Conjuntos anidados

Por Lizbeth Fernández Villegas

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 MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción:

En esta ocasión nos vamos a fijar en colecciones de conjuntos que están contenidos unos en otros. Vamos a suponer que es una cantidad numerable de conjuntos. El primer conjunto contiene al segundo, que a su vez contiene a un tercero y así, sucesivamente.

Ahora pensemos en la intersección de todos esos conjuntos. Intuitivamente podemos visualizar que se tratará de un conjunto muy pequeño, que estará contenido en todos los demás.

Aquí tenemos un ejemplo de una sucesión de conjuntos donde los últimos términos corresponden al mismo conjunto. La intersección de todos los conjuntos es, evidentemente, ese último conjunto

Observemos la sucesión de intervalos [−1n,1n]n∈N.

Nota que todos tienen como elemento al cero. Además es el único elemento que pertenece a la intersección de todos los intervalos, pues si suponemos que hay otro más, dado que 1n→0 es posible encontrar un intervalo suficientemente pequeño, que deje fuera este elemento.

Con un radio menor a la distancia entre 0 y el punto rojo, este último queda fuera.

Ahora consideremos el subespacio Q con la métrica usual. En esta ocasión los intervalos serán (2−1n,2+1n),n∈N. Queda como ejercicio al lector demostrar que la intersección de estos conjuntos es vacía en Q.

Entonces, ¿bajo qué condiciones podremos asegurar que la intersección no es vacía pese a que los conjuntos se hagan «cada vez más pequeños» y estén contenidos unos en otros? Veamos la siguiente definición:

Definición bolas encajadas: Sea (X,d) un espacio métrico y (B―(xn,εn))n∈N una sucesión de bolas cerradas en X. Si ∀n∈N se cumple que B―(xn+1,εn+1)⊂B―(xn,εn) diremos que la sucesión (B―(xn,εn))n∈N es de bolas encajadas.

Sucesión de bolas cerradas encajadas

Proposición principio de bolas encajadas: (X,d) es un espacio métrico completo si y solo si para cualquier sucesión de bolas cerradas encajadas (B―(xn,εn))n∈N cuyos radios tienden a cero, es decir εn→0, se cumple que la intersección de todas las bolas cerradas es no vacía. Además ∩n∈NB―(xn,εn)={x} para algún x∈X.

Demostración:
Supongamos que (X,d) es completo. Sea (B―(xn,εn))n∈N una sucesión de bolas encajadas. Vamos a probar primero que la sucesión de los centros de las bolas cerradas (xn)n∈N es de Cauchy. Sea ε>0, como εn→0, existe N∈N tal que ∀n≥N,εn<ε2. Como la sucesión es de bolas encajadas, tenemos que ∀l,m≥N,B―(xl,εl)⊂B―(xN,εN) y B―(xm,εm)⊂B―(xN,εN) entonces d(xl,xm)≤d(xl,xN)+d(xN,xm)≤ε2+ε2=ε. Por lo tanto (xn) es de Cauchy. Como X es completo, se sigue que xn→x para algún x∈X


Vamos a demostrar que x∈∩n∈NB―(xn,εn). Sea n∈N. Como las bolas son encajadas, tenemos que ∀k≥n,B(xk,εk)⊂B(xn,εn) en consecuencia ∀k≥n, el término de la sucesión xk es elemento de B(xn,εn), que es un conjunto cerrado. Ya que la subsucesión formada por estos últimos términos converge en x se sigue de lo que vimos en Convergencia que x∈B(xn,εn). Como esto ocurre ∀n∈N, concluimos que x∈∩n∈NB―(xn,εn).

Además x es el único punto en la intersección, pues si existe otro punto x′∈∩n∈NB―(xn,εn) existen también bolas cerradas suficientemente pequeñas que no contienen a ambos puntos. La demostración de este hecho se deja como ejercicio.

Para el regreso buscamos demostrar que (X,d) es completo. Sea (xn)n∈N una sucesión de Cauchy.

Vamos a construir una sucesión de bolas encajadas de la siguiente forma:
Ya que la sucesión (xn) es de Cauchy, podemos afirmar que existe N1∈N tal que ∀n,m≥N1,d(xn,xm)≤12. Entonces ∀n≥N1,xn∈B(xN1,12)⊂B(xN1,1).

Nuevamente, como (xn) es de Cauchy, existe N2∈N tal que ∀n,m≥N2,d(xn,xm)≤122. Entonces ∀n≥N2,xn∈B(xN2,122)⊂B(xN2,12). Nota que esta bola está contenida en la anterior.

Continuando recursivamente, la bola k de la sucesión en construcción estará dada por el centro xNk donde Nk es tal que ∀n,m≥Nk,d(xn,xm)≤12k. Entonces ∀n≥Nk,xn∈B(xNk,12k)⊂B(xNk,12k−1).

Así, la sucesión (B(xNn,12n−1))n∈N es de bolas encajadas y sus radios tienden a cero. Por hipótesis sabemos que la intersección de estos conjuntos es {x}, para algún x∈X. Es sencillo probar que la sucesión de centros (xNn)n∈N converge en x (se dejará como ejercicio). Entonces tenemos una subsucesión de la sucesión de Cauchy (xn) que es convergente y, como vimos en entrada anterior, esto demuestra que (xn)→x por lo que X es completo.

Notemos que para asegurar la contención de un conjunto en otro, necesitamos obtener información acerca de las distancias entre sus elementos. Esto motiva una definición para conjuntos más generales que una bola cerrada:

Definición diámetro de un conjunto: Sea A⊂X. Entonces el diámetro de A se define como:
diam(A)=sup{d(x1,x2):x1,x2∈A}.

Cuando el conjunto {d(x1,x2):x1,x2∈A} no es acotado, diremos que el diámetro es ∞.

Proposición: Sea (xn)n∈N una sucesión en (X,d) y para cada N∈N,XN={xk:k≥N} el conjunto de los términos de la sucesión que van a partir de xN. Entonces (xn) es una sucesión de Cauchy si y solo si
limN→∞diam(XN)=0

Demostración:
Supón que (xn) es una sucesión de Cauchy en X y sea ε>0. Entonces existe K∈N tal que ∀l,m≥K,d(xl,xm)<ε. En consecuencia diam(XK)≤ε. Como para todo L≥K,(XL)⊂(XK) se sigue que para todo L≥K,diam(XL)≤diam(XK)≤ε. Por lo tanto limN→∞diam(XN)=0

Ahora supongamos que limN→∞diam(XN)=0. Buscamos demostrar que (xn) es de Cauchy. Sea ε>0, como los diámetros tienden a cero, existe K∈N tal que en particular (XK) satisface que diam(XK)<ε. Entonces ∀l,m≥K,d(xl,xm)<ε lo cual demuestra que (xn) es de Cauchy.

Terminemos con la siguiente:

Proposición: Sean (An)n∈N una sucesión de subconjuntos cerrados de un espacio métrico completo (X,d) tales que para todo n∈N,An+1⊂An y además limn→∞diam(An)→0. Entonces ∩n∈NAn={x} para algún x∈X).

Demostración:
Para cada n∈N elegimos xn∈An. Entonces para cada N∈N el conjunto XN definido en la proposición anterior está contenido en AN, pues los conjuntos están anidados. En consecuencia, diam(XN)≤diam(An)→0. La proposición anterior nos permite concluir que (xn) es una sucesión de Cauchy. Como X es completo, se sigue que (xn)→x para algún x∈X. Dejamos como ejercicio demostrar que ∩n∈NAn={x}.

¿Recuerdas la distancia de Hausdorff vista en La métrica de Hausdorff? Nota que si A y B son subconjuntos de X entonces dH(A,B)≤diam(A∪B). En esa misma entrada vimos que conjuntos anidados convergen a la intersección de todos ellos, y que este conjunto está formado por los puntos de convergencia de sucesiones que tienen elementos en los conjuntos anidados. En entradas futuras veremos que los espacios compactos son cerrados. ¿Cómo justificarías las proposiciones vistas en esta entrada a partir de los resultados presentados en la métrica de Hausdorff?

Más adelante…

Veremos los conceptos de conjunto denso y conjunto nunca denso. Descubriremos un resultado que ha sido muy importante en el estudio de los espacios métricos completos: El teorema de Baire.

Tarea moral

  1. Sea Q el subespacio de R con la métrica usual. Demuestra que la intersección de los intervalos [2−1n,2+1n],n∈N es vacía.
  2. Demuestra que si x está en la intersección de bolas encajadas ∩n∈NB―(xn,εn) entonces es único.
  3. Demuestra que la sucesión de centros (xNn)n∈N de la proposición converge en x.
  4. Sea A⊂X. Demuestra que diam(A)=diam(A―).
  5. Da un ejemplo de un espacio métrico completo y de una sucesión de bolas cerradas en este espacio, encajadas unas en otras que tenga intersección vacía.

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