$ para algún $t_1\in [a,b]$
Como
$$\begin{array}{rl}|f(t_1)–g(t_1)|& =|f(t_1)-h(t_1)+h(t_1)-g(t_1)|\\ & \le |f(t_1)–h(t_1)|+|h(t_1–g(t_1))|\\ & \le \underset{a\le t\le b}{max}|f(t)-h(t)|+\underset{a\le t\le b}{max}|h(t)-g(t)|\end{array}$$
concluimos $d(f,g)\le d(f,h)+d(h,g)$.

El conjunto $\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):=\{f:A\to \mathbb{R}:f\text{ es acotada}\}$

Antes de definir una métrica en el espacio anunciado, recordemos un concepto que probablemente conoces:

Definición. Función acotada. Sea $A$ un conjunto. Decimos que una función $f:A\to \mathbb{R}$ es acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ y $x_0\in \mathbb{R}$ tales que para cada $a\in A$ ocurre que $|x_0-f(a)|\le M$.

Nuestra distancia será entre funciones que satisfacen la siguiente:

Definición. Espacio de funciones acotadas. El conjunto $$\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):=\{f:A\to \mathbb{R}:f\text{ es acotada}\}$$ es un espacio métrico pues si dos funciones $f,g\in \mathcal{B}(A,\mathbb{R})$ entonces la función $f-g$ también es acotada, por lo tanto existe el $\underset{z\in A}{sup}|f(z)-g(z)|$. Esto permite definir la distancia entre ellas como $$d_{\mathrm{\infty }}(f,g):=\underset{z\in A}{sup}|f(z)-g(z)|$$ y recibe el nombre de métrica uniforme.

Demostración: Sean $f,g,h\in \mathcal{B}$ entonces:
$(1)$ $$\begin{array}{rl}{d}_{\mathrm{\infty }}(f,g)& =0\\ \iff \underset{z\in A}{sup}|(f(z)-g(z)|& =0\\ \iff \mathrm{\forall }z\in A,|f(z)-g(z)|& =0\\ \iff \mathrm{\forall }z\in A,f(z)& =g(z)\\ \iff f& =g.\\ \text{Por lo tanto: }{d}_{\mathrm{\infty }}(f,g)=0& \iff f=g\end{array}$$

$(2)$ $$\begin{array}{rl}{d}_{\mathrm{\infty }}(f,g)& =\underset{z\in A}{sup}|f(z)-g(z)|\\ & =\underset{z\in A}{sup}|g(z)-f(z)|\\ & =d_{\mathrm{\infty }}(g,f).\\ \text{Por lo tanto: }{d}_{\mathrm{\infty }}(f,g)& =d_{\mathrm{\infty }}(g,f)\end{array}$$

$(3)$ $$\begin{array}{rl}{d}_{\mathrm{\infty }}(f,g)& =\underset{z\in A}{sup}|f(z)-g(z)|\\ & \le \underset{z\in A}{sup}\{|f(z)-h(z)|+|h(z)-g(z)|\}\\ & \le \underset{z\in A}{sup}|f(z)-h(z)|+\underset{z\in A}{sup}|h(z)-g(z)|\\ & \le d_{\mathrm{\infty }}(f,h)+d_{\mathrm{\infty }}(h,g)\\ \text{Por lo tanto: }{d}_{\mathrm{\infty }}(f,g)& \le d_{\mathrm{\infty }}(f,h)+d_{\mathrm{\infty }}(h,g)\end{array}$$

Más adelante…

Ya aprendimos qué es un espacio métrico y comprobamos que las distancias vistas en otros cursos satisfacen la definición. En la siguiente entrada conoceremos algunos ejemplos más con la finalidad de hacer consciente que hay otras maneras de medir la separación entre dos objetos.

Tarea moral

¡Es tu turno de practicar! Sean $x,y\in {\mathbb{R}}^2$ con $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2).$ Demuestra que las siguientes son métricas para ${\mathbb{R}}^2:$

1. $d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+4(x_2-y_2{)}^2}$
2. $d(x,y)=|x_1-y_1|+\dots +|x_n-y_n|$
3. $d(x,y)=max\{|x_1-y_1|,\dots ,|x_n-y_n|\}$

Enlaces

• Análisis Matemático.
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