(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El determinante de una matriz cuadrada es un valor numérico asociado a la matriz, que se puede calcular a partir de sus entradas y que tiene muchas aplicaciones en álgebra lineal y otras áreas de las matemáticas y la física. Una forma de definir el determinante es mediante permutaciones.

Dada una matriz cuadrada de $n$ renglones, para cada permutación de $n$ elementos se consideran los productos de entradas de la matriz, donde hay exactamente un factor en cada renglón de la matriz y exactamente un factor de cada columna; después se les asocia un signo y se suman todos estos productos. El resultado de esta suma es el determinante de la matriz.

Esta definición puede parecer complicada al principio, pero es muy poderosa y se puede utilizar para calcular determinantes de matrices de cualquier tamaño.

En esta entrada estudiaremos las permutaciones de $n$ elementos, daremos la definición de determinante y algunos ejemplos sencillos.

Te invitamos a ver el siguiente video de 3Blue1Brown en el que se da una aproximación geométrica e intuitiva de lo que es el determinante.

Puedes ver también el siguiente video de la clase que te ayudará a comprender lo que aparece en esta entrada.

Antes de llegar a la definición de lo que es un determinante recordemos lo que es una permutación. En la nota 22 estudiamos las permutaciones de un conjunto $A$. Ahora, para $n$ un natural positivo, vamos a concentrarnos en las permutaciones del conjunto $\{1,2,\dots ,n\}$:

Definición

Sea $n$ un natural positivo. Las permutaciones del conjunto $\{1,\dots ,n\}$ o permutaciones de $n$ elementos son la funciones biyectivas de $\set{1,\dotsc,n}$ en sí mismo. El conjunto de todas las permutaciones de $n$ elementos se denotará por $S_n$, esto es:

$S_n=\set{\sigma:\set{1,\dotsc,n}\to\set{1,\dotsc,n}\mid \sigma\,\,es\,\,biyectiva }$

Una permutación $\sigma \in S_n$ se llama una transposición si intercambia dos números y deja fijos a los demás, es decir si existen $i,j\in\set{1,\dotsc,n}$ distintos tales que $\sigma(i)=j$, $\sigma(j)=i$ y $\sigma(k)=k$ para todo $i,j\in\set{1,\dotsc,n}$ con $k\neq i$ y $k\neq j$.

Enunciemos ahora un resultado importante, cuya demostración se omitirá porque va más allá de los objetivos de este curso, pero que puede ser consultada en las notas del curso de Álgebra Moderna I de la Dra. Avella, escritas por la alumna Cecilia Villatoro.

Nota

Toda permutación es una composición de transposiciones. Puede que haya varias composiciones que den la misma permutación, pero todas son la composición de un número par de transposiciones o todas son la composición de un número impar de transposiciones.

Definición

Sean $n$ un natural positivo y $\sigma \in S_n$. Decimos que $\sigma$ es par si es la composición de un número par de transposiciones, e impar en caso contrario.

El signo de $\sigma$ es $+1$ en el primer caso y $-1$ en el segundo caso y se denota por $sgn\,\sigma.$

Ejemplo

Considera el conjunto

$S_3=\set{\sigma:\set{1,2,3}\to\set{1,2,3}\mid \sigma\,\,es\,\,biyectiva }.$

Podemos dar todos elementos del conjunto, es decir todas las funciones biyectivas :

$\sigma_1=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$, $\sigma_2=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$, $\sigma_3=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$, $\sigma_4=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$, $\sigma_5=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$, $\sigma_6=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}.$

¿Cuál es el signo de $\sigma_2$?

$\sigma_2=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ es un transposición ya que intercambia el $1$ con el $2$ y deja fijo al $3$, entonces $\sigma_2$ es impar y $sgn\,\sigma_2=-1$.

Observa que $\sigma_3=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$ y $\sigma_4=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$ también son transposiciones y por lo tanto también su signo es $-1$.

¿Cuál es el signo de $\sigma_1$?

Observa que la composición de $\sigma_2\circ \sigma_2$ es igual a $\sigma_1$.

Como $\sigma_2\circ \sigma_2=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ $=\sigma_1$, siendo $\sigma_2$ una transposición, entonces $\sigma_1$ es par pues la composición de $\sigma_2$ con si misma. Su signo por lo tanto es $1$, $sgn\,\sigma_1=+1$.

¿Cuál es el signo de $\sigma_5$?

Observa que la composición de $\sigma_2=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ con $\sigma_4=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$ nos da $\sigma_5=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}.$

Así, $\sigma_4\circ \sigma_2=\sigma_5$, con $\sigma_4$ y $\sigma_2$ transposiciones.

Concluimos que $\sigma_5$ es par y por tanto $sgn\,\sigma_5=+1.$

¿Cuál es el signo de $\sigma_6$?

La composición de $\sigma_4=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$ con $\sigma_2=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \end{equation*}$ nos da $\sigma_6=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}.$

Así, $\sigma_2\circ \sigma_4=\sigma_6$, con $\sigma_2$ y $\sigma_4$ transposiciones.

Concluimos que $\sigma_6$ es par y por tanto su signo es $+1$.

Observemos que $\sigma_6=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$ es la inversa de $\sigma_5=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$, por eso es la composición de las mismas transposiciones que $\sigma_5$ pero en orden inverso.

Los que acabamos de ver es que:

$\sigma_1,\sigma_5,\sigma_6$ son pares y $\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4$ son impares.

Con estos elementos vamos a dar la definición de lo que es el determinante de una matriz.

Pues revisar el siguiente video para ayudarte a entender mejor la definición:

Definición

Sean $n$ un natural positivo y $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. El determinante de $A$ es:

$\det\,A=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn\,\sigma\,a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$

Observación Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array}\right) \end{equation*}\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$, entonces

$\det\,A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$

Esto se debe a que las únicas permutaciones de $\{1,2\}$ son $\sigma_1=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \end{equation*}$, que es la identidad y tiene signo $+1$, y la transposición $\sigma_2=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$ que tiene signo $-1.$ Así,

$\det\,A=sgn\,\sigma_1\,a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}+sgn\,\sigma_2\,a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)}=(+1)\,a_{11}a_{22}+(-1)\,a_{12}a_{21}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$

Ejemplos.

En estos ejemplos veremos lo que sucede con el determinante, cuando aplicamos las distintas operaciones elementales a una matriz.

$1.$ Considera las matrices $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -1 &5 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, $A^{\prime\prime}=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 9 \\ \end{array}\right) \end{equation*}.$

Si obtenemos sus determinantes tenemos que:

$det\,A’=4-6=-2,\,\,det\,A^{\prime\prime}=5-(-2)=7\,\,,det\,A=9-4=5$

En este ejemplo, el segundo renglón de $A^{\prime\prime}$ se obtiene de la suma de los segundos renglones de $A$ y $A^{\prime\prime}$ y su primer renglón coincide con los de $A$ y $A^{\prime}$,

Lo que estamos observando es que:

$det\,A^{\prime\prime}=det\,A+det\,A^{\prime}$.

$2.$ Sean $A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$ y $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\right) \end{equation*}.$

El primer renglón de $A$ se obtiene multiplicando por $3$ el primer renglón de $A’$

Los determinantes de estas matrices son:

$det\,A’=4-6=-2,\,\,det\,A=12-18=-6$

y lo que estamos observando es que:

$det\,A=3det\,A’.$

$3.$ Veamos qué sucede con el determinante cuando intercambiamos dos renglones en una matriz. Considera las matrices:

$A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$ y $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right) \end{equation*},$

$det\,A’=4-6=-2,\,\,det\,A=6-4=2.$

En este caso tenemos que:

$det\,A=-det\,A’.$

$4.$ Veamos qué pasa cuando en una matriz hay dos renglones iguales.

Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right) \end{equation*},$ entonces

$det\,A=2-2=0$, es decir el determinante vale cero.

$5.$ Veamos qué pasa cuando le sumamos a un renglón un múltiplo de otro.

Sea $A’=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$ y considera su matriz equivalente $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$, que se obtiene de $A’$, sumando al renglón dos de $A’$ menos dos veces el primero.

Entonces $det\,A’=4-6=-2,\,\,det\,A=0-2=-2.$ En este caso

$det\,A=det\,A’.$

es decir el determinante coincide.

$6.$ Consideremos una matriz con un renglón de ceros, por ejemplo

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \end{equation*}.$ Notamos que su determinante es $det\,A=0-0=0$.

$7.$ Por último veamos qué pasa con el determinante al transponer una matriz.

Sean $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$ y considera su transpuesta $A^t=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$

Si calculamos sus determinantes tenemos que:

$det\,A=4-6=-2,\,\,det\,A^t=4-6=-2.$

En este caso:

$det\,A=det\,A^t.$

Tarea Moral

$1.$ Encuentra todas las permutaciones de $\set{1,2,3,4}$ y su signo. ¿Cuántas hay en total?, ¿cuántas son pares?

$2.$ Sea $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} -3& 1 \\ 7 & 9 \\ \end{array}\right) \end{equation*}$ y calcula:

$i)$ Su determinante.

$ii)$ El $det\,B$, donde $B$ se obtiene de $A$ multiplicando su segundo renglón por $4.$

$iii)$ El $det\,C$, donde $C$ se obtiene de $A$ intercambiando sus renglones entre sí.

$iv)$ El $det\,D$, donde $D$ se obtiene de $A$ sumando al segundo renglón dos veces el primero.

Más adelante

En la siguiente nota veremos que las propiedades observadas en los ejemplos se cumplen en general, para ello usaremos la definición que dimos de determinante.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 41. Propiedades de los determinantes.

Introducción

En este sección estudiamos el espacio euclideo n-dimensional, espacio que sería la base de todo el desarrollo posterior.

Definición. Como conjunto, $\mathbb{R}^{n}$ es la colección de todas las n-adas ordenadas de números reales. Es decir $$\mathbb{R}^{n}={(x_{1},x_{2},…,x_{n})|x_{i}\in \mathbb{R},~i=1,2,…,n}$4

Notación
Denotamos a un elemento de $\mathbb{R}^{n}$ por $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…,x_{n})$\Dados dos elementos $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$ decimos que $\overline{x}=\overline{y}\Leftrightarrow x_{i}=y_{i}$ $\forall i=1,2,…,n$.
Frecuentemente a los elementos de $\mathbb{R}^{n}$ se les denomina vectores, y con las operaciones usuales (suma y producto por un escalar), definidas como
Definición. La suma $+:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ para dos elementos $\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^{n}$ se define asi:
$$\overline{x}+\overline{y}=(x_{1},x_{2},…,x_{n})+(y_{1},y_{2},…,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},…,x_{n}+y_{n})$$
El producto $\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}$ por un escalar $a\in\mathbb{R}$ como
$$\alpha(x_{1},x_{2},…,x_{n})=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},…,\alpha x_{n})$$
$\mathbb{R}^{n}$ es un espacio vectorial.
La base canónica de dicho espacio vectorial son los vectores:$$e_{1}=(1,0,0,…,0)$$$$e_{2}=(0,1,0,…,0)$$$$.$$$$.$$$$.$$$$e_{n}=(0,0,0,…,1)$$
ya que si $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…,x_{n})$, se tiene que $\overline{x}=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+…+x_{n}e_{n}$

Estructura Geométrica

Para dotar de una estructura geométrica al espacio $\mathbb{R}^{n}$ (que incluya los conceptos de distancia, ángulo y ortogonalidad) debemos dotar a $\mathbb{R}^{n}$ de un producto escalar.
Definición. Sea E un espacio vectorial, un producto escalar en E es una función de $E\times E$ en $\mathbb{R}$ que a cada par de vectores $\overline{x},\overline{y}$ le asocia un número $$\langle \overline{x},\overline{y}\rangle$$ que satisface las siguientes propiedades:

(a) $\langle \overline{x},\overline{x}\rangle>0$ si $\overline{x}\neq 0$
(b) $\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=\langle \overline{y},\overline{x}\rangle$
(c) $ \langle \lambda \overline{x},\overline{y}\rangle=\lambda\langle \overline{x},\overline{y}\rangle$
(d) $\langle \overline{x}+\overline{y},\overline{z}\rangle=\langle \overline{x}+\overline{z}\rangle+\langle \overline{y},\overline{z}\rangle$
Ejemplo. Sea $C[a,b]$ el espacio lineal de todas las funciones reales continuas continuas en el intervalo $[a,b]$. Definimos $\langle f,g\rangle$ mediante la fórmula $$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt.$$
Vamos a probar que $\langle f,g\rangle$ define un producto escalar en $c([a,b])$
(a) Tenemos que
$$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)\cdot f(t)~dt=\int_{a}^{b}f^{2}(t)~dt~\geq 0~$$
la última desigualdad la justificamos usando las propiedades de la integral $\displaystyle{f\geq 0~\Rightarrow~\int_{a}^{b}f~\geq 0~}$
(b) Tenemos que
$$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)g(t)~dt=\int_{a}^{b}g(t)f(t)~dt=\langle g,f\rangle$$
(c) Tenemos que
$$\langle \lambda f,g\rangle=\int_{a}^{b}\lambda~f(t)~g(t)~dt=\lambda~\int_{a}^{b}f(t)~g(t)~dt=\lambda~\langle f,g\rangle$$
(d) Tenemos que
\begin{align*} \langle f+g,h\rangle & =\int_{a}^{b}[f(t)+g(t)]h(t)~dt \\ &=\int_{a}^{b}[f(t)h(t)+g(t)h(t)]~dt \\ &=\int_{a}^{b}f(t)h(t)~dt+\int_{a}^{b}g(t)h(t)~dt \\ &=\langle f,h\rangle+\langle g,h\rangle \end{align*}
en este caso $\langle f,g\rangle$ es un producto escalar para $C[a,b]$.$\blacksquare$

El espacio normado $\mathbb{R}^{n}$

Definición. Un producto escalar $\langle,\rangle$ en un espacio vectorial E da lugar a una noción de longitud de un vector $\overrightarrow{x}\in E$, llamada su norma, y definida como
$$|\overline{x}|=\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}$$
En general, una norma en un espacio vectorial E es una aplicación $x\rightarrow |x|$ de E en $(0,+\infty)$ que satisface las siguientes propiedades:
(1) $|\overline{x}|\geq 0$ para toda $\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}$ y $|\overline{x}|=0$ si y sólo si $\overline{x}=\overline{0}$
(2) $|\lambda \overline{x}|=\lambda |\overline{x}|$ para toda $\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}$ y $\lambda\in \mathbb{R}$
(3) $|x+y|\leq |x|+|y|$ para cualesquiera $\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^{n}$ (Desigualdad Triangular)
Al par $(E,|.|)$ se le denomina espacio normado.
Ejemplo. Veamos que
$$|\overline{x}|=\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}$$
define una norma.
Solucion.
(1) Tenemos que
$$|\overline{x}|=\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}\geq 0$$
la última igualdad la justificamo así: $\langle \overline{x},\overline{x}\rangle>0~\Rightarrow~\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}>0$
(2) Tenemos que
\begin{align*} |\lambda \overline{x}| &=\sqrt{\langle \lambda\overline{x},\lambda\overline{x}\rangle} \\ &=\sqrt{\lambda^{2}\langle \overline{x},\overline{x}\rangle} \\ &=|\lambda|\langle \overline{x},\overrightarrow{x}\rangle\\ &=|\lambda|~|\overline{x}| \end{align*}
(3) Para la desigualdad del triángulo necesitamos antes probar un resultado
$\fbox{Lema: Desigualdad de Caychy}$
Si E es un espacio vectorial entonces $\forall~\overline{x},\overline{y}\in E$ se cumple
$$|\langle\overline{x},\overline{y}\rangle|\leq |\overline{x}|~|\overline{y}|$$
Demostración. Supongamos que $\overline{x},\overline{y}\neq 0$ y definimos
$$\overline{u}=\frac{\overline{x}}{\|\overline{x}\|}~~\overline{v}=\frac{\overline{y}}{\|\overline{y}\|}$$
Tenemos entonces que
\begin{align*} \|\overline{u}\| & =\left\|\frac{\overline{x}}{|\overline{x}|}\right\|=\frac{\|\overline{x}\|}{\|\overline{x}\|}=1 \\ \|\overline{v}\| & =\left\|\frac{\overline{y}}{\|\overline{y}\|}\right\|=\frac{\|\overline{y}\|}{\|\overline{y}\|}=1 \end{align*}
Por tanto
\begin{align*} 0\leq \|\overline{u}-\overline{v}\|^{2} & =\langle\overline{u}-\overline{v},\overline{u}-\overline{v}\rangle \\ & =\langle\overline{u}-\overline{u}\rangle-2\langle\overline{u}-\overline{v}\rangle+\overline{v}-\overline{v} \\ & =\|\overline{u}\|^{2}-2\langle\overline{u}-\overline{v}\rangle+\|\overline{u}\|^{2} \\ & =1-2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle+1 \\ & =2-2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle \end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*} 0\leq 2-2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle&~\Rightarrow~2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle\leq 2 \\ &~\Rightarrow~\langle\overline{u},\overline{v}\rangle\leq 1 \\ &~\Rightarrow~\left\langle\frac{\overline{x}}{|\overline{x}|},\frac{\overline{y}}{\|\overline{y}\|}\right\rangle\leq 1 \\ &~\Rightarrow~\frac{1}{\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\|}\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\leq 1 \\ &~\Rightarrow~\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\leq\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\| \end{align*}
Reemplazando $\overline{x}$ por $-\overline{x}$ se obtiene que
\begin{align*} \langle\overline{-x},\overline{y}\rangle\leq\|-\overline{x}\|~\|\overline{y}\| & ~\Rightarrow~-\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\leq~|-1|~|\overline{x}|~|\overline{y}| \\ &~\Rightarrow~\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\geq~-\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\| \end{align*}
con lo que queda demostrada la desigualdad.$~\blacksquare$
Regresando ahora a la desigualdad triangular tenemos que
\begin{align*} \|\overline{x}+\overline{y}\|=\sqrt{\langle\overline{x}+\overline{y},\overline{x}+\overline{y}\rangle} & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}=\langle\overline{x}+\overline{y},\overline{x}+\overline{y}\rangle \\ & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}=\langle\overline{x},\overline{x}\rangle+2\langle\overline{x},\overline{y}\rangle+\langle\overline{y},\overline{y}\rangle \\ &~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}=\|\overline{x}\|^{2}+2\langle\overline{x},\overline{y}\rangle+|\overline{y}|^{2} \\ & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}\leq \|\overline{x}\|^{2}+2\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\|+\|\overline{y}\|^{2} \\ & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}\leq \left(\|\overline{x}\|+\|\overline{y}\|\right)^{2} \end{align*}
Y tomando raíces en ambos miembros de la desigualdad, obtenemos el resultado.$~\blacksquare$

Otras normas en $\mathbb{R}^n$

Ejemplo.

$\fbox{La Norma 1 $\|\overline{x}\|_{1}$}$
Definimos $\|\\,\|_1:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ por
$\|\,\|_1 = |x_1|+\ldots+|x_n|$ $\forall \, \bar{x} \in
\mathbb{R}^n$. Vamos a probar que $\|\,\|_1 $ es una norma en
$\mathbb{R}^n$
(a) Dado que $\forall \, x \in \mathbb{R}$ $|x|\geq
0$, se tiene $\|\,\|_1 = |x_1|+\ldots+|x_n|\geq 0$ $\forall \, \bar{x} \in\mathbb{R}^n$.
(b) Si $\alpha \in \mathbb{R}$ y $\bar{x}=(x_1,\ldots,x_n) \in
\mathbb{R}^n$, entonces
\[\begin{array}{ll}
|\alpha\bar{x}| & =|\alpha x_1|+ \ldots + |\alpha
x_n|\\
\, & =|\alpha||x_1|+ \ldots + |\alpha||x_n|\\
\, & = |\alpha|(|x_1|+ \ldots + |x_n|)\\
\, & = |\alpha||\bar{x}| \quad \forall \, \bar{x}\in\mathbb{R}^n\
\end{array}\]
(c) Si $\bar{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ y $\bar{y}=(y_1,\ldots,y_n)$ son elementos de $\mathbb{R}^n$
\[\begin{array}{ll}
|\bar{x}+\bar{y}| & =|x_1+y_1|+ \ldots + |x_n+y_n|\\
\, & \leq|x_1|+|y_1|+ \ldots + |x_n|+|y_n|\\
\, & = |x_1|+ \ldots +|x_n|+ \ldots + |y_1|+ \ldots +|y_n|\\
\, & = |\bar{x}|_1 + |\bar{y}|_1
\end{array}\]
Si $|\bar{x}|_1=0~\Rightarrow~|x_1|+ \ldots+|x_n|=0$ y como cada $|x_i|\geq 0$ $i=1,\ldots,n$ entonces $|x_1|+ \ldots +|x_n|=0~\Rightarrow~|x_i|= 0$ $i=1,\ldots,n~~~\therefore~~~\bar{x}=0$.$~~\blacksquare$
Ejemplo.
$\fbox{La Norma infinito $\|\overline{x}\|_{\infty}$}$
Consideremos ahora la función $\|\,\|_\infty:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dada por
$$\boxed{\|\overline{x}\|_\infty=\max{|x_1|+\ldots +|x_n|}~~\forall x\in\mathbb{R}^n}$$
Vamos a probar que la función $\|\,\|_\infty:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una norma en $\mathbb{R}^n$, que se denomina norma del máximo o norma cúbica.
(a) Puesto que $|x_i|\geq 0~~i=1,\ldots,n$\ entonces $$\max{|x_1|+\ldots +|x_n|}\geq0$$ es decir $$\|\bar{x}\|_\infty \geq 0$$
(b) Sea $\alpha\in\mathbb{R}$ y $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$. Se tiene entonces
que $$\|\alpha \bar{x}\|=\max\{|\alpha x_1|,\ldots,|\alpha x_n|\}=\max\{|\alpha|| x_1|,\ldots,|\alpha||x_n|\}$$
Supongamos ahora que
$$|x_{i\alpha}|=\max \{ |x_1|, \ldots, |x_n| \}$$
$\therefore~~~|x_{i\alpha}|\geq |x_i|,~~~\forall~ i=1,\ldots,n~~~\therefore~~~|\alpha||x_{i\alpha}|\geq |\alpha||x_i|,~~\forall ~~ i=1,\ldots,n$ $\therefore$ $|\alpha x_{i\alpha}|\geq |\alpha x_i|$ $\forall~~i=1,\ldots,n$ por lo que
$$|\alpha||x_{i\alpha}|= |\alpha x_{i\alpha}|=\max\{|\alpha x_1|,\ldots,|\alpha x_n|\}=\max\{|\alpha|| x_1|,\ldots,|\alpha||x_n|\}$$
es decir $$|\alpha|\max \{ |x_1|, \ldots, |x_n| \} = \max\{|\alpha x_1|,\ldots,|\alpha x_n|\}=\max\{|\alpha|| x_1|,\ldots,|\alpha||x_n|\}$$
$\therefore~~~|\alpha|\|\bar{x}\|_{\infty}=\|\alpha \bar{x}\|_{\infty}$
(c) $\|\bar{x}+\bar{y}\|_{\infty}=\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\}$
Sea $$|x_{1\alpha}+y_{1\alpha}|=\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\}$$
como $$|x_{1\alpha}+y_{1\alpha}|\leq|x_{1\alpha}|+|y_{1\alpha}|$$
se tiene que $$\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\}\leq|x_{1\alpha}|+|y_{1\alpha}|$$
pero por definición de $$\max\{|x_1|+\ldots+|x_n|\}~~y~~ \max\{|y_1|+\ldots +|y_n|\}$$
también se tiene que $$|x_{1\alpha}|\leq \max\{|x_1|+\ldots
+|x_n|\}~~~y~~~|y_{1\alpha}|\leq \max\{|y_1|+\ldots+|y_n|\}$$
luego $$\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\} \leq \max\{|x_1|+\ldots
+|x_n|\} + \max\{|y_1|+\ldots+|y_n|\}$$
o sea $$\|\bar{x}+\bar{y}\|_{\infty} \leq\|\bar{x}\|_{\infty}+\|\bar{y}\|_{\infty}.~~\blacksquare$$
Ejemplo. Norma Euclidiana
Consideremos ahora la función $\|\,\|_\infty:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dada por
$$|x|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$$
Vamos a mostrar que es una norma en $\mathbb{R}^n$
(a) $\|\bar{x}\|=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2} \geq 0$ pues es la raíz positiva $\therefore$ $\|\bar{x}\|\geq 0$.
(b)

\[\begin{array}{ll}
\|\alpha\bar{x}\| & = \sqrt{(\alpha x_1)^2+\ldots+(\alpha
x_n)^2}\\
\, & = \sqrt{\alpha^2x_1^2+\ldots+\alpha^2x_n^2}\\
\, & = \sqrt{\alpha^2(x_1^2+\ldots+x_n^2)}\\
\, & = \sqrt{\alpha^2}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}\\
\, & = |\alpha|\|\bar{x}\|
\end{array}\]
(c)

\[\begin{array}{ll}
\|\bar{x}+\bar{y}\|^2 & =
(x_1+y_1)^2 + \ldots +
(x_n+y_n)^2\\
\, & =x_1^2+2x_1y_1+y_1^2 +
\ldots +
x_n^2+2x_ny_n+y_n^2\\
\, & =x_1^2+\ldots+ x_n^2 +2(x_1y_1+\ldots +x_ny_n )+ y_1^2
+ \ldots +y_n^2\\
\, & = \|\bar{x}\|^2+2(x_1y_1+\ldots +x_ny_n
)+ \|\bar{y}\|^2
\end{array}\]
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Shwarz
$$x_1y_1+\ldots+x_ny_n \leq \|\bar{x}\|~\|\bar{y}\|$$
se tiene que $$\|\bar{x}\|^2+2(x_1y_1+\ldots+x_ny_n)+\|\bar{y}\|^2
\leq \|\bar{x}\|^2+2~\|\bar{x}\|~\|\bar{y}\|+ \|\bar{y}\|^2 =\left [\|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|\right]^2$$
$\therefore~~~\|\bar{x}+\bar{y}\|^2\leq
\left[\|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|\right]^2$ y al
sacar raiz obtenemos $\|\bar{x}+\bar{y}\|\leq
\|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|$
(d) Si $\|\bar{x}\|=0$ se tiene entonces $\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}=0$ es decir $x_1^2+\ldots+x_n^2=0$ pero $x^2\geq 0~~\therefore~~x_i^2=0~~\forall~ i=1,\ldots,n$ $\therefore~~\bar{x}=0$ $\blacksquare$
El concepto general de Norma en $\mathbb{R}^n$. Las propiedades de la norma euclidiana nos ayudan para definir la noción abstracta de Norma.
Definición.Una norma en $\mathbb{R}^n$ es cualquier función $\|\,\|:\mathbb{R}^n \rightarrow
\mathbb{R}$ que satisface las siguientes propiedades que denominaremos Axiomas de Norma para cualesquiera $\bar{x},\bar{y}\,\in\,\mathbb{R}^n$ y toda $\alpha\,\in\,\mathbb{R}$ se cumple:
(a) $\|\bar{x}\|\geq 0~~\|0\|=0$
(b) $\|\alpha\bar{x}\|=|\alpha|~\|\bar{x}\|$
(c) $\|\bar{x}+\bar{y}\|\leq \|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|$
(d) $\|\bar{x}\|=0~~\Rightarrow~\bar{x}=0$
Proposición.
Para toda norma $|\,|:\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}$ se cumple:
(a) $\|-\bar{x}\|=\|\bar{x}\|~~\forall \, x \in \mathbb{R}^n$
(b) $|\|\bar{x}\|-\|\bar{y}\||\leq \|\bar{x}-\bar{y}\|~~\forall \, \bar{x},\bar{y} \in \mathbb{R}^n$
Proposición.
(a) $\|-\bar{x}\|=|-1|~\|\bar{x}\|=\|\bar{x}\|$
(b) $0\leq \|\bar{x}\|=\|\bar{x}-\bar{y}+\bar{y}\|\leq\|\bar{x}-\bar{y}\|+\|\bar{y}\|$
$\therefore$ $\|\bar{x}\|-\|\bar{y}\|\leq\|\bar{x}-\bar{y}\|$ Intercambiando $\bar{x}$ por $\bar{y}$ obtenemos $\|\bar{y}\|-\|\bar{x}\|\leq\|\bar{y}-\bar{x}\|=\|\bar{x}-\bar{y}\|$ $\therefore$ $|\|\bar{y}\|-\|\bar{x}\||\leq \|\bar{x}-\bar{y}\|.~~\blacksquare$

Ejemplo. Sea $I=[0,1]$. Demsotrar que $\|f\|=\sup {|f(x)|}$. Es una norma
de $C[0,1]$
Solución.
(a) Recordar que toda función real continua definida en un intervalo cerrado es acotada, por tanto $\|f\|$ está bien definida.
(b) Puesto que $|f(x)|\geq 0~\forall~x\in I$ entonces $\|f\|\geq 0$ y además, $\|f\|= 0$ sii $|f(x)|= 0~\forall~x\in I$, i.e. sii $f=0$.
(c) Recordemos un resultado: Sean $a$ y $b$ números reales tales que $a\leq b+\varepsilon$.
Demostrar que $a \leq b$
Supongase que $a>b$ entonces $a=b+\delta,~~\delta >0$ tomamos $$\displaystyle\frac{\delta}{2}=\varepsilon$$
entonces $$a > b+\delta > b +\displaystyle\frac{\delta}{2}=b+\varepsilon~ \underset{\circ}{\bigtriangledown}$$
$\therefore~a\leq b$ ahora sea $\varepsilon > 0$. Entonces existe $x_0\in I$ tal que
\[\begin{array}{ll}
|f+g|& = \sup{|f(x)+g(x)|}\\
\, & \leq |f(x_0)+g(x_0)|+\varepsilon\\
\, & \leq |f(x_0)|+|g(x_0)|+\varepsilon\\
\, & \leq \sup{|f(x)|} +\sup{|g(x)|}+\varepsilon\\
\, & = |f|+|g| +\varepsilon
\end{array}\]
$\therefore~~\|f+g\| \leq \|f\|+\|g\|$
(d) Sea $k\in \mathbb{R}$ entonces
\[\begin{array}{ll}
\|kf\| & = \sup{|kf(x)|}\\
\, & = \sup{|k||f(x)|}\\
\, & = |k|\sup{|f(x)|}\\
\, & = |k|\|f(x)\|.~~\blacksquare\\
\end{array}\]
Ejemplo. Demostrar que $\|f\|=\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx$ es una norma de $C[0,1]$ (funciones continuas en el intervalo $[0,1]$).
Solución
(a) $\|f\|=\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx\geq 0$ puesto que $$|f(x)|\geq 0\Rightarrow \displaystyle\int_0^1|f(x)|dx \geq 0$$
(b) Tenemos que
\[\begin{array}{ll}
\|kf\|& =\displaystyle\int_0^1|kf(x)|dx\\
\, & =\displaystyle\int_0^1|k||f(x)|dx\\
\, & =|k|\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx\\
\, & = |k|\|f\|
\end{array}\]
(c) Tenemos que
\[\begin{array}{ll}
\|f+g\|& =\displaystyle\int_0^1|f(x)+g(x)|dx\\
\, & \leq \displaystyle\int_0^1[|f(x)|+|g(x)|]dx\\
\, & =\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx + \displaystyle\int_0^1|g(x)|dx\
\, & = \|f\|+ \|g\|.~~\blacksquare
\end{array}\]
Ejemplo.
Definición. Sea $\|\,\|_{p}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dada asi: $$\|x\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$$
Vamos a demostrar que $|x|_{p}$ es una norma
Solución.
(a) Puesto que $|x_i|\geq 0,~~i=1,\ldots,n$ entonces $$\sum_{1}^{n}|x_i|^{p} \geq 0~~ \therefore \left( \sum_{1}^{n}|x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\geq 0~~ \therefore \|x\|_{p}\geq 0$$
(b) Sea $\alpha\in\mathbb{R}$ y $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$. Se tiene entonces
que $$\|\alpha \bar{x}\|_{p}=\left(\sum_{1}^{n}|\alpha x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(|\alpha|^{p}\sum_{1}^{n}| x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\alpha|\left(\sum_{1}^{n}| x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\alpha|~\|x\|_{p}$$
(c) Tenemos que $$\|\overline{x}\|_{p}=\left[|x_{1}|^{p}+…+|x_{n}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$ Ahora procederemos a demostrar que cumple con la propiedad de la desigualdad del triángulo, es decir que para $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$ $$\|\overline{x}+\overline{y}\|_{p}\leq \|\overline{x}\|_{p}+\|\overline{y}\|_{p}$$ Para ello primero procederemos a demostrar lo siguiente
Proposición. Sean p,q números reales tales que $p,q>1$ y $\displaystyle{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$ entonces $$|ab|\leq \frac{|a|^{p}}{p}+\frac{|b|^{q}}{q}$$
Demostración. Consideremos la función $\varphi:[0,\infty)\rightarrow
\mathbb{R}$ dada por $\varphi(t)=t^{m}-mt$ con $m=\frac{1}{p}$
se tiene que $\varphi^{\prime}(t)=mt^{m-1}-m=m\left(t^{m-1}-1\right)$ por lo
que $\varphi^{\prime}(t)=0\Leftrightarrow m\left(t^{m-1}-1\right)=0\Leftrightarrow
t=1$ por lo tanto $t=1$ es un punto crítico de la función, ahora volvemos a derivar $\varphi^{\prime\prime}(t)=m(m-1)t^{m-2}$ que en $t=1$ es $<0$ por lo tanto en $t=1$, $\varphi$ alcanza un punto máximo $\therefore$ $\varphi(t)\leq \varphi(1)\Rightarrow t^{m}-mt\leq mt-m\Rightarrow t^{m}-1\leq m(t-1)$ Ahora hacemos $\displaystyle{t=\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}}$ y sustituimos
$$\displaystyle{\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}\right)^{\frac{1}{p}}-1\leq
\frac{1}{p}\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}-1\right)}$$
multiplicando ambos miembros de la desigualdad por $|b|^{q}$ se
tiene que $$\left(|b|^{q}\right)\left(\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}\right)^{\frac{1}{p}}-1\right)\leq
\left(|b|^{q}\right)\left(\frac{1}{p}\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}-1\right)\right)$$ lo que nos queda $$|a||b|^{q-\frac{q}{p}}-|b|^{q}\leq \frac{|a|^{p}}{p}-|b|^{q}\Rightarrow |a||b|^{q-\frac{q}{p}}\leq \frac{|a|^{p}}{p}-\frac{|b|^{q}}{p}+|b|^{q}$$
como $\displaystyle{q-\frac{q}{p}=1}$ y $\displaystyle{-\frac{|b|^{q}}{p}+|b|^{q}=\frac{|b|^{q}}{q}}$ tenemos entonces
$$|ab|\leq \frac{|a|^{p}}{p}+\frac{|b|^{q}}{q}.~~\square$$
Probaremos la desigualdad de Holder
$$\boxed{\sum_{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right]^{\frac{1}{q}}}$$
Demostración. Sea $\displaystyle{A=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}$ y $\displaystyle{B=\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac{1}{q}}}$ y
definimos $\displaystyle{a^{\prime}_{k}=\frac{a_{k}}{A}}$ y $\displaystyle{b^{\prime}_{k}=\frac{b_{k}}{B}}$ usando la desigualdad probada anteriormente se tiene
\begin{align*}|a^{\prime}_{k}~b^{\prime}_{k}|&\leq \frac{|a^{\prime}_{k}|^{p}}{p}+\frac{|b^{\prime}_{k}|^{q}}{q}\\&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|a^{\prime}_{k}b^{\prime}_{k}|\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{|a^{\prime}_{k}|^{p}}{p}+\frac{|b^{\prime}_{k}|^{q}}{q}\\&=\sum_{k=1}^{n}\frac{|a^{\prime}_{k}|^{p}}{p}+\sum_{k=1}^{n}\frac{|b^{\prime}_{k}|^{q}}{q}\\&=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}|a^{\prime}_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{n}|b^{\prime}_{k}|^{q}\\&=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{a_{k}}{A}\right]^{p}+\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{b_{k}}{B}\right]^{q}\\&=\frac{1}{p}\frac{1}{A^{p}}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\frac{1}{B^{q}}\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\end{align*}
como $$A^{p}=\left(\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right)^{p}=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)~~~y~~~
B^{q}=\left(\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\right)^{q}=\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)$$
se tiene que
\begin{align*}\frac{1}{p}\frac{1}{A^{p}}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\frac{1}{B^{q}}\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}&=\frac{1}{p}\frac{1} {\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\frac{1}{\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)}\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\\&=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}|a^{\prime}{k}b^{\prime}{k}|\leq 1 &\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|\frac{a_{k}}{A}\frac{b_{k}}{B}|\leq1\\&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq AB\\ &\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\end{align*}
Ahora probaremos la desigualdad de Minkowski
$$\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\leq \left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\left[\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right]^{\frac{1}{q}}$$
Tenemos que
\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}=\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}|a_{k}+b_{k}|&\leq \sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\left(|a_{k}|+|b_{k}|\right)\\&=\left( \sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|a_{k}|\right)+\left(
\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|b_{k}|\right)\end{align*}
Aplicando la desigualdad de Holder a cada sumando tenemos que
\begin{align*}\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|a_{k}|\right)&\leq \left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right]^{\frac{1}{q}}\\&=\left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\end{align*}
\begin{align*}\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|b_{k}|\right)&\leq \left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right]^{\frac{1}{q}}\\&=\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\end{align*}
Por lo tanto
$$\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\leq \left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}+\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}$$
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por
$$\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}$$
obtenemos
\begin{align*}\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}&=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{1-\frac{1}{q}}\\&=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\end{align*}
$$\left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\left(\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}\right)=\left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$
$$\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\left(\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}\right)=\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$
Por lo tanto $$\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq
\left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$
Por lo tanto $$\|\overline{x}+\overline{y}\|_{p}\leq \|\overline{x}\|_{p}+\|\overline{y}\|_{p}~\blacksquare$$

Ejemplo. Espacios $\ell_{p}$

Definición. Dado $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$ definimos
$$\|\bar{x}\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}~~si~~p\in[1,\infty)$$
Proposición. Dada $p\in[1,\infty)$, consideramos el conjunto $\ell_{p}$ de todas las sucesiones $(x_{k})$ de números reales tales que la serie
$$\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}$$converge. Entonces la función
$$\|(x_{k})\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$$es una norma en $\ell_{p}$
Demostración.
(a) Tenemos
$$\|x_{k}\|_{p}\geq0\Leftrightarrow\left(\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\geq0\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\geq0\Leftrightarrow|x_{k}|^{p}\geq0\Leftrightarrow |x_{k}|\geq0\Leftrightarrow x_{k}\geq0$$
(b) $$\|\lambda x_{k}\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}|\lambda x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}|\lambda|^{p} |x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(|\lambda|^{p}\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\lambda|\left(\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\lambda|~\|x_{k}\|_{p}$$
(c) Como la $\|\|_{p}$ satisface la desigualdad del triángulo, se tiene que
$$\left(\sum_{k=1}^{n} |x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{\infty} |y_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\|x_{k}\|_{p}+\|y_{k}\|_{p}$$
para todo $n\in \mathbb{N}$. En consecuencia, la serie
$$\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}+y_{k}|^{p}$$
converge y se cumple que
$$\|x_{k}+y_{k}\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\|x_{k}\|_{p}+\|y_{k}\|_{p}.~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$$
Proposición. Sea $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$, entonces
$$\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|\leq\|\bar{x}\|_{1}\leq n\|\bar{x}\|$$

Demostración. Sea $|x_{k}|=\max{|x_{1},…,|x_{n}||}$
Se tiene entonces
$$|x_{k}|=\sqrt{x_{k}^{2}}\leq \sqrt{x_{1}^{2}+…+x_{n}^{2}}=\|\bar{x}\|$$
$\therefore~~\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|$
Ahora bien
$$\left(\|\bar{x}\|\right)^{2}=\left(|x_{1}|^{2}+…+|x_{n}|^{2}\right)\leq \sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+2\sum_{i\leq i\leq j\leq n}|x_{i}||x_{j}|=\left(|x_{1}|+…+|x_{n}|\right)^{2}=\left(\|\bar{x}\|_{1}\right)^{2}$$
$$~\Rightarrow~\left(\|\bar{x}\|\right)^{2}\leq\left(\|\bar{x}\|_{1}\right)^{2}$$
$$~\Rightarrow~\|\bar{x}\|\leq \|\bar{x}\|_{1}$$
También si suponemos que $|x_{j}|=\max{|x_{1}|,…,|x_{n}|}$ entonces
$$\|\bar{x}\|_{1}=|x_{j}|\leq |x_{j}|+…+|x_{j}|=n|x_{j}|=n\max{|x_{1}|,…,|x_{j}|}=n\|\bar{x}\|_{\infty}$$
por lo que
$$\|\bar{x}\|_{1}\leq n\|\bar{x}\|_{\infty}.~~ \blacksquare$$

Proposición. Sea $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$ entonces
$$\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|_{\infty}$$
Demostración. Suponemos que $|x_{j}|=\max{|x_{1}|,…,|x_{n}|}$. Se tiene entonces
$$|x_{j}|=\sqrt{x_{j}^{2}}\leq \sqrt{x_{1}^{2}+…+x_{j}^{2}+…+x_{n}^{2}}=\|\bar{x}\|$$
Por tanto
$$\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|$$
Por otro lado suponemos que $|x_{j}|=\max{|x_{1}|,…,|x_{n}|}$ y tenemos
$$\|\bar{x}\|=\sqrt{x_{1}^{2}+…+x_{j}^{2}+…+x_{n}^{2}}\leq \sqrt{x_{j}^{2}+…+x_{j}^{2}+…+x_{j}^{2}}=\sqrt{n(x_{j}^{2})}=\sqrt{n}\|\bar{x}\|_{\infty}$$
por lo tanto
$$\|\bar{x}\|\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|_{\infty}.~~\blacksquare$$

Proposición. Sea $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$ entonces
$$\|\bar{x}\|_{1}\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|$$
Demostración.
$$\|\bar{x}\|_{1}=|x_{1}|+…+|x_{n}|=\left(1,…,1\right)\cdot (|x_{1}|,…,|x_{1}|)\leq \|(1,…,1)\|~\|\bar{x}\|=\sqrt{n}\|\bar{x}\|$$
por lo tanto
$$\|\bar{x}\|_{1}\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|.~~\blacksquare$$

Ortogonalidad de vectores

Generalizando el concepto de perpendicularidad en $\mathbb{R}^{3}$, damos la siguiente definición.
Definición. Sea E un espacio vectorial dotado de un producto escalar $\langle,\rangle$, se dice que dos vectores $\overline{x},\overline{y}\in E$ son ortogonales si $$\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=0$$
Tenemos que si $\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=0$ entonces $$\|\overline{x}-\overline{y}\|^{2}=\langle \overline{x}+\overline{y},\overline{x}+\overline{y}\rangle=\langle \overline{x},\overline{x}\rangle-2\langle \overline{x},\overline{y}\rangle+\langle \overline{y},\overline{y}\rangle=\langle \overline{x},\overline{x}\rangle+\langle \overline{y},\overline{y}\rangle=\|\overline{x}\|^{2}+\|\overline{y}\|^{2}$$
es decir se cumple el teorema de pitagoras.

Sean ahora $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{2}$ y sea $\theta$ el ángulo entre ellos. Según la ley de los cosenos
\begin{align*} \|\overline{x}-\overline{y}\|^{2}&=\|\overline{x}\|^{2}+\|\overline{y}\|^{2}-2\|\overline{x}\|\|\overline{y}\|\cos(\theta) \\ &~\Rightarrow~\|\overline{x}\|^{2}-2\langle \overline{x},\overline{y}\rangle+\|\overline{y}\|^{2}=\|\overline{x}\|^{2}+\|\overline{y}\|^{2}-2\|\overline{x}\|\|\overline{y}\|\cos(\theta) \\ &~\Rightarrow~\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=\|\overline{x}\|\|\overline{y}\|\cos(\theta) \end{align*}
Esta fórmula motiva la siguiente definición de ángulo $\theta$ entre dos vectores no nulos $\overline{x},\overline{y}\in E$, por medio de $$\boxed{\theta=\arccos\left(\frac{\langle \overline{x},\overline{y}\rangle}{|\overline{x}||\overline{y}|}\right)}$$

.

Más adelante

Como vimos en este apartado el concepto de norma nos permite relacionar la idea de longitud de un vector respecto al origen. De forma más extensa nos ayudará a relacionar la idea de longitud entre dos vectores como una distancia subyacente entre esos dos objetos.

Tarea moral

1.- Dada $f\in C^0[a,b]$ demuestra que $\left\| f\right\| _{p}= (\int _a^b |f(x)|^pdx)^{1/p}$ si $p \in [1,\infty)$ si $p\in [1,\infty)$ es una norma.

2.- Demuestra que $\left\| f\right\|_{\infty}=max\{|f(x)|:a\leq x\leq b \}$ es una norma .

3.- Sea $f\in C^0[a,b]$ y $p\in [1,\infty]$ demuestra que $\left\| f\right\|_p=0$ sí y solo si $f=0$.
4.- Demuestra la desigualdad de Minkowski para integrales. Si $p\in[1,\infty]$ entonces $\left\| f + g \right\|\leq | f | + |g| $ $\forall f,g\in C^0[a,b]$

5.- Expresa el siguiente caso al vector a como la suma de un vector paralelo al vector b y uno ortogonal. Donde $a=(1,2,3)$, $b=(1,0,0)$.

Introducción

Dada una curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, el Vector Unitario Tangente $T$ es otra
función vectorial asociada a la curva, y está definida por:
$$\boxed{T(t)=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{siempre
que $|f^{\prime}(t)| \neq 0$.}}$$
De acuerdo a la definición anterior tenemos
$$\|T(t)\|=\left\|\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right\|=\frac{\|f'(t)\|}{\|f'(t)\|}=1$$
y de acuerdo a lo anterior
\begin{align*} \|T(t)\|=1 &~\Rightarrow~T(t)\cdot T(t)=1 \\ &~\Rightarrow~\frac{d}{dt}(T(t)\cdot T(t))=0 \\ &~\Rightarrow~T'(t)\cdot T(t)+T(t)\cdot T'(t)=0 \\ &~\Rightarrow~2(T'(t)\cdot T(t))=0 \\ &~\Rightarrow~T'(t)\cdot T(t)=0 \end{align*}
lo que implica que $T'(t)$ es ortogonal $T(t)$. Si $T^{\prime}\neq 0$ el vector unitario que tiene la misma dirección que $T^{\prime}$ se llama Vector Normal Principal a la
curva y se designa por $N(t)$. Asi pues $N(t)$ es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación:
$$\boxed{N(t)=\frac{T^{\prime}(t)}{\|T^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{si}\ \ \ \ \ \|T^{\prime}(t)\| \neq 0}$$
de acuerdo a lo visto con el vector tangente, se tiene que $T(t)$ y $N(t)$ son ortogonales.
Un tercer vector definido mediante
$$\boxed{B(t)=T(t)\times N(t)}$$
recibe el nombre de Vector Binormal. Notese que $$\|B(t)\|=\|T(t)\times
N(t)\|=\|T(t)\|\|N(t)\|\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$
de acuerdo a lo anterior
\begin{align*} \|B(t)\|=1&~\Rightarrow~B(t)\cdot B(t)=1 \\ &~\Rightarrow~\frac{d}{dt}(B(t)\cdot B(t))=0 \\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot B(t)+B(t)\cdot B'(t)=0\\ &~\Rightarrow~ 2(B'(t)\cdot B(t))=0\\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot B(t)=0 \end{align*}
por tanto $B'(t)$ es ortogonal a $B(t)$. Es decir $\boxed{B'(t)\cdot B(t)=0}$

Ejemplo. Pruebe que $\displaystyle{B'(t)\cdot T(t)=0}$
Solución. Si $B(t)=T(t)\times N(t)$ entonces $B(t)$ es ortogonal a $T(t)$ y $B(T)$ es ortogonal a $N(t)$ y por lo tanto $B(t)\cdot T(t)=0$
Por otro lado
$$N(t)=\frac{T(t)}{\|T'(t)\|}~\Rightarrow~\|T'(t)\|~N(T)=T'(t)$$
Si $B(t)$ es ortogonal a $N(t)$ entonces $B(t)$ es ortogonal a $\|T'(t)\|~N(T)$. Por lo tanto
$$B(t)\cdot T'(t)=B(t)\cdot \|T'(t)\|~N(T)=0$$
Tenemos entonces que
\begin{align*} \frac{d}{dt}(B(t)\cdot T(t))=0&~\Rightarrow~B'(t)\cdot T(t)+B(t)\cdot T'(t)=0 \\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot T(t)+0=0 \\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot T(t)=0 \end{align*}
Por lo tanto $\boxed{B'(t)\cdot T(t)=0}$.$~~\blacksquare$
Según los resultados anteriores $B'(t)\cdot B(t)=0$ y $B'(t)\cdot T(t)=0$. Pero también $N(t)\cdot B(t)=0$ y $N(t)\cdot T(t)=0$. Por lo tanto $N(t)$ y $B'(t)$ deben ser paralelos, es decir existe $\alpha$ tal que $\boxed{B'(t)=\alpha N(t)}$.
Si la curva está parametrizada por longitud de arco, considerando que $\|\overline{f}'(s)\|=1$, se tiene
\begin{align*} T(s) & =\overline{f}'(s) \\ N(s) & =\frac{\overline{f}»(s)}{|\overline{f}»(s)|} \\ B(s) & =T(s)\times N(s) \end{align*}
$\fbox{Fórmulas de Frenet-Serret}$
El sistema de vectores ${T(t),N(t),B(t)}$ forman un triedro en el cual
$$\boxed{B(t)=T(t)\times N(t)}$$
de acuerdo a la definición anterior
\begin{align*} B(t)=T(t)\times N(t)&~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=N(t)\times (T(t)\times N(t)) \\ &~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=(N(t)\cdot N(t))T(t)-(N(t)\cdot T(t))N(t) \\ &~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=T(t)-0\cdot N(t) \\ &~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=T(t) \end{align*}
por tanto
$$\boxed{N(t)\times B(t)=T(t)}$$
Análogamente de acuerdo a la definición anterior
\begin{align*} B(t)=T(t)\times N(t)&~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=(T(t)\times N(t))\times T(t) \\ &~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=(T(t)\cdot T(t))N(t)-(N(t)\cdot T(t))T(t) \\ &~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=N(t)-0\cdot T(t) \\ &~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=N(t) \end{align*}
por tanto
$$\boxed{B(t)\times T(t)=N(t)}$$
Por que dicho sistema de vectores, es un conjunto ortonormal. Las fórmulas que dan las derivadas del triedro móvil, en términos del mismo triedro móvil, se llaman las fórmulas de Frenet-Serret.
Teorema
(a) $\displaystyle{\frac{dT}{ds}=\kappa N}$
(b) $\displaystyle{\frac{dB}{ds}=-\tau N(s)}$
(c) $\displaystyle{\frac{dN}{ds}=\tau B-\kappa T}$
$\fbox{Demostración}$
(a) Por definición $\displaystyle{N(s)=\frac{T'(s)}{\|T'(s)\|}}$ y $\displaystyle{\kappa(s)=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\|f»(s)\|}$. Luego
$$T'(s)=\|T'(s)\|~N(s)=\kappa(s)~N(s).$$
(b) $\displaystyle{\frac{dB}{ds}=-\tau N(s)}$ es fórmula de definición de torsión.
(c) \begin{align*} N'(s)&=B'(s)\times T(s)+B(s)\times T'(s) \\ &=-\tau N(s)\times T(s)+B(s)\times \kappa N(s) \\ &=\tau T(s)\times N(s)-\kappa N(s)\times B(s) \\ &=\tau B(s)-\kappa T(s).~~\blacksquare \end{align*}

Más adelante

Tarea Moral

Enlaces

Introducción

En una recta, el vector unitario tangente $T$ no cambia su dirección y por tanto $T^{\prime}=0$. Si la curva no es una linea recta, la derivada $T^{\prime}$ mide la tendencia de la tangente a cambiar su dirección. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por $\displaystyle{dT/ds}$ donde s representa la
longitud de arco.

Sea $f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva dos veces diferenciable parametrizada por longitud de arco y T su vector tangente unitario. La curvatura de f es la función
$$\kappa=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\|f^{\prime\prime}(s)\|$$
La letra $\kappa$ es la letra griega kappa. La curvatura mide la flexión de la curva.
Mostraremos que una recta, es una curva que no se flexiona, tiene curvatura 0
Ejemplo. Calcule la curvatura en todo punto de la recta $f(t)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t(u_{1},u_{u},u_{3})$ donde $\|u\|=1$
tenemos:
\[ f^{\prime}(t)=(u_{1},u_{2},u_{3})\ \ \ \ \ \text{y}\ \ \ \ \ \|f^{\prime}(t)\|=\|u\|=1
\]
Por lo tanto la curva esta parametrizada por longitud de arco
Por lo tanto $\kappa=\|f^{\prime\prime}(t)\|=0$, por lo tanto
$\kappa=0$.$~~\blacksquare$
Ejemplo Calcule la curvatura de una circunferencia. Para un círculo de radio $R$ dado por la ecuación
$$f(t)=(R\cos t,R \sin t)$$
tenemos:
La parametrizacion por longitud de arco es:
$$s=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|du=\int_{0}^{t}Rdt=Rt~\rightarrow~s=Rt~\Rightarrow~t=\frac{s}{R}$$
de esta manera se tiene
\begin{align*} \overline{f}(s) &=f\left(\frac{s}{R}\right)=\left(R\cos\left(\frac{s}{R}\right),R\sin\left(\frac{s}{R}\right)\right) \\ \overline{f}^{\prime}(s)&=\left(-\sin \left(\frac{s}{R}\right), \cos \left(\frac{s}{R}\right)\right) \\ \overline{f}^{\prime\prime}(s)&=\left(-\frac{1}{R}\cos \left(\frac{s}{R}\right),-\frac{1}{R} \sin \left(\frac{s}{R}\right)\right) \end{align*}
Por lo tanto $\displaystyle{\kappa=\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|=\frac{1}{R}}$.
Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante.
El siguiente teorema nos proporciona otras fórmulas que nos permiten calcular la
curvatura parametrizada por otro parámetro t, que no es necesariamente la longitud
de arco.
Teorema. Sea $f(t)$ una curva dos veces diferenciable. Entonces
$$\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|}$$
Demostración. Sabemos que $\displaystyle{s^{\prime}(t)=\|f^{\prime}(t)\|}$. Además usando la regla de la cadena
$\begin{align*} T'(t)&=\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dT}{ds}\|f'(t)\| \\ &~\Rightarrow~\frac{dT}{ds}=\frac{T'(t)}{\|f'(t)\|} \\ &~\Rightarrow~\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|} \\ &~\Rightarrow~\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|}.~~ \blacksquare \end{align*}$
Ejemplo.
Calcule la curvatura $\kappa$ de la hélice
$x(t)=a\cos(wt)$, $y(t=a\sin(wt))$, $z(t)=bt$.
Solución. Tenemos que: \[f^{\prime}(t)=(-wa\sin(wt),aw\cos(wt),b)\ \ \Rightarrow\ \ \|f^{\prime}(t)\|=\sqrt{a^2w^2+b^2}\] Por lo tanto \[ T=(-aw\sin(wt),aw\cos(wt),b)\frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}} \] Por lo tanto \[ k=\frac{\|T^{\prime}\|}{\|f^{\prime}\|}= \|-aw^2\cos(wt),-aw^2\sin(wt),0\|\frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}= \] \[ =\sqrt{(aw^2)^2(\cos^2(wt)+\sin^2(wt))}\ \frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}= \frac{aw^2}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}.~~ \blacksquare \]

Teorema . Sea $f(t)$ una curva dos veces diferenciable. Entonces
$$\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}$$
Demostración. Si $$T=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow
T~\|f^{\prime}(t)\|=f^{\prime}(t)\Rightarrow
T\frac{ds}{dt}=f^{\prime}(t)$$Por lo tanto
$$f^{\prime\prime}(t)=T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}+\frac{ds}{dt}T^{\prime}$$
Haciendo el producto cruz $$f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)=T\frac{ds}{dt}\times
\left(T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}+\frac{ds}{dt}T^{\prime}\right)=\cancel{T\frac{ds}{dt}\times
T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}}+T\frac{ds}{dt}\times
\frac{ds}{dt}T^{\prime}$$Por lo tanto
$$\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|=\left\|T\frac{ds}{dt}\times
\frac{ds}{dt}T^{\prime}\right\|=\left(\frac{ds}{dt}\right)\left\|T\right\|\left(\frac{ds}{dt}\right)\left\|T^{\prime}\right\|\sin(T,T^{\prime})=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}\left\|T^{\prime}\right\|$$En
cosecuencia$$\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}}=\|T^{\prime}|\Rightarrow
\|T^{\prime}\|=\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}$$ sustituimos en
$$k(t)=\frac{\|T^{\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow \kappa(t)=\frac{\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow
\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}.~~ \blacksquare $$
Ejemplo. Hallar la función curvatura $\kappa(t)$ de la curva
$$f(t)=\left(t^{2},t,\frac{2t^{3}}{3}\right)$$
Solución. Según la fórmula anterior
\begin{align*} f'(t) & =(2t,1,2t^{2}) \\\ f^{\prime\prime}(t) & =(2,0,4t) \\ \|f'(t)\| & =\sqrt{4t^{2}+1+4t^{4}}=2t^{2}+1 \end{align*}
Por lo que
\begin{align*} f'(t)\times f^{\prime\prime}(t) & =\left|\begin{matrix}i&j&k\\2t&1&2t^{2}\\2&0&4t\end{matrix}\right| \\ & =2(2t,-2t^{2},-1) \\ \|f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|&=2\sqrt{4t^{2}+4t^{4}+1}=2(2t^{2}+1) \end{align*}
Luego
$$\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}=\frac{2(2t^{2}+1)}{(2t^{2}+1)^{3}}=\frac{2}{(2t^{2}+1)^{2}}.~~ \blacksquare $$
Ejemplo. Para el caso especial de una curva plana con ecuación $y=f(x)$ podemos escoger $x$ como el parámetro y escribir $r(x)=x\hat{i}+f(x)\hat{j}$ entonces
\begin{align*}r^{\prime}(x)&=\hat{i}+f^{\prime}(x)\hat{j}\\r^{\prime
\prime}(x)&=f^{\prime \prime}(x)\hat{j}\end{align*} y al efectuar:
\[
r^{\prime}(x)\ \text{x}\ r^{\prime \prime}(x)=
\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & f^{\prime}(x) & 0 \\
0 & f^{\prime \prime}(x) & 0 \\
\end{array}
\right|= f^{\prime \prime}(x)\hat{k}
\]

Por lo tanto $\|r^{\prime}(x)\ \times r^{\prime\prime}(x)\|=|f^{\prime\prime}(x)|$.
Por lo tanto, para una curva plana
\[
\kappa(x)=\frac{\|r'(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{\left(1+[f^{\prime}(x)]^2\right)^{3/2}}.~~ \blacksquare
\]
Ejemplo. Calcular la curvatura del gráfico $f(x)=e^{-x}$.
Solución. Tenemos que: $f'(x)=-e^{-x}$ y $f^{\prime\prime}(x)=e^{-x}$. Luego
$$\kappa(x)=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{\left[1+\left(f'(x)\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=\frac{e^{-x}}{\left[1+\left(-e^{-x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=\frac{e^{-x}}{\left[e^{-2x}+1\right]^{\frac{3}{2}}}.~~ \blacksquare$$

Circunferencia y radio de curvatura

Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ una curva plana y un punto $P$ sobre una curva plana donde $\kappa\neq 0$. Se llama circunferencia de curvatura o circunferencia osculadora de la curva en el punto P a la circunferencia que cumple las siguientes condiciones:
(a) Es tangente a la curva en P. (la circunferencia y la curva tienen la misma recta tangente en el punto P).
(b) Tiene la misma curvatura ($\kappa$) que la curva en P.
(c) Se encuentra hacia el lado concavo o interior de la curva.
(d) El radio de la curvatura de la curva P es el radio del círculo de curvatura o círculo osculador. $$\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}$$

Asi el centro del círculo osculador (llamado centro de curvatura)
debe estar en:

\[
c(t)=f(t)+\frac{1}{k(t)}N(t)
\]
Ejemplo. Determine los vectores $T$ y $N$, la curvatura $k$, el centro de la curvatura y la circunferencia osculadora de la parábola $y=x^2$ en el punto $(1,1)$.
Solución. Si la parábola esta
parametrizada por $x=t$ y por $y=t^2$, entonces su vector de
posición es $f(t)=(t,t^2)$, por lo tanto
\begin{align*}f(t)=(t,t^2)&\Rightarrow f^{\prime}(t)=(1,2t)\\&\Rightarrow\|f^{\prime}(t)\|=\sqrt{1+4t^2}\\&\Rightarrow f^{\prime\prime}(t)=(0,2)\end{align*}
por lo tanto:
\[ T(t)=\frac{(1,2t)}{\sqrt{1+4t^2}}\ \ \ \ \ \ \ T(1)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\ \ \ \ \ \ \ N(1)=\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \] la curvatura $\kappa$, \[ k=\frac{\|f^{\prime\prime}(t)\|}{\left(\sqrt{1+[f^{\prime}(t)]^2}\right)^3}= \frac{2}{\left(\sqrt{1+4t^2}\right)^3}\ \ \ \ \ \ \ k(1)=\frac{2}{5\sqrt{5}}\ \ \Rightarrow\ \ \rho=\frac{5\sqrt{5}}{2} \] Por lo tanto el centro de la curvatura es \[ c(t)=f(1,1)+\frac{1}{\frac{2}{5\sqrt{5}}}\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)= \left(-4,\frac{7}{2}\right) \] Y la ecuación del círculo osculador a la parábola es, por tanto: \[ (x+4)^2+\left(y-\frac{7}{2}\right)^2= \left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{125}{4}.~~ \blacksquare \]

Torsión

Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ una curva tres veces diferenciable parametrizada por longitud de arco. Nuestro objetivo consistira en estimar con que rapidez una curva se aleja de su plano osculador

La forma de medir la rapidez de alejamiento de la curva f de su plano osculador es por medio del vector binormal $B(s)=T(s)\times N(s)$, que sabemos es un vector unitario ortogonal al plano osculador de f en P. Puesto que $\|B(s)\|=1$, $\forall~s\in I$, la magnitud de la derivada $\|B'(s)\|$ de $B(s)$ medirá precisamente la rapidez con la que el vector binormal $B(s)$ está cambiando de dirección en los alrededores del punto estudiado.
Puesto que $B(s)=T(s)\times N(s)$, tenemos, derivando
$$B'(s)=T(s)\times N'(s)+T'(s)\times N(s)$$
El sumando $T'(s)\times N(s)$ que aparece en esta expresión es igual a cero, ya que $T'(s)=f^{\prime\prime}(s)$ es un vector en la dirección de $N(s)$ (y por lo tanto son colineales; por lo que su producto cruz es cero). Entonces nos queda
$$B'(s)=T(s)\times N'(s)$$
También tenemos que
$$\|B\|=1~\Rightarrow~\frac{d \|B\|^{2}}{ds}=0~\Rightarrow~\frac{d(B\cdot B)}{ds}=0~\Rightarrow~B\cdot B’+B’\cdot B=0~\Rightarrow~B’\cdot B=0~\Rightarrow~B’\bot B $$ Esto nos permite concluir que $B'(s)$ es un vector en el plano osculador de f en s. Por otro lado $$B\cdot T=0~\Rightarrow~(B\cdot T)’=0~\Rightarrow~B’\cdot T+T’\cdot B=0~\underbrace{\Rightarrow}_{\textcolor{red}{T’\cdot B=N~ \|T’\|\cdot B=0}}~B’\cdot T=0~\Rightarrow~B’\bot T$$
De lo anterior podemos concluir que $B’$ tiene la dirección del vector $N$. Debe entonces existir un escalar $\tau(s)$ tal que
$$B'(s)=\tau(s)N(s)$$
Definición. Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ una curva tres veces diferenciable parametrizada por longitud de arco tal que $f»(s)\neq 0$ $\forall~s\in I$. El número $\tau(s)$ tal que $B'(s)=-\tau(s)N(s)$ se llama torsión de f en s.
Notese que
$$\|B'(s)\|=|\tau(s)|$$
Ejemplo. Dada la función
$$f(t)=(\cos(t),\sin(t),t)$$
cuya reparametrización por longitud de arco es:
$$\overline{f}(s)=\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}}\right)$$
cuyo vector normal es
$$N(s)=\left(-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),-\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0\right)$$
cuyo vector binormal es
$$B(s)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),1\right)$$
de modo que
$$B'(s)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0\right)$$
y por lo tanto se tiene
$$|\tau(s)|=\|B'(s)\|=\frac{1}{2}.~~ \blacksquare$$
Una curva es plana (es decir, es la imagen de un camino $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ tal que f(s) se encuentra en un plano en $\mathbb{R}^{3}$ para toda $s\in [a,b]$) si y sólo si su torsión es igual a cero $(\forall~s\in [a,b])$.
En efecto, si $\tau(s)=0$, se tiene que $B'(s)=0$, por lo que el vector binormal $B(s)$ debe ser constante, es decir $B(s)=v$ para todo $s\in[a,b]$. De aquí se tiene que
$$f'(s)\cdot B(s)=f'(s)\cdot v=0~~~\forall~s\in[a,b]$$
(pues $f'(s)$ es ortogonal a $B(s)$), o sea
$$\frac{d(f(s)\cdot v)}{ds}=0$$
de donde $f(s)\cdot v=cte~~~\forall~s\in[a,b]$, y por lo tanto, concluimos que $f(s)$ se encuentra en el plano cuyo vector normal es v, $\forall~s\in[a,b]$.

Recíprocamente, si $f(s)$ se encuentra en un plano para toda s en $[a,b]$, entonces dicho plano es el plano osculador de la curva en todo punto de ella, por tanto el vector unitario $B(s)$ no cambia de dirección, por lo que $B'(s)=0$. de donde $\tau(s)=0$ para toda s en $[a,b]$. $\blacksquare$

Fórmula para calcular la Torsión en términos de la parametrización por longitud de arco

La torsión representa una variación en la dirección del vector binormal, procederemos ahora a desarrollar una fórmula para calcularla
Sea $\overline{f}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ la reparametrización por longitud de arco de f, $\overline{f}=f\circ\varphi$. Queremos calcular la torsión de f en t, donde $t=\varphi(s)$. Sabemos que
\begin{align*} T(s) & =\overline{f}'(s)=\frac{f'(t)}{\|f'(t)\|} \\ T'(s)&=\overline{f}»(s)=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{ds} \\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\frac{ds}{dt}}\\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\varphi^{\prime}(s)}\\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|f^{\prime\prime}-f^{\prime}(t)\frac{d\left(\|f^{\prime}(t)\|\right)}{dt}}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|f^{\prime\prime}-f^{\prime}(t)\frac{f^{\prime}\cdot f^{\prime\prime}}{\|f^{\prime}(t)\|}}{\|f^{\prime}(t)|^{2}}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}~~\left(\frac{d\left(\|f^{\prime}(t)\|\right)}{dt}=\frac{d\sqrt{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime}(t)}}{dt}=\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\\ N(s) &=\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\kappa(s)} =\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|} \end{align*}
calculemos
$$B'(s)=T(s)\times N'(s)$$ en este caso
\begin{align*} N^{\prime}(s) & =\frac{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}\right)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}} \\ &=\frac{\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{3}}\right) \end{align*}
Luego si $B^{\prime}(s)=T(s) \times N^{\prime}(s)$ entonces se tiene que
\begin{align*} B^{\prime}(s) &=\overline{f}^{\prime}(s)\times \left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)\right) \\ &=\frac{1}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s) \end{align*}
La torsión esta dada por
\begin{align*} B^{\prime}(s) &=\tau(s)N(s) \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=\tau(s)N(s)\cdot N(s) \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=\tau(s)\|N(s)\|^{2} \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=|\tau(s)| \end{align*}
Entonces
\begin{align*} \tau(s) &=B^{\prime}(s)\cdot N(s) \\ &=\left(\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)f^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\right)\cdot \frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|} \\ &=\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)-\cancel{\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{4}}\right)\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)} \\ &=\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s) \end{align*}
La cancelación es porque $$\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot
\overline{f}^{\prime\prime}(s)=0$$ y como $$k(s)=\|\overline{f}^{\prime\prime}\|$$ se
tiene entonces que $$\boxed{\tau(s)=\frac{\overline{f}^{\prime}(s)\times
\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}}=-\frac{\overline{f}^{\prime}(s)\times
\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}}}$$

Fórmula para calcular la Torsión en términos del parámetro t

Ahora vamos a expresar la torsión en términos de t. Ya hemos visto que
\begin{align*} \overline{f}^{\prime}(s)&=\frac{f^{\prime}(t)}{|f^{\prime}(t)|} \\ f^{\prime\prime}(s) & =\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\left(|f^{\prime}(t)|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right) \end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*} f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s) &=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\times \left(\frac{1}{\|f^{\prime}\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\right) \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)-\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{5}}\right)\cancel{f^{\prime}(t)\times f^{\prime}(t)} \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t) \end{align*}
Mientras que
\begin{align*} f^{\prime\prime\prime}(s) &=\frac{df^{\prime\prime}(s)}{ds}=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{dt}{ds}=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{1}{\frac{ds}{dt}} \\ &=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|} \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\|f^{\prime}\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\right) \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\left[\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}f^{\prime\prime}(t)\right)+\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)^{\prime}f^{\prime\prime}(t)\right. \\ &\left.-\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)f^{\prime\prime}(t)-f^{\prime}(t)\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)^{\prime}~\right] \end{align*}
Por lo tanto
\begin{align*} f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime\prime}(s) &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot \left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\left[\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}f^{\prime\prime}(t)\right)\right. \\ &\left.+\cancel{\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)^{\prime}f^{\prime\prime}(t)}-\cancel{\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)f^{\prime\prime}(t)}-\cancel{f^{\prime}(t)\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)^{\prime}}~\right] \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot \frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}f^{\prime\prime\prime}(t) \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{6}}f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}(t) \end{align*}
finalmente
\begin{align*} \tau(t) &=\frac{f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}} \\ &=-\frac{f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}} \\ &=-\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{6}}\frac{f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}}{\left(\frac{\|f^{\prime}\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)^{2}} \end{align*}
Tenemos que
la torsión esta dada por $$\boxed{\tau(t)=-\frac{f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\cdot
f^{\prime\prime\prime}(t)}{\left(\|f^{\prime}(t)\times
f^{\prime\prime}(t)\|\right)^{2}}}$$
Ejemplo. Probar que la torsión de la hélice $f(t)=(a\cos(t),a\sin(t),bt)$ es
$$\tau(t)=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$$
Solución. En este caso
\begin{align*} f'(t) & =(-a\sin(t),a\cos(t),b) \\ f^{\prime\prime}(t) & =(-a\cos(t),-a\sin(t),0) \\ f^{\prime\prime\prime}(t) & =(a\sin(t),-a\cos(t),0) \end{align*}
Por lo que
$$f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)=\left|\begin{matrix}i&j&k\\-a\sin(t)&a\cos(t)&b\\-a\cos(t)&-a\sin(t)&0\end{matrix}\right|=(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})$$
tenemos entonces
$$f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}(t)=(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})\cdot (a\sin(t),-a\cos(t),0)=a^{2}b$$
$$\|f'(t)\times f»(t)\|=\|(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})\|=\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{4}}=|a|\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$
luego,
$$\tau(t)=\frac{[f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)]\cdot f^{\prime\prime\prime}(t)}{\|f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|^{2}}=\frac{a^{2}b}{\left(|a|\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.~~ \blacksquare$$

Más adelante

En la siguiente entrada veremos cómo las curvaturas de las ecuaciones polares determinadas por los vectores tangente, normal y binormal dan origen a las fórmulas de Frenet-Serret. En la geometría de las curvas dichas fórmulas juegan un papel importante.

Tarea Moral

1.- Determine la curvatura de la parábola: $y=4px^2$

2.- Demuestra que $N´=-kl´T´+tl’B$

3.- Determina la torsión de la cúbica descrita por $f(t)=(t,t^2,t^3)$

4.-Determina la torsión de la hélice cónica descrita por $f(t)=(tcost, tsent, t)$ en el punto $(0,0,0)$.

5.- Determina la torsión de la curva descrita por $f(t)=(t-sent, 1-cost,t)$ en los puntos: $t=0$, $t=\dfrac{\pi}{2}$, $t=\pi$