(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la presente nota definiremos lo que son las combinaciones lineales de los elementos de un subconjunto de $\mathbb R^n$, veremos que si iniciamos con cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ y consideramos todas sus combinaciones lineales, este conjunto será siempre un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.
Iniciemos con la definición de combinaciones lineales.
Definición
Sean $m\in \mathbb N$ con $n>0$ y $v_1,\dotsc,v_m\in \mathbb R^n$. Una combinación lineal de $v_1,\dotsc,v_m$ es una expresión de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$
con $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $\mathbb R^n$, una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma:
$\lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$,
con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Ejemplos
$1.$ Considera al conjunto $S=\set{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)}.$
$2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$
$-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$
$0(1,0,0)+(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,4,-1)$
son combinaciones lineales de vectores de $S.$
$2.$ Considera al conjunto $S=\set{ (1,2,0,5),(-1,3,2,-\frac{1}{2}) }.$
Aunque el conjunto $S$ sea infinito, en una combinación lineal sólo se usa una cantidad finita de vectores de $S$.
Proposición
Sea $S$ un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de $S$, que denotamos por $\mathscr C(S)$, cumple lo siguiente:
$i)$ Es un subespacio de $\mathbb R^n$, es decir $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
$ii)$ Contiene al conjunto $S$, es decir $S\subseteq \mathscr C(S)$.
$iii)$ El conjunto $\mathscr C(S)$ está contenido en cualquier subespacio $W$ de $\mathbb R^n$ que contenga a $S$.
Demostración
Demostración de $i)$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\leq \mathbb R^n$.
Como $S\neq \emptyset$, sea $v\in S$. Tenemos que $\bar{0}=0v\in \mathscr C(S).$
Sean $v,w\in \mathscr C(S)$, por demostrar que $v+w\in \mathscr C(S).$
Como $v,w\in \mathscr C(S)$ tenemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_t$, con $t\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_t\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_t\in \mathbb R$, y
$w= \mu_1 w_1+\dotsc+ \mu_m w_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $w_1,\dotsc,w_m\in S$ y $\mu_1,\dotsc,\mu_m\in \mathbb R$.
que también es una combinación lineal de los elementos de $S$ y por lo tanto $\gamma v\in \mathscr C(S)$.
Como $\bar{0}\in \mathscr C(S)$, $v+w\in \mathscr C(S)$ para todos $v,w\in \mathscr C(S)$, y $\gamma v\in \mathscr C(S)$ para todo $\gamma \in \mathbb R$ y todo $ v\in \mathscr C(S)$, concluimos que $\mathscr C(S)$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Demostración de $ii)$
Por demostrar que $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Sea $v\in S$, por demostrar que $v\in \mathscr C(S)$.
Como $v=1v$, entonces $v$ es una combinación lineal de vectores de $S$ y por tanto $v\in \mathscr C(S)$.
Así, $S\subseteq \mathscr C(S)$.
Demostración de $iii)$
Sea $W$ un subespacio de $\mathbb R^n$ que contiene a $S$, es decir tal que $S\subseteq W$.
Por demostrar que $\mathscr C(S)\subseteq W.$
Sea $v\in \mathscr C(S).$ Sabemos que
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_m v_m$, con $m\in \mathbb N$, $n>0$, $v_1,\dotsc,v_m\in S$ y $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$.
Para cada $i$, $v_i\in S$, y $S\subseteq W$, entonces $v_i\in W$ para todo $i$.
Como $W$ es un subespacio vectorial el producto por escalares es cerrado y entonces $\lambda_i v_i\in W$ para todo $i$, además la suma es cerrada en $W$ por lo que:
$v= \lambda_1 v_1+\dotsc+ \lambda_n v_n\in W$.
Por lo tanto $\mathscr C(S)\subseteq W$.
Tarea Moral
$1.$ Sea $S=\set{(1,1,1),(-4,-4,-4)}$. En caso de ser posible, halla $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
$2$. Sea $S=\set{(2,-5,3),(4,-1,0)}$. En caso de ser posible, encuentra $3$ subespacios de $\mathbb R^3$ que contengan a $S$, si no es posible explica por qué.
Más adelante
En la siguiente entrada veremos cómo construir un subespacio a partir de un subconjunto de vectores dado, usando como herramienta el concepto de combinación lineal que acabamos de estudiar.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta entrada estudiaremos el concepto de subespacio de $\mathbb{R}^n$. Veremos que un subespacio de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$. De manera más precisa definiremos subespacio de $\mathbb{R}^n$ como un conjunto de vectores contenido en $\mathbb{R}^n$ que tiene al neutro aditivo, es cerrado bajo la adición de vectores y bajo la multiplicación por escalares.
Definición
Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ si:
4. Sean $w\in \mathbb R$, $W=\set{\lambda v\mid \lambda\in \mathbb R}$. Notamos que, por las propiedades de la entrada previa, $\bar{0}=0v\in W$. Además, si $u,v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ y $u=\mu w$ con $\lambda, \mu\in\mathbb R$. Así, $u+v=\lambda w+\mu w=(\lambda +\mu )w$ con $\lambda +\mu\in\mathbb R$, por lo tanto $u+v\in W$. Finalmente, si $\mu\in \mathbb R$ y $v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ para algún $\lambda\in\mathbb R$ por lo cual $\mu v=\mu (\lambda v)=(\mu\lambda )v$ con $\mu\lambda\in\mathbb R$ y así, $\mu v\in W$.
Concluimos entonces que $W$ es un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.
$\square$
Geométricamente, $W$ es una una línea recta que pasa por el origen, formada por todos los vectores que se obtienen multiplicando $w$ por escalares reales.
Notemos que el conjunto del ejemplo 5 es geométricamente un plano que pasa por el origen, el plano $xy$. De forma más general, los planos por el origen en $\mathbb R^3$ son subespacios de $\mathbb R$.
Usa el siguiente recurso que elaboré en Geogebra para obtener planos por el origen a partir de dos vectores. Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, el vector en color negro representa un vector cualquiera en el plano obtenido a partir de $A$ y $B$.
Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las tres condiciones de la definición de subespacio.
$W$ satisface la propiedad $i$ pues $\bar{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.
Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.
Sean $u,v\in W$, con $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$ Por ser $u$ y $v$ elementos de $W$ cumplen que:
$2x-y+3z-w=0$
$2a-b+3c-d=0$
Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$. Por lo tanto $u+v\in W$.
Veamos que $W$ satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.
Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.
$\square$
Nota que las condiciones para ver que un conjunto es un subespacio vectorial se pueden reescribir:
Observación
Sea $W\subseteq \mathbb R^n$. $W\leq \mathbb R^n$ si y sólo si se cumplen:
La intersección de dos subespacios de $\mathbb R^n$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Demostración
Sean $U,W$ subespacios de $\mathbb R^n$.
Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$. Usaremos para ello la observación anterior.
Como $U$ y $W$ son subespacios, $\bar{0}\in U$ y $\bar{0}\in W$, por lo tanto $\bar{0}\in U\cap W$.
Sean $\lambda \in \mathbb R$, $v_1,v_2\in \mathbb R^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.
Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:
$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$
Así, $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.
Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos, por la observación anterior, que $U\cap W\leq \mathbb R^n$.
$\square$
Tarea Moral
$1.$ Demostrar la observación de la nota.
$2.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Para que $W$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ ¿basta verificar las condiciones ii y iii de la definición de subespacio, es decir es necesario pedir que $\bar{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?
$3.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes $\mathbb R^n$.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la siguiente nota veremos algunas propiedades del $\mathbb R$-espacio vectorial $\mathbb R^n$. Probaremos la unicidad del neutro aditivo, así como la unicidad de los inversos aditivos, veremos que las propiedades de cancelación de la suma también se cumplen, se demostrará que la multiplicación del neutro aditivo de $\mathbb R$ por cualquier vector de $\mathbb R^n$ nos da el neutro aditivo, y que la multiplicación de cualquier escalar por el neutro aditivo, es el neutro aditivo. Finalizaremos viendo que el inverso aditivo de un vector $v$, que hemos denotado por $\tilde{v}$, es de hecho $(-1)v$.
Aunque denotamos las operaciones de suma y producto por escalar en $\mathbb R^n$ como $\oplus$ y $\odot$ para distinguirlas de la suma y el producto en $\mathbb R$, en general es claro por el contexto si se trata de unas u otras, así que a partir de aquí simplificaremos la notación y denotaremos a la suma de $u,v\in\mathbb R^n$ como $u+v$, y al producto de $\lambda\in\mathbb R $ por $v\in\mathbb R^n$ como $\lambda v$.
Proposición 1
En $\mathbb R^n$ el neutro aditivo es único.
Demostración
Supongamos que $\bar{0}$ y $\bar{0}’$ son dos neutros aditivos en $\mathbb R^n$.
Por demostrar que $\bar{0}=\bar{0}’$
Explicación
$\bar{0}=$
Consideramos uno de los neutros.
$=\bar{0}+\bar{0}’$
Gracias a que $\bar{0}’$ es un neutro.
$=\bar{0}’$
Pues $\bar{0}$ es un neutro.
$\square$
Proposición 2
En $\mathbb R^n$ los inversos aditivos son únicos.
Demostración
Sea $v\in \mathbb R^n$, supongamos que $\tilde{v}$ y $\hat{v}$, son inversos aditivos de $v$.
Por demostrar que $\tilde{v}=\hat{v}$.
Explicación
$\tilde{v}=\tilde{v}+\bar{0}=$
Gracias a que $\bar{0}$ es el neutro.
$=\tilde{v}+(v+\hat{v})=$
Como $\hat{v}$ es un inverso de $v$ $v+\hat{v}=\bar{0}$.
$=(\tilde{v}+v)+\hat{v}=$
Gracias a la asociatividad.
=$\bar{0}+\hat{v}$
$\tilde{v}$ también es un inverso de $v$ y entonces $\tilde{v}+v=\bar{0}$.
$=\hat{v}$
Pues $\bar{0}$ es el neutro.
$\square$
Propiedades de cancelación
Sean $u,v,w\in \mathbb R^n.$
i) Si $u+v=w+v$, entonces $u=w.$
ii) Si $v+u=v+w$, entonces $u=w.$
Demostración
Sean $u,v,w\in \mathbb R^n$.
Demostración de i)
Supongamos que $u+v=w+v$, si le sumamos el inverso de $v$, $\tilde{v}$, de ambos lados de la igualdad tenemos que:
$(u+v)+\tilde{v}=(w+v)+\tilde{v}.$
En virtud de la asociatividad tenemos que:
$u+(v+\tilde{v})=w+(v+\tilde{v})$
y como $\tilde{v}$ es el inverso de $v$ obtenemos
$u+\bar{0}=w+\bar{0}.$
Así, $u=w.$
Demostración de ii)
Observa que se obtiene de la demostración del inciso anterior y de la conmutatividad de la suma, ya que si $v+u=v+w$, por la conmutatividad de la suma tenemos que $u+v=w+v$ y debido al inciso anterior concluimos que $u=w.$
Gracias a que $\bar{0}$ es el neutro en $\mathbb R^n$.
$=(0+0)v$
$0=0+0$, gracias a que $0$ es neutro en $\mathbb R.$
$=0v+0v$
Gracias a la distributividad en $\mathbb R$.
Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\bar{0}+0v=0v+0v$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\bar{0}=0v$.
Demostración de 2
Explicación
$\bar{0}+\lambda\bar{0}=\lambda\bar{0}=$
Gracias a que $\bar{0}$ es neutro en $\mathbb R^n$.
$\lambda(\bar{0}+\bar{0})$
$\bar{0}=\bar{0}+\bar{0}$, gracias a que $\bar{0}$ es neutro en $\mathbb R^n$.
$\lambda\bar{0}+\lambda\bar{0}$
Gracias a la distributividad en $\mathbb R^n$.
Obtenemos de las igualdades en la tabla que $\bar{0}+\lambda\bar{0}=\lambda\bar{0}+\lambda\bar{0}$, por la propiedad de la cancelación mostrada anteriormente tenemos que $\bar{0}=\lambda\bar{0}$.
$\square$
Proposición 4
Para todo $v\in \mathbb R^n,\,\,\,\,(-1)v$ es el inverso aditivo de $v$.
Demostración
Sea $v\in \mathbb R^n$. Veamos que $(-1)v$ es su inverso aditivo.
Explicación
$v+(-1)v=1v+(-1)v=$
Pues $v=1v$.
$=(1+(-1))v$
Por distributividad.
$=0v$
Pues en $\mathbb R$ se tiene que $1+(-1)=0$.
$=\bar{0}$
Por la proposición 3.
Hemos probado que $v+(-1)v=\bar{0}$ y por la conmutatividad de la suma también $(-1)v+v=\bar{0}$. En virtud de la unicidad de los inversos concluimos que $(-1)v$ es el inverso aditivo de $v$.
$\square$
Notación
Dado $v\in \mathbb R^n$ denotaremos por $-v$ a su inverso aditivo.
Propiedades del producto escalar en $\mathbb R^n$.
$=(-\lambda)v$
Gracias a que en $\mathbb R$ $\lambda(-1)=-\lambda$.
$=((-1)\lambda)v$
Gracias a que en $\mathbb R$ $\lambda(-1)=-\lambda$.
$=(-1)(\lambda v)$
Propiedades del producto escalar en $\mathbb R^n$.
$=-(\lambda v)$
Por la proposición 4.
$\square$
Tarea Moral
Determina si dados $v\in \mathbb R^n$, $\lambda\in \mathbb R$, el hecho de que $\lambda v=\bar{0}$ implica necesariamente que $v=\bar{0}$ o que $\lambda =0$.
Más adelante
En la siguiente nota veremos el importante concepto de subespacio vectorial.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Con esta nota empezamos la unidad 3, en la que estudiaremos un tipo particular de estructura algebraica llamada espacio vectorial. El plano y el espacio cartesiano tienen esta estructura de espacio vectorial, seguramente en este momento de tu educación ya los has utilizado; ahí los vectores son representados con flechas dirigidas a un punto. Podemos sumar esos vectores o flechas, y multiplicarlos por números reales para cambiarles su tamaño o sentido.
Veremos que no sólo $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ son espacios vectoriales, si no que para todo $n$ un natural positivo se cumple que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial. Primero estableceremos dos operaciones llamadas suma y producto por escalar, luego veremos que estas operaciones cumplen ciertas propiedades.
La construcción y las propiedades de los números reales no serán objeto de estudio de este curso, pero es importante aclarar que el conjunto $\mathbb R$ también tiene una estructura particular denominada campo. Mencionemos, sin profundizar más en ello, las propiedades que cumplen los números reales con las operaciones de suma y producto (debido a las cuales se le llama un campo) ya que las necesitaremos para poder estudiar los espacios vectoriales sobre los reales.
Nota
$\mathbb R$ es un conjunto con dos operaciones binarias, $+$ y $\cdot$, en el que se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades de la suma $+$
Propiedades del producto $\cdot$
Es asociativa.
Es asociativa.
Es conmutativa.
Es conmutativa.
Existe $0\in \mathbb R$ neutro aditivo.
Existe $1\in \mathbb R$ neutro multiplicativo.
$\forall \alpha\in \mathbb R$ existe su inverso aditivo $-\alpha\in \mathbb R$.
Notemos que en el producto por escalar se multiplica un escalar real por una $n$-ada de reales, para obtener de nuevo una $n$-ada de reales, multiplicando cada una de las entradas por el escalar.
Así se ve geométricamente la suma en $\mathbb R^2$
En el siguiente recurso de geogebra puedes jugar moviendo $u,v\in \mathbb R^2$, y obteniendo su suma geométricamente en $\mathbb R^2$.
Así se ve geométricamente el producto por escalar en $\mathbb R^2$.
Veamos ahora que $\mathbb R^n$ con las operaciones anteriores, satisface ocho propiedades básicas gracias a las cuales se le llamará un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$.
Teorema
Sea $n\in\mathbb R$ con $n>0$. El conjunto $\mathbb R^n$ con las operaciones antes definidas cumple la siguiente lista de propiedades:
1. $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)\,\,\,\,\forall u,v,w\in \mathbb R^n$, es decir la suma es asociativa.
2. $u\oplus v=v\oplus u\,\,\,\forall u,v\in \mathbb R^n$, es decir la suma es conmutativa.
3. Existe $ \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n$, a $\bar{0}$ se le llama un neutro aditivo de $\mathbb R^n$.
4. Para todo $u\in \mathbb R^n$ existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}$, a $\tilde{u}$ se le llama un inverso aditivo de $u$.
Estas primeras cuatro propiedades se refieren únicamente a la suma $\oplus$, tendremos otras dos que se refieren sólo al producto por escalar:
Se dice entonces que $\mathbb R^n$, con las operaciones $\oplus,\odot$ es un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb R$, o un $\mathbb R$-espacio vectorial y a los elementos de $\mathbb R^n$ les llamaremos vectores.
Demostración
Veamos que $\mathbb R^n$ con las operaciones $\oplus$ y $\odot$, cumple las ocho propiedades dadas anteriormente. Mostraremos las propiedades 2,3,4,6,7 y las propiedades 1,5 y 8 se dejan como tarea moral.
Demostración de 2
Sean $u=(x_1,\dotsc, x_n),v=(y_1,\dotsc, y_n)\in \mathbb R^n,\,\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb R$.
Las sumas que aparecen en cada entrada son sumas en $\mathbb R$, y dado que la suma en $\mathbb R$ es conmutativa se tiene que $x_i+y_i=y_i+x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, de forma que:
Por demostrar que $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n.$
Propongamos como $\bar{0}$ a la $n$-ada con sus $n$ entradas iguales al cero de los reales, es decir, consideremos $\bar{0}=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$.
Como $-x_i$ es el inverso aditivo de $x_i$ en $\mathbb R$ para todo $1\leq i\leq n$, tenenemos que $x_i+(-x_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Concluimos que:
Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\tilde{u}\oplus u=u\oplus \tilde{u}=\bar{0}$.
Por lo tanto cada $u\in \mathbb R^n$ tiene un inverso aditivo.
Demostración de 6
Por demostrar que $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$.
Sean $ v=(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n$, $\lambda,\mu\in \mathbb R$. Como $\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))$, por definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que
La entrada anterior definimos a las funciones complejas trigonométricas e hiperbólicas, a través de la exponencial compleja y vimos que tanto las funciones trigonométricas como las funciones hiperbólicas son periódicas, puesto que la función exponencial compleja es $2\pi i $-periódica. Al igual que en el caso real, podemos preguntarnos si es que existen las funciones inversas de estas funciones, por lo que nuestro objetivo en esta entrada será responder esa pregunta y en particular deducir y definir a las funciones inversas de dichas funciones.
Durante esta entrada utilizaremos nuevamente al logaritmo complejo para deducir a las funciones inversas. Es importante recordar, entrada 21, que la función logaritmo complejo es una función multivaluada, por lo que las funciones definidas en esta entrada serán también multivaluadas. Recordemos que aunque esta terminología no cumple con la definición habitual de función, desde que asigna más de un valor a cada elemento del dominio, es importante mencionar que cada una de las ramas de dichas funciones multivaluadas sí cumplen con la definición de función con la que estamos familiarizados. Más aún, cada una de las ramas cumple con muchas de las propiedades que conocemos para sus versiones reales.
Observación 23.1. Como veremos en la entrada 26, la imagen de las funciones $\operatorname{sen}(w)$ y $\operatorname{cos}(w)$ es todo el plano complejo $\mathbb{C}$, por lo que dado $w\in\mathbb{C}$ siempre existirá $z\in\mathbb{C}$ que satisfaga $z = \operatorname{sen}(w)$ ó $z = \operatorname{cos}(w)$.
Sea $z = \operatorname{sen}(w)$. De acuerdo con la definición 22.1 tenemos que: \begin{equation*} z = \operatorname{sen}(w) = \frac{e^{iw} – e^{-iw}}{2i}, \end{equation*}de donde: \begin{equation*} (e^{iw})^2-i2z(e^{iw}) – 1 = 0. \end{equation*}Notemos que esta última expresión es una ecuación cuadrática para la variable $e^{iw}$, por lo que podemos utilizar la fórmula general para resolver dicha ecuación. En este punto es importante que recordemos que la función compleja raíz cuadrada es una función multivaluada, por lo que nos dará dos raíces complejas, entonces: \begin{equation*} e^{iw} = \frac{2iz + \sqrt{4(1-z^2)}}{2} = iz + \sqrt{1-z^2}. \end{equation*}Dependiendo de la rama que consideremos, la función $ \sqrt{1-z^2}$ nos determina dos raíces cuadradas de $1-z^2$. Estableciendo la rama de la función multivaluada $ \sqrt{1-z^2}$ con la que trabajaremos, podemos utilizar la proposición 20.1(6) obteniendo: \begin{equation*} iw = \operatorname{log}\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right) + i2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}Por lo que, para $k, n\in\mathbb{Z}$: \begin{align*} w &= \frac{1}{i}\operatorname{log}\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right) + 2 k\pi\\ &= \frac{1}{i} \left[\operatorname{ln}\left|iz + \sqrt{1-z^2}\right| + i\left(\operatorname{Arg}\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right) + 2n\pi\right)\right] + 2 k\pi\\ &= \frac{1}{i} \left[\operatorname{ln}\left|iz + \sqrt{1-z^2}\right| + i\left(\operatorname{Arg}\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right) + 2m\pi\right)\right]\\ &= \frac{1}{i} \left[\operatorname{ln}\left|iz + \sqrt{1-z^2}\right| + i\operatorname{arg}\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right)\right]\\ &= -i \operatorname{log}\left(iz + \sqrt{1-z^2}\right), \end{align*}donde $m=k+n\in\mathbb{Z}$.
Se deja como ejercicio al lector
Se deja como ejercicio al lector
Sea $z = \operatorname{cot}(w)$. De acuerdo con la definición 22.2 sabemos que: \begin{equation*} \operatorname{cot}(w) = \frac{\operatorname{cos}(w)}{\operatorname{sen}(w)}, \end{equation*}donde $w \neq k \pi$, con $k\in\mathbb{Z}$.
Observación 23.2. Puesto que todas las funciones inversas, de las funciones trigonométricas, están dadas en términos de la función multivaluada logaritmo, entonces también dichas funciones son multivaluadas. Más aún, de acuerdo con la proposición 23.1, debe ser claro que se puede elegir una rama de alguna de estas funciones eligiendo primero una rama de la función multivaluada raíz cuadrada y luego una rama adecuada del logaritmo de modo que la función en cuestión esté bien definida.
Ejemplo 23.1. Supongamos que $z$ es un número real en el intervalo $(-1,1)$. Veamos que si utilizamos las ramas principales de las funciones multivaluadas raíz cuadrada y logaritmo complejo entonces obtenemos la rama principal de la función inversa de la función real seno.
Solución. Sean $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Consideremos a la funciones multivaluadas: \begin{equation*} F(z) = \operatorname{log}(z) \quad \text{y} \quad G(z) = \sqrt{1-z^2} = e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(1-z^2)} e^{ik\pi}, \,\, k=0,1. \end{equation*}
Para la primera función tenemos que su corte de rama está dado por los $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tales que: \begin{equation*} -\pi < \operatorname{Arg}(z) \leq \pi \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(z) = x \leq 0, \\ \\ \operatorname{Im}(z) = y = 0. \end{array} \right. \end{equation*}
De manera análoga, para la segunda función tenemos que su corte de rama está dado por los $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tales que: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(1-z^2) = 1-x^2+y^2 \leq 0, \\ \\ \operatorname{Im}(1-z^2) = -2xy = 0. \end{array} \right. \end{equation*}
Como trabajaremos con las ramas principales de ambas funciones y $z=x\in\mathbb{R}$, entonces los cortes de rama de cada función, son respectivamente: \begin{equation*} \left\{x\in\mathbb{R} : x\leq 0\right\} \quad \text{y} \quad \left\{x\in\mathbb{R} : |x|\geq 1\right\}. \end{equation*}
Para $k=0$ tenemos de la segunda función que su rama principal es: \begin{equation*} g_0(z) := \sqrt{1-z^2} = e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(1-z^2)}. \end{equation*}
Como $|z|=|x|<1$, entonces la función $g_0$ está bien definida, más aún, tenemos que $ 0<1-z^2\leq 1$, por lo que $\operatorname{Arg}(1-z^2) = 0$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}(1-z^2) = \operatorname{ln}|1-z^2| + i \operatorname{Arg}(1-z^2) = \operatorname{ln}(1-z^2), \end{equation*}de donde: \begin{equation*} e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(1-z^2)} = \sqrt{1-x^2} \in \mathbb{R}^+. \end{equation*}
Así, al considerar las ramas principales de ambas funciones tenemos que: \begin{align*} \operatorname{sen}^{-1}(z) & = -i \operatorname{Log}\left(iz +\sqrt{1-z^2}\right)\\ & = -i \operatorname{Log}\left(iz + e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(1-z^2)}\right)\\ & = -i \operatorname{Log}\left(ix + \sqrt{1-x^2}\right). \end{align*}
Dado que $iz$ es un número imaginario puro, entonces los valores que toma $iz + e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(1-z^2)}$ están en la mitad derecha del plano complejo, por lo que no están en el corte de rama de la función logaritmo. De hecho, dichos valores están sobre la mitad de la circunferencia unitaria que está en la mitad derecha del plano complejo, figura 83, ya que: \begin{equation*} \left| iz +\sqrt{1-z^2} \right| = \sqrt{x^2+(1-x^2)} = 1. \end{equation*}
donde $-\dfrac{\pi}{2}<\operatorname{Arg}\left(ix + \sqrt{1-x^2}\right)<\dfrac{\pi}{2}$, entonces: \begin{equation*} -\dfrac{\pi}{2}<\operatorname{sen}^{-1}(z)<\dfrac{\pi}{2}, \end{equation*}para los $z=x\in\mathbb{R}$ tales que $|x|<1$.
Figura 83: Puntos $ix + \sqrt{1-x^2}$ para $x\in\mathbb{R}$ tales que $|x|<1$.
Ejemplo 23.2. Resolvamos la ecuación $\operatorname{tan}(z)=2$.
Solución. De acuerdo con la proposición 23.1(3), si elegimos la rama principal del logaritmo tenemos que: \begin{align*} \operatorname{tan}^{-1}(2) & = \dfrac{i}{2} \operatorname{log}\left(\dfrac{i+2}{i-2}\right)\\ & = \dfrac{i}{2} \operatorname{log}\left(\dfrac{-3-4i}{5}\right)\\ & = \dfrac{i}{2}\left[ \operatorname{ln}\left|\dfrac{-3-4i}{5}\right| + i \left( \operatorname{Arg}\left(\dfrac{-3-4i}{5}\right) + 2 k\pi \right)\right]\\ & = \dfrac{i}{2}\left[ \operatorname{ln}\left(1\right) + i \left( \operatorname{arctan}\left(\dfrac{4}{3}\right) -\pi + 2 k\pi \right)\right]\\ & = \dfrac{1}{2}\left[ (2 k – 1)\pi – \operatorname{arctan}\left(\dfrac{4}{3}\right) \right], \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*}
Observación 23.3. Dado que las funciones inversas de las funciones trigonométricas complejas son multivaluadas, entonces debemos ser cuidadosos al derivar estas expresiones. En general, una vez establecidas las ramas de las funciones multivaluadas raíz cuadrada y logaritmo, se puede derivar las funciones inversas dentro de su dominio de analicidad mediante la regla de la cadena.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{sen}^{-1}(z) = \dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}$, para $z\neq \pm 1$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{cos}^{-1}(z) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}$, para $z\neq \pm 1$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{tan}^{-1}(z) = \dfrac{1}{1+z^2}$, para $z\neq \pm i$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{cot}^{-1}(z) = -\dfrac{1}{1+z^2}$, para $z\neq \pm i$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{sec}^{-1}(z) = \dfrac{1}{z^2\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$, para $z\neq \pm 1$ y $z\neq 0$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{csc}^{-1}(z) = – \dfrac{1}{z^2\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}}$, para $z\neq \pm 1$ y $z\neq 0$.
Demostración.
Una vez elegida una rama de la función multivaluada $\sqrt{1-z^2}$ y una adecuada rama para la función logaritmo, por la regla de la cadena tenemos que: \begin{align*} \dfrac{d}{dz}\operatorname{sen}^{-1}(z) & = \dfrac{d}{dz} = -i \operatorname{log}\left(iz +\sqrt{1-z^2}\right)\\ & = -i \left(\dfrac{i-\dfrac{z}{\sqrt{1-z^2}}}{iz +\sqrt{1-z^2}}\right)\\ & = -i \left(\dfrac{i\sqrt{1-z^2} – z}{\left[iz +\sqrt{1-z^2}\right] \sqrt{1-z^2}}\right)\\ & = \dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}. \end{align*}Donde la igualdad se mantiene siempre que se utilice la misma rama de $\sqrt{1-z^2}$ tanto en la definición de la función $\operatorname{sen}^{-1}(z)$ como en la expresión de su derivada.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
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Ejemplo 23.3. Consideremos a las ramas principales de la funciones multivaluadas raíz cuadrada y logaritmo y determinemos el valor de la derivada de la función $\operatorname{sen}^{-1}(z)$ en el punto $z=i$.
Solución. De acuerdo con el ejemplo 23.1, sabemos que los cortes de rama de las ramas principales de las funciones multivaluadas $\operatorname{log}(z)$ y $\sqrt{1-z^2}$ son, respectivamente: \begin{equation*} (-\infty,0]=\left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x \leq 0, y=0\right\} \quad \text{y} \quad A:= \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : |x|\geq 1, y=0\right\}. \end{equation*}
Figura 84: Cortes de rama de las ramas principales de las funciones multivaluadas $\operatorname{log}(z)$ y $\sqrt{1-z^2}$.
De acuerdo con lo anterior, es claro que el punto $z=i$ no pertenece al corte de rama, de la rama principal de $\sqrt{1-z^2}$. Por otra parte, tenemos que $1-i^2 = 2$, entonces: \begin{equation*} i(i) + \sqrt{1-i^2} = -1+\sqrt{2}, \end{equation*}el cual no es un punto sobre el corte de rama, de la rama principal del logaritmo. Por lo tanto, de la proposición 23.2(1) se sigue que: \begin{align*} \left. \frac{d}{dz} \operatorname{sen}^{-1}(z) \right|_{z=i} & = \left. \dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}\right|_{z=i}\\ & = \dfrac{1}{\sqrt{1-i^2}}\\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. \end{align*}
Por último, si utilizamos la rama principal de la función $\sqrt{1-z^2}$ tenemos: \begin{align*} \left. \sqrt{1-z^2} \right|_{z=i} = \left. e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(1-z^2)} \right|_{z=i} & = e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(1-i^2)} \\ & = e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}(2)}\\ & = e^{\frac{1}{2}\left[\operatorname{ln}|2| + i \operatorname{Arg}(2)\right]}\\ & = e^{\operatorname{ln}\left(\sqrt{2}\right)}\\ & = \sqrt{2}. \end{align*}
Por lo que la derivada es $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, es decir, el resultado coincide con el valor obtenido al utilizar la fórmula de la derivada.
Ejemplo 23.4. Consideremos ahora el punto $z=\sqrt{5}$. De acuerdo con el ejemplo anterior, es claro que dicho punto está en el corte de rama, de la rama principal de la función multivaluada $\sqrt{1-z^2}$, por lo que utilizando dicha rama no podemos obtener el valor de la función $\operatorname{sen}^{-1}(z)$ ni de su derivada en $z=\sqrt{5}$. Entonces procedemos a elegir una nueva rama para la raíz cuadrada de modo que sea posible determinar dichos valores.
Solución. Por simplicidad elegimos a la rama natural de la raíz, es decir: \begin{equation*} \sqrt{1-z^2} = e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}_{[0,2\pi)}(1-z^2)}, \quad 0 \leq \operatorname{Arg}(1-z^2) < 2\pi. \end{equation*}
El corte de rama de esta función está dado por los $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tales que: \begin{align*} 0 \leq \operatorname{Arg}(1-z^2) < 2\pi & \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(1-z^2) = 1+y^2-x^2 \geq 0, \\ \\ \operatorname{Im}(1-z^2) = -2xy = 0. \end{array} \right.\\ & \\ & \quad \Longleftrightarrow \quad B:= \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : |x|\leq 1, y=0\right\} \cup \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x=0, y\in\mathbb{R}\right\}. \end{align*}
Figura 85: Corte de rama, de la rama natural, de la función multivaluada $\sqrt{1-z^2}$.
Para esta rama es claro que el punto $z=\sqrt{5}$ no está en su corte de rama, por tanto podemos utilizarla. Tenemos que $1-(\sqrt{5})^2 = -4$, entonces: \begin{align*} \operatorname{Log}_{[0,2\pi)}(-4) &= \operatorname{ln}|-4| + i\operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}(-4)\\ &= \operatorname{ln}(4) + i\pi, \end{align*}por lo que: \begin{align*} \left.\sqrt{1-z^2}\right|_{z=\sqrt{5}} & = \sqrt{1-(\sqrt{5})^2}\\ & = e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}_{[0,2\pi)}(-4)}\\ & = e^{\operatorname{ln}(2)} e^{i\frac{\pi}{2}}\\ &= 2i. \end{align*}
Dado que $i \sqrt{5}+2i = i(2+\sqrt{5})$ no es un punto sobre el corte de rama, de la rama principal del logaritmo, entonces utilizaremos de nuevo dicha rama. Por lo que: \begin{align*} \left.\operatorname{sen}^{-1}(z)\right|_{z=\sqrt{5}} & = \left. – i\operatorname{Log}\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right)\right|_{z=\sqrt{5}}\\ & = -i\operatorname{Log}\left(i\left(2+\sqrt{5} \right)\right)\\ & = -i\left[\operatorname{ln}\left|i\left(2+\sqrt{5} \right)\right| + i \operatorname{Arg}\left(i\left(2+\sqrt{5} \right)\right)\right]\\ & = -i\left[\operatorname{ln}\left(2+\sqrt{5}\right) + i \frac{\pi}{2}\right]\\ & = \frac{\pi}{2} -i\operatorname{ln}\left(2+\sqrt{5}\right). \end{align*}
Procediendo de forma completamente análoga que con la proposición 23.1, es posible establecer las expresiones para las funciones inversas de las funciones hiperbólicas, que al estar definidas en términos de la exponencial compleja, también resultan ser funciones multivaluadas.
$\operatorname{tanh}^{-1}(z) = \dfrac{1}{2} \operatorname{log}\left(\dfrac{1+z}{1-z}\right)$, para $z\neq \pm 1$.
$\operatorname{coth}^{-1}(z) = \dfrac{1}{2} \operatorname{log}\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)$, para $z\neq \pm 1$.
$\operatorname{sech}^{-1}(z) = \operatorname{log}\left(\dfrac{1 + z\sqrt{\dfrac{1}{z^2}-1}}{z}\right)$, para $z\neq 0$.
$\operatorname{csch}^{-1}(z) = \operatorname{log}\left(\dfrac{1 + z\sqrt{\dfrac{1}{z^2}+1}}{z}\right)$, para $z\neq 0$.
Demostración.
Se deja como ejercicio al lector.
Sea $z = \operatorname{cosh}(w)$. De acuerdo con la definición 22.3 tenemos que: \begin{equation*} z = \operatorname{cosh}(w) = \frac{e^{w} + e^{-w}}{2}, \end{equation*}de donde: \begin{equation*} (e^{w})^2-2z(e^{w}) + 1 = 0. \end{equation*}Resolvemos la ecuación cuadrática para $e^w$ utilizando la fórmula general, entonces: \begin{equation*} e^{w} = \frac{2z + \sqrt{4(z^2-1)}}{2} = z + \sqrt{z^2-1}, \end{equation*}donde la función multivaluada $\sqrt{z^2-1}$ determina dos raíces complejas de $z^2-1$. Por lo que, una vez establecida la rama de dicha función multivaluada, podemos utilizar la proposición 20.1(6), para $k, n\in\mathbb{Z}$, como sigue: \begin{align*} w &= \operatorname{log}\left(z + \sqrt{z^2-1}\right) + i2k\pi\\ &= \operatorname{ln}\left|z + \sqrt{z^2-1}\right| + i\left(\operatorname{Arg}\left(z + \sqrt{z^2-1}\right) + 2m\pi\right)\\ &= \operatorname{ln}\left|z + \sqrt{z^2-1}\right| + i\operatorname{arg}\left(z + \sqrt{z^2-1}\right)\\ &= \operatorname{log}\left(z + \sqrt{z^2-1}\right), \end{align*}donde $m=k+n\in\mathbb{Z}$.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
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Ejemplo 23.5. Veamos que $\operatorname{tanh}^{-1}\left(\dfrac{1}{z}\right) = \operatorname{coth}^{-1}\left(z\right)$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{senh}^{-1}(z) = \dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}$, para $z\neq \pm i$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh}^{-1}(z) = \dfrac{1}{\sqrt{z^2 – 1}}$, para $z\neq \pm 1$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{tanh}^{-1}(z) = \dfrac{1}{1-z^2}$, para $z\neq \pm 1$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{coth}^{-1}(z) = \dfrac{1}{1-z^2}$, para $z\neq \pm 1$.
$\dfrac{d}{dz}\operatorname{sech}^{-1}(z) = -\dfrac{1}{z^2\sqrt{\dfrac{1}{z^2}-1}}$, para $z\neq \pm 1$ y $z\neq 0$.
$\dfrac{d}{dz} \operatorname{csch}^{-1}(z) = – \dfrac{1}{z^2\sqrt{\dfrac{1}{z^2}+1}}$, para $z\neq \pm i$ y $z\neq 0$.
Demostración.
Se deja como ejercicio al lector.
Una vez establecida una rama de la función multivaluada $\sqrt{z^2-1}$ y una adecuada rama para la función logaritmo, procedemos a derivar utilizando la regla de la cadena, entonces: \begin{align*} \dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh}^{-1}(z) & = \dfrac{d}{dz} \operatorname{log}\left(z + \sqrt{z^2-1}\right)\\ & = \dfrac{1+\dfrac{z}{\sqrt{z^2-1}}}{z + \sqrt{z^2-1}}\\ & = \dfrac{z +\sqrt{z^2-1}}{\left(z +\sqrt{z^2-1} \,\right) \sqrt{z^2-1}}\\ & = \dfrac{1}{\sqrt{z^2-1}}. \end{align*}Donde la igualdad se mantiene siempre que se utilice la misma rama de $\sqrt{z^2-1}$ tanto en la definición de la función $\operatorname{cosh}^{-1}(z)$ como en la expresión de su derivada.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
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Ejemplo 23.6. Utilizando la rama natural de la función $\sqrt{z^2-1}$ y la rama principal del logaritmo determinemos: a) $\operatorname{cosh}^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$. b) $\dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh}^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
¿Es posible determinar los valores de cada inciso si se considera la rama principal de la función $\sqrt{z^2-1}$?
Solución. De acuerdo con el ejercicio 13.15, sabemos que para la función multivaluada $\sqrt{z^2-1}$ los cortes de rama, considerando las ramas principal y natural son, respectivamente: \begin{equation*} \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : |x|\leq 1, y=0\right\} \quad \text{y} \quad \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : |x|\geq 1, y=0\right\}. \end{equation*}
Dado que $z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ y $|z|<1$, entonces dicho punto está sobre el corte de rama, de la rama principal de la función $\sqrt{z^2-1}$, por tanto no podemos utilizar dicha rama para determinar los valores que nos pide cada inciso.
Por otra parte, es claro que $z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ no está sobre el corte de rama, de la rama natural de la función $\sqrt{z^2-1}$, entonces: \begin{equation*} \sqrt{1-z^2} = e^{\frac{1}{2} \operatorname{Log}_{[0,2\pi)}(z^2-1)}, \quad 0 \leq \operatorname{Arg}(z^2-1) < 2\pi. \end{equation*}
Dado que $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1+i\right)$ no es un punto sobre el corte de rama, de la rama principal del logaritmo, entonces utilizaremos de nuevo dicha rama. Por lo que: \begin{align*} \left.\operatorname{cosh}^{-1}(z)\right|_{z=\frac{1}{\sqrt{2}}} & = \left. \operatorname{Log}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)\right|_{z=\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ & =\operatorname{Log}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1+i\right)\right)\\ & =\operatorname{ln}\left| \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1+i\right)\right| + i \operatorname{Arg}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(1+i\right)\right)\\ & = \operatorname{ln}\left(1\right) + i \frac{\pi}{4}\\ & = i\frac{\pi}{4}. \end{align*}
Completa las demostraciones de las proposiciones de esta entrada.
Sean $w=\operatorname{cos}(z)$ y $\zeta = e^{iz}$. Muestra que: \begin{align*} \zeta & = w+\sqrt{w^2-1},\\ \operatorname{cos}^{-1}(w) & = -i\operatorname{log}\left(w\pm \sqrt{w^2-1}\right). \end{align*}
Muestra que los puntos de ramificación de la función multivaluada $\operatorname{sen}^{-1}(z)$ son $z=\pm 1$.
Demuestra que si $a\in\mathbb{R}$ y $a>1$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{tanh}^{-1}(a) = \operatorname{Log}\sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + i \frac{2k+1}{2} \pi, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}
Muestra que si se usa la misma rama de la función $\sqrt{1-z^2}$ en la definición de las funciones multivaluadas $\operatorname{sen}^{-1}(z)$ y $\operatorname{cos}^{-1}(z)$, proposición 23.1, entonces: a) $\operatorname{sen}^{-1}(z) + \operatorname{cos}^{-1}(z) = 2k\pi +\frac{\pi}{2}, \,\, k\in\mathbb{Z}$. b) $\operatorname{tan}^{-1}(z) + \operatorname{cot}^{-1}(z) = k\pi -\frac{\pi}{2}, \,\, k\in\mathbb{Z}$.
Resuelve las siguientes ecuaciones: a) $\operatorname{senh}(5z+i) = -\sqrt{3} i$. b) $\operatorname{tanh}\left(\frac{z-3}{2}\right) = -1+ i$. c) $\operatorname{cot}(z) = 2i$. d) $\operatorname{cosh}^2(z) = -1$.
Prueba que: \begin{equation*} \operatorname{tanh}^{-1}\left(e^{i\theta}\right) = \frac{1}{2} \operatorname{log}\left(i \operatorname{cot}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right). \end{equation*}Determina una expresión similar para $\operatorname{tan}^{-1}\left(e^{i\theta}\right)$.
Demuestra que: \begin{equation*} \operatorname{tan}\left(i \operatorname{log}\left(\frac{a-ib}{a+ib}\right)\right) = \frac{2ab}{a^2 – b^2}. \end{equation*}Hint: sustituye $z$ por $\dfrac{2ab}{a^2 – b^2}$ en la definición de $\operatorname{tan}^{-1}(z)$.
Determina los puntos de ramificación de las siguientes funciones: a) $\operatorname{cos}^{-1}(z)$. b) $\operatorname{tan}^{-1}(z^2+2z+1)$.
Más adelante…
En esta entrada hemos abordado de manera general las definiciones de las funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Vimos que estas funciones resultan ser funciones multivaluadas, por lo que es importante recordar los conceptos de la entrada 13 referentes a este tipo de funciones, como los conceptos de rama de una función multivaluada, corte de rama y puntos de ramificación, ya que a través de estos conceptos es posible determinar de manera clara los dominios de analicidad de dichas funciones. Así mismo, vimos que una vez definida una rama de alguna de estas funciones inversas, es posible determinar su derivada a través de la regla de la cadena.
La siguiente entrada abordaremos el concepto de transformación, que como hemos visto en nuestros cursos de Geometría y Álgebra Lineal resulta ser una herramienta muy útil para el estudio de funciones de varias variables, en este caso para las funciones complejas, ya que a través de dicho concepto podremos dar una interpretación geométrica del comportamiento de las funciones complejas.
