Las siguientes notas de la Dr. Diana Avella Alaminos son las correspondientes al curso de Álgebra Superior 1, que se imparte en el primer semestre de la carrera de matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Están divididas en 4 unidades, la primera correspondiente a conjuntos y funciones, la segunda está dedicada a la construcción y propiedades de los números naturales, la tercera es una introducción al estudio del espacio vectorial $\mathbb R^n$ , la cuarta y última unidad al estudio de matrices y determinantes.
A continuación se deja el el enlace a cada una de las notas según el orden y la unidad.
Una vez estudiado los temas de esta primera unidad, se dejarán a continuación Ejercicios para reforzar, investigar y pensar distintos problemas relacionados con lo ya visto en esta unidad.
Potencia de un Punto Ejercicios
1.- Dados dos círculos A y A’. Encontrar el lugar de los puntos cuya suma de Potencias respecto a A y A’ es constante.
2.- El lugar geométrico de un punto, cuya diferencia de potencias con respecto a dos circunferencias no concéntricas es constante, es una línea recta paralela a su eje radical.
Eje radical de dos circunferencias Ejercicios
3.- Construir el eje radical de dos circunferencias sin hacer uso de los centros o la línea de los centros de las circunferencias.
4.- Encontrar el eje radical del circuncirculo y el círculo de los nueve puntos de un triángulo dado.
Circunferencias Ortogonales Ejercicios
5.- Determinar cuando es posible para el centro de una de dos circunferencias ortogonales estar en la otra circunferencia.
6.- Dadas dos circunferencias y un punto, trace una circunferencia que sea ortogonal a las dos y que contenga al punto.
Familias Coaxiales Ejercicios
7.- Dos circunferencias distintas dadas, son miembro de uno y solo un conjunto de circunferencias coaxiales.
8.- Demuestra que si cada uno de dos puntos fijos tiene potencias iguales con respecto a tres o más circunferencias, estas son coaxiales.
9.- Demuestra que los ejes radicales de un círculo y cada una de las circunferencias de un conjunto coaxial son concurrentes.
10.- Demuestra que todas las circunferencias cuyos centros son colineales y tales que son ortogonales a una circunferencia dada, son coaxiales.
Circunferencia de Similitud Ejercicios
11.- Demuestra que dos circunferencias y su circunferencia de similitud son coaxiales.
Aplicaciones al Cuadrilátero Completo Ejercicios
12.- Demuestra que las circunferencias cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo son coaxiales.
Más Adelante…
Se abordará el tema de Inversión respecto a su teoría con distintos temas relacionados.
Una vez analizado las circunferencias coaxiales es necesario ver la Aplicación al Cuadrilátero Completo.
Cuadriláteros completos
Recordemos que un cuadrilátero completo se define:
Definición. Un cuadrilátero completo es una figura que consiste de 4 líneas, tres de las cuales no pasan por el mismo punto y los seis puntos determinados por la intersección de estas líneas.
Observaciones.
Las cuatro líneas son sus lados y los seis puntos son sus vértices. En este caso a, b, c y d son los lados y los puntos $a \cap c, b \cap c, c \cap d, d \cap b, a \cap d$ y $a \cap b$ son los vértices.
Se dice que dos vertices son vertices opuestos si ellos no estan en el mismo lado. En un cuadrilatero completo hay 3 pares de vertices opuestos. Son [$c \cap d $y$ a \cap b$], [$b \cap c$ y $a \cap d$] y [$a \cap c$ y $d \cap b$].
Las 3 líneas determinadas por los pares de vértices opuestos de un cuadrilátero completo, son sus diagonales, y el triángulo determinado por estas 3 líneas, es un triángulo diagonal. Las rectas son p, q y r son las rectas diagonales y pqr es el triángulo diagonal.
Una aplicación de la teoría de circunferencias coaxiales, es el siguiente teorema:
Teorema. Las circunferencias, cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo, son coaxiales.
Demostración. Se tiene el cuadrilátero completo con lados p, q, r y s, donde se puede sacar el ortocentro $H_1$ del $\triangle ABC$ y $A’, B’ $y$ C’$ los pies de las alturas $A, B $y$ C$.
Puesto que $A, C, C’, A’$ y $ B, C, C’, B’$ son conjuntos de puntos conciclicos. Entonces $H_1A \cdot H_1A’=H_1B \cdot H_1B’=H_1C \cdot H_1C’$.
Ahora $AA’, BB’, CC’$ cuerdas de las circunferencias que tiene como diámetros a $AF, BE$ y $CD$ respectivamente. Y por las ecuaciones anteriores $H_1$ tiene la misma potencia respecto a cada una de estas circunferencias.
Y al saber que $H_1$ tiene las mismas potencias, entonces se concluye que las circunferencias son coaxiales. $\square$
Corolario. Los ortocentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro lados del cuadrilátero tomados tres a un tiempo son colineales.
Demostración. Por la demostración anterior, se puede demostrar que los ortocentros de los triángulos $ADE, BDF, CEF$ tiene cada uno iguales potencias con respecto a estas tres circunferencias. Por lo cual las tres circunferencias son coaxiales, los cuatro ortocentros están en el eje radical y los centros o puntos medios de las diagonales, están en una línea recta.
Además, la línea en la que están los cuatro ortocentros, es perpendicular a la línea que pasa por los puntos medios de las diagonales. $\square$
Más adelante…
Una vez visto y estudiado esta primera unidad se pondrán ejercicios para practicar en la siguiente entrada.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta nota usaremos el concepto de combinaciones visto en la nota anterior para construir el famoso triángulo de Pascal y entender cómo elevar un binomio a la $n$-ésima potencia, mediante la conocida fórmula del binomio de Newton. Empecemos la nota con un resultado que será la clave para ambos resultados.
Notemos que si $C$ es un subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos hay dos opciones, que $a_{n+1}\in C$ o que $a_{n+1}\notin C$, así:
$ \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}= $
$= \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }\cup \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }$
y como la unión es disjunta :
$\# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1}=$
$= \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }+ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }$.
Además, todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\in C$, es de la forma $B\cup \set{a_{n+1}}$, donde $B$ es un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m$ elementos, por lo tanto:
$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\in C }=\binom{n}{m}.$
Por otro lado, todo subconjunto de $A$ con $m+1$ elementos tal que $a_{n+1}\notin C$ será un subconjunto de $\set{a_1,\dotsc,a_n}$ con $m+1$ elementos, así:
$ \# \set{C\subseteq A\mid \#C=m+1, a_{n+1}\notin C }=\binom{n}{m+1}.$
De acuerdo al autor Ignacio Larrosa Cañestro en el recurso de Geogebra https://www.geogebra.org/m/usruvfhg «El triángulo de Tartaglia-Pascal fue estudiado por Niccolò Fontana, conocido como Tartaglia (1499-1557) y popularizado por Blaise Pascal (1623-1662), aunque ya se conocía desde siglos atrás en China y Persia. En este triángulo cada fila empieza y termina en 1 y los elementos intermedios son la suma de los que están arriba a la izquierda y arriba a la derecha». En la posición $m$ de la fila $n$ del triángulo se coloca el número $\binom{n}{m}$.
Observa en los siguientes videos cómo se usa la fórmula del triángulo de Pascal que acabamos de demostrar, para construir el triángulo de Pascal.
Ve el siguiente video para conocer más sobre está maravillosa sucesión milenaria.
El binomio de Newton
Sean $a,b\in \mathbb R$, $n\in \mathbb N$, entonces se cumple que:
Asociando los términos semejantes, tenemos que los coeficientes resultantes son de la forma $\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}$ y en virtud del teorema probado al inicio de esta nota tenemos que $\binom{n}{k+1}+ \binom{n}{k}= \binom{n+1}{k+1} $. Por lo tanto:
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la presente nota veremos el concepto de combinaciones, para ello consideraremos un conjunto finito y a todos sus subconjuntos con un número determinado de elementos. Este concepto es ampliamente usado en matemáticas, particularmente en probabilidad, y está relacionado también íntimamente en la forma de elevar un binomio a un exponente natural.
Definición
Sean $n,m\in \mathbb N$ con $m\leq n$, $A$ un conjunto con $n$ elementos. Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $m$ en $m$ son los subconjuntos de $A$ de $m$ elementos. Denotamos por $\binom{n}{m}$ al número de combinaciones de un conjunto de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$.
Ejemplo
Considera el conjunto $A=\set{a,b,c,d}$, con $a$, $b$, $c$ y $d$ elementos distintos. Obtengamos todas las combinaciones de $A$.
Sólo hay una combinación de los elementos de $A$ tomados de $0$ en $0$, el conjunto vacío, y sólo una combinación de los elementos de $A$ tomados de $4$ en $4$, el conjunto $A$, entonces
$\binom{4}{0}= \binom{4}{4}=1. $
Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $1$ en $1$ son: $\set{a}$, $\set{b}$, $\set{c}$, $\set{d}$.
Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $2$ en $2$ son $\set{a,b}$, $\set{a,c}$, $\set{a,d}$, $\set{b,c}$, $\set{b,d}$, $\set{c,d}$. Así
$\binom{4}{2}=6.$
Las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $3$ en $3$ son $\set{a,b,c}$, $\set{a,b,d}$, $\set{a,c,d}$, $\set{b,c,d},$ por lo que
$\binom{4}{3}=4.$
Observación 1
Para todo natural $n$ se tiene que $\binom{n}{0}= \binom{n}{n}=1.$
Demostración.
Sea $A$ un conjunto finito con $n$ elementos. El único subconjunto de $A$ con cero elementos es el vacío, entonces $\binom{n}{0}=1,$ y el único subconjunto de $A$ con $n$ elementos es $A$, entonces $\binom{n}{n}=1.$
Observación 2
Para todo natural $n\geq 1$ se tiene que $\binom{n}{1}= \binom{n}{n-1}=n.$
Demostración.
Dado $A=\{a_1,\dots ,a_n\}$ un conjunto finito con $n$ elementos los subconjuntos de $A$ con un elemento son $\{a_i\}$ con $i\in\{1,\dots ,n\}$ que son todos distintos entre sí. Entonces $\binom{n}{1}=n.$.
Considera que para obtener subconjuntos de $n-1$ elementos de $A$, debemos tomar todos los elementos de $A$ salvo uno, y como $A$ tiene $n$ elementos entonces eso se puede hacer de $n$ formas distintas, una por cada elemento de $A$ que dejemos fuera del subconjunto. Entonces los subconjuntos de $A$ con $n-1$ elementos son $A\setminus \{a_i\}$ con $i\in\{1,\dots ,n\}$ que son todos distintos entre sí. Así, $\binom{n}{n-1}=n.$.
Teorema
Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $m\leq n$, entonces $\binom{n}{m}P_m=O_{m}^{n}$.
Demostración
Sean $A$ un conjunto con $n$ elementos, $\mathscr O$ el conjunto de ordenaciones de $A$ tomados de $m$ en $m$, $\mathscr C$ el conjunto de las combinaciones de los elementos de $A$ tomados de $m$ en $m$.
Definimos $\varphi: \mathscr O\to \mathscr C $ como:
Veamos que $\varphi$ es suprayectiva. Si $c\in \mathscr C$, entonces $c$ es un subconjunto de $A$ con $m$ elementos, es decir $c=\set{b_1,\dotsc,b_m}$, con $ b_1,\dotsc,b_m\in A$ distintos. Así:
Pero si $f=\begin{pmatrix}1 & \dotsi & m\\ f(1) & \dotsi & f(m)\end{pmatrix}\in \mathscr O$, es tal que $\varphi(f)=C_1$, entonces las funciones de $O_1$ se obtendrán colocando en el segundo renglón del arreglo que describe la función, las distintas permutaciones de $\set{f(1),\dotsc,f(m)}$ que son $P_m$, y así:
$\#O_1=P_m.$
Y análogamente $\#O_i=P_m\,\,\, \,\,\, \forall i\in\set{1,\dotsc,k}.$
Por lo tanto:
$\#\mathscr O=\#O_1+\dotsc+\#O_k$, es decir, sumar $k$ veces el número $P_m$, en consecuencia:
$\#\mathscr O= k P_m$,
y como $k=\binom{n}{m}$, entonces:
$\#\mathscr O= \binom{n}{m} P_m.$
Observa que $O_{n}^{m}=\#\set{f:\set{1,\dotsc, m}\to \set{a_1,\dotsc ,a_n}\mid \text{$f$ es inyectiva}}=\#\mathscr O.$
Por lo tanto $\binom{n}{m}P_m=O_{m}^{n}$ que es justamente lo que queríamos probar.
$\square$
Corolario
Sean $n,m\in \mathbb N^+$, $m\leq n$, entonces $\binom{n}{m}=\frac{ n! }{m!(n-m)!}$.
Demostración
Por el teorema anterior sabemos que $\binom{n}{m}=\frac{ O_{n}^{m} }{P_m}$, y por lo que vimos en las entradas previas tenemos que:
1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono regular de $n$ lados?
2. Un club de voleibol tiene $12$ jugadoras, una de ellas es la capitana María. ¿Cuántos equipos diferentes de $6$ jugadoras se pueden formar, sabiendo que en todos ellos siempre estará la capitana María.
3. Revisa el siguiente video (puedes poner subtítulos en español).
Más adelante
En la siguiente nota usaremos estos resultados para obtener el triángulo de Pascal y para probar la fórmula del binomio de Newton.
