$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En las entradas anteriores hablamos de métricas definidas en distintos conjuntos. Trabajamos a partir de las distancias entre elementos representados como puntos. La mayoría de estos ejemplos fueron sobre el conjunto $\mathbb{R}^n$ pero, ¿será posible considerar como elementos objetos, aparentemente más complejos? Observemos ahora conjuntos de funciones y veamos si es posible definir una métrica entre ellas.

Considera el conjunto $C^0[a,b]$, que es el conjunto de funciones continuas que van del intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Sean $f,g \in C^0[a,b]$. La suma de funciones y el producto de una función por un escalar para $\lambda \in \mathbb{R}$ están definidos como:

\begin{align*}
(f+g)(x)&:= f(x)+g(x)\\
(\lambda f)(x)&:= \lambda f(x)
\end{align*}

Estas operaciones nos permiten considerar $C^0[a,b]$ como un espacio vectorial. Las normas comúnmente usadas en este espacio son:

$$\norm{f}_p:= \left(\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx \right)^{1/p} , \text{si } p \in [1,\infty),$$

$$\norm{f}_\infty:= \underset{a \leq x \leq b}{max}\, |f(x)|$$

En la sección de Espacios normados pudimos observar que una norma induce una métrica en un espacio vectorial. Es importante observar que la distancia entre funciones puede ser diferente según la métrica que se considere. Como ejemplo, para cada $k \in \mathbb{N}, \,$ consideremos las funciones en $C^0[0,1]$ definidas como:

\begin{align*}
f_k(x) &:= \left\{ \begin{array}{lcc}
1-kx & si & 0\leq x \leq \frac{1}{k}\\
0 & si & \frac{1}{k} \leq x \leq 1
\end{array}
\right.\\
g(x)&:= 0, \forall x \in [0,1]
\end{align*}

A continuación visualizamos el comportamiento de $f_k(x)$ para $k=1,2,3.$

Mientras que la función $g$ permanece sobre el eje horizontal.

Si calculamos la distancia entre $f_k(x)$ y $g(x)$ inducida por la norma $||\cdot||_\infty$, podemos ver que $\forall \, k \geq 1$

\begin{align*}
||f_k(x)-g(x)||_\infty &= \underset{0\leq x \leq 1}{max} \, |f_k(x)-g(x)|\\
&= \underset{0\leq x \leq \frac{1}{k}}{max} \, |1-kx-0| \\
&= \underset{0\leq x \leq \frac{1}{k}}{max} \, |1-kx|\\
&= 1
\end{align*}

Pero si consideramos $||\cdot||_p$ para $p=1$
\begin{align*}
\norm{f_k(x)-g(x)}_1&=\norm{f_k(x)-0}_1\\
&=\norm{f_k(x)}_1\\
&= \int_{0}^{1} |f(x)| \,dx\\
&= \int_{0}^{1/k}1-kx\\
&=\dfrac{1}{2k}
\end{align*}

De modo que cuando $k \to \infty, \norm{f_k(x)-g(x)}_1 \to 0$

Esto muestra que la distancia entre dos funciones puede variar, considerablemente, al variar también la métrica usada.

Comentarios antes de la proposición

Nota que en el ejemplo anterior las funciones son acotadas, como lo son en general las funciones de $C^0[a,b]$, pues son continuas en un intervalo cerrado en $\mathbb{R}$. ¿Qué pasa si alguna de las funciones no es acotada?

¿Qué pasa si $f \text{ y }g$ son acotadas pero no necesariamente son continuas?
Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ tales que para todo $ \, x\in [a,b], |f(x)|\leq M_f \text{ y } |g(x)| \leq M_g$ para $M_f, M_g \in \mathbb{R}$ Entonces:
\begin{align*}
|f(x)-g(x)|&=|f(x)+(-g(x))|\\
&\leq|f(x)|+|g(x)|\\
&\leq M_f + M_g
\end{align*}

Se concluye que el conjunto $\{|f(x)-g(x)|: x \in [a,b]|\}$ es acotado y por tanto aquí sí podemos hablar del supremo.

Recordemos que en la entrada Espacios métricos mostramos esta distancia para el conjunto $\mathcal{B}(A,\mathbb{R})$ (el conjunto de funciones acotadas con dominio $A$ y contradominio $\mathbb{R}.$ Puedes verificar que $f$ y $g$ satisfacen ser acotadas bajo la definición en esa sección.

Podemos pensar que, para generalizar esta distancia entre funciones cuyo contradominio sea cualquier espacio métrico, basta con que esa distancia esté acotada. Veamos lo siguiente:

Definición. Función acotada. Sea $S$ un conjunto no vacío y $X=(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $f:S \to X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in X$ tales que para todo $ \, y \in S$ ocurre que $d(f(y),x_0) \leq M$. El conjunto de funciones acotadas de $f$ en $X$ se denota como:
$$\mathcal{B}(S,X):= \{ f:S \to X:f \text{ es acotada}\}$$.

2) \begin{align*}
d_\infty (f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&=\underset{z\in S}{sup}\,d(g(z),f(z)) \\
&=d_\infty(g,f).\\
\text{Por lo tanto: } d_\infty(f,g)&=d_\infty(g,f)
\end{align*}

3) \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,\{d(f(z),h(z))+d(h(z),g(z))\}\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),h(z)) + \underset{z\in S}{sup}\,d(h(z),g(z))\\
&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)\\
\text{Por lo tanto: }d_\infty(f,g)&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g).
\end{align*}

Ejemplos de espacios de funciones

Veamos ejemplos de espacios de funciones y analicemos la cercanía entre ellas. Recordemos que esto lo hacemos a través de las bolas abiertas con centro en un elemento del espacio métrico. En este caso, el centro es una función.

De manera general si consideramos como centro una función $f$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h: |h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(f,1)$ debe satisfacer que para todo $ x \in [0,1], -1<h(x)-f(x)<1$ es decir para todo $ x \in [0,1], f(x)-1<h(x)<f(x)+1$.

Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}^2$
Consideremos a $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclidiana y al conjunto
$$C([0,1], \mathbb{R}^2) := \{f:[0,1] \to \mathbb{R}^2 \, | \, f \text{ es continua}\}.$$
Una función en este conjunto se representa como una curva continua en $\mathbb{R}^2$

Entonces, una función $h$ que esté en la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ debe satisfacer $\{ h: \norm{h(x)-0}<1,x \in [0,1]\}$. Por tal motivo, su representación debe estar dentro de la bola de radio $1$ con centro en $0$.

Concluimos que $B(f=0,1)=\{ h: \norm{h(x)}<1, x \in [0,1], \}$. Dicho conjunto puede representarse de esta forma:

Si buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$, demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

Más adelante…

Aprenderemos cómo identificar objetos que se aproximan entre sí y las condiciones que debe haber para que esto ocurra. Conoceremos el concepto de sucesión convergente en espacios métricos y descubriremos más particularidades que en el espacio euclidiano no ocurren pero en otros espacios sí.

Tarea moral

1. Describe una representación de la bola abierta en el espacio $C([0,1], \mathbb{R}^2)$ con un centro en una función distinta a la función cero.
2. Describe una representación de la bola abierta con centro en una función arbitraria en el espacio de funciones $C([0,1]^2, \mathbb{R}).$
3. En el espacio de funciones $C([0,1]^2, \mathbb{R}^2)$ buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$. Demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.