En secciones anteriores vimos que las sucesiones de Cauchy no siempre son convergentes en un espacio métrico, pero cuando todas lo son decimos que el espacio es completo.
Si tenemos un espacio que no es completo, intuitivamente podemos pensar en agregar puntos a los que las sucesiones de Cauchy converjan, produciendo así, un espacio métrico más grande que sí sea completo. Habrá que tener cuidado en definir adecuadamente las distancias con los nuevos elementos. Podríamos preguntarnos entonces si dicha completación es posible, y más aún, si es única.
Comencemos con la siguiente:
Definición. Completación de un espacio métrico: Sea un espacio métrico. Diremos que un espacio métrico completo es una completación del espacio si cumple que:
es subespacio métrico de Así es la métrica restringida en
es denso en es decir
Ejemplo: El espacio métrico es una completación de
Proposición: Todo espacio métrico tiene una completación y esta completación es única, salvo una aplicación isométrica que envía los puntos de en sí mismos. (Aquí vimos la definición de isometría).
Prueba unicidad
Considera un espacio métrico y dos completaciones y de este espacio. Para probar que son iguales salvo isometrías debemos demostrar que existe una isometría biyectiva entre ambas completaciones. La isometría se construye como sigue:
Sea como es completación de entonces, de acuerdo con la definición en consecuencia y existe una sucesión de puntos en que converge a (Resultado visto en Convergencia). Nota que la convergencia permite concluir que es de Cauchy en (pues ) y por tanto también lo es en debido a que la completación debe preservar las distancias para cualesquiera dos puntos de
es de Cauchy en y converge a en
Como también se sigue que los términos de también pertenecen a que, al ser completo, implica que para algún (pues si la sucesión es de Cauchy en también lo es en la completación ).
La misma sucesión converge también en algún punto en
Afirmación: El punto no depende de la sucesión elegida que converge en Esto es, cualquier otra que también converja en en el espacio igualmente convergerá a en el espacio ¿Por qué? Para cada sea Demostraremos que es la isometría buscada:
Se cumple que para todo ¿Por qué? Por otra parte, si suponemos que tenemos sucesiones cuyos términos están en tales que:
en y en en y en
entonces:
así mismo
¿Por qué?
Por lo tanto,
Lo cual demuestra que es una isometría. ¿Por qué se le puede considerar biyectiva?
Prueba existencia
Antes de probar la existencia veamos la siguiente:
Definición. Sucesiones equivalentes: Sean y sucesiones de Cauchy en el espacio métrico Si ocurre que diremos que las sucesiones son equivalentes y lo denotaremos como:
Con esto se define un conjunto de clases de equivalencia, agrupando según la relación, las sucesiones de Cauchy en Veremos que es una completación de Probablemente esto cause confusión en este momento, pues mientras es un conjunto de puntos, la completación que proponemos tiene como elementos conjuntos de sucesiones de Cauchy. No obstante, aunque el tipo de elementos entre ambos conjuntos parezcan muy diferentes, en las próximas líneas veremos que la magia del isomorfismo admitirá considerarlos equivalentes.
Espacio y espacio de clases de equivalencia.
Sean y dos clases de equivalencia y sean y , respectivamente, representantes de clase. Definimos la distancia entre ambas clases como:
Entonces se considera la distancia entre un término de la sucesión y el término correspondiente en Hablar de que existe el límite de las distancias cuando indica que en algún momento, la distancia entre pares de términos se estabiliza.
Representación distancia entre clases
Por supuesto que habrá que demostrar que este límite existe y que esta distancia es invariante, no depende del representante de clase elegido en cada clase de equivalencia.
Probemos primero que la sucesión dada por es convergente en . Bastará con demostrar que es de Cauchy.
Sea Como son de Cauchy, existen y tales que
Sea á Se sigue que se cumple que: éá
Es sencillo probar que si son elementos de un espacio métrico se satisface que
Con este resultado es posible continuar con la cadena de igualdades:
Entonces la sucesión es de Cauchy en y converge cuando
Ahora demostremos que la distancia entre clases no depende del representante elegido. Sean y sean . En efecto pues al calcular la diferencia entre estas magnitudes tenemos:
óíéíáí
Por lo tanto la distancia entre clases está bien definida.
El conjunto de clases de equivalencias de sucesiones es un espacio métrico
Sean clases de equivalencia de la relación descrita arriba. Se satisfacen los axiomas:
si y solo si
Dejaremos como probar y Para probar partimos de tomar representantes de clase Lo siguiente es consecuencia de la desigualdad del triángulo en y la distancia entre clases definida.
Que es lo que queríamos demostrar.
Representación de la partición creada por la relación
En el dibujo cada clase de equivalencia está representada por sucesiones de colores similares. Al ser de Cauchy y tener distancias entre ellas que “se reducen a cero” podemos pensar en que todas las sucesiones de una clase convergen a un punto del espacio cuando de hecho son convergentes;
o bien, si no convergen en lo harán en un punto “afuerita” de (en la cerradura respecto al espacio completo que lo contiene). Esta misma idea nos deja imaginar la distancia entre clases como la distancia entre esos “puntos de convergencia.”
El conjunto de clases de equivalencia es una completación de
Sea el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en Definimos tal que para cada punto es la clase de sucesiones de Cauchy que convengen en
Representación
Sean y dos sucesiones en tales que: Entonces se cumple que:
Distancia entre puntos en y distancia entre las clases que convergen en ellos.
Por lo tanto es una isometría entre y
Ahora que podemos considerar a como demostremos que En consecuencia, el espacio métrico será isométrico al espacio métrico
Sea y sea Buscamos demostrar que existe un elemento de en la bola de radio con centro en es decir, que su distancia a sea menor que
Sea un representante de clase de . Como es de Cauchy, existe tal que se cumple que
Entonces si consideramos la sucesión constante donde todos sus términos son se sigue: Lo cual demuestra que está en la bola de radio con centro en Por lo tanto es denso en
es completo
Sea una sucesión de Cauchy en Si todos los términos de la sucesión están en entonces cada una de las clases, términos de converge en puntos de formando así una sucesión de Cauchy en
Luego, por como fue construido la sucesión converge a su clase de equivalencia en En el caso general, si la sucesión en es de la forma donde cada es una clase de equivalencia que no necesariamente tiene una sucesión constante de puntos en , dada la densidad de (visto como para cada es posible elegir tal que Queda como argumentar que la sucesión es de Cauchy y por tanto, vista como sucesión de clases, converge a algún . é por qué podemos concluir que también converge a
Con esto queda demostrada la proposición.
Más adelante…
Seguiremos trabajando con la convergencia de sucesiones, pero ahora tendrán, como términos, los valores asignados en un punto por una sucesión de funciones. Hablaremos de los valores a los que una sucesión de funciones converge y veremos los términos de límite puntual y límite uniforme.
Tarea moral
Argumenta los detalles que quedaron pendientes en la demostración de la completación de un espacio métrico.