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Nota 5. Leyes de De Morgan y la diferencia simétrica.

Por Julio César Soria Ramírez

Introducción.

En este capítulo veremos las leyes de De Morgan, que nos hablan de cómo es el complemento de una unión o de una intersección de conjuntos. Para ello usaremos los resultados adquiridos en notas anteriores, notando que cuando un elemento del conjunto universo no es parte de un conjunto, es por que no cumple con la propiedad que caracteriza sus elementos, y por tanto cumple la negación de esa propiedad.

Una vez con las leyes de De Morgan en un nuestro repertorio de proposiciones adquiridas, junto con algunas propiedades de la diferencia de conjuntos, definiremos la diferencia simétrica y usaremos los resultados previos para obtener algunas propiedades derivadas.

Teorema. Leyes de De Morgan.

Sea $X$ el conjunto universo, $A$ y $B$ subconjuntos de $X$.

  1. $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$
  2. $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

Demostración

Demostración de la propiedad 1.

Por demostrar que $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$.

Esta prueba la haremos por doble contención, la cadena de implicaciones de ida y regreso nos dará la prueba por doble contención.

Prueba condensada.
Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención
$(A\cup B)^c\subseteq A^c\cap B^c$
Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención
$(A\cup B)^c\supseteq A^c\cap B^c$
$z\in (A\cup B)^c$ Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cup B)^c$ , con la intención de mostrar que también está en $A^c\cap B^c$ Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A\cup B$Esto es por la definición de complemento.Si el elemento cumple con no estar ni en $A$ ni en $B$ entonces no está en la unión.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A$ y $z\notin B$ $\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $Si $z$ no está en la unión, no cumple con la propiedad que caracteriza a los elementos de la unión, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ o $z\in B$, por lo que $z$ no puede estar ni en $A$ ni en $B$, es decir $z\notin A$ y $z\notin B$. Nota cómo la negación de la disyunción es la conjunción. Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c$ y $z\in B^c$Si $z$ no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.Por definición de intersección.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c\cap B^c$Por definición de intersección. Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cap B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cup B)^c$.

Las explicaciones de la prueba en la tabla se leen de arriba a abajo para la primera contención y de abajo a arriba en el caso de la segunda contención, para saber cómo cambiamos de paso, o empezamos la prueba, atendemos a la explicación, cada columna nos da una contención, la primera nos muestra que $(A\cup B)^c\subseteq A^c\cap B^c$, y la segunda nos muestra que $A^c\cap B^c\subseteq (A\cup B)^c$, lo que nos garantiza según el axioma de extensionalidad lo que queríamos probar: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$

$\square$

Demostración de la propiedad 2.

Por demostrar que $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$

Prueba condensada.
Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención
$(A\cap B)^c\subseteq A^c\cup B^c$
Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención
$(A\cap B)^c\supseteq A^c\cup B^c$

$z\in (A\cap B)^c$ Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cap B)^c$, con la intención de mostrar que también está en $A^c\cup B^c.$ Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A\cap B$ Por definición de complemento. Si el elemento cumple con no estar en $A$ o en $B$ entonces no está en la intersección.
$\Longleftrightarrow$ $z\notin A$ o $z\notin B$ $\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $Si z no está en la intersección, no cumple con la propiedad que cumplen los elementos de la intersección, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ y $z\in B$, por lo que debe fallar al menos una de ambas condiciones, es decir $z\notin A$ o $z\notin B$. Nota cómo la negación de la conjunción $y$ es la disyunción $o$. Por definición de complemento.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c$ o $z\in B^c$Si no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.Por definición de unión.
$\Longleftrightarrow$ $z\in A^c\cup B^c$Por definición de unión. Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cup B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cap B)^c$

Igual que en la primera demostración las dos contenciones nos dan la igualdad y así:

$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$, que es lo queríamos demostrar.

$\square$

Hay que estar atentos pues usaremos el resultado anterior para probar algunas propiedades de una operación destacable, la diferencia simétrica, pero antes de llegar a ello, definamos una operación más.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.

La diferencia de $A$ con $B$ es el conjunto de los elementos que están en $A$, pero no están en $B$.

$A \setminus B = \set{x\in A\mid x\notin B}$

Proposición

  1. $A\setminus B=A\cap B^c$
  2. $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$
  3. $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$

Demostración

Demostración de 1

Tenemos que:

$z\in A\setminus B = \set{x\in A\mid x\notin B}$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\notin B$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B^c$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A\cap B^c$.

Nota que ésta es una prueba por doble contención, la cadena de si y sólo si ($\Longleftrightarrow$) nos dan las dos contenciones.

$\square$

Demostración de 2

De nuevo recurriremos a una tabla para ir mostrando los pasos, esta vez entre igualdades.

Prueba condensadaExplicación
$A\setminus (B\cap C)$ =Empezamos considerando
este conjunto.
$A\cap (B\cap C)^c$ =Por lo mostrado en la proposición anterior
$A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cup C^c)$ =Observa que en este paso nos valimos
de las leyes de De Morgan y utilizamos
que $(B\cap C)^c= B^c\cup C^c $.
$(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)$=Esta igualdad es por la propiedad distributiva
de la intersección.
$(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$ Por lo mostrado en la proposición anterior
$A\setminus B=A\cap B^c$ y $A\setminus C=A\cap C^c$.

Por lo tanto $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.

$\square$

Demostración de 3

Prueba condensadaExplicación
$A\setminus (B\cup C)$ =Empezamos considerando
este conjunto.
$A\cap (B\cup C)^c$ =Por lo mostrado en la propiedad 1
$A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cap C^c)$ =Observa que en este paso nos valimos
de las leyes de De Morgan y utilizamos
que $(B\cup C)^c= B^c\cap C^c $.
$A\cap A\cap B^c \cap C^c$ =Como $ A\cap A=A$, simplente reescribimos a $A$ de esta forma.
$(A\cap B^c)\cap (A \cap C^c)$ = Por las propiedades de asociatividad y conmutatividad de la
intersección.
$(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$ Por lo mostrado en la propiedad 1
$A\setminus B=A\cap B^c$.

Por lo tanto $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

$\square$

Con estas herramientas estamos listos para dar la definición de diferencia simétrica.

Definición

Sea $X$ el conjunto universo, $A$, $B$, subconjuntos de $X$, la diferencia simétrica de $A$ con $B$ es la diferencia de la unión de los dos conjuntos con su intersección:

$A\vartriangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$

Proposición

  1. $A\vartriangle B=B\vartriangle A$
  2. $A\vartriangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

Demostración de 1

$A\vartriangle B= (A\cup B)\setminus (A\cap B) = (B\cup A)\setminus (B\cap A) =B\vartriangle A$, nota que en la prueba se está usando la conmutatividad de la unión y de la intersección.

$\square$

Demostración de 2

Prueba condensadaExplicación
$A\vartriangle B$=Empezamos con este conjunto.
$(A\cup B)\setminus (A\cap B)$=Por definición de diferencia simétrica.
$(A\cup B)\cap (A\cap B)^c$=Por lo mostrado en la propiedad 1
$A\setminus B=A\cap B^c$.
$(A\cup B)\cap (A^c\cup B^c)$=Por las leyes de De Morgan.
$[(A\cup B)\cap A^c]\cup [(A\cup B) \cap B^c]$=Por la propiedad distributiva
de la intersección sobre la unión.
$[(A\cap A^c)\cup (B\cap A^c)]\cup [(A\cap B^c)\cup (B\cap B^c)]$= Por la propiedad distributiva
de la intersección sobre la unión.
$[\emptyset\cup (B\cap A^c)]\cup [(A\cap B^c)\cup \emptyset ]$=La intersección de un conjunto con su complemento es el vacío.
$(B\cap A^c)\cup (A\cap B^c)$=El vacío unión cualquier conjunto nos deja
el mismo conjunto.
$(B\setminus A)\cup (A\setminus B)$ Por lo mostrado en la proposición anterior
$A\setminus B=A\cap B^c$.

Esto muestra que $A\vartriangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

$\square$

Tarea Moral

En los siguientes incisos el conjunto universo es $X$, $A\subseteq X$, $B\subseteq X$.

i) Encuentra: $A^c$, $B^c$, $A^c\cup B^c$, $A^c\cap B^c$, $(A\cup B)^c$, $(A\cap B)^c$.

  1. $X=\mathbb{N}$
    $A=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,un\,\,primo}$
    $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,un\,\,impar}$
  2. $X=\mathbb{Z}$
    $A=\set{x\in \mathbb{Z}\mid x=4k+1,para\,\,alguna\,\,k\in \mathbb{Z}}$
    $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,negativo}$
  3. $X=\mathbb{N}$
    $A=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\,\,es\,\,un\,\,irracional}$
    $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid x>3}$
  4. $X=\mathbb{N}$
    $A=\set{x\in \mathbb{N}\mid x\leq 5 }$
    $B=\set{x\in \mathbb{N}\mid 1\leq x<11}$

ii) Sean $A$ y $B$ conjuntos

  • ¿Cómo son $A\cup (B\setminus A)$ y $A\cap (B\setminus A)$?
  • ¿Cómo son $(B\setminus A)\cup (A\cap B)$ y $(B\setminus A)\cap (A\cap B)$

iii) Prueba que $A\vartriangle B\subseteq (A\vartriangle C)\cup (C\vartriangle B)$. Encuentra un ejemplo donde la contención sea propia y otro donde se dé la igualdad.

Más adelante

En la siguiente nota definiremos una manera de crear un nuevo subconjunto, estableceremos como un axioma que el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado $A$ también es un subconjunto y lo llamaremos el conjunto potencia, iremos encaminando nuestros esfuerzos para definir una de las mas útiles maneras de estudiar los distintos conjuntos, el concepto de función, pero para ello hablaremos de algo más primitivo, las relaciones entre conjuntos, que caracterizaremos y para las cuales deduciremos propiedades.

Entradas Relacionadas

Nota Anterior del curso. Nota 4. Unión e intersección de conjuntos.

Nota siguiente del curso. Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano.

Geometría Moderna II: Circunferencias Ortogonales

Por Armando Arzola Pérez

1.3 Circunferencias Ortogonales

Observación

Dos circunferencias que se intersecan son ortogonales si sus tangentes a un punto de contacto forman un ángulo recto, o también si los radios que van de los centros a los puntos de intersección son ortogonales.

Teorema:

El centro de una circunferencia que corta a 2 circunferencias ortogonales, está en el eje radical de estas últimas.

Demostración:

Sean \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) dos circunferencias dadas, y sea \(C_3(O_3,r_3)\) una circunferencia ortogonal a $C_1$ y $C_2$.

Denotaremos a $T_1$ a uno de los puntos de intersección de $C_1$ y $C_3$, y a $T_2$ un punto de intersección de $C_2$ y $C_3$. Por demostrar que $O_3$ está en el eje radical de $C_1$ y $C_2$, solo falta demostrar que

$Pot(O_3,C_1)$ $=$ $Pot(O_3,C_2)$

Ahora como $O_3T_2$ y $O_3T_1$ son radios de $C_3$, entonces

$O_3T_1$ $=$ $O_3T_2$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3T_1)^2=(O_3T_2)^2$

Por proposición 3 de potencia:

$Pot(O_3,C_1)=(O_3T_1)^2=(O_3T_2)^2=Pot(O_3,C_2)$

$Pot(O_3,C_1)=Pot(O_3,C_2)$

$\therefore$ $O_3$ es un punto del eje radical de $C_1$ y $C_2$. $\blacksquare$

Teorema:

Si una circunferencia cuyo centro está en el eje radical de dos circunferencias, y es ortogonal una de ellas, es también ortogonal a la otra.

Demostración:

Tomando como referencia la figura anterior.

Sea $C_3$ una circunferencia tal que su centro $O_3$ está en el eje radical de $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias dadas y $C_3$ es ortogonal a $C_2$.

Se quiere demostrar que $C_3$ es ortogonal a $C_1$ o sea por Pitágoras

$(O_3O_1)^2-r_1^2= (O_3T_1)^2$

Dado que $C_3$ es ortogonal a $C_2$, el triángulo $\triangle O_3T_2O_2$ es rectángulo, entonces por Pitágoras $(O_3O_2)^2-r_2^2= (O_3T_2)^2$. Ahora como $O_3$ está en el eje radical de $C_1$ y $C_2$, y por propiedad de potencias se tiene:

$(O_3O_2)^2 – r_2^2=(O_3O_1)^2-r_1^2$ y como $O_3T_1=O_3T_2$

$\Rightarrow$ $(O_3T_1)^2=(O_3T_2)^2=(O_3O_2)^2-r_2^2=(O_3O_1)^2-r_1^2$

$\therefore$ $C_3$ es ortogonal a $C_1$. $\blacksquare$

Teorema:

Sean 2 circunferencias $C_1$ y $C_2$, y sea $C_3(O_3,r_3)$ una circunferencia ortogonal a $C_1$ y $C_2$. Entonces se generan 3 casos:

  1. Si $C_1$ y $C_2$ se intersecan, entonces $C_3$ no interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.
  2. Si $C_1$ y $C_2$ son tangentes, $C_3(O_3,r_3)$ es tangente a $O_1O_2$ la línea de los centros.
  3. Si $C_1$ y $C_2$ no se intersecan, entonces $C_3$ interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.

Demostración:

Sea $C_3$ una circunferencia ortogonal a 2 circunferencias dadas $C_1$ y $C_2$. Sea $X$ a la intersección de $O_1O_2$ con «$l$» el eje radical de las circunferencias $C_1$ y $C_2$. Ahora, dado que $C_3$ es ortogonal a $C_1$ y $C_2$, se tienen dos triángulos rectángulos:

$\triangle O_3T_1O_1$ y $\triangle O_3XO_1$

$\Rightarrow$ Por Pitágoras:

$(O_3T_1)^2+r_1^2=(O_3O_1)^2=(O_1X)^2+(O_3X)^2$

$\Longleftrightarrow$ $r_1^2-(O_1X)^2=(O_3X)^2-r_3^2$

Caso 1

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias que no se intersecan. Por demostrar que $C_3$ no interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.

Como

$r_1>O_1X$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2>O_1X^2$

$\Rightarrow$ $r_1-O_1X>0$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2-O_1X^2>0$

$\Rightarrow$ $r_1^2-(O_1X)^2$ $=$ $(O_3X)^2-r_3^2$

$\Rightarrow$ $(O_3X)^2-r_3^2>0$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3X)^2>r_3^2$

$\Longleftrightarrow$ $O_3X>r_3$

$\therefore$ $C_3(O_3,r_3)$ no interseca la línea de los centros $O_1O_2$ $\blacksquare$

Caso 2

Sean $C_1$ y $C_2$ tangentes. Por demostrar que $C_3(O_3,r_3)$ es tangente a $O_1O_2$ la línea de los centros.

$r_1=O_1X$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2=O_1X^2$

$\Rightarrow$ $r_1-O_1X=0$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2-O_1X^2=0$

$\Rightarrow$ Por Pitágoras $r_1^2-(O_1X)^2$ $=$ $(O_3X)^2-r_3^2$

$\Rightarrow$ $(O_3X)^2-r_3^2=0$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3X)^2=r_3^2$

$\Longleftrightarrow$ $O_3X=r_3$

$\therefore$ $C_3(O_3,r_3)$ es tangente a $O_1O_2$ la línea de los centros.$\blacksquare$

Caso 3

Sean $C_1$ y $C_2$ que no se interceptan. Por demostrar que $C_3$ interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.

$r_1<O_1X$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2<O_1X^2$

$\Rightarrow$ $r_1-O_1X<0$ $\Longleftrightarrow$ $r_1^2-O_1X^2<0$

$\Rightarrow$ Por Pitágoras $r_1^2-(O_1X)^2$ $=$ $(O_3X)^2-r_3^2$

$\Rightarrow$ $(O_3X)^2-r_3^2<0$ $\Longleftrightarrow$ $(O_3X)^2<r_3^2$

$\Longleftrightarrow$ $O_3X<r_3$

$\therefore$ $C_3(O_3,r_3)$ interseca a $O_1O_2$ la línea de los centros.$\blacksquare$

Más adelante…

Se abordará en la siguiente entrada las Familias Coaxiales.

Al final de los temas de esta primera unidad se dejará unas series de ejercicios.

Entradas relacionadas

Integrales iteradas, Teorema de Fubini para rectángulos

Por Ruben Hurtado

Dada una función de dos variables que está
definida sobre el rectángulo cerrado
$$R=[a,b]\times[c,d]={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid a\leq x\leq b,
c\leq y \leq d}$$ suponiendo que $f(x,y)\geq 0$. La gráfica de f es
una superfície con ecuación $z=f(x,y)$. Sea S el sólido que esta
encima de R y debajo de la gráfica de f, es decir
$$S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 0\leq z\leq f(x,y),(x,y)\in R}$$

Si cortamos nuestra región por un plano paralelo al plano YZ

a la altura del punto $x_{0}\in [a, b]$ del eje X, la figura que se obtiene es la misma que obtenemos al considerar aquella que está por debajo de la gráfica de la función $f_{x_{0}}: [c, d] \rightarrow\mathbb{R}$ definida como
$$f_{x_{0}}(y)=f(x_{0},y)$$
de esta forma, el área de la figura correspondiente al corte realizado a la altura $x_{0}$ que podemos denotar $\alpha(x_{0})$ coincide con ser
$$\alpha(x_{0})=\int_{c}^{d}f(x_{0})(y)dy=\int_{c}^{d}f(x_{0},y)dy$$
También podemos hacer cortes con planos paralelos al plano XZ; así si cortamos a la altura del punto $y_{0}\in [c, d]$ del eje Y

se obtiene es la misma que obtenemos al considerar aquella que está por debajo de la gráfica de la función $f_{y_{0}}: [a, b] \rightarrow\mathbb{R}$ definida como
$$f_{y_{0}}(x)=f(x,y_{0})$$
de esta forma, el área de la figura correspondiente al corte realizado a la altura $y_{0}$ que podemos denotar $\beta(y_{0})$ coincide con ser
$$\beta(y_{0})=\int_{a}^{b}f_{y_{0}}(x)dx=\int_{a}^{b}f(x,y_{0})dx$$
En este caso $\beta$ es una función definida sobre el intervalo $[c, d]$.
Por tanto el volumen del sólido entre la superfície y el rectángulo R estará dado por
$$\int_{R}\alpha(x)dx=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx$$
o por
$$\int_{R}\beta(x)dy=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy$$
$\boxed{\Large{\textcolor{red}{Teorema~de~Fubini}}}$
El teorema de Fubini nos va a dar una técnica para el cálculo de integrales de funciones de varias variables mediante el cálculo de varias integrales de funciones de una variable. A partir de ahí se podrán utilizar todas las técnicas conocidas del Análisis de una variable para el cálculo de integrales mediante cálculo de primitivas y el teorema fundamental del cálculo (Regla de Barrow): cambios de variables, integración por partes, etc.
$\boxed{\textcolor{red}{Teorema:}}$
Sean $[a,b]\subset\mathbb{R}$ y $[c,d]\subset \mathbb{R}$ dos intervalos tal que, $R= [a,b]\times [c,d]$, y $f: R\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ una función integrable.

Para cada $\hat{y}$ fijo en $[c,d]$ definimos $f_{\hat{y}}:[t_{i-1},t_{i}]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como
$$f_{\hat{y}}=f(x,\hat{y})$$
y definimos
$$\phi(\hat{y})=\underline{\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}}f_{\hat{y}}(x)dx$$
$$\psi(\hat{y})=\overline{\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}}f_{\hat{y}}(x)dx$$
Si f es integrable sobre R entonces $\phi, \psi$ son integrables sobre $[c,d]$ y además
$$\int_{R}f=\int_{c}^{d}\phi(y)dy=\int_{c}^{d}\psi(y)dy$$
$\boxed{\textcolor{red}{Demostración:}}$
Observemos en primer lugar que una partición de $R = [a,b]\times [c,d]$ esta formada por una partición de $[a,b]$ y otra de $[c,d]$. Sea $$P_{1}\in P_{[a,b]}=\{a=t_{0},t_{1},…,t_{n}=b\}$$ y sea
$$P_{2}\in P_{[c,d]}=\{c=t_{0},t_{1},…,t_{m}=d\}$$
$$P=P_{1}\times P_{2}\in P_{R} $$
Y cualquier rectángulo de la partición P tiene área $|t_{i}-t_{i-1}|\cdot|t_{j}-t_{j-1}|$,

Para cada $\hat{y}$ fijo en $[c,d]$ definimos
\begin{align*}
m_{j}(\phi)&=\inf\{\phi(\hat{y})~\Big{|}~\hat{y}\in[t_{j-1},t_{j}]\}\\
M_{j}(\phi)&=\sup\{\phi(\hat{y})~\Big{|}~\hat{y}\in[t_{j-1},t_{j}]\}\\
m_{j}(\psi)&=\inf\{\psi(\hat{y})~\Big{|}~\hat{y}\in[t_{j-1},t_{j}]\}\\
M_{j}(\psi)&=\sup\{\psi(\hat{y})~\Big{|}~\hat{y}\in[t_{j-1},t_{j}]\}\\
m_{i}(f_{\hat{y}})&=\inf\{f_{\hat{y}}(x)~\Big{|}~x\in[t_{i-1},t_{i}]\}\\
M_{i}(f_{\hat{y}})&=\sup\{f_{\hat{y}}(x)~\Big{|}~x\in[t_{i-1},t_{i}]\}\\
m_{ij}(f)&=\inf\{f(x,y)~\Big{|}~(x,y)\in R_{ij}\}\\
M_{ij}(f)&=\sup\{f(x,y)~\Big{|}~(x,y)\in R_{ij}\}
\end{align*}
De lo anterior tenemos que se cumple
$$m_{ij}(f)\leq m_{i}(f_{\hat{y}})\leq M_{i}(f_{\hat{y}})\leq M_{ij}(f)$$
Multiplicando por $(t_{i} − t_{i−1}) > 0$ se tiene
$$m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) \leq m_{i}(f_{\hat{y}})(t_{i} − t_{i−1}) \leq M_{i}(f_{\hat{y}})(t_{i} − t_{i−1}) \leq M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) $$
Sumando sobre i
$$\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) \leq \sum_{i=1}^{n}m_{i}(f_{\hat{y}})(t_{i} − t_{i−1}) \leq \sum_{i=1}^{n}M_{i}(f_{\hat{y}})(t_{i} − t_{i−1}) \leq \sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) $$
se tiene entonces
$$\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) \leq \underline{S}(f_{\hat{y}},P) \leq \overline{S}(f_{\hat{y}},P)\leq \sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) $$
Sabemos que
$$\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) \leq \underline{S}(f_{\hat{y}},P)\leq \phi(\hat{y})\leq \psi(\hat{y})\leq \overline{S}(f_{\hat{y}},P)\leq \sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1}) $$
Esto pasa para toda $\hat{y}\in[c,d]$ esto prueba que los extremos de estas desigualdades son cota inferior y superior (respectivamente) tanto de $\psi$ como de $\phi$ en el subrectángulo $R_{ij}$ y por lo tanto tendremos que
$$\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})\leq m_{j}(\phi)\leq M_{j}(\phi)\leq \sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})$$
y también
$$\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})\leq m_{j}(\psi)\leq M_{j}(\psi)\leq \sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})$$
Multiplicando por $(t_{j} − t_{j−1}) > 0$ se tiene
$$\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) \leq m_{j}(\phi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq M_{j}(\phi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) $$
y también
$$\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) \leq m_{j}(\psi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq M_{j}(\psi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) $$
Sumando sobre j
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{m}m_{j}(\phi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{m}M_{j}(\phi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) $$
y también
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}m_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{m}m_{j}(\psi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{m}M_{j}(\psi)(t_{j} − t_{j−1}) \leq \sum_{i=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}M_{ij}(f)(t_{i} − t_{i−1})(t_{j} − t_{j−1}) $$
se tiene entonces
$$\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(\phi,P)\leq \overline{S}(\phi,P)\leq \overline{S}(f,P)$$
y también
$$\underline{S}(f,P)\leq \underline{S}(\psi,P)\leq \overline{S}(\psi,P)\leq \overline{S}(f,P)$$
como f es integrable sobre R, entonces las funciones $\psi$ y $\phi$ son integrables sobre $[c, d]$ y además
$$\int_{R}f=\int_{c}^{d}\phi(y)dy=\int_{c}^{d}\psi(y)dy$$
Es decir
$$\int_{R}=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy$$
siguiendo estos pasos pero considerando ahora un $x_{o}$ fijo en [a, b] y haciendo variar la y se tendría
$$\int_{R}=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx$$
Es decir
$$\int_{R}=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy\blacksquare$$
$\boxed{\textcolor{green}{Ejemplo}}$
Si $R=[-1,1]\times \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, calcular
$$\int_{R}(x\sin(y)-ye^{x})dxdy$$
$\boxed{\textcolor{green}{Solución}}$
Integrando primero respecto a x tenemos
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_{-1}^{1}(x\sin(y)-ye^{x})dx\right)dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^{2}}{2}\sin(y)-ye^{x}\Big{|}_{-1}^{1}\right)dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(-ey+\frac{y}{e}\right)dy$$
$$=\left(\frac{1}{e}-e\right)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}y~dy=\left(\frac{1}{e}-e\right)\frac{\pi^{2}}{8}$$
en el otro orden de integración
$$\int_{-1}^{1}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x\sin(y)-ye^{x})dy\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(x\cos(y)-\frac{y^{2}e^{x}}{2}\Big{|}_{0}^{\frac{\pi}{2}}\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(-\frac{\pi^{}e^{x}}{8}+x\right)dx$$
$$=\left(\frac{1}{e}-e\right)\frac{\pi^{2}}{8}$$

Página de prueba

Funciones Continuas

Se dice que una función $\color{blue}{f(x)}$ es continua en un punto $\color{red}{x_{0}}$ de su dominio, cuando

Esto significa, que los puntos «cercanos» a $\color{red}{x_{0}}$ son mandados por $\color{blue}{f}$ cerca de $\color{blue}{f(}$$\color{red}{x_{0}}$$\color{blue}{)}$
Se dice que $\color{blue}{f}$ es continua cuando $\color{blue}{f}$ es continua en cada uno de los puntos de su

8 Junio 2016, Creado con GeoGebra



Conjuntos de Jordan y conjuntos Jordan medibles

Por Ruben Hurtado

$\framebox[5cm][c]{Medida de Jordan}$
$\textcolor{Blue}{Definición}$
Dado $A\subset \mathbb{R}^{n}$ acotado, definimos $\chi_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, la $\textcolor{Red}{función~ característica}$ de A, de la siguiente forma
$$\boxed{\chi_{A}=\left\{\begin{matrix}
1&si&x\in A\\0&si& x\notin A\end{matrix}\right.}$$

Dado $A\subset \mathbb{R}^{n}$ acotado, decimos que A es $\textcolor{Red}{Jordan Medible} si la función característica de A es integrable sobre algún rectángulo R que contenga a A. En este caso decimos que la medida de Jordan de A (que denotaremos J(A)) esta dada por
$$\boxed{J(A)=\int_{R}\chi_{A}}$$
$\textcolor{Green}{Ejemplo:}$
Sean a,b números positivos y $$A=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}| 0\leq x\leq a, 0\leq y \leq \left(\frac{b}{a}x\right)\right\}$$ En este caso A es un triángulo de base a y altura b. Mostraremos que A es Jordan-Medible en $\mathbb{R}^{2}$, y que su medida es $\frac{ab}{2}$
$\textcolor{Green}{Demostración:}$
Tomemos el rectángulo $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|0\leq x\leq a, 0\leq y \leq b\}=[0,a]\times[0,b]$ el cual contiene a A. De acuerdo con nuestra definición tenemos que mostar que la función característica $\chi_{A}$ es integrable sobre R y que $$\boxed{\int_{R}\chi_{A}=\frac{ab}{2}}$$
Sea $\displaystyle{P_{1}=\left\{\frac{ia}{n}~|~i=1,…,n\right\}}$ y $\displaystyle{P_{2}=\left\{\frac{ib}{n}~|~i=1,…,n\right\}}$ por tanto $P=P_{1}\times P_{2}$ es una partición del rectángulo R, donde cada subrectángulo tiene medida $\displaystyle{\frac{ab}{n^{2}}}$. Por lo que en este caso
$$\overline{S}(\chi_{A},P)=\sum_{R_{i}\cap A\neq \emptyset}=2\cdot \frac{ab}{n^{2}}+3\cdot \frac{ab}{n^{2}}+…+n\cdot \frac{ab}{n^{2}}=\frac{ab}{n^{2}}\left(\frac{n(n+1)}{2}-1\right)=\frac{ab}{2}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)$$
$$\underline{S}(\chi_{A},P)=\sum_{R_{i}\subset A\neq \emptyset}=1\cdot \frac{ab}{n^{2}}+2\cdot \frac{ab}{n^{2}}+…+(n-1)\cdot \frac{ab}{n^{2}}=\frac{ab}{n^{2}}\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)=\frac{ab}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)$$
$\therefore$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\overline{S}(\chi_{A},P)=\lim_{n\rightarrow \infty}\underline{S}(\chi_{A},P)=\frac{ab}{2}$$
$$\boxed{J(A)=\int_{R}\chi_{A}=\frac{ab}{2}}$$

$\textcolor{Green}{Ejemplo:}$
Sea A el conjunto $$A=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}~|~ 0\leq x\leq 1, 0\leq y \leq x^{2}\right\}$$ En este caso A la región de base 1 y altura la función $x^{2}$. Mostraremos que A es Jordan-Medible en $\mathbb{R}^{2}$, y que su medida es $\displaystyle{\frac{1}{3}}$
$\textcolor{Green}{Demostración:}$
Tomemos el rectángulo $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|0\leq x\leq 1, 0\leq y \leq 1\}=[0,1]\times[0,1]$ el cual contiene a A. De acuerdo con nuestra definición tenemos que mostar que la función característica $\chi_{A}$ es integrable sobre R y que $$\boxed{\int_{R}\chi_{A}=\frac{1}{3}}$$
Sea $\displaystyle{P_{1}=\left\{\frac{ia}{n}~|~i=1,…,n\right\}}$ y $\displaystyle{P_{2}=\left\{\frac{ib}{n}~|~i=1,…,n\right\}}$ por tanto $P=P_{1}\times P_{2}$ es una partición del rectángulo R, donde cada subrectángulo tiene medida $\displaystyle{\frac{1}{n^{2}}}$. Por lo que en este caso
$$\overline{S}(\chi_{A},P)=\sum_{R_{i}\cap A\neq \emptyset}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n}\cdot \frac{2^{2}}{n^{2}}+…+\frac{1}{n}\cdot \frac{n^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{3}}\left(1+2^{2}+\cdots+n^{2}\right)=\frac{1}{n^{3}}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
$$\underline{S}(\chi_{A},P)=\sum_{R_{i}\subset A\neq \emptyset}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n}\cdot \frac{2^{2}}{n^{2}}+…+\frac{1}{n}\cdot \frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{3}}\left(1+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}\right)=\frac{1}{n^{3}}\left(\frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6}\right)$$
$$=\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)$$
$\therefore$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\overline{S}(\chi_{A},P)=\lim_{n\rightarrow \infty}\underline{S}(\chi_{A},P)=\frac{1}{3}$$
$$\boxed{J(A)=\int_{R}\chi_{A}=\frac{1}{3}}$$

$\textcolor{Blue}{Teorema}$
Sea $A\subset\mathbb{R}^{n}$ acotado. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1.- A es Jordan-Medible
2.-Para cada $\epsilon>0$ existen $R_{1},…,R_{k}$ rectángulos tales que:
(a) $Fr(A)\subset R_{1}\cup\cdots\cup R_{k}$
(b) $\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}m(R_{i})<\epsilon}$
3.-La $Fr(A)$ es Jordan-Medible y $J(Fr(A))=0$
$\textcolor{Blue}{Demostración:}$
$(1)\Rightarrow (2)$
Sea $\epsilon>0$. Como A es Jordan-Medible, sabemos que $\chi_{A}$ es integrable sobre un rectángulo que contiene $\overline{A}$ por lo que existe una partición P de R tal que
$$\overline{S}(\chi_{A},P)-\underline{S}(\chi_{A},P)<\epsilon$$
en este caso
$$\overline{S}(\chi_{A},P)=\sum_{R_{i}\cap A\neq0}m(R_{i})$$
$$\underline{S}(\chi_{A},P)=\sum_{R_{i}\subset A}m(R_{i})$$
Por lo que
$$\overline{S}(\chi_{A},P)-\underline{S}(\chi_{A},P)=\sum_{R_{i}\cap A\neq \emptyset\atop{R_{i}\cap A^{c}\neq \emptyset}}m(R_{i})$$
Para ver que
$$Fr(A)\subset R_{1}\bigcup\cdots\bigcup R_{k}$$
Como $\underline{A}\subset int(R)$ entonces $Fr(A)\subset int(R)$. Sea $x\in Fr(A)$, si $x\in int(R_{i})$ entonces la condición se cumple
Si $x\notin int(R)$ entonces esta en la frontera de más de uno de los subrectángulos por lo que
(1) Si los subrectángulos estan en $int(A)$ entonces $x\in int(A)$
(2) Si los subrectángulos estan en $int(A^{c})$ entonces $x\in ext(A)$
En ambas situaciones $x\notin Fr(A)$ lo cual es una contradicción.
Por lo tanto $x\in R_{i}$ donde $R_{i}$ cumple la condición pedida.
$(2)\Rightarrow (3)$
Para probar que $Fr(A)$ es Jordan-Medible, se tiene que probar que $\chi_{A}$ es integrable sobre el rectángulo R ya que $Fr(a)\subset R$.
Como existen $R_{1},…,R_{k}$ rectángulos tales que:
\begin{align*}
(a)&Fr(A)\subset R_{1}\bigcap\cdots\bigcap R_{k}\\
(b)&\sum_{i=1}^{k}m(R_{i})<\epsilon
\end{align*}
Entonces
$$\overline{S}(\chi_{Fr(A)},P)=\sum_{R_{i}\cap A\neq\emptyset\atop{R_{i}\cap A^{c}\neq\emptyset}}m(R_{i})<\epsilon$$
Y como
$$\underline{S}(\chi_{Fr(A)},P)\leq \overline{S}(\chi_{Fr(A)},P)<\epsilon$$
entonces
$$0\leq \sup\{\underline{S}(\chi_{Fr(A)},P)\}<\epsilon$$
$$0\leq \inf\{\overline{S}(\chi_{Fr(A)},P)\}<\epsilon$$
entonces
$$\int_{R}\chi_{Fr(a)}=\overline{\int}_{R}\chi_{Fr(A)}=\underline{\int}_{R}\chi_{Fr(A)}=0$$
$(3)\Rightarrow (1)$
Como $Fr(A)$ es Jordan-Medible y $J(Fr(A))=0$, existe una partición P tal que $Fr(A)\cap R_{i}\neq\emptyset$ entonces
$$\overline{S}(\chi_{Fr(A)})=\sum_{R_{i}\cap Fr(A)\neq \emptyset}m(R_{i})<\epsilon$$
Por lo tanto
$$\overline{S}(\chi_{Fr(A)})-\underline{S}(\chi_{Fr(A)})=\sum_{R_{i}\cup A\neq\emptyset\atop{R_{i}\cup A^{c}\neq\emptyset}}m(R_{i})\leq \sum_{R_{i}\cup Fr(A)\neq\emptyset}m(R_{i})<\epsilon$$
por lo tanto $\chi_{A}$ es integrable sobre R y en consecuencia A es un conjunto Jordan-Medible.$~~\blacksquare$

$\textcolor{Blue}{Teorema}$
Sea $f:R\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ acotada sobre el rectángulo R. Si el conjunto de discontinuidades de f en R $(D_{f,R})$ es un conjunto Jordan-Medible y de Medida cero entonces f es integrable sobre R.
$\textcolor{Blue}{Demostración}$
Sea $M>0$ tal que $|f(\widehat{x})|\leq M$ para todo $\widehat{x}\in R$.
Sea $\epsilon>0$. Dado que $J(D_{f,R})=0$ sabemos que existe una partición P de R tal que
$$\overline{S}(\chi_{D_{f,R}},P)<\frac{\epsilon}{4M}$$
Si $R_{1},…,R_{l}$ son los subrectángulos de R inducidos por la partición P que tienen la propiedad de que $R_{i}\cap D_{f,R}\neq\emptyset~~(i=1,2,…,l)$, tenemos entonces que
$$\sum_{i=1}^{l}m(R_{i})<\frac{\epsilon}{4M}$$
Si $R_{\ell+1},…,R_{k}$ son el resto de los subrectángulos de R inducidos por P, sabemos que f es continua en cada uno de ellos por tanto f es integrable sobre cada $R_{i}~~(i=\ell+1,…,k)$. Para cada uno de estos subrectángulos podemos encontrar una partición $P^{(i)}$ tal que
$$\overline{S}(f,P^{(i)})-\underline{S}(f,P^{(i)})<\frac{\epsilon}{2(k-\ell)}$$
Para cada $i=\ell+1,…,k$. Cada una de estas particiones $P^{(i)}$ la extendemos a todo el rectángulo R y junto con la partición inicial P, formamos una nueva partición del rectángulo R a la que llamaremos Q.
si los subrectángulos inducidos por Q los denotamos $R^{‘}_{j,i}$, en donde $(i=1,…,k)$ y $(j=1,..k_{i})$, entonces
$$R_{i}=\bigcup_{j=1}^{k_{i}}R’_{j,i}$$
Observe que para $i=\ell+1,…,k$ los $R’_{j,i}$ $(j=1,…,k_{i})$ son subrectángulo de $R_{i}$ inducidos por alguna partición $Q^{(i)}$ que refina a $P^{(i)}$ de modo tal que
\begin{align*}
\overline{S}(f,Q^{(i)})-\underline{S}(f,Q^{i})&\leq \overline{S}(f,P^{(i)})-\underline{S}(f,P^{i})\\
&<\frac{\epsilon}{2(k-\ell)}
\end{align*}
Tenemos que
\begin{align*}
\overline{S}(f,Q)-\underline{S}(f,Q)&=\sum_{i=1}^{k}\left(\sum_{j=1}^{k}(M’_{j,i}-m’_{j,i})\cdot m(R’_{j,i}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{k}\left(\sum_{j=1}^{k}(M’_{j,i}-m’_{j,i})\cdot m(R’_{j,k}\right)+\sum_{i=\ell+1}^{k}\left(\sum_{j=1}^{k}(M’_{j,i}-m’_{j,i})\cdot m(R’_{j,k}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{\ell}\left(\sum_{j=1}^{k_{i}}(M’_{j,i}-m’_{j,i})\cdot m(R’_{j,k}\right)+\sum_{i=\ell+1}^{k}\left(\overline{S}(f,Q^{i})-\underline{S}(f,Q^{i})\right)\\
&\leq \sum_{i=1}^{\ell}\left(\sum_{j=1}^{k_{i}}2M\cdot m(R’_{j,i})\right)+\sum_{i=\ell+1}^{k}\left(\overline{S}(f,P^{i})-\underline{S}(f,P^{i})\right)\\
&<2M\cdot \sum_{i=1}^{\ell}\left(\sum_{j=1}^{k_{i}} m(R’_{j,i})\right)+\sum_{i=\ell+1}^{k}\frac{\epsilon}{2(k-\ell)}\\
&=2M\cdot \sum_{i=1}^{\ell}m(R_{i})+\frac{\epsilon}{2}\\
&<2M\cdot \left(\frac{\epsilon}{4M}\right)+\frac{\epsilon}{2}\\
&=\epsilon
\end{align*}
En donde, como era de esperarse, $M’_{j,i}=\sup\{f(\widehat{x})~|~\widehat{x}\in R’_{j,i}\}$ y $m’_{j,i}=\inf\{f(\widehat{x})~|~\widehat{x}\in R’_{j,i}\}$ para $i=1,…,k$ y $j=1,…,k_{i}$.$~~\blacksquare$


Conjuntos de medida cero y contenido cero

Por Ruben Hurtado

Si $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$. Denotamos por $D_{fA}$ al conjunto de discontinuidades de f en A, es decir
$$D_{fA}=\{x\in A~|~f~es~discontinua~en~x\}$$

$\textcolor{Blue}{Proposición}$: Sea $f:A\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ integrable sobre R. Entonces $D_{fR}$ tiene interior vacio $int~D_{fR}=\emptyset$
$\textcolor{Blue}{Demostración}$: Si $int~D_{fR}\neq\emptyset$ entonces existe $R’$ tal que $R’\subset int(D_{fR})\subset D_{fR}\subset R$
como f es integrable sobre R y $R’\subset R$ entonces f es integrable sobre $R’$ de modo que existe $x_{0}\in int(R’)$ tal que f es continua en $x_{0}$ lo cual contradice el hecho de que f es discontinua en todo $x\in D_{fR}$.$~~\blacksquare$

Medida Cero y Contenido Cero
$\textcolor{Blue}{Definición}$: Un subconjunto $A\subset\mathbb{R}^{n}$ tiene medida cero si para cada $\epsilon>0$ existe un recubrimiento ${U_{1},U_{2},…}$ de A por rectángulos tales que
$$A\subset \bigcup_{i=1}^{\infty}U_{i}~~y~~\sum_{i=1}^{\infty}v(U_{i})<\epsilon$$
Por ejemplo un conjunto formado por un número finito de puntos claramente tiene medida cero

Si A tiene infinitos puntos que pueden ordenarse formando una sucesión $a_{1},a_{2},…$ entonces A tiene medida cero, pues para cada $\epsilon>0$ se puede elegir $U_{i}$ que sea rectángulo cerrado que contenga $a_{i}$ con $\displaystyle{v(U_{i})<\frac{\epsilon}{2^{i}}}$.
Entonces$$\sum_{i=1}^{\infty}v(U_{i})<\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{i}}=\epsilon\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}}=\epsilon\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+…\right)=\frac{\epsilon}{2}\left(1+\frac{1}{2}+…\right)=$$
$$\frac{\epsilon}{2}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right)=\frac{\epsilon}{2}(2)=\epsilon$$

$\textcolor{Green}{Ejemplo}$: $\mathbb{Q}$ es de medida cero.
$\textcolor{Green}{Demostración}$: Como $\mathbb{Q}$ es numerable podemos formar $\displaystyle{\left\{r_{k}\right\}^{\infty}_{1}}$ y dado $\epsilon>0$, sea $$I_{k}=\left(r_{k}-\frac{\epsilon}{2^{k+2}},r_{k}+\frac{\epsilon}{2^{k+2}}\right)$$Por lo que $$\mathbb{Q}\subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}\quad y \quad v(I_{k})=\frac{\epsilon}{2^{k+1}}$$y para la suma de los volumenes se tiene
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{k+1}}=\frac{\epsilon}{4}\left(1+\frac{1}{2}+…\right)=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$
$\therefore$ $\mathbb{Q}$ tiene medida cero.$~~\blacksquare$

$\textcolor{Green}{Ejemplo}$: El conjunto de Cantor
$\textcolor{Green}{Demostración}$: Tenemos que
\begin{align} \mathcal{C}_{0} &=[0,1]\\ \mathcal{C}_{1}&= \left[0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},1\right]\\ \mathcal{C}_{2}&= \left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right]\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \mathcal{C}{n}=\left[0,\frac{1}{3^{n}}\right]\cup \cdot \cdot \cdot \cup \left[1-\frac{1}{3^{n}},1\right]
\end{align}
Tenemos que $\displaystyle{\mathcal{C}=\bigcap_{k=0}^{\infty}\mathcal{C}_{k}}$ (Conjunto de Cantor).
Cada $\mathcal{C}_{k}$ es la unión de $2^{k}$ intervalos de longitud $\displaystyle{\frac{1}{3^{k}}}$ si los llamamos $I{1}, I_{2},…,I_{2^{k}}$ entonces
$$\mathcal{C}\subset \mathcal{C}_{k}=\bigcup{i=1}^{2^{k}}I_{i} \quad y \quad \sum_{i=1}^{2^{k}}vol(I_{i})=\left(\frac{2}{3}\right)^{k}$$
por lo que dado $\epsilon>0$ podemos tomar $k$ tal que $\displaystyle{\left(\frac{2}{3}\right)^{k}<\epsilon}$. Entonces $\mathcal{C}$ es de medida cero.$\blacksquare$

$\textcolor{Green}{Ejemplo}$: En $\mathbb{R}^{2}$ consideramos la recta $y=y_{0}$
$\textcolor{Green}{Demostración}: La semirecta derecha $A={(x,y_{0})| x\in \mathbb{R}}$ la cubrimos con $$R_{k}=\left[k,k+1\right]\times \left[y_{0}-\frac{\epsilon}{2^{k+3}},y_{0}+\frac{\epsilon}{2^{k+3}}\right]$$ con $k\in \mathbb{N}\cup {0}$ y $$v(R_{k})=1\cdot \left(\frac{\epsilon}{2^{k+2}}\right)\Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{k+2}}=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$
Mientras que para la semirecta izquierda consideramos $$R_{k}=\left[-k-1,-k\right]\times \left[y_{0}-\frac{\epsilon}{2^{k+3}},y_{0}+\frac{\epsilon}{2^{k+3}}\right]$$
$\therefore$
$$v(R_{k})=1\cdot \left(\frac{\epsilon}{2^{k+2}}\right)\Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{k+2}}=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$
$\therefore$ la recta entera se puede cubrir con una unión numerable de rectángulos cuya suma es menor a $\epsilon$.$\blacksquare$

$\textcolor{Green}{Ejemplo}$: Los intervalos cerrados $[a,b]\subset \mathbb{R}$ con $a<b$ no tienen medida cero.
$\textcolor{Green}{Demostración}$: Supongamos que $[a,b]\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}U_{n}$ con $U_{n}$ abierto, como $[a,b]$ es compacto existe una subcubierta finita ${U_{n}}$ con $$\sum_{k=1}^{\infty} v(U_{k})<\epsilon \quad pero \quad \sum_{k=1}^{\infty} v(U_{k})\geq b-a$$ lo cual nos dice que la suma de volumenes no se puede hacer tan pequeña como se desee, por lo que el conjunto dado no es de medida cero.$\blacksquare$

$\textcolor{Blue}{Teorema}$: Si $A=A_{1}\bigcup A_{2}\bigcup …$ y cada $A_{i}$
tiene medida cero, entonces A tiene medida cero.
$\textcolor{Blue}{Demostración}$: Sea $\epsilon>0$. Puesto que cada $A_{i}$ tiene medida cero
$\exists$ un recubrimiento ${U_{i1},U_{i2},…}$ de $A_{i}$ por
rectángulos cerrados tales que la colección de todos los $U_{ij}$
cubren a A y formamos la sucesión numerable $$U_{11},U_{1,2},…$$
$\therefore$
$$\sum_{j=1}^{\infty}v(U_{ij})<\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{i}}<\epsilon~\blacksquare$$

$\textcolor{Blue}{Definición}$: Un subconjunto A de $\mathbb{R}^{n}$ tiene contenido cero si para cada $\epsilon>0$ existe un recubrimiento finito ${U_{1},U_{2},…,U_{n}}$ de A por rectángulos tales que $$\sum_{i=1}^{n}v(U_{i})<\epsilon$$

$\textcolor{Blue}{Teorema}$: Si A es compacto y tiene medida cero, entonces A
tiene contenido cero.
$\textcolor{Blue}{Demostración}$: Sea $\epsilon>0$. Puesto que $A$ tiene medida cero,$\exists$ un recubrimiento ${U_{1},U_{2},…}$ de $A$ por rectángulos tales que $\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}v(U_{i})<\epsilon}$. Dado que A es compacto, un
número finito de ${U_{1},U_{2},…,U_{n}}$ recubren a A y ademas
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}v(U_{i})<\epsilon}~~\blacksquare$

$\textcolor{Blue}{Teorema}$: Sea $\phi:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua. Entonces la gráfica de $\phi$ tiene contenido cero.
$\textcolor{Blue}{Demostración}$: Siendo $\phi$ continua en el compacto $[a,b]$, es
uniformemente continua en dicho intervalo. Es decir dado $\epsilon>0\quad\exists\quad\delta>0$ tal que para $x,y\in[a,b]$ si
$|x-y|<\delta\quad\Rightarrow\quad|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$.
Sea $n\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{b-a}{n}<\delta$ y consideremos
la partición de $[a,b]$ en n partes iguales
$$a=x_{0}<x_{1}<…<x_{n}=b$$ con $x_{i}=a+i\frac{b-a}{n}$ se tiene
entonces que para
$x,y\in[x_{i-1},x_{i}]\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$
$\therefore$
$$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})\frac{\epsilon}{b-a}=\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=\frac{\epsilon}{b-a}(b-a)=\epsilon~~\blacksquare$$

$\textcolor{Blue}{Teorema}$: Sea R un rectángulo cerrado y $f:R\rightarrow
\mathbb{R}$ una función acotada. Sea $B=\{x\in\mathbb{R}|f\quad
no\quad es \quad continua\quad en\quad x\}$ entonces si B es un
conjunto de contenido cero f es integrable.
$\textcolor{Blue}{Demostración}$: Vamos a dividir los subrectángulos $R_{ij}$ en
$I)R_{ij}\bigcap B\neq\emptyset$ y $II)R_{ij}\bigcap B=\emptyset$
de manera que para los rectángulos I se tiene que B es de contenido cero $\therefore$
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}v(R_{ij})<\epsilon$$ Mientras que para
los rectángulos II se tiene que f es continua y por tanto
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}-m_{ij}A(R_{ij})<\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{\epsilon}{2A(R)}A(R_{ij})$$
$\therefore$ Dada la partición P de R se tiene que
$$\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}-m_{ij}A(R_{ij})+\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}v(R_{ij})<\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{\epsilon}{2A(R)}A(R_{ij})+\frac{\epsilon}{2}$$
$$=\frac{\epsilon}{2A(R)}A(R_{ij})\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A(R_{ij})+\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2A(R)}A(R)+\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon~\blacksquare$$

$\textcolor{Blue}{Teorema}$: Sea f una función definida en un rectángulo R. Si el conjunto S de puntos donde f es discontinua tiene contenido cero, entonces f es integrable sobre R.

$\textcolor{Blue}{Demostración}$: Sea $\epsilon>0$ dado y sea $\textcolor{Red}{R_{1},R_{2},…,R_{k}}$ el conjunto de rectángulos que cubren a S

tal que
$$\sum_{i=1}^{k}A(R_{i})<\epsilon$$
si se colocan sobre cada $\textcolor{Red}{R_{j}}$ un rectángulo $\textcolor{Green}{R’_{j}}$ con el mismo centro pero del doble de dimensiones

se tiene que
$$\sum_{i=1}^{k}A(\textcolor{Green}{R’{i}})=\sum{i=1}^{k}4A(\textcolor{Red}{R_{i}})<4\epsilon$$
Además, entre los rectángulos $\textcolor{Red}{R_{j}}$ habrá un lado más corto. Denotemos su longitud por $2r$

si tomo el conjunto $R’$ el resto de R después que se han eliminado los interiores de los $\textcolor{Red}{R_{j}}$.

Se tiene que sobre $R’$ f es continua y por tanto uniformemente continua por lo tanto
$$|f(p)-f(q)|<\epsilon~si~|p-q|<\delta$$para cualesquiera p,q en $R’$\Sea $P$ una partición de R tal que $|P|<\delta<r$

Vamos a estimar
$$\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)$$
Para esto dividimos los rectángulos de la partición P en dos conjuntos
$$\textcolor{Green}{R'{j}}\bigcap \textcolor{Red}{R{j}}\neq\emptyset~~~~\textcolor{Green}{R'{j}}\bigcap \textcolor{Red}{R{j}}=\emptyset$$
se tiene entonces que
$$\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(M_{ij}-m_{ij})A(R_{ij})=$$
$$\left(\sum\sum(M_{ij}-m_{ij})A(R_{ij})\right){\textcolor{Green}{R'{j}}\bigcap \textcolor{Red}{R_{j}}\neq\emptyset}+\left(\sum\sum(M_{ij}-m_{ij})A(R_{ij})\right){\textcolor{Green}{R'{j}}\bigcap \textcolor{Red}{R_{j}}=\emptyset}<4M\epsilon+\epsilon A=\epsilon(4M+A)$$
donde $M=\sup{f(x)}$ sobre R.$~\blacksquare$