(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando pensamos en vectores perpendiculares o en formar ángulos rectos, solemos imaginar figuras en el plano o en el espacio. Sin embargo, las matemáticas nos permiten llevar esa misma idea mucho más lejos: con la herramienta del producto interno, podemos hablar de ortogonalidad entre vectores en cualquier espacio vectorial, incluso en dimensiones altas o en contextos muy abstractos.

A continuación veremos una generalización del producto punto que nos permitirá más adelante definir el concepto de producto interno, ortogonalidad para cualquier espacio vectorial así como la norma de un vector. Estos conceptos no solo generalizan ideas geométricas conocidas, sino que abren la puerta a técnicas que simplifican cálculos, permiten aproximaciones óptimas y profundizan nuestro entendimiento de los espacios vectoriales.

PRODUCTO ESCALAR

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Un producto escalar en $V$ es una función $\langle \;\; ,\; \rangle : V \times V \longrightarrow K$ tal que:
1) $\forall u,v \in V ( \langle u , v \rangle = \langle v , u \rangle )$
2) $\forall u,v,w \in V ( \langle u+v , w \rangle = \langle u , w \rangle+ \langle v , w \rangle )$
3) $\forall \lambda \in K , \forall u,v \in V ( \langle \lambda u , v \rangle = \lambda \langle u , v \rangle )$

Observaciones: 1) $\forall u,v,w \in V ( \langle w , u + v \rangle = \langle w , u \rangle + \langle w , v \rangle ).$
2) $\forall \lambda \in K , \forall u,v \in V ( \langle u , \lambda v \rangle = \lambda \langle u , v \rangle ).$
3) $\forall v \in V$ $\langle \theta_V , v \rangle=0_K$. Esto se debe a que $\langle \theta_V , v \rangle$ $= \langle 0_K \cdot \theta_V , v \rangle= 0_K$.

Ejemplos

• Sean $K = \mathbb{R}$ y $V = \mathbb{R}^n$.
  Si para cualesquiera $u = ( x_1 … , x_n ) , v = ( y_1 , … , y_n ) \in \mathbb{R}^n$ definimos $\langle u , v \rangle = u \cdot v$ $= x_1 y_1 + … + x_n y_n$ tenemos un producto escalar en $\mathbb{R}^n.$

• Sean $K = \mathbb{R}$ y $V = C ( [0,1] ) = \{ f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} | f$ es continua$\}$.
  Si para cualesquiera $f,g \in C ( [0,1] )$ definimos $\langle f,g \rangle = \int_{0}^{1} f(t) g(t) \,dt$ tenemos un producto escalar en $C ( [0,1] ).$ Esto se debe a las propiedades de la integral.

VECTOR Y SUBCONJUNTO ORTOGONAL

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial y $\langle\;\; ,\; \rangle$ un producto escalar en $V$. Dados $u,v \in V$ decimos que $u$ es ortogonal a $v$ si $\langle u,v \rangle = 0$ y lo denotamos por $u \perp v$.
Dado $S$ un subconjunto de $V$, el ortogonal a $S$ es $S^{\perp} = \{ w \in V | \langle w,v \rangle = 0$ $\forall v \in S \}$.

Ejemplos

• Sean $K = \mathbb{R}$, $V = \mathbb{R}^3$ y $\langle\;\; ,\; \rangle$ el producto punto usual.
  Si $v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{ \theta \}$, entonces $\{ v \}^{\perp}$ es el plano con vector normal $v$.
  Si $u,w \in \mathbb{R}^3\setminus \{ \theta \}$ no son colineales, entonces $\{ u,w \}^{\perp}$ es la recta que pasa por el origen ortogonal al plano determinado por $u$ y $w$.
  $\{ (0,0,0) \}^{\perp} = \mathbb{R}^3.$
  ${\mathbb{R}^3}^{\perp} = \{ (0,0,0) \}.$

Proposición (4.1.1.): Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial, $\langle\;\; ,\; \rangle$ producto escalar en $V$ y $S$ un subconjunto de $V$. Se cumple que:

a) $S^{\perp}$ es un subespacio de $V.$
b) $S^{\perp} = \langle S \rangle^{\perp}.$

Demostración: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial, $\langle\;\; ,\; \rangle$ producto escalar en $V$ y $S$ un subconjunto de $V$.

a) Veamos que $\theta_V \in S^{\perp}$ y que $S^{\perp}$ es cerrado bajo suma y bajo producto por escalar.

Por la observación 3) sabemos que para todo $v \in V$ $\langle \theta_V , v \rangle=0_K.$ Como se cumple para toda $v \in V$, en particular también se cumple que para toda $s \in S$ $\langle \theta_V , s \rangle = 0_K.$
Por lo tanto, $\theta_V \in S^{\perp}.$

Sean $\lambda \in K$, $u,v \in S^{\perp}$ y $s \in S.$ Por las propiedades del producto escalar
$\langle \lambda u + v , s \rangle$ $= \langle \lambda u , s \rangle + \langle v , s \rangle$ $= \lambda \langle u , s \rangle + \langle v , s \rangle$, y dado que $u,v \in S^{\perp}$ y $s \in S$ sabemos que $ \langle u , s \rangle = \langle v , s \rangle =0_K$. Entonces
$\langle \lambda u + v , s \rangle$ $= \lambda 0_K + 0_K$ $= 0_K + 0_K$ $= 0_K.$
Así, para toda $\lambda \in K$, $u,v \in S^{\perp}$ y $s \in S$ se cumple que $\langle \lambda u + v , s \rangle = 0_K.$
Por lo tanto, $\lambda u + v \in S^{\perp}.$

$\therefore S^{\perp} \leqslant V.$

b) Veamos la doble contención entre los conjuntos $S^{\perp}$ y $\langle S \rangle^{\perp}$

i) Sea $v \in S^{\perp}$
Veamos que $v$ es ortogonal a todo vector en $\langle S \rangle$. Consideremos $u \in \langle S \rangle$, entonces $u = \lambda_1 s_1 + … + \lambda_n s_n$ con $n \in \mathbb{N}^+$, $s_1, … , s_n \in S$, $\lambda_1, … , \lambda_n \in K.$

Tenemos que $\langle v,u \rangle$ $= \langle v , \lambda_1 s_1 + … + \lambda_n s_n \rangle$ $= \lambda_1 \langle v , s_1 \rangle + … + \lambda_n \langle v , s_n \rangle$. Dado que $v \in S^{\perp}$ y $s_1, … , s_n \in S$, sabemos que $\langle v , s_i \rangle=0_K$ para toda $i\in\{1,2,\dots , n\}$. Entonces
$\langle v,u \rangle$ $= \lambda_1 0_K + … + \lambda_n 0_K$ $= 0_K$.

Así, $\langle v,u \rangle = 0_K$.

Por lo tanto, $v \in \langle S \rangle^{\perp}$.

ii) Sea $v \in \langle S \rangle^{\perp}.$
Veamos que $v$ es ortogonal a todo vector en $S.$ Consideremos $s \in S$. Como $s \in S$ y $S\subseteq \langle S \rangle$, entonces $s \in \langle S \rangle$. Además, dado que $v \in \langle S \rangle^{\perp}$ sabemos que $\langle v,u \rangle$ para todo $u \in \langle S \rangle$. En particular, como $s \in \langle S \rangle$, se tiene que $\langle v,s \rangle = 0_K.$

Por tanto, $v \in S^{\perp}.$

$\therefore S^{\perp} = \langle S \rangle^{\perp}$.

Nomenclatura: A $S^{\perp}$ se llama el subespacio ortogonal a $S$.

Ejemplos

• Sea $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m \times n} (K)$ cuyos renglones son $A_1 , … , A_m\in K^m$.
  Sea $X \in K^n$.
  $X$ es una solución del sistema homogéneo dado por $A$ $\iff X \in \{ A_1 , … , A_m \}^{\perp} = \langle A_1 , … , A_m \rangle^{\perp}$

Justificación. $X$ es una solución del sistema homogéneo dado por $A$ $\iff AX = 0$

$\iff \begin{equation*}
\begin{cases}
a_{11} x_1 + … + a_{1n} x_n =0\\
\phantom{ddd}\vdots\\
a_{m1} x_1 + … + a_{mn} x_n=0
\end{cases}
\end{equation*}$

$\iff \begin{equation*}
\begin{cases}
A_1 \cdot X =0\\
\phantom{ddd}\vdots\\
A_m \cdot X=0
\end{cases}
\end{equation*}$

$\iff X \in \{ A_1 , … , A_m \}^{\perp} = \langle A_1 , … , A_m \rangle^{\perp}$

Por ejemplo, si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ \pi & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R})$, el conjunto de soluciones del sistema $AX = 0$ o bien de $\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 -4x_3 =0\\
\pi x_1 +3x_2 -\frac{1}{3}x_3=0
\end{cases}
\end{equation*}$ es $\langle (1,2,-4) , (\pi , 0 , -\frac{1}{3}) \rangle^{\perp},$ es decir la recta por el origen ortogonal al plano determinado por $(1,2,-4)$ y $(\pi , 0 , -\frac{1}{3}).$

Tarea Moral

1. Considera el espacio vectorial real $V = \mathbb{R}^2$ con el producto escalar dado por el producto punto usual, es decir, para todos $u,v\in V$ $\langle u , v \rangle = u \cdot v.$
   Sean $A = \{(1,0)\}$ y $B = \{(1,1)\}.$
   ¿Se cumple que $(A \cup B)^{\perp } \subseteq A^{\perp} \cup B^{\perp}$?
   ¿Se cumple que $A^{\perp} \cup B^{\perp} \subseteq (A \cup B)^{\perp }$?
2. Considera el espacio vectorial real $V = \mathcal{C}[0,1]$ con el producto escalar definido como $\langle f,g \rangle = \int_{0}^{1} f(t) g(t) \,dt$ para cualesquiera $f,g \in C ( [0,1] )$.
   Sean $f,g \in V$ definidas como: para toda $x \in [0,1]$ $f(x) = 1$ y $g(x) = 2.$
   Sean $A = \{f\}$ y $B = \{g\}.$
   ¿Se cumple que $(A \cup B)^{\perp } \subseteq A^{\perp} \cup B^{\perp}$?
   ¿Se cumple que $A^{\perp} \cup B^{\perp} \subseteq (A \cup B)^{\perp }$?
3. Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Sean $A, B \subseteq V$ y $\langle\;\; ,\; \rangle$ un producto escalar en $V.$
   ¿Se cumple en general que $(A \cup B)^{\perp } \subseteq A^{\perp} \cup B^{\perp}$?
   ¿Se cumple en general que $A^{\perp} \cup B^{\perp} \subseteq (A \cup B)^{\perp }$?

Más adelante…

Más allá de la definición, podemos pedir propiedades extras al producto escalar (de acuerdo a diferentes necesidades) y dependiendo de esas propiedades solicitadas, recibe un nombre especial, por ejemplo: «no degenerado», «degenerado» y «definido positivo.»

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 3.8. MATRICES CONJUGADAS: matrices de cambio de base
• Siguiente entrada del curso: 4.2. PRODUCTO ESCALAR NO DEGENERADO, DEGENERADO Y DEFINIDO POSITIVO: definiciones y ejemplos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

El resultado que veremos nos dice que si conocemos la matriz asociada a una transformación respecto a ciertas bases y queremos saber cómo se ve esa transformación con respecto a otras bases, basta con conjugarla usando las matrices de cambio de base correspondientes.

Recordemos que las matrices no son la transformación, sino una forma de describirla que depende de las bases elegidas.

Teorema (3.8.1.): Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente. Sean $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $\Gamma$ y $\Gamma’$ bases ordenadas de $W$. Sea $T \in \mathcal{L}(V,W)$.
Se cumple que existen $P \in \mathcal{M}_{m \times m}(K)$ y $Q \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertibles tales que $[ T ]_{B’}^{\Gamma’} = P^{-1} [ T ]_{B}^{\Gamma} Q.$

Demostración:

Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente, $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $\Gamma$ y $\Gamma’$ bases ordenadas de $W$. Consideremos $T \in \mathcal{L}(V,W)$. Usando la proposición (3.6.1) de la entrada 3.6 tenemos que:

$[ id_W ]_{\Gamma}^{\Gamma’} [ T ]_{B}^{\Gamma} [ id_V]_{B’}^{B}$$=[ id_W \circ T \circ id_V]_{B’}^{\Gamma’}$$=[ T]_{B’}^{\Gamma’}$

Si definimos $P = [ id_V ]_{\Gamma’}^{\Gamma}$ y $Q = [ id_V ]_{B’}^{B}$, entonces por el corolario (3.6.2) de la entrada 3.6 notamos que $P \in \mathcal{M}_{m \times m}(K)$ y $Q \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ son invertibles y dado que $P^{-1} = [ id_V ]_{\Gamma}^{\Gamma’}$, tenemos: $P^{-1} [ T ]_{B}^{\Gamma} Q = [ T ]_{B’}^{\Gamma’}.$

Corolario (3.8.2.): Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $T \in \mathcal{L}(V,V)$. Se cumple que:

Existe $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible tal que $[ T ]_{B’}^{B’} = P^{-1} [ T ]_{B}^{B} P.$

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $T \in \mathcal{L}(V,V)$.

Consideremos la matriz $P = [ id_V ]_{B’}^{B} \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$.
Entonces por el corolario (3.6.2) de la entrada 3.6 $P$ es invertible con $P^{-1} = [ id_V ]_{B}^{B’}$. Además, usando la proposición (3.6.1) de la entrada 3.6 tenemos que

$P^{-1} [ T ]_{B}^{B} P$$=[ id_V ]_{B}^{B’} [ T ]_{B}^{B} [ id_V ]_{B’}^{B}$$=[id_V \circ T \circ id_V ]_{B’}^{B’}$$=[ T ]_{B’}^{B’}.$

Definición: Sean $A, C \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$. Si existe $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible tal que $A = P^{-1} C P,$ decimos que $A$ y $C$ son matrices conjugadas.

En el corolario anterior, las matrices $[ T ]_{B’}^{B’}$ y $[ T ]_{B}^{B}$ son matrices conjugadas.

Ejemplo

• Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la reflexión con respecto a $\mathcal{L} = \langle (2,1) \rangle$. Sean $B’ = (e_1 , e_2)$ y $B = ((2,1) , (-1,2))$.
  $[T ]_{B’}^{B’} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$

Justificación. $[ T ]_{B’}^{B’}$ $= [ id_{\mathbb{R}^2} ]_{B}^{B’} [ T ]_{B}^{B} [ id_{\mathbb{R}^2}]_{B’}^{B}$ $= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ $=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ $=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$

Veamos ahora que todo par de matrices conjugadas son las matrices asociadas a una misma transformación lineal, con respecto a ciertas bases:

Teorema (3.8.3.): Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$.
Si $A, C \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ son tales que $A = P^{-1} C P$ para alguna $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible, entonces se cumple que:

Existen $T \in \mathcal{L}(V,V)$ y $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ tales que $[ T ]_{B}^{B} = A$ y $[ T ]_{B’}^{B’} = C.$

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $A, C \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$. Supongamos que $A = P^{-1} C P$ para alguna $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible.

Buscamos $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ con $P = [ id_V ]_{B}^{B’}$.

Consideremos $B’ = (w_1 , … , w_n)$ cualquier base ordenada de $V$ y $B = (v_1 , … , v_n)$ con $v_j = p_{1j}w_1 + … + p_{nj}w_n.$

Veamos que $B$ es también una base ordenada de $V$:

1) Veamos que es l.i.
Sean $\lambda_1 , … , \lambda_n \in K$ tales que $\theta_V = \lambda_1 v_1 + … + \lambda_n v_n$.

$\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= [ \theta_V ]_{B’}$ $= [ \lambda_1 v_1 + … + \lambda_n v_n ]_{B’}$ $= \lambda_1 [ v_1 ]_{B’} + .. + \lambda_n [ v_n ]_{B’}$ $= \lambda_1 \begin{pmatrix} p_{11} \\ \vdots \\ p_{n1} \end{pmatrix} + … + \lambda_n \begin{pmatrix} p_{1n} \\ \vdots \\ p_{nn} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \lambda_1 p_{11} + … + \lambda_n p_{1n} \\ \vdots \\ \lambda_1 p_{n1} + … + \lambda_n p_{nn} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} p_{11} & … & p_{1n} \\ \vdots \\ p_{n1} & … & p_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$ $= P \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$

Entonces $\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= P \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$

y en consecuencia $P^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}.$

Así, $\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$

$\therefore \lambda_1 = … \lambda_n = 0$

2) $| B | = n = \dim V$.

Dado que la lista $B=(v_1 , … , v_n)$ es linealmente independiente, en particular no tiene repeticiones, es decir $v_i\neq v_j$ para todo $i\neq j$. Entonces, $| B | = n = \dim V$.

Por 1) y 2), $B$ es una base ordenada de $V$.

Dado que definimos $P = [ id_V ]_{B}^{B’}$, entonces $P^{-1} = [ id_V ]_{B’}^{B}$.

Sabemos que existe $T : V \longrightarrow V$ lineal con $C = [ T]_{B’}^{B’}$ (ya que por el teorema (3.5.2) de la entrada 3.5 la transformación $\psi : \mathcal{L}(V,V) \longrightarrow \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ con $\psi (S) = [S ]_{B’}^{B’}$ para toda $S\in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ es un isomorfismo). Veamos ahora que $A = [ T ]_{B}^{B}$. Como $A = P^{-1} C P$, usando la la proposición (3.6.1) de la entrada 3.6 tenemos que

$A = P^{-1} C P$ $= [ id_V ]_{B’}^{B} [ T ]_{B’}^{B’}[id_V ]_{B}^{B’}$ $= [ id_V \circ T \circ id_V ]_{B}^{B} = [ T ]_{B}^{B}$.

Proposición (3.8.4.): Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente y $T \in \mathcal{L}(V,W)$.
Entonces existen $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ tales que:

$[ T ]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} I_r & 0_{r \times (n-r)} \\ 0_{(m-r) \times r} & 0_{(m-r) \times (n-r)} \end{pmatrix}$ con $r = \dim Im T$

Demostración: Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente y $T \in \mathcal{L}(V,W)$. Sea $s =\dim Núc T$ y $\{ u_1 , … , u_s \}$ una base de $Núc T$.
Completamos a una base ordenada de $V$: $B = (v_1 , … , v_r , u_1 , … , u_s)$ con $n = r+s$.

Por el Teorema de la dimensión, teorema (2.3.1.) de la entrada 2.3:
$\dim Im T$ $= \dim V – \dim Núc T$ $= n-s = r.$
Por la demostración de ese teorema $( T(v_1) , … , T(v_r) )$ es una base ordenada de $Im T$.
Completamos a una base ordenada de $W$: $\Gamma = ( T(v_1) , … , T(v_r) , w_1 , … , w_t ).$

Para $j \in \{ 1 , … , r \}$: $[ T(v_j) ]_{\Gamma}= e_j$.
Para $j \in \{ 1 , … , s \}$: $[ T(u_j) ]_{\Gamma} =[ \theta_W ] = 0_{m \times 1}.$

Entonces, $[ T ]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} I_r & 0_{r \times (n-r)} \\ 0_{(m-r) \times r} & 0_{(m-r) \times (n-r)} \end{pmatrix}$ con $r = \dim Im T$.

Tarea Moral

1. Sean $V=W= \mathbb{R}^2$ y $T \in \mathcal{L}(V,W).$
   Considera $B = ( (1,1) , (1,-1) )$ base ordenada de $\mathbb{R}^2$ y $\mathcal{C}$ la base canónica de $\mathbb{R}^2.$
   Sea $A = [ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
   Encuentra $[ T ]_{B}^{B}$
   Sugerencia: $[ T ]_{B}^{B} = P^{-1}AP$ donde $P$ es la matriz de cambio de base de $B$ a $\mathcal{C}$
2. Considera las siguientes matrices:
   $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$
   $P = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
   $A = P^{-1}CP.$
   Sea $B’ = ( (1,1) , (1,2) )$ una base ordenada de $\mathbb{R}^2.$
   Encuentra $T \in \mathcal{L} ( \mathbb{R}^2 , \mathbb{R}^2)$ (dando de manera explicita su regla de correspondencia) y $B$ (otra base ordenada de $\mathbb{R}^2$) tales que $A = [ T ]_{B}^{B}$ y $C = [ T ]_{B’}^{B’}.$
   

Más adelante…

Abriremos la puerta a una nueva manera de “medir” y “orientar” los vectores, no solo en el plano o el espacio, sino en cualquier espacio vectorial. Definiremos el concepto de producto interno y veremos cómo éste nos permite hablar de «ángulos y ortogonalidad» en contextos abstractos, y cómo eso da lugar al subespacio ortogonal, una herramienta clave para simplificar problemas y descubrir estructuras ocultas.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 3.7. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE: definición y ejemplos
• Siguiente entrada del curso: 4.1. PRODUCTO INTERNO, VECTORES ORTOGONALES Y SUBESPACIO ORTOGONAL: definiciones y ejemplos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cambiar de base significa que usar otro sistema de referencia para describir a los mismos vectores.

Podemos pensar a la matriz de cambio de base es como una tabla que te indica cómo traducir las coordenadas de un vector de un sistema al otro. Responde entonces al siguiente enunciado: “Si en esta base el vector se ve así, ¿cómo se ve en la otra?”

La matriz de cambio de base es la herramienta que nos permite traducir coordenadas de un sistema de referencia a otro, sin cambiar el vector en sí. Es como cambiar de idioma sin cambiar el mensaje.

Es muy útil en matemáticas es tener distintas formas de hacer o representar algo… o mejor dicho, es muy útil saber interpretar, analizar y transformar las diferentes maneras de hacer o representar algo.

MATRIZ DE CAMBIO DE BASE

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vetorial de dimensión finita $n$. Sean $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$. La matriz de cambio de base de $B$ a $\Gamma$ es $[id_V]_{B}^{\Gamma} \in \mathcal{M}_{n \times n}(K).$

Obs. 1: $[ id_V ]_{B}^{\Gamma}$ es invertible pues $id_V$ es una transformación lineal invertible.

Obs. 2: $\forall v \in V \left( [id_V ]_{B}^{\Gamma}[ v ]_{B}=[id_V(v) ]_{\Gamma} =[ v]_{\Gamma} \right).$

Ejemplos

• Sean $\mathcal{C} = (e_1 , e_2)$ y $\Gamma = ( (2,1) , (-1,2) )$.
  $[id_{\mathbb{R}^2} ]_{\mathcal{C}}^{\Gamma} = \left([ id_{\mathbb{R}^2} ]_{\Gamma}^{\mathcal{C}} \right)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

Además, si consideramos $T: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la reflexión con respecto a la recta $\mathcal{L} = \langle (2,1) \rangle$ se tiene que $T(x,y) = \left( \frac{3x+4y}{5} , \frac{4x-3y}{5} \right)$.

Justificación. Calculemos primero $[id_{\mathbb{R}^2} ]_{\Gamma}^{\mathcal{C}}$ y $[ id_{\mathbb{R}^2} ]_{\mathcal{C}}^{\Gamma}$ por separado. La primera igualdad se cumple por el corolario (3.6.2.) de la entrada 3.6, pero calcular ambas igualdades por separado, nos permite ver la sencillez de calcular $[ id_{\mathbb{R}^2} ]_{\Gamma}^{\mathcal{C}}$ y la dificultad de $[ id_{\mathbb{R}^2} ]_{\mathcal{C}}^{\Gamma}$

Como:
$id_{\mathbb{R}^2} (2,1) = (2,1) = 2e_1 + 1e_2$ y
$id_{\mathbb{R}^2} (-1,2) = (-1,2) = -1e_1 + 2e_2$,
tenemos que:
$[ id_{\mathbb{R}^2} ]_{\Gamma}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

Para obtener $[ id_{\mathbb{R}^2} ]_{\mathcal{C}}^{\Gamma}$ es necesario resolver un par de sistemas de ecuaciones:

$id_{\mathbb{R}^2} (e_1) = e_1 = \lambda_1 (2,1) + \mu_1 (-1,2) = (2 \lambda_1 – \mu_1 , \lambda_1 + 2 \mu_1)$.
De donde $2 \lambda_1 – \mu_1 = 1$ y $\lambda_1 + 2 \mu_1 = 0$.
Para lo cual $\lambda_1 = \frac{2}{5}$ y $\mu_1 = – \frac{1}{5}$.

$id_{\mathbb{R}^2} (e_2) = e_2 = \lambda_2 (2,1) + \mu_2 (-1,2) = (2 \lambda_2 – \mu_2 , \lambda_2 + 2 \mu_2)$.
De donde $2 \lambda_2 – \mu_2 = 0$ y $\lambda_2 + 2 \mu_2 = 1$.
Para lo cual $\lambda_2 = \frac{1}{5}$ y $\mu_2 = \frac{2}{5}$.

Así, tenemos que:
$[ id_{\mathbb{R}^2}]_{\mathcal{C}}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ – \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

$[ id_{\mathbb{R}^2}]_{\mathcal{C}}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ – \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$ $=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$ $=\left( [id_{\mathbb{R}^2} ]_{\Gamma}^{\mathcal{C}} \right)^{-1}$.

Concluyendo que $[ (x,y) ]_{\Gamma} = [ id_{\mathbb{R}^2} ]_{\mathcal{C}}^{\Gamma}[(x,y)]_{\mathcal{C}}$ $=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2x + y \\ -x+2y \end{pmatrix}$.

Si ahora tomamos $T: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la reflexión con respecto a la recta $\mathcal{L} = \langle (2,1) \rangle$.

$T(2,1) = (2,1) = 1(2,1) + 0(-1,2)$
$T(-1,2) = -(-1,2) = 0(2,1) – 1(-1,2)$
$[T ]_{\Gamma}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

De forma que:
$[ T(x,y) ]_{\Gamma} = [T ]_{\Gamma}^{\Gamma}[ (x,y) ]_{\Gamma}$ $= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2x+y \\ -x+2y \end{pmatrix}$ $= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2x+y \\ x-2y \end{pmatrix}$.
$T(x,y) = \frac{2x+y}{5} (2,1) + \frac{x-2y}{5} (-1,2)$ $= \left( \frac{4x+2y}{5} + \frac{-x+2y}{5} , \frac{2x+y}{5} + \frac{2x-4y}{5} \right)$ $= \left( \frac{3x+4y}{5} , \frac{4x-3y}{5} \right)$.

• Sean $V = \{ a+bx | a,b \in \mathbb{R} \}$ y $W = \{ c+dx+ex^2 | c,d,e \in \mathbb{R} \}$
  Sea $T \in \mathcal{L} (V,W)$ tal que $T(3x-4) = 5x^2 + x + 1$ y $T(2x-3) = x^2 – x + 2$.
  $T(a + bx) = (11b + 7a)x^2 + (7b + 5a)x + (-5b-4a).$

Justificación. Sean $\mathcal{C}_1 = (x,1)$, $B = (3x-4 , 2x-3)$ y $\mathcal{C}_2 = (x^2,x ,1)$.

$[ T ]_{B}^{\mathcal{C}_2} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1& -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
$[id_V ]_{B}^{\mathcal{C}_1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$
$[ id_V]_{\mathcal{C}_1}^{B} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$[ T ]_{\mathcal{C}_1}^{\mathcal{C}_2} =[ T]_{B}^{\mathcal{C}_2}[ id_V ]_{\mathcal{C}_1}^{B}$ $= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 7 \\ 7 & 5 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$

$[ T (a+bx) ]_{\mathcal{C}_2} = [ T ]_{\mathcal{C}_1}^{\mathcal{C}_2} [ a+bx ]_{\mathcal{C}_1}$ $= \begin{pmatrix} 11 & 7 \\ 7 & 5 \\ -5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11b+7a \\ 7b+5a \\ -5b-4a \end{pmatrix}.$

Así, $T(a+bx) = (11b+7a)x^2 + (7b+5a)x + (-5b-4a)$.

Tarea Moral

1. Sean $B = ( (1,1) , (1,-1) )$ y $\Gamma = ( (2,1) , (-1,1) )$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^2.$
   Calcula la matriz de cambio de base de $B$ a $\Gamma$.
   Usa esa matriz para encontrar las coordenadas en $\Gamma$ del vector $v = (3,1)$ sabiendo que $[ v ]_{B} = (2,-1).$
2. Sean $V = P_1[ \mathbb{Q} ]$ y $W = \mathbb{Q}^2.$
   Considera la base ordenada de $V$ $B = ( 1 + x , 1 – x )$ y la base ordenada de $W$ $\Gamma = ( (1,1) , (2,0) ).$
   Sea $T: P_1[ \mathbb{Q} ]\rightarrow \mathbb{Q}^2$ la transformación lineal tal que $T(1+x) = (5 , 2)$ y $T(1-x) = (3 , 2)$. Determina la regla de correspondencia de $T$ indicando cómo es $T(a+bx)$ para toda $a+bx \in P_1[ \mathbb{Q} ].$

Más adelante…

Hasta el momento hemos abordamos la matriz asociada a una transformación lineal cuando tenemos dos bases (una para $V$ y otra para $W$), por otro lado hemos construido la matriz de cambio de coordenadas para cambiar el modo de expresar a un vector, teniendo dos bases distintas para un mismo espacio. Ahora contaremos con una transformación lineal entre dos espacios y cuatro bases (dos para cada espacio vectorial). Así, relacionaremos las matrices asociadas a una misma transformación, con respecto a bases distintas en el dominio y condominio, y observaremos que esta relación está dada por solo una multiplicación de matrices.

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal I
• Entrada anterior del curso: 3.6. MATRIZ DE UNA COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES: invertibles, ejemplos y propiedades
• Siguiente entrada del curso: 3.8. MATRICES CONJUGADAS: matrices de cambio de base

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

¿Sabías que cuando compones dos transformaciones lineales puedes predecir exactamente el resultado usando solo sus matrices? Podemos entender cómo es la composición de transformaciones a partir de la multiplicación de matrices. De hecho, si una transformación revierte el efecto de lo que otra hizo (hablamos de una inversa para la transformación), también su matriz puede calcularse a partir de la matriz asociada a la transformación inicial.

Estas ideas abren la puerta a resolver ecuaciones, invertir y comprender procesos con herramientas tan simples como una operación entre matrices.

Proposición (3.6.1.): Sean $V,W,U$ $K$-espacios vectoriales de dimensión finita, $B, \Gamma, \Delta$ bases ordenadas de $V$, $W$ y $U$ respectivamente, $T \in \mathcal{L}(V,W)$ y $S \in \mathcal{L}(W,U)$.
Se cumple que: $[ S \circ T ]_{B}^{\Delta} = [ S ]_{\Gamma}^{\Delta} [T ]_{B}^{\Gamma}$

Demostración: Sean $n=\dim V$, $m=\dim W$, $t=\dim U$ y $B = (v_1, …, v_n)$, $\Gamma$ y $\Delta$ bases ordenadas de $V$, $W$ y $U$ respectivamente.

Así, $[S ]_{\Gamma}^{\Delta} \in \mathcal{M}_{t \times m}(K)$ y $[T ]_{B}^{\Gamma} \in \mathcal{M}_{m \times n}(K).$

Por lo tanto, $[S ]_{\Gamma}^{\Delta} [ T ]_{B}^{\Gamma} \in \mathcal{M}_{t \times n}(K)$.

Observamos también que $[S \circ T ]_{B}^{\Delta} \in \mathcal{M}_{t \times n}(K)$. Comparemos entonces las matrices $[ S \circ T ]_{B}^{\Delta}$ y $ [ S ]_{\Gamma}^{\Delta} [T ]_{B}^{\Gamma}$ columna a columna. Sea $j\in\{1,\dots , n\}$.

$col_j [S \circ T ]_{B}^{\Delta}$$=[ S \circ T (v_j) ]_{\Delta}$$=[S(T(v_j)) ]_{\Delta}$$=[ S ]_{\Gamma}^{\Delta}[ T(v_j) ]_{\Gamma}$$=[ S ]_{\Gamma}^{\Delta}[ T ]_{B}^{\Gamma}[ v_j ]_{B}$$=[ S]_{\Gamma}^{\Delta}[ T ]_{B}^{\Gamma} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$=col_j \left( [S ]_{\Gamma}^{\Delta} [T ]_{B}^{\Gamma} \right),$

donde la tercera y cuarta igualdades se justifican con la proposición (3.3.1) de la entrada 3.3.

$\therefore [ S \circ T ]_{B}^{\Delta} = [ S]_{\Gamma}^{\Delta}[ T ]_{B}^{\Gamma}$.

Ejemplos

• Sean $K=\mathbb{R}$, $V=W=\mathbb{R}^2$.
  Sea $\mathcal{C}=(e_1,e_2)$ la base canónica ordenada de $\mathbb{R}^2$.
  Consideremos $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la rotación de $\frac{\pi}{2}$ donde $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 (T(x,y) = (-y,x))$ y $S : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la reflexión con respecto al eje $X$ donde $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 (S(x,y) = (x,-y))$.
  Entonces $[ S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} [T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} = [S \circ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$

Justificación. $S \circ T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$
$(S \circ T)(x,y)$$= S ( T(x,y) )$$= S (-y,x)$$= (-y,-x)$
$S \circ T (e_1) = (0,-1)$
$S \circ T (e_2) = (-1,0)$
Entonces $[ S \circ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

$T(e_1) = (0,1)$
$T(e_2) = (-1,0)$
Entonces $[T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

$S(e_1) = (1,0)$
$S(e_2) = (0,-1)$
Entonces $[ S ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

$[ S ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} [ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$$=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$=[ S \circ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$.

Corolario (3.6.2.): Sean $V$ y $W$ $K$-espacios vectoriales de dimensión finita con $\dim V=\dim W=n$, $B$ y $ \Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente y $T \in \mathcal{L}(V,W)$. Se cumple que:

$T$ es invertible si y sólo si $[T ]_{B}^{\Gamma}$ es invertible.

En este caso $[T^{-1} ]_{\Gamma}^{B} = \left([ T ]_B^{\Gamma} \right)^{-1}$.

Demostración: Veamos cada implicación:

$\Rightarrow )$ Supongamos que $T$ es invertible.

Entonces existe $T^{-1} : W \longrightarrow V$ tal que $T^{-1} \circ T = id_V$ y $T \circ T^{-1} = id_W$

Sabemos que $T^{-1} \in \mathcal{L}(W,V)$ y:

1)
$\begin{align*}
[ T^{-1}]_{\Gamma}^{B}[ T ]_{B}^{\Gamma} &= [ T^{-1} \circ T ]_{B}^{B} \tag{Proposición (3.6.1.)}\\
&=[ id_V ]_{B}^{B} \tag{}\\
&= I_n \tag{}\\
\end{align*}$

2)
$\begin{align*}
[ T ]_{B}^{\Gamma}[T^{-1} ]_{\Gamma}^{B} &= [ T \circ T^{-1} ]_{\Gamma}^{\Gamma} \tag{Proposición (3.6.1.)}\\
&=[ id_W ]_{\Gamma}^{\Gamma} \tag{}\\
&= I_n \tag{}\\
\end{align*}$

Así, $[T ]_{B}^{\Gamma}$ tiene inversa y ésta es $[ T^{-1} ]_{\Gamma}^{B}.$

$\Leftarrow )$ Supongamos que $[ T ]_{B}^{\Gamma}$ es invertible, es decir, existe $A\in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ tal que $A [ T]_{B}^{\Gamma} = [T ]_{B}^{\Gamma} A = I_n.$

Por el teorema (3.5.2) de la entrada 3.5 sabemos que $\varphi: \mathcal{L}(W,V) \longrightarrow \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ tal que $\forall S\in \mathcal{L}(W,V) \left( \varphi (S) = [ S]_{\Gamma}^{B} \right)$ es un isomorfismo, en particular es suprayectivo y entonces existe $S \in \mathcal{L}(W,V)$ tal que $A = \varphi (S) =[ S ]_{\Gamma}^{B}$

Así, $[ S \circ T ]_{B}^{B} =[ S ]_{\Gamma}^{B} [ T ]_{B}^{\Gamma}=A [ T ]_{B}^{\Gamma}$$=I_n = [ id_V ]_{B}^{B}$

Por el teorema (3.5.2) de la entrada 3.5 sabemos que $\psi : \mathcal{L}(V,V) \longrightarrow \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ tal que $\forall S \in \mathcal{L}(V,V)\left( \psi (S) =[ S ]_{B}^{B} \right)$ es un isomorfismo, en particular es inyectivo, de modo que el hecho de que $[ S \circ T ]_{B}^{B} = [ id_V ]_{B}^{B}$ implica que $S \circ T = id_V.$
Análogamente $T \circ S = id_W.$

Así, $T$ tiene inversa y ésta es $S$

$\therefore T$ es invertible.

Ejemplos

• Sean $V = \{ ax + bx^2 + cx^3 | a,b,c \in \mathbb{R} \}$, $W = \{ d + ex + fx^2 | d,e,f \in \mathbb{R} \}$ y $B = (x, x^2, x^3)$, $\Gamma = (1, x, x^2)$ bases ordenadas de $V$y $W$ respectivamente.
  Sea $T \in \mathcal{L}(V,W)$ donde $\forall ax + bx^2 + cx^3 \in V \,( T(ax + bx^2 + cx^3) = a+2bx+3cx^2)$.
  ¿$T$ es invertible? Y si lo es, ¿quién es $T^{-1}$?

Justificación. Es fácil notar que $T^{-1}(d+ex+fx^2)$$=dx+ \frac{e}{2} x^2 + \frac{f}{3}x^3$$\in \mathcal{L}(W,V)$

$T^{-1}(1) = T^{-1}(1+0x+0x^2) = 1x + 0x^2 + 0x^3$
$T^{-1}(x) = T^{-1}(0+1x+0x^2) = 0x + \frac{1}{2} x^2 + 0x^3$
$T^{-1}(x^2) = T^{-1}(0 + 0x + 1x^2) = 0x + 0x^2 + \frac{1}{3} x^3$

$[ T^{-1} ]_{\Gamma}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

$\left( [T]_{\Gamma}^{B} \right)^{-1}$$=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}^{-1}$$= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

$\therefore [ T^{-1} ]_{\Gamma}^{B} = \left( [ T]_{B}^{\Gamma} \right)^{-1}$.

Tarea Moral

1. Sea $K = \mathbb{Z}_2.$
   Sean $T: K^3 \longrightarrow K^2$ definida para todo $(x,y,z)\in K^3$ como $T(x,y,z) = (x+z , y+z)$ y $S: K^2 \longrightarrow K^4$ definida para todo $(a,b)\in K^2$ como $S(a,b) = (a+b , b , a , 0).$
   Considera $B = ( (1,0,0) , (1,1,0) , (1,1,1) )$, $\Delta = ( (1,0) , (1,1) )$ y $\Gamma = ( (1,0,0,0) , (1,1,0,0) , (1,1,1,0) , (1,1,1,1) ),$ bases ordenadas de $K^3,$ $K^2$ y $K^4$ respectivamente.
   Calcula $[ S \circ T ]_{B}^{\Delta}.$
2. Para cada una de las siguientes transformaciones y bases ordenadas correspondientes, determina si tienen o no inversa y en caso de que sí la tengan calcula $[T^{-1} ]_{\Gamma}^{B}$ y describe la regla de correspondencia de $T^{-1}$:
   a) Sea $B = \Gamma= ( (1,0) , (0,1) )$ base de $\mathbb{R}^2$. Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ definida para todo $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ como $T(x,y) = (2x+y , x+3y).$
   b) Sea $K = \mathbb{Z}_2$, $B = \Gamma= ( (1,0) , (0,1) )$ base de $K^2$. Sea $T: K^2 \longrightarrow K^2$ definida para todo $(x,y) \in K^2$ como $T(x,y) = (x+y , x).$
   c) Sea $K = \mathbb{Z}_3$, $B = \Gamma= ( (1,0) , (0,1) )$ base de $K^2$. Sea $T: K^2 \longrightarrow K^2$ definida para todo $(x,y)\in K^2$ como $T(x,y) = (x+y , x+y).$

Más adelante…

Veremos ahora otra matriz especial: La matriz de cambio de base.

Como bien dice su nombre, nos permite pasar de una base a otra.
Cuando leas la definición, medita en por qué la definición de esta matriz refleja precisamente el cambio de un sistema a otro. Al fin y al cabo, recuerda que para cada base podemos representar a cada vector como una combinación lineal de los elementos de la base.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: 3.5. MATRICES Y TRANSFORMACIONES LINEALES: isomorfismo, ejemplos y propiedades
• Siguiente entrada del curso: 3.7. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE: definición y ejemplos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Dados dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente veremos una correspondencia uno a uno entre el espacio vectorial de las transformaciones lineales entre esos espacios y el de las matrices de tamaño $m \times n$, mostrando que son isomorfos: comparten la misma estructura algebraica, aunque uno se describe en términos de funciones y el otro en términos de arreglos numéricos. Así, estudiar matrices no es solo una cuestión de cálculo, sino una forma concreta de explorar y comprender el comportamiento de las transformaciones entre espacios vectoriales.

Proposición (3.5.1.): Sean $V, W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente. Sean $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente. Para toda $A \in \mathcal{M}_{m \times n} (K)$ se cumple que: Existe $T \in \mathcal{L}(V,W)$ tal que $[ T]_{B}^{\Gamma} = A.$

Demostración: Sean $V, W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente. Sean $B = (v_1 , … , v_n)$ y $\Gamma= (w_1 , … , w_m)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente.

Sea $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m \times n} (K).$

Usando el teorema 2.4.1 de la entrada 2.4 definamos $T : V \longrightarrow W$ como la transformación lineal tal que $T (v_j) = a_{1j} w_1 + … + a_{mj} w_m$ para toda $j \in \{ 1,…,n \}.$

Entonces $col_j[ T ]_{B}^{\Gamma} = [T(v_j) ]_{\Gamma}$ $= \begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix} = col_j A$ para toda $j \in \{ 1,…,n \}.$

Al coincidir las matrices $[ T ]_{B}^{\Gamma}$ y $A$ columna a columna, obtenemos que $[ T ]_{B}^{\Gamma} = A$.

Ejemplo

• Sean $K = \mathbb{R}$, $V = \mathbb{R}^3$ y $W = \mathbb{R}^2$.
  Sea $B = ( (1,2,0) , (0,-1,0) , (1,0,1) )$ una base ordenada de $\mathbb{R}^3$.
  Sea $\Gamma = ( (1,3) , (-1,1) )$ una base ordenada de $\mathbb{R}^2$
  Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 5 & 3 & 7 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$ y $\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ( T =(16x – 5y – 10z , 4x – 3y – 14z) )$, entonces $[ T ]_{B}^{\Gamma} = A$

Justificación. Veamos la construcción de $T$:

Para que $T \in \mathcal{L}( \mathbb{R}^3 , \mathbb{R}^2 )$ cumpla que $[ T ]_{B}^{\Gamma} = A$, necesitamos que:

$T(1,2,0) = 1 (1,3) + 5 (1,-1) = (6,-2)$
$T(0,-1,0) = 2(1,3) + 3(1,-1) = (5,3)$
$T(1,0,1) = -1(1,3) + 7(1,-1) = (6,-10)$

Y como $(x,y,z) = (x-z)(1,2,0) + (2x-2z-y)(0,-1,0) +z(1,0,1)$:

$T(x,y,z) = (x-z)T(1,2,0) + (2x-2z-y)T(0,-1,0) +zT(1,0,1)$ $= (x-z)(6,-2) + (2x-2z-y)(5,3) + z(6,-10)$ $= ( 6(x-z) + 5(2x-2z-y) + 6z , -2(x-z) + 3(2x-2z-y) -10z )$ $=( 6x – 6z + 10x – 10z – 5y + 6z , -2x + 2z + 6x – 6z – 3y – 10z )$ $= ( 16x – 5y – 10z , 4x – 3y – 14z )$

Por la construcción tomando en cuenta $B$ y $\Gamma$ se cumple que $[ T ]_{B}^{\Gamma} = A$.

Teorema (3.5.2.): Sean $V, W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente. Se cumple que $\mathcal{L} (V,W) \cong \mathcal{M}_{m \times n}(K)$.

Demostración: Sean $V, W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente.

Consideremos $\varphi : \mathcal{L}(V,W) \longrightarrow \mathcal{M}_{m \times n}(K)$ con $\varphi (T) = [ T]_{B}^{\Gamma}$ para toda $T \in \mathcal{L}(V,W).$

P.D. $\varphi$ es lineal.

Sean $T,S \in \mathcal{L}(V,W)$ y $\lambda \in K$. Por la proposición (3.4.1) de la entrada 3.4 sabemos que $[ \lambda S + T ]_{B}^{\Gamma}= \lambda [ S ]_{B}^{\Gamma} +[ T ]_{B}^{\Gamma} $, entonces

$\varphi (\lambda S + T) = [ \lambda S + T ]_{B}^{\Gamma}$ $= \lambda [ S ]_{B}^{\Gamma} +[ T ]_{B}^{\Gamma} = \lambda \varphi (S) + \varphi (T).$

$\therefore \varphi$ es lineal.

P.D. $\varphi$ es inyectiva.

Si $T,S \in \mathcal{L}(V,W)$ son tales que $\varphi (T) = \varphi (S)$, entonces $[ T ]_{B}^{\Gamma} = [ S]_{B}^{\Gamma}$ y por la proposición (3.4.2) de la entrada 3.4 tenemos que $T=S.$

$\therefore \varphi$ es inyectiva.

P.D. $\varphi$ es suprayectiva.

Si $A \in \mathcal{M}_{m \times n} (K)$, por la proposición (3.5.1) sabemos que existe $T \in \mathcal{L} (V,W)$ tal que $\varphi (T) = [ T]_{B}^{\Gamma} = A.$

$\therefore \varphi$ es suprayectiva.

$\therefore \varphi \text{ es un isomorfismo y }\mathcal{L} (V,W) \cong \mathcal{M}_{m \times n}(K).$

Corolario (3.5.3.): Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente. Se cumple que $ \mathcal{L}(V,W) $ es de dimensión finita y $\dim \mathcal{L}(V,W) = nm.$

Demostración: Por el teorema (3.5.2.) tenemos que $\mathcal{L}(V,W) \cong \mathcal{M}_{m \times n} (K)$, entonces $\dim \mathcal{L}(V,W) = \dim \mathcal{M}_{m \times n} (K) = mn$.

Tarea Moral

1. Considera el campo de los reales, $V=\{a+bx+cx^2\mid a,b,c\in \mathbb{R}\}$, $W=\{a+bx\mid a,b,\in \mathbb{R}\}$ con bases ordenadas $B = ( 1 , -x,x^2 )$ y $\Gamma = ( x-2 , x+1 )$ respectivamente. Encuentra la transformación lineal $T : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $[ T ]_{B}^{\Gamma} = \left(\begin{array}{rr} 1 & -3 \\ -2 & 1\\ 7& 0 \end{array}\right)$ describiendo explícitamente la regla de correspondencia, es decir, si $T(a+bx+cx^2) = e+fx$ describe cómo serían $e$ y $f$ en términos de $a,b$ y $c$.
2. Considera $B = ( (1,0) , (-1,-1) )$ y $\Gamma = ( (0,1) , (1,1) )$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^2$ y $\mu \in \mathbb{R}.$ Encuentra la transformación lineal $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $[ T ]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} 2 \mu & 5 \mu \\ 3 \mu & \mu \end{pmatrix}$ describiendo explícitamente la regla de correspondencia, es decir, si $T(x,y) = (ax+by , cx + dy)$ describe cómo serían $a,b,c$ y $d$ en términos de $x,y$ y $\mu$.

Más adelante…

Ya que sabemos cómo se relaciona la matriz asociada a una transformación con la matriz asociada al producto de dicha transformación con algún escalar, y cómo se relacionan las matrices asociadas a dos transformaciones lineales con la matriz asociada a la suma de dichas transformaciones, ahora veremos cómo se relacionan las matrices asociadas a dos transformaciones lineales con la matriz asociada a la composición de dichas transformaciones y en consecuencia, para transformaciones invertibles, entenderemos cómo se relaciona la matriz asociada a una transformación con la matriz asociada a la transformación inversa.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: 3.4. MATRIZ DE UNA COMBINACIÓN LINEAL DE TRANSFORMACIÓNES: ejemplos y propiedades
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