(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada estudiaremos el concepto de subespacio de $\mathbb{R}^n$. Veremos que un subespacio de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$. De manera más precisa definiremos subespacio de $\mathbb{R}^n$ como un conjunto de vectores contenido en $\mathbb{R}^n$ que tiene al neutro aditivo, es cerrado bajo la adición de vectores y bajo la multiplicación por escalares.

Definición

Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ si:

i) $\bar{0}\in W$.

ii) $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

iii) $\lambda w\in W\,\,\,\,\forall \lambda \in \mathbb R\,\,\,\,\forall w \in W$.

Notación

$W\leq \mathbb R^n$ denotará que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Ejemplos

1. $\set{\bar{0}}\leq \mathbb R^n$.

2. $\mathbb R^n\leq \mathbb R^n$.

Se deja al lector verificar que los conjuntos de $1$ y $2$ son subespacios de $\mathbb R^n$

3. Sea $w\in \mathbb R$. $\set{\lambda w\mid \lambda\in \mathbb R}\leq \mathbb R^n$.

Demostración

4. Sean $w\in \mathbb R$, $W=\set{\lambda v\mid \lambda\in \mathbb R}$. Notamos que, por las propiedades de la entrada previa, $\bar{0}=0v\in W$. Además, si $u,v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ y $u=\mu w$ con $\lambda, \mu\in\mathbb R$. Así, $u+v=\lambda w+\mu w=(\lambda +\mu )w$ con $\lambda +\mu\in\mathbb R$, por lo tanto $u+v\in W$. Finalmente, si $\mu\in \mathbb R$ y $v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ para algún $\lambda\in\mathbb R$ por lo cual $\mu v=\mu (\lambda v)=(\mu\lambda )v$ con $\mu\lambda\in\mathbb R$ y así, $\mu v\in W$.

Concluimos entonces que $W$ es un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.

$\square$

Geométricamente, $W$ es una una línea recta que pasa por el origen, formada por todos los vectores que se obtienen multiplicando $w$ por escalares reales.

5. $\set{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb R}\leq \mathbb R^3$.

Se deja la demostración al lector.

Notemos que el conjunto del ejemplo 5 es geométricamente un plano que pasa por el origen, el plano $xy$. De forma más general, los planos por el origen en $\mathbb R^3$ son subespacios de $\mathbb R$.

Usa el siguiente recurso que elaboré en Geogebra para obtener planos por el origen a partir de dos vectores. Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, el vector en color negro representa un vector cualquiera en el plano obtenido a partir de $A$ y $B$.

5. $W=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 2x-y+3z-w=0}\leq \mathbb R^4$.

Demostración de 5

Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las tres condiciones de la definición de subespacio.

$W$ satisface la propiedad $i$ pues $\bar{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.

Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

Sean $u,v\in W$, con $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$ Por ser $u$ y $v$ elementos de $W$ cumplen que:

$2x-y+3z-w=0$

$2a-b+3c-d=0$

Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$. Por lo tanto $u+v\in W$.

Veamos que $W$ satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.

Sean $u=(x,y,z,w)\in W,$ $\lambda\in \mathbb R$.

Por demostrar que $\lambda w\in W$.

Como $u\in W$ entonces:

$2x-y+3x-w=0.$

Multiplicando por $\lambda$ obtenemos:

$\lambda (2x-y+3x-w)=0$

y entonces:

$2(\lambda x)-(\lambda y)+3(\lambda z)-(\lambda w)=0$.

Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.

$\square$

Nota que las condiciones para ver que un conjunto es un subespacio vectorial se pueden reescribir:

Observación

Sea $W\subseteq \mathbb R^n$. $W\leq \mathbb R^n$ si y sólo si se cumplen:

I) $\bar{0}\in W$

II) $\lambda u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W\,\,\,\,\forall \lambda\in \mathbb R^n$.

La demostración queda como tarea moral.

Proposición

La intersección de dos subespacios de $\mathbb R^n$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Demostración

Sean $U,W$ subespacios de $\mathbb R^n$.

Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$. Usaremos para ello la observación anterior.

Como $U$ y $W$ son subespacios, $\bar{0}\in U$ y $\bar{0}\in W$, por lo tanto $\bar{0}\in U\cap W$.

Sean $\lambda \in \mathbb R$, $v_1,v_2\in \mathbb R^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.

Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:

$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$

Así, $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.

Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos, por la observación anterior, que $U\cap W\leq \mathbb R^n$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Demostrar la observación de la nota.

$2.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Para que $W$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ ¿basta verificar las condiciones ii y iii de la definición de subespacio, es decir es necesario pedir que $\bar{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?

$3.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes $\mathbb R^n$.

i) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x\, y\, z=0}$.

ii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+ y+ z=-x}$.

iii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y\geq 0}$.

iv) $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x+y+3z-1=-7}$.

v) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \, z\,\,\,es\,\,\,racional}$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de combinaciones lineales.

Enlaces relacionados

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Nota anterior.Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.

Nota siguiente. Nota 28. Combinaciones lineales.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Con esta nota empezamos la unidad 3, en la que estudiaremos un tipo particular de estructura algebraica llamada espacio vectorial. El plano y el espacio cartesiano tienen esta estructura de espacio vectorial, seguramente en este momento de tu educación ya los has utilizado; ahí los vectores son representados con flechas dirigidas a un punto. Podemos sumar esos vectores o flechas, y multiplicarlos por números reales para cambiarles su tamaño o sentido.

Veremos que no sólo $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ son espacios vectoriales, si no que para todo $n$ un natural positivo se cumple que $\mathbb R^n$ es un espacio vectorial. Primero estableceremos dos operaciones llamadas suma y producto por escalar, luego veremos que estas operaciones cumplen ciertas propiedades.

La construcción y las propiedades de los números reales no serán objeto de estudio de este curso, pero es importante aclarar que el conjunto $\mathbb R$ también tiene una estructura particular denominada campo. Mencionemos, sin profundizar más en ello, las propiedades que cumplen los números reales con las operaciones de suma y producto (debido a las cuales se le llama un campo) ya que las necesitaremos para poder estudiar los espacios vectoriales sobre los reales.

Nota

$\mathbb R$ es un conjunto con dos operaciones binarias, $+$ y $\cdot$, en el que se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades satisfechas decimos que $\mathbb R$ es un campo y a sus elementos les llamamos escalares.

Ahora definiremos una suma y un producto por escalar en $\mathbb R^n$.

Definición

Sea $n\in\mathbb R$ con $n>0$. En el conjunto $\mathbb R^n$ definimos la suma $\oplus$ del siguiente modo:

$(x_1,\dotsc,x_n)\oplus (y_1,\dotsc,y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n),\forall (x_1,\dotsc,x_n), (y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n$.

Notemos que esta operación se realiza sumando coordenada a coordenada.

Definimos ahora un producto por escalar $\odot$ como:

$\lambda \odot (x_1,\dotsc,x_n)=(\lambda x_1,\dotsc,\lambda x_n),\forall (x_1,\dotsc,x_n),(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n\,\;y\,\;\forall \lambda \in \mathbb R.$

Notemos que en el producto por escalar se multiplica un escalar real por una $n$-ada de reales, para obtener de nuevo una $n$-ada de reales, multiplicando cada una de las entradas por el escalar.

En el siguiente recurso de geogebra puedes jugar moviendo $u,v\in \mathbb R^2$, y obteniendo su suma geométricamente en $\mathbb R^2$.

Veamos ahora que $\mathbb R^n$ con las operaciones anteriores, satisface ocho propiedades básicas gracias a las cuales se le llamará un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb R$.

Teorema

Sea $n\in\mathbb R$ con $n>0$. El conjunto $\mathbb R^n$ con las operaciones antes definidas cumple la siguiente lista de propiedades:

1. $(u\oplus v)\oplus w=u\oplus (v\oplus w)\,\,\,\,\forall u,v,w\in \mathbb R^n$, es decir la suma es asociativa.

2. $u\oplus v=v\oplus u\,\,\,\forall u,v\in \mathbb R^n$, es decir la suma es conmutativa.

3. Existe $ \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n$, a $\bar{0}$ se le llama un neutro aditivo de $\mathbb R^n$.

4. Para todo $u\in \mathbb R^n$ existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}$, a $\tilde{u}$ se le llama un inverso aditivo de $u$.

Estas primeras cuatro propiedades se refieren únicamente a la suma $\oplus$, tendremos otras dos que se refieren sólo al producto por escalar:

5. $1\odot v=v\,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n$.

6. $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$.

Por último se cumplen dos propiedades que son la distributividad del producto sobre la suma, tanto de escalares como de $n-$adas:

7. $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

8. $\lambda\odot(v\oplus u)=\lambda\odot v\oplus\lambda\odot u\,\;\forall \lambda\in \mathbb R\,\;\forall v,u\in \mathbb R^n$.

Se dice entonces que $\mathbb R^n$, con las operaciones $\oplus,\odot$ es un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb R$, o un $\mathbb R$-espacio vectorial y a los elementos de $\mathbb R^n$ les llamaremos vectores.

Demostración

Veamos que $\mathbb R^n$ con las operaciones $\oplus$ y $\odot$, cumple las ocho propiedades dadas anteriormente. Mostraremos las propiedades 2,3,4,6,7 y las propiedades 1,5 y 8 se dejan como tarea moral.

Demostración de 2

Sean $u=(x_1,\dotsc, x_n),v=(y_1,\dotsc, y_n)\in \mathbb R^n,\,\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb R$.

Por demostrar que $u\oplus v=v\oplus u.$

Por definición de la suma tenemos que:

$u\oplus v=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(y_1,\dotsc, y_n)=(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n).$

Las sumas que aparecen en cada entrada son sumas en $\mathbb R$, y dado que la suma en $\mathbb R$ es conmutativa se tiene que $x_i+y_i=y_i+x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, de forma que:

$(x_1+y_1,\dotsc,x_n+y_n)=(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n).$

De nuevo por la definición de suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(y_1+x_1,\dotsc,y_n+x_n)=(y_1,\dotsc, y_n)\oplus(x_1,\dotsc, x_n)=v\oplus u.$

Por lo tanto concluimos que:

$u\oplus v=v\oplus u$.

Demostración de 3

Por demostrar que $\exists \bar{0}\in \mathbb R^n$ tal que $u\oplus \bar{0}=\bar{0}\oplus u=u\,\,\,\forall u\in \mathbb R^n.$

Propongamos como $\bar{0}$ a la $n$-ada con sus $n$ entradas iguales al cero de los reales, es decir, consideremos $\bar{0}=(0,\dotsc,0)\in \mathbb R^n$.

Dado $u=(x_1,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$ tenemos que:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)$

y por la definición de suma en $\mathbb R^n$

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0).$

Como $0$ es el neutro de $\mathbb R$ tenemos que $x_i+0=x_i$ para todo $1\leq i\leq n$, por lo tanto:

$u\oplus\bar{0}=(x_1,\dotsc, x_n)\oplus(0,\dotsc, 0)=(x_1+0,\dotsc, x_n+0)=(x_1,\dotsc, x_n)=u.$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\bar{0}\oplus u=u\oplus \bar{0}=u$.

Demostración de 4

Sea $u=(x_1,\dotsc,x_n).$

Por demostrar que existe $\tilde{u}\in \mathbb R^n$, tal que $u\oplus \tilde{u}=\tilde{u}\oplus u=\bar{0}.$

Proponemos $\tilde{u}$ la $n$-ada formada por los inversos aditivos de las entradas de $u$, es decir, $\tilde{u}=(-x_1,\dotsc,-x_n).$ Tenemos que

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right).$

Como $-x_i$ es el inverso aditivo de $x_i$ en $\mathbb R$ para todo $1\leq i\leq n$, tenenemos que $x_i+(-x_i)=0$ para todo $1\leq i\leq n$. Concluimos que:

$u\oplus \tilde{u}=(x_1,\dotsc,x_n)\oplus \left(-x_1,\dotsc,-x_n)=(x_1+(-x_1),\dotsc,x_n+(-x_n)\right)=(0,\dotsc,0).$

Finalmente usando la conmutatividad que se probó en $2$ tenemos que $\tilde{u}\oplus u=u\oplus \tilde{u}=\bar{0}$.

Por lo tanto cada $u\in \mathbb R^n$ tiene un inverso aditivo.

Demostración de 6

Por demostrar que $\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v \,\,\,\, \forall v\in \mathbb R^n\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R$.

Sean $ v=(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n$, $\lambda,\mu\in \mathbb R$. Como $\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))$, por definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que

$\lambda\odot (\mu\odot v)=\lambda\odot (\mu\odot(y_1,\dotsc,y_n))=\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Aplicando de nuevo la definición de producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$\lambda\odot (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)=(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))$.

En virtud de la asociatividad del producto en $\mathbb R$ tenemos que $\lambda(\mu y_i)=(\lambda\mu) y_i$ para todo $1\leq i\leq n$, así:

$(\lambda(\mu y_1),\dotsc,\lambda(\mu y_1))=((\lambda\mu )y_1),\dotsc,(\lambda\mu) y_n),$

y por la definición del producto en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$((\lambda\mu )y_1,\dotsc,(\lambda\mu) y_n)=(\lambda\mu)\odot(y_1,\dotsc,y_n)=(\lambda\mu)\odot v$.

Siguiendo la cadena de igualdades concluimos que:

$\lambda\odot (\mu\odot v)=(\lambda\mu)\odot v$.

Demostración de 7

Por demostrar que $(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v\,\;\forall \lambda,\mu\in \mathbb R\,\;\forall v\in \mathbb R^n$.

Sean $ v=(y_1,\dotsc,y_n)\in \mathbb R^n$, $\lambda,\mu\in \mathbb R$. Por definición del producto por escalar en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda+\mu)\odot v=(\lambda+\mu)\odot (y_1,\dotsc,y_n)=((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n).$

Gracias a la distributividad en el campo $\mathbb R$ tenemos que $(\lambda+\mu)y_i=\lambda y_i+\mu y_i$ para todo $1\leq i\leq n$ y así:

$((\lambda+\mu)y_1,\dotsc,(\lambda+\mu)y_n)=(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n).$

Por la definición de la suma en $\mathbb R^n$ tenemos que:

$(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n).$

Usando la definición del producto en $\mathbb R^n$:

$\begin{align*}(\lambda y_1+\mu y_1,\dotsc,\lambda y_n+\mu y_n)&=(\lambda y_1,\dotsc,\lambda y_n)\oplus (\mu y_1,\dotsc,\mu y_n)\\ &=\lambda\odot (y_1,\dotsc, y_n)\oplus\mu\odot (y_1,\dotsc, y_n)=\lambda\odot v\oplus \lambda\odot v .\end{align*}$

Podemos concluir entonces que:

$(\lambda+\mu)\odot v=\lambda\odot v\oplus \mu\odot v$

$\square$

Tarea Moral

1. Demostrar los incisos $1,5,8$ del teorema.

2. Consideremos$\mathbb R^2$, con la operación suma $\boxplus$ y producto por escalar $\boxdot$ definidos como sigue:

i) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,y+w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,y)$, $\forall (x,y),(z,w)\in \mathbb R^2, \forall \lambda\in \mathbb R$.

ii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x-z,y-w)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(-\lambda x,\lambda y)$, $\forall (x,y),(z,w)\in \mathbb R^2, \forall \lambda\in \mathbb R$.

iii) $(x,y)\boxplus (z,w)= (x+z,0)$ y $\lambda\boxdot (x,y)=(\lambda x,0)$, $\forall (x,y),(z,w)\in \mathbb R^2, \forall \lambda\in \mathbb R$.

En cada caso analiza cuáles de las ocho propiedades mencionadas en el teorema, se cumplen para $\mathbb R^2$ con estas nuevas operaciones.

3. Ve el siguiente vídeo para ampliar tu idea de lo que es un vector.

Más adelante

En la siguiente nota veremos algunas propiedades de estos $\mathbb R$-espacios vectoriales $\mathbb R^n$.

Enlaces relacionados.

Página principal del curso.

Nota anterior. Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Nota siguiente. Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.

Introducción

Las siguientes notas de la Dr. Diana Avella Alaminos son las correspondientes al curso de Álgebra Superior 1, que se imparte en el primer semestre de la carrera de matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Están divididas en 4 unidades, la primera correspondiente a conjuntos y funciones, la segunda está dedicada a la construcción y propiedades de los números naturales, la tercera es una introducción al estudio del espacio vectorial $\mathbb R^n$ , la cuarta y última unidad al estudio de matrices y determinantes.

A continuación se deja el el enlace a cada una de las notas según el orden y la unidad.

• Introducción
• Unidad 1. Conjuntos y funciones.
• Unidad 2. Los números naturales.
• Unidad 3. Espacios vectoriales.
• Unidad 4. Matrices y determinantes.

Unidad 1. Conjuntos y funciones.

Nota 1. Noción de Conjunto.

Nota 2. Subconjuntos.

Nota 3. El complemento de un conjunto.

Nota 4. Unión e intersección de Conjuntos.

Nota 5. Leyes de De Morgan y la diferencia simétrica.

Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano.

Nota 7. Relaciones y funciones.

Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.

Nota 9. Composición de funciones.

Nota 10. Función inversa.

Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Nota 13. Relación de equivalencia.

Nota 14. Familia de Conjuntos y particiones.

Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Unidad 2. Los números naturales.

Nota 16. Los números naturales.

Nota 17. El orden en los números naturales.

Nota 18. El principio de inducción matemática.

Nota 19. Conjuntos equipotentes y cardinalidad.

Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos.

Nota 21. Conteo, ordenaciones con repetición.

Nota 22. Conteo. Ordenaciones.

Nota 23. Combinaciones.

Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.

Unidad 3. Espacios vectoriales.

Nota 25. Espacios vectoriales.

Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.

Nota 27. Subespacios vectoriales.

Nota 28. Combinaciones lineales.

Nota 29. Subespacio generado.

Nota 30. Dependencia e independencia lineal.

Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$

Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial

Unidad 4. Matrices y determinantes.

Nota 33. Matrices.

Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.

Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.

Nota 37. El rango de una matriz.

Nota 38. Sistemas de ecuaciones.

Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones

Nota 40. Determinantes.

Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Nota 42. Formula para obtener el determinante.

Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.