2.1 Puntos Inversos con respecto a una circunferencia

Introducción

Una vez visto la potencia de un punto P, es hora de analizar una nueva transformación «Inversión«.

Definición Inversión:

Sea una circunferencia $C(O,r)$ con centro $O$ y radio $r>0$. Si $P$ y $P’$ son dos puntos colineales con $O$ se tiene que $P’$ es el inverso de $P$ y viceversa si y solo si $P’O \times PO=r^2$.

El punto $O$ es el centro de Inversión, la circunferencia $C$ es la circunferencia de inversión, y su radio $»r»$ es el radio de inversión.

Esta es una relación simétrica, ya que $P’$ es inverso de $P$ y $P$ es inverso de $P’$ con respecto a la circunferencia $C(O,r)$.

Propiedades de Inversión

1. Cada punto en el plano, excepto el centro, tiene un inverso único.
2. El inverso de un punto en la circunferencia de inversión es su propio inverso.
3. El inverso de un punto interior a la circunferencia de inversión es siempre un punto exterior a la circunferencia de inversión.

De esta forma se puede construir el inverso de un punto $P$ con respecto a $C(O,r)$.

Proposición (Inversión)

Sea $C(O,r)$ una circunferencia y un punto $P$, por lo cual existe un $P’$ tal que $OP \times OP’ =r^2$.

Demostración

Se considera una circunferencia $C(O,r)$ y un punto $P$, pero existen 3 casos, el punto $P$ interno, externo y sobre la circunferencia $C(O,r)$.

Caso 1: $P$ interno a $C(O,r)$

Trazamos la perpendicular a $OP$ por $P$, donde la intersección es $T$ de la perpendicular a $C(O,r)$. Trazamos $OT$ y trazamos la tangente a $C(O,r)$ por $T$, llamemos $P’$ a la intersección de $OP$ con respecto a la tangente mencionada.

Por construcción $\angle OTP’ = \pi /2 = \angle OPT$, y los triangulos $\triangle OTP$ y $ \triangle OP’T$ comparten $\angle O$, por lo cual son semejantes, entonces $\triangle OTP \approx \triangle OP’T$.

$\Rightarrow \frac{OP’}{OT} = \frac{OT}{OP} \Leftrightarrow OP \times OP’ =r^2$ $_\blacksquare$

Caso 2: $P$ externo a $C(O,r)$

Trazamos una circunferencia de diámetro $PO$ y unimos $P$ con la intersección de las 2 circunferencias la cual llamaremos $T$.
De $T$ sacamos la perpendicular respecto a $OP$, la intersección será $P’$.

El angulo $\angle OTP = \pi /2 $ ya que abarca el diametro $OP$. Ahora los $\triangle OP’T \approx \triangle OTP$ porque comparten $\angle TOP$ y $\angle OTP =\pi /2=\angle OP’T$

$\Rightarrow \frac{OP’}{OT} = \frac{OT}{OP} \Leftrightarrow OP’ \times OP=OT \times OT =r^2$ $_\blacksquare$

Caso 3: $P$ está en $C(O,r)$

Su inverso $P’$ con respecto a $C(O,r)$ es colineal con $P$ y $O$, y además $OP=r$ entonces se debe cumplir $OP \times OP’ =r^2$

$\Rightarrow r \times OP’ =r^2 \Rightarrow OP’=r \Rightarrow OP’=OP \Rightarrow P’=P$ $_\blacksquare$

Ahora veremos un teorema que será útil más adelante.

Teorema

Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión, $P$ y $P’$ dos puntos inversos respecto a $C$. Cualquier circunferencia que pase por $P$ y $P’$ es ortogonal a $C$.

Demostración

Sea $C$ una circunferencia y $OP$ un segmento, sean $A$ y $B$ los puntos donde $OP$ toca a $C$ y $B \in OP$

Por hipotesis $OP \times OP’ = r^2$ y $O$ es punto medio de $AB$
$\Rightarrow P’$ y $P$ son armonicos respecto a $A$ y $B$
$\Rightarrow (\frac{AP’}{P’B}) =-(\frac{AP}{PB})$
Ahora como $C$ pasa por $A$ y $B$, y $C_1$ pasa por $P’$ y $P$ entonces $C\perp C_1$ $_\blacksquare$

Más adelante

Una vez ya estudiado la definición de inversión y sus propiedades, es momento de analizar como afecta la inversión a otros objetos geométricos, en específico en Rectas y Circunferencias.

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