Introducción
Hola a todos. Esta es la primer entrada de una serie de videos correspondientes a un curso completo de Ecuaciones Diferenciales I, tomando como base el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM, el cual podrás encontrar en el siguiente enlace (temario oficial).
En esta primer entrada daremos una pequeña introducción donde hablaremos a grandes rasgos sobre lo que tratará el curso. Posteriormente daremos un primer vistazo a lo que son las ecuaciones diferenciales y motivaremos su estudio mediante ejemplos donde juegan un papel fundamental. Finalmente veremos las definiciones básicas que necesitamos conocer para poder comenzar un estudio formal de las ecuaciones diferenciales.
¡Vamos a comenzar!
¿De qué trata el curso?
El curso pretende introducirte al mundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. A grandes rasgos una ecuación diferencial ordinaria es una relación entre una variable independiente $t$, una función que depende de $t$, y las derivadas de distintos órdenes de la función. Cuando la relación involucra más de una variable independiente hablaremos de una ecuación en derivadas parciales, sin embargo en este curso no abordaremos ese caso.
Principalmente veremos las distintas técnicas de resolución de ecuaciones, especialmente de primer y segundo orden, así como sistemas de ecuaciones de primer orden. Sin embargo, como el conjunto de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver por métodos analíticos es muy pequeño, también analizaremos las ecuaciones desde un punto de vista cualitativo, es decir, realizaremos una descripción lo más completa posible de las soluciones a una ecuación diferencial sin conocerlas explícitamente. También abordaremos el Teorema de Existencia y Unicidad, el cual nos brinda las herramientas para poder resolver problemas con condiciones iniciales, bajo ciertas condiciones.
Motivación y ejemplos de modelos matemáticos mediante ecuaciones diferenciales
Comenzamos el curso con un par de aplicaciones a problemas de dinámica de poblaciones. Revisamos cómo modelar matemáticamente dichos fenómenos mostrando la importancia de las ecuaciones diferenciales.
Definiciones básicas
En el primer video, damos las definiciones de ecuación diferencial ordinaria, soluciones y orden de una ecuación, con sus respectivos ejemplos para que tengas claros estos conceptos.
En el segundo video, revisamos el concepto de problema de condición inicial, también llamado problema de valor inicial, y mediante un ejemplo analizaremos la importancia que tiene en la búsqueda de soluciones particulares de una ecuación. Por último clasificamos a las ecuaciones en lineales y no lineales, ya que en próximos videos comenzaremos a ver las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Investiga acerca de algún problema de la vida real que se modele mediante una ecuación diferencial.
- Comprobar que cuando $P<N$, entonces la tasa de cambio del tamaño de la población en el ejemplo del modelo logístico ( visto en el segundo video) es positiva, es decir, $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P>0$, por lo cual el tamaño de la población crece.
Verificar si las siguientes funciones son solución a su respectiva ecuación diferencial:
- $\frac{d^{2}y}{dt}+y=0, \,\,\,\,\, y(t)=\sin t$.
- $y'{}’+5y’+6y=0, \,\,\,\,\, y(t)=e^{-2t}$.
- $\frac{dy}{dt}+y=te^{t}, \,\,\,\,\, y(t)=ce^{-t}+\frac{te^{t}}{2}-\frac{e^{t}}{4}$.
- Sabemos que $y(t)=\frac{1}{k-t}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y^{2}$ (verifícalo). Encuentra la solución al problema si agregamos la condición inicial $y(0)=1$.
¿Cuál es el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales? ¿Son lineales o no?
- $3ty+y^{2}+(t^{2}+ty)\frac{dy}{dt}=0$.
- $\alpha t\frac{d^{5}y}{dt}+\sin(t)\frac{d^{2}y}{dt}-\frac{dy}{dt}+t^{5}y=t$.
- $\cos(t^{2})-y'{}'{}’+37e^{t}y'{}’+y’-\cosh(y)=100e^{\cos(t^{3})}$.
Más adelante
En la próxima entrada analizaremos un poco de la geometría de soluciones de una ecuación de primer orden mediante algunas técnicas bastante sencillas.
Primero veremos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación, y conoceremos cuál es la relación que tiene este campo con las soluciones a la ecuación. Posteriormente veremos el método de las isóclinas para encontrar el campo de pendientes asociado a una ecuación y sus soluciones en el plano $t-y$.
¡No se los pierdan!
Entradas relacionadas
- Ir a Ecuaciones Diferenciales I
- Siguiente entrada del curso: Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial, curvas integrales y método de las isoclinas
- Notas escritas relacionadas con el tema: Introducción a las ecuaciones diferenciales
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»