Introducción
En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones no lineales de primer orden. En particular, resolvimos ecuaciones diferenciales que llamamos separables. Ahora, en esta nueva entrada resolveremos otro tipo de ecuaciones no lineales que llamaremos ecuaciones diferenciales exactas, que podemos escribir en la forma
Por otro lado, muchas veces las funciones
Ecuaciones exactas
En el primer video introducimos el concepto de ecuación diferencial exacta, y analizamos cuáles son las condiciones que deben satisfacer las funciones
En el segundo video resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones exactas.
Ecuaciones no exactas y método del factor integrante
En el primer video revisamos el caso cuando una ecuación no satisface las condiciones para ser exacta. Resolvemos este tipo de ecuaciones mediante el método del factor integrante, donde buscamos una función
En el segundo video resolvemos un par de ejemplos por el método del factor integrante.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Verifica que la ecuación diferencial
es exacta y encuentra su solución.
- Encuentra la solución al problema de condición inicial para la ecuación del ejercicio anterior para
.
- Determina el valor de
para que la ecuación diferencial sea exacta y encuentra su solución.
- Verifica que
y son factores integrantes para la ecuación Es decir, una ecuación diferencial puede tener más de un factor integrante.
- Encuentra la condición para que un factor integrante
de dependa únicamente de y encuentra la expresión para . (Recuerda los pasos que seguimos en el tercer video de esta entrada para el caso ).
- Verifica que la ecuación
no es exacta; encuentra un factor integrante para esta ecuación y resuélvela.
Más adelante
En la siguiente entrada continuaremos con el estudio a las ecuaciones no lineales de primer orden y revisaremos dos ecuaciones no lineales particulares: la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati.
Entradas relacionadas
- Ir a Ecuaciones Diferenciales I
- Entrada anterior del curso: Ecuaciones no lineales de primer orden separables
- Siguiente entrada del curso: Ecuaciones de Bernoulli y Riccati
- Notas escritas relacionadas con el tema: Ecuaciones diferenciales exactas
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»