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Integral de una función de dos variables como volumen de una superficie

Por Ruben Hurtado

Dada una función de dos variables que está definida sobre el rectángulo cerrado
$$R=[a,b]\times[c,d]={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid a\leq x\leq b,
c\leq y \leq d}$$

suponiendo que $f(x,y)\geq 0$. La gráfica de f es
una superfície con ecuación $z=f(x,y)$. Sea S el sólido que esta
encima de R y debajo de la gráfica de f, es decir
$$S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 0\leq z\leq f(x,y),(x,y)\in R}$$

El volumen en esta caso de S es una aproximación al volumen por debajo de la superficie. Ahora bien si dividimos el rectángulo R en subrectángulos. Para el intervalo [a,b] tenemos m subintervalos $[x_{i-1},x_{i}]$ con una longitud de $\displaystyle{\Delta_{x}=\frac{b-a}{m}}$. Para el intervalo [c,d] tenemos n
subintervalos $[y_{j-1},y_{j}]$ con una longitud de $\displaystyle{\Delta_{y}=\frac{d-c}{n}}$. Al trazar rectas paralelas a los ejes coordenados a través de los puntos extremos de las particiones formamos los subrectángulos
$$R_{ij}=[x_{i-1},x_{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x_{i-1}\leq x\leq
x_{i},y_{j-1}\leq y \leq y_{j}}$$ cada uno con un área igual a $\Delta_{A}=\Delta_{x}\Delta_{y}$. Si elegimos un punto muestra $$(x^{*}_{i},y ^{*} _{j})\in R_{ij}$$, entonces podemos aproximar la parte de S que esta encima de cada $R_{ij}$ mediante una caja rectangular delgada con base $R_{ij}$ y altura $$f( x^{*}_{i},y ^{*} _{j} )$$

El volumen de la caja es el producto del área de su base por su
altura, por lo tanto una aproximación al volumen de S es:

$$ V\approx\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} f( x^{*}_{i},y ^{*} _{j}) \Delta_{x}\Delta_{y}$$

Con un desarrollo análogo para un conjunto S el sólido que esta
encima de R y encima de la gráfica de f, es decir
$$S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 0\leq f(x,y)\leq z~|~(x,y)\in R}$$

Obtenemos también una aproximación al volumen que se encuentra por debajo de la superficie.
Si consideramos ahora $M_{ij}=sup {f(x_{i},y_{j})}$ y
$m_{ij}=\acute{i}nf{ f(x_{i},y_{j})}$ con $(x_{i},y_{j})\in
R_{ij}$ podemos deducir que
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta R_{ij}\leq V(S)\leq \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta R_{ij}$$
Definición.-Sean f una función (de valores reales) definida y
acotada sobre un rectángulo R contenido en $\mathbb{R}^{n}$ y P una
partición de R. Si $R_{1},R_{2},…,R_{k}$ son los subrectángulos de
R inducidos por la partición P, definimos la suma inferior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\underline{S}(f,p)$
como $$\underline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta
R_{ij}$$ Analogamente definimos la suma superior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\overline{S}(f,p)$
como
$$\overline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta
R_{ij}$$

Estas sumas tienen una serie de propiedades
Proposición 1: Si P es cualquier partición de R, entonces $$\underline{S}(f,p)\leq\overline{S}(f,p)$$
Demostración: Como $m_{ij}=\acute{i}nf{ f(x_{i},y_{j})}$ y $M_{ij}=sup
{f(x_{i},y_{j})}$ se tiene que $$m_{ij}\leq M_{ij}\Rightarrow
m_{ij}\Delta R_{ij}\leq M_{ij}\Delta
R_{ij}\Rightarrow\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta R_{ij}\leq
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta R_{ij}\Rightarrow
\underline{S}(f,p)\leq \overline{S}(f,p)~\blacksquare$$
Proposición 2: Si $P,Q\in P_{R}$. Si Q refina a P entonces
$$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,Q)\quad y\quad \overline{S}(f,Q)\leq\overline{S}(f,P)$$
Demostración: Sean $R_{1},…,R_{k}$ los subrectángulos inducidos por
P y $R_{1}^{i},…,R_{k}^{i}$ los subrectángulos inducidos por Q.
Dado que cada $R_{j}^{i}$ está contenido en $R_{i}$, tenemos que
${f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\subset
{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$ y por lo tanto
$inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\leq
inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}$ y
$sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\leq
sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$ $\therefore$
$$inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\times\Delta R_{ij}\leq
inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}\times\Delta
R_{ij}$$
$$sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\times\Delta R_{ij}\leq
sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\times\Delta
R_{ij}$$ Si ahora sumamos ambas desigualdades corriendo los índices
i,j se tiene que
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\leq\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}$$
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\leq\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$$
Recordando la definición de suma inferior y suma superior se tiene
que$$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,Q)\quad y\quad
\overline{S}(f,Q)\leq\overline{S}(f,P) ~\blacksquare $$
Proposición 3: Si P y Q son cualesquiera dos particiones del
rectángulo R entonces se cumple $$\underline{S}(f,P)\leq
\overline{S}(f,Q)$$
Demostración: Consideremos la partición $P\bigcup Q$. Esta partición
refina tanto a P como a Q de tal forma que, por la proposición 2 se
tiene $$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,P\bigcup Q)$$ y
también
$$\overline{S}(f,P\bigcup Q)\leq\overline{S}(f,Q)$$ Como $$\underline{S}(f,P\bigcup Q)\leq\overline{S}(f,P\bigcup
Q)$$ por la proposición 1, se tiene que
$$\underline{S}(f,P)\leq\overline{S}(f,Q) ~\blacksquare $$
Ejemplo: Estimar el volúmen de la superfície delimitada por el
rectángulo $[0,\pi]\times[0,\pi]$ y la superfície
$f(x,y)=\sin(x+y)$

Vamos a subdividir el rectángulo $[0,\pi]\times[0,\pi]$ como se
muestra en la figura

Tenemos por tanto que $$V\approx
\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}f(x_{i},y_{j})\triangle
A=f(0,0)\triangle A+f(0,\frac{\pi}{2})\triangle
A+f(\frac{\pi}{2},0)\triangle
A+f(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\triangle A$$
$$=0\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+1\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+1\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+0\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{2}\approx4.935$$
Definición: Al supremo del conjunto $\underline{S}(f)$ lo
llamamos integral inferior de f sobre R y se puede denotar

$$\underline{\int}R_{f}$$
Y al ínfimo del conjunto $\overline{S}(f)$ lo llamamos integral superior de f sobre R y podemos denotar

$$\overline{\int}R_{f}$$

Definición: Sea
$f:R\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ acotada sobre el
rectángulo R. Decimos que f es integrable según Riemann sobre R si
se tiene que la integral inferior y la integral superior de f sobre
R son iguales. Es decir

$$\underline{\int}R_{f}=\overline{\int}R_{f}$$

En este caso, a este número lo llamaremos la integral de f y lo denotaremos por
$\displaystyle{\int\int_{R_{f}}}$

Ejemplo: Calcular $\displaystyle{\underline{\int}R_{f}}~~y~~\displaystyle{\overline{\int}R_{f}}$ para $f(x,y)=x+4y$ en el rectángulo $R=[0,2]\times[0,1]$

Solución: Tenemos que para $[0,2]$
consideramos una partición $P={x_{0},x_{1},…,x_{n}}$ con
longitud $\displaystyle{\frac{2-0}{2n}=\frac{1}{n}}$

de esta manera se tiene que $\displaystyle{x_{i}=\frac{i}{n}}$ y
$\displaystyle{x_{i-1}=\frac{i-1}{n}}$. Mientras que para $[0,1]$ consideramos una
partición $P={y_{0},y_{1},…,y_{n}}$ con longitud
$\displaystyle{\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}}$ de esta manera se tiene que
$\displaystyle{y_{j}=\frac{j}{n}}$ y $\displaystyle{y_{j-1}=\frac{j-1}{n}}$.

$\therefore$ Para todo rectángulo $R_{ij}$,
$M_{ij}=sup{f(x_{i,j})|x_{ij}\in
[x_{i-1},x:{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]}=x_{i}+4y_{j}$ y
$m_{ij}=sup{f(x_{i,j})|x_{ij}\in
[x_{i-1},x:{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]}=x_{i-1}+4y_{j-1}$
$\therefore$
$$\underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i-1}+4y_{j-1}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n}\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}i+4j-5=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}n(i-5)+4\left(n\left(\frac{n+1}{2}\right)\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}(i-5)+2(n+1)=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}i+2n-3=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\left(2n(2n-3)+\frac{2n(2n+1)}{2})\right)=$$
$$\left(\frac{1}{n}\right)\left(2(2n-3)+2n+1\right)=\left(\frac{1}{n}\right)(4n-6+2n+1)=\left(\frac{1}{n}\right)(6n-5)=6-\frac{5}{n}$$
$\therefore$
$$\underline{\int}R_{f}=\sup\underline{S}(f,P)=\lim_{n\rightarrow\infty}\underline{S}(f,P)= \lim_{n\rightarrow\infty} 6-\frac{5}{n}=6$$

Ahora bien para $\displaystyle{\overline{S}R_{f}}$

$\therefore$
$$\overline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i}+4y_{j}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i}{n}+4\frac{j}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(i+4j\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}ni+4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\left(n\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)+2n\left(\frac{4n(n+1)}{2}\right)\right)$$
$$=\left(\frac{1}{ n^{3}}\right)(2n^{3}+n^{2}+4n^{3}+4n^{2})=2+\frac{1}{n}+4+\frac{4}{n}=6+\frac{5}{n}$$

$\therefore$
$$\overline{\int}R_{f}=\sup\overline{S}(f,P)=\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{S}(f,P)= \lim_{n\rightarrow\infty} 6+\frac{5}{n}=6$$

Volumen

Por Ruben Hurtado

Volumen

Cuando definimos volumen aceptaremos el hecho de que si se trata de
un cubo de lado a entonces $V(cubo)=a^{3}$ y si se trata de un
cilíndro circular recto de radio r y altura h entonces
$V(cil\acute{i}ndro)=\pi r^{2}h$


Ejemplo.- Volumen de un cono de altura a.


Para esto, dividamos la altura en n partes iguales, cada una de longitud $\displaystyle{\frac{a}{n}}$. Construyamos los n cilindros de altura $\displaystyle{\frac{a}{n}}$ y radio $r_{k}$, k=1,…,n donde $\displaystyle{r_{k}=k\frac{r}{n}}$.

Entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V_{k}=\pi r_{k}^{2}a_{k}=\pi \left(k\frac{r}{n}\right)^{2}\left(\frac{a}{n}\right)=\frac{\pi ar^{2}k^{2}}{n^{3}}$$
Por lo tanto el volumen del cono es
$$V\approx \sum_{k=1}^{n}\frac{\pi ar^{2}k^{2}}{n^{3}}=\frac{\pi
ar^{2}}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{\pi
ar^{2}k^{2}}{n^{3}}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{\pi
ar^{2}}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)
$$
En consecuencia
$$V=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\pi
ar^{2}}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{3}\pi a r^{2}$$

Ejemplo. Volumen de una esfera


Para esto fijémonos en la mitad de la esfera

El radio del k-ésimo cilindro es
$$r_{k}=\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}}$$
es decir
$$r_{k}^{2}=r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}$$
entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V=\pi r_{k}^{2}\frac{r}{n}=\pi
\left(r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}\right)\frac{r}{n}=\pi
r^{2}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{r}{n}=\pi
r^{3}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{1}{n}$$
Es la mitad de la esfera, por lo que
$$V\approx 2\sum_{k=1}^{n} \pi
r^{3}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{1}{n}=2 \pi
r^{3}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}1-\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}\right)$$
$$=2 \pi r^{3}\left(1-\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)
$$
Por lo tanto
$$V=\lim_{n\rightarrow\infty}2 \pi
r^{3}\left(1-\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{4}{3}\pi r^{3}$$

Ejemplo.- ¿Cual es el volumen del sólido que esta acotado superiormente por un plano e inferiormente por un cilindro?

Para resolver esto, dividimos en triángulos rectángulos

Tenemos que según la figura
$$\left(\frac{l_{k}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{kr}{n}\right)^{2}=r^{2}$$
por lo tanto
$$l_{k}=2\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}},~~\overline{PQ}=k\frac{a}{n}$$

se tiene entonces que
$$V_{k}=\left(2\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}}\right)\left(\frac{ka}{n}\right)\left(\frac{r}{n}\right)$$
$$V\approx
2r^{2}a\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}\left(\frac{1}{n}\right)$$

$$V=2r^{2}a\lim_{n\rightarrow
\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}\left(\frac{1}{n}\right)=2r^{2}a\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{2r^{2}a}{3}$$


Área de un conjunto plano

Por Ruben Hurtado

Definición: Área

La noción intuitiva de área de una región en el plano es el número
de unidades cuadradas contenidas en la región.

Al definir área aceptaremos que el área $A(S)$ de un conjunto
debe ser un número no negativo con las propiedades siguientes:

1.-Si S es un cuadrado de lado K entonces $A(S)=K^2$

2.-El área del todo es la suma de las áreas de sus partes.
Más precisamente si $S$ consiste de los conjuntos que no se
traslapan $S_{1}$,…,$S_{n}$ de áreas $A(S_{1})$,…,$A(S_{n})$
respectivamente, entonces el área de $S$ es $$A(S)=A(S_{1})+\ldots+A(S_{n}).$$

Los cuadrados congruentes proporcionan la manera más fácil de
cubrir el plano sin espacios vacíos o traslapes. Usaremos la rejilla asociada al sistema coordenado proporcionada por
las rectas $x=0,\pm1,\pm2,…$ e $y=0,\pm1,\pm2,…$ la cual
divide al plano en cuadrados de lado 1.

Denotamos $\displaystyle {A_0^{+}(S)}$ el número de cuadrados que
tienen puntos en común con $S$ y $\displaystyle {A_0^{-}(S)}$ el
número de aquellos que están completamente contenidos en $S$

Dividamos ahora cada cuadrado en 4 partes iguales de lado
$\displaystyle{\frac{1}{2}}$ y área $\displaystyle{\frac{1}{4}}$.
Sea $\displaystyle A_1^{+}(S)$ la cuarta parte del número de
aquellos subcuadrados que tienen puntos en común con $S$ y
$\displaystyle A_1^{-}(S)$ la cuarta parte de aquellos completamente
contenidos en $S$.

Se tiene que $\displaystyle{A_0^{-}(S)\leq\displaystyle A_1^{-}(S)}$ y de modo semejante
$\displaystyle{A_0^{+}(S)\geq A_1^{+}(S)}$, al continuar dividiendo cada cuadrado de lado $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ en 4 cuadrados de lado $\frac{1}{4}$. Un dieciseisavo de esos cuadrados que tienen puntos en común con $S$ y un dieciseisavo de esos cuadrados que estan completamente contenidos en $S$, se denotaran por
$\displaystyle{A_2^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_2^{-}(S)}$. \Procediendo de esta forma se asocian los valores $\displaystyle{A_n^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ con una división en cuadrados de lado $2^{n}$. Es evidente que los valores $\displaystyle{ A_n^{+}(S)}$ forman una sucesión monótona decreciente y acotada que converge hacia un valor $\displaystyle{A^{+}(S)}$, mientras que los valores $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ crecen monótonamente y convergen hacia un valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$.
El valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$ representa el área interior, lo mejor que
puede aproximarse el área de $S$ desde abajo por medio de cuadrados
congruentes contenidos en $S$, el área exterior $\displaystyle{A^{+}(S)}$
representa la mejor cota superior obtenible cubriendo a $S$ por
medio de cuadrados congruentes. Podemos denotar $\displaystyle{ A_n^{-}=\sum_{ik}
2^{-2n}}$ con $R_{ik}\subset S$, $\displaystyle{A_n^{+}=\sum_{ik}2^{-2n}}$ con $R_{ik}\cap S\neq\emptyset$ a partir de la definición resulta $0\leq\displaystyle {A_n^{-}}\leq\displaystyle{A_n^{+}}$.\ Las sumas $\displaystyle {A_n^{-}}$ forman una sucesión no decreciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{+}}$ así, convergen hacia un limite $A^{-}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} A_n^{-}}$.
De manera semejante Las sumas $\displaystyle{A_n^{+}}$ forman una sucesión no
creciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{-}}$ así, convergen hacia un limite
$A^{+}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}} \displaystyle {A_n^{+}}$.
Si ambos valores concuerdan se dice que $S$ es mesurable según
Jordan y el valor común $\displaystyle{A^{-}(S)=A^{+}(S)}$ se llama contenido, o
medida de Jordan de $S$.

Más generalmente, cualquier rectángulo $S$ con lados paralelos a
los ejes coordenados, $S: a\leq x\leq b,~~~c\leq y\leq d$.

Dado un entero positivo n, se pueden encontrar enteros
$\alpha,~\beta,~\gamma,~\delta$ tales que

$\alpha <a\cdot2^{n}\leq\alpha+1,~~~\gamma<c\cdot2^{n}\leq\gamma+1$

$\beta\leq b\cdot2^{n}<\beta+1~~~~\delta\leq d\cdot2^{n}<\delta+1$

por lo tanto
$\displaystyle{\frac{\alpha}{2^{n}}<a\leq\frac{ \alpha+1}{2^{n}}}$
$\displaystyle{\frac{\gamma}{2^{n}}<c\leq\frac{ \gamma+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}\leq b<\frac{\beta+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\delta}{2^{n}}\leq d<\frac{\delta+1}{2^{n}}}$

Usando una rejilla adecuada de longitud $2^{n}$ tenemos que

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq b-a+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq b-a-\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq d-c+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq d-c-\frac{2}{2^{n}}}$

Por lo tanto
$$A_{n}^{+}=\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$$A_{n}^{-}=\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)$$

De la desigualdad
$$A_{n}^{-}\leq A\leq A_{n}^{+}$$
tenemos que
$$\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq A\leq\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
como
$$\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$$\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\leq\left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
entonces
$$\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq A_{n}^{-}\leq A\leq A_{n}^{+}\leq \left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
por lo tanto
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{-}=A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{+}\leq \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$A=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle
A_n^{+}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle
A_n^{-}=(b-a)(d-c)$.

Nota 16. Los números naturales.

Por Julio César Soria Ramírez

Introducción

En esta nota iniciaremos el estudio de los números naturales, hasta ahora sabemos trabajar con conjuntos, podemos considerar su complemento, unirlos, intersecarlos, considerar subconjuntos de ellos, considerar particiones y relaciones de equivalencia, etc. Con estas herramientas vamos a dar una definición de los números naturales basada en el sucesor, esta definición implicará los llamados axiomas de Peano, en honor al matemático Giuseppe Peano quien en el siglo XIX, los estableció para definir los números naturales. Así nuestro primer objetivo es dar una definición conjuntista de los números naturales y ver que implica los axiomas de Peano. Puedes consultar el siguiente enlace para conocer más a profundidad la historia de cómo se formalizó la aritmética: Los axiomas de Peano.

Empecemos definiendo lo que es el sucesor de un conjunto $x.$

Definición

Sea $x$ un conjunto, el sucesor de $x$ es:

$x^+=x\cup\set{x}$

Observa que si definimos al cero como el conjunto vacío tenemos que:

$0=\emptyset$

Y entonces su sucesor $0^+$ es:

$0^+=\emptyset^+ =\emptyset\cup \set{ \emptyset}= \set{ \emptyset} =\set{ 0}$

Ese sucesor $0^+$ será el natural $1$, entonces:

$1^+=1\cup\set{1}=\set{0}\cup \set{1}=\set{0,1}=2$

que es el número 2, y así sucesivamente:

$2^+=2\cup \set{2}= \set{0,1}\cup \set{2}=\set{0,1,2}=3$

$3^+=3\cup \set{3}= \set{0,1,2}\cup \set{3}=\set{0,1,2,3}=4$

$\vdots$

$n^+=n\cup \set{n}= \set{0,\dotsc,n-1}\cup \set{n}=\set{0,\dotsc,n}=n+1$

Aceptaremos que esta construcción puede ser llevada a infinito, y lo postularemos como un axioma.

Axioma del infinito

Existe un conjunto que tiene al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Démosle ahora nombre a un tipo especial de conjuntos, aquellos que tienen al cero y todos sus sucesores.

Definición

Sea $A$ un conjunto. Decimos que $A$ es un conjunto de sucesores si tiene como elemento al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Observemos que el Axioma del infinito asegura la existencia de al menos un conjunto de sucesores. Tiene sentido entonces considerar la intersección de todos los conjuntos de sucesores y veremos que la intersección también es un conjunto de sucesores.

Lema

Si $\set{A_i\mid i\in I}$ es una familia no vacía con $A_i$ un conjunto de sucesores $\forall i\in I,$ entonces $\bigcap\limits_{i\in I} A_{i}$ es un conjunto de sucesores.

Demostración

Sea $\set{A_i\mid i\in I}$ una familia no vacía con $A_i$ un conjunto de sucesores $\forall i\in I$.

Como $A_i$ es un conjunto de sucesores $\forall i\in I$, etonces $0\in A_i\,\,\forall i\in I$, así $0\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$.

Veamos ahora que $ \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ tiene al sucesor de cada uno de sus elementos.

Sea $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ entonces $x\in A_i$ $\forall i\in I$. Como cada $A_i$ es un conjunto de sucesores, se tiene que $x^+\in A_i$ $\forall i\in I$, así $x^+\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ y por lo tanto $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$ es un conjunto de sucesores.

$\square$

Con esta definición de conjunto de sucesores y el lema anterior vamos a definir a los números naturales como la intersección de todos los $S$ que son conjunto de sucesores.

Definición

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S$

Por el lema anterior, $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, así $0\in \mathbb N$ y si $x\in \mathbb N$ entonces $x^+\in \mathbb N$.

Proposición

Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$

$ii)$ $\forall n$, si $n\in A$ entonces $n^+\in A$

Se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

Demostración

Sea $A\subseteq \mathbb N$ que cumple las condiciones $i$ y $ii$, entonces $A$ es un conjunto de sucesores por definición, y así $A$ es uno de los conjuntos que se intersecan para formar a $\mathbb N$. Por lo tanto:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S\subseteq A.$ Así, $\mathbb N\subseteq A$.

Y por hipotesis $A\subseteq \mathbb N$ , por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Veremos que la definición que dimos de los números naturales anteriormente implica los axiomas de Peano. Enunciemos dichos axiomas y notemos cómo se derivan de nuestra definición.

Axiomas de Peano

1. $0\in \mathbb N$.

2. Si $n\in \mathbb N$, entonces $n^+\in \mathbb N$.

3. $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

4. $\forall n,m\in \mathbb N$ si $n^+=m^+$ entonces $n=m$.

5. Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$

$ii)$ $\forall n$, si $n\in A$ entonces $n^+\in A$

Se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

Vamos a proceder a su demostración en base a la definición de los naturales como:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S$.

El quinto axioma de Peano se conoce como el Principio de inducción y se usa mucho para hacer pruebas referentes a afirmaciones de los números naturales.

Observa que en nuestro caso estas afirmaciones no se están tomando como axiomas pues hemos construido los números naturales a partir de conjuntos, así que verificaremos que con esta construcción los naturales cumplen las condiciones enunciadas.

Demostración

Observa que $1$ y $2$ se cumplen ya que por el lema $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, $5$ se cumple por la proposición antes demostrada.

Demostración de 3

Queremos demostrar que: $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

Sea $n\in \mathbb N$, por definición $n^+=n\cup\set{n}$, así $n\in n^+$ y entonces $n^+\neq \emptyset=0$.

Para probar $4$ requerimos un resultado.

Lema

Todo elemento de un número natural es también subconjunto de éste.

Demostración

Sea $A=\set{n\in \mathbb N\mid si\,\,x\in n \,\, entonces \,\, x\subseteq n}\subseteq \mathbb N$. Probaremos que $A$ cumple $i$ y $ii$ y usando el inciso 5 ya demostrado concluiremos que $A=\mathbb N.$

Como $0=\emptyset$, $0$ no tiene elementos, así $0\in A$ y se cumple $i$.

Ahora, sea $n\in A$. Por demostrar que $n^+\in A.$

Sea $x\in n^+=n\cup \set{n}$.

Caso $1$, $x\in n$

Como $n\in A$ y $x\in n$ entonces $x\subseteq n$, además $n\subseteq n\cup \set{n}= n^+$, entonces $x\subseteq n^+$.

Caso $2$, $x\in \set{n}$

En este caso $x=n$ y como $x=n\subseteq n\cup \set{n}=n^+$, así $x\subseteq n^+.$

En ambos casos se tiene que $x\in n^+$ implica que $x\subseteq n^+,$ así $n^+$ es un elemento de $A$. El conjunto $A$ cumple entonces las condiciones del quinto axioma de Peano que ya hemos demostrado, y por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Demostración de 4

Sea $n,m\in \mathbb N$ tales que $n^+=m^+$, entonces $n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$. Así $n\in n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$, lo que implica que $n\in m$ o $n=m$. Por otro lado $m\in m\cup \set{m}= n\cup \set{n}$, entonces $m\in n$ o $m=n$.

Supongamos por reducción al absurdo que $n\neq m$, entonces se concluye de lo anterior que $n\in m$ y $m\in n$. Por el lema previo $n\subseteq m$ y $m\subseteq n$, así $n=m$, lo cual es una contradicción y por lo tanto $n=m$.

Y con esto hemos verificado que la construcción que dimos de los números naturales cumple los axiomas de Peano.

$\square$

Para concluir esta nota mencionemos la definición y propiedades de la suma y el producto en estos números que acabamos de definir.

Definición. Suma en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n+0=n$

$n+m^+=(n+m)^+$ $\forall m\in \mathbb N$

Propiedades de la suma

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

  1. $n+0=n$
  2. $(n+m)+l=n+(m+l)$
  3. Si $n+l=m+l$, entonces $n=m$.
  4. $n+m=m+n$.
  5. Si $n\neq 0$ o $m\neq 0$, entonces $n+m\neq 0$

Definición. Producto en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n\cdot 1=n$

$n\cdot m^+=n \cdot m+n$ $\forall m\in\mathbb N$

Propiedades del producto

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

  1. $n\cdot 1=n$
  2. $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$.
  3. $n\cdot m=m\cdot n$.
  4. $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$.
  5. Si $n\neq 0$ y $m\neq 0$, entonces $n\cdot m\neq 0$
  6. Si $l\neq 0$ y $n\cdot l=m\cdot l$ entonces $n=m$.

Tarea Moral

1. Describe a los números naturales $3$, $5$, $7$, como conjuntos, usando la definición conjuntista.

2. Determina si las siguientes afirmaciones se cumplen o no.

  • $3\subseteq 5$
  • $7\subseteq 5$
  • $3\in 5$
  • $7\in 3$

Más adelante

En la siguiente nota definiremos el orden en los números naturales y veremos distintos ejemplos donde aplicaremos el principio de inducción matemática para hacer demostraciones.

Enlaces relacionados

Nota anterior. Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Nota siguiente. Nota 17. El orden en los números naturales.

Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Por Julio César Soria Ramírez

Introducción

En esta nota veremos cómo las relaciones de equivalencia generan particiones y finalmente concluiremos que toda relación de equivalencia tiene asociada una partición y viceversa, toda partición tiene asociada una única relación de equivalencia, con esto concluiremos esta primera unidad de conjuntos y funciones.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$, entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Demostración

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$

Por demostrar que:

$\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Vamos a mostrar que el conjunto $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ cumple la definición de partición.

i) Por demostrar que $\overline{x}\neq \emptyset$, $\forall x\in A$.

Sea $x\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $x\sim x$, así $x\in \overline{x}$ y entonces $\overline{x}\neq \emptyset$.

ii) Por demostrar que si $x,y\in A$ son tales que $\overline{x}\neq \overline{y} $, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.

En la nota anterior mostramos que: $x\sim y\Longrightarrow \overline{x}=\overline{y}$, que es equivalente a: $\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $ (llamada la contrapositiva de la implicación ). También mostramos que $x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$, así tenemos que:

$ \overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $

y

$x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$

Por lo tanto se sigue que:

$\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.

Así tenemos lo que queríamos mostrar pues si $\overline{x}\neq \overline{y}$, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.

iii) Por demostrar que $\bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}=A$

Prueba por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$, entonces $z\in \overline{x}=\set{y\in A\mid y\sim x}$ para alguna $x\in A$, en particular $z\in A$, y por lo tanto $ \bigcup\limits_{x\in A}\subseteq A$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $z\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $z\sim z$ así $z\in \overline{z}$, concluimos que $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$.

Como se cumplen las tres condiciones para que sea una partición entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Ejemplos

1. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (1,5), (5,1) (2,5), (5,2) , (3,4),(4,3)}$

$\overline{1}=\set{1,2,5}$

$\overline{3}=\set{3,4}$

$\set{ \overline{1}, \overline{3}}=\set{ \set{1,2,5}, \set{3,4}} $

2. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Si la partición en $A$ inducida por $\mathcal R$ es:

$ \set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $

¿Quién es $\mathcal R$?

$\mathcal R=\set{ (3,3), (2,2), (2,4), (4,4), (4,2), (1,1), (1,5), (5,5), (5,1) }$

Es una relación de equivalencia que induce la partición $\set{ \overline{3}, \overline{2}, \overline{1} }=\set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Afirmación: Existe una biyección entre $\mathcal R_A$ y $\mathcal P_A$

Demostración

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Definimos:

$\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ con

$\psi(r)=\set{\overline{x}^r\mid x\in A}\, \, \, \forall r\in \mathcal R_A$

donde $ \overline{x}^r =\set{y\in A\mid (y,x)\in r} $, es decir $\psi(r)$ es la colección de clases de equivalencia dadas por la relación $r$.

Veamos que $\psi$ es inyectiva.

Sean $r,\rho\in \mathcal R_A$ tales que $\psi(r)=\psi(\rho)$.

Por demostrar que $r=\rho$.

La prueba se hará por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $(a,b)\in r$ entonces por simetría $(b,a)\in r$ y entonces $b\in \overline{a}^r$.

Por otro lado $ \overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }=\psi(r)$ que por hipótesis es igual $\psi(\rho)= \set{ \overline{x}^{\rho}\mid x\in A }$ , de manera que $ \overline{a}^r = \overline{c}^{\rho}$ para alguna $c\in A$, como $b\in \overline{a}^r$ entonces $b\in \overline{c}^{\rho}$, así $(b,c)\in \rho$, por simetría $(c,b)\in \rho$. También $a\in \overline{a}^r= \overline{c}^{\rho}$ así $(a,c)\in \rho$. Como $(a,c)\in \rho$ y $(c,b)\in \rho$, por transitividad $(a,b)\in \rho$ y así $r\subseteq \rho$.

$\supseteq$ Segunda contención. Es análoga y por lo tanto $r=\rho$ y así la función $\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ es inyectiva.

Veamos ahora que $\psi$ es suprayectiva.

Sea $p=\set{A_i\mid i\in I}$ una partición de $A$.

Definimos $r$ una relación en $A$ como:

$(x,y)\in r$ si y sólo si existe $i\in I$ tal que $(x,y)\in A_i$.

Ésta es una relación de equivalencia (demuéstralo).

Por demostrar que $\psi(r)=p$, es decir que $\set{\overline{x}^r\mid x\in A}=p$

La prueba es por doble contención.

$\subseteq$ primera contención.

Sea $\overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }$.

Por demostrar que $\overline{a}^r\in p$.

Como $A= \bigcup\limits_{i\in I}A_i$ entonces $a\in A_j$ para alguna $j\in I$. De hecho como $p$ es una partición, $A_j$ es el único elemento de $p$ al que pertenece $a$.

Pero

$\overline{a}^r=\set{b\in A\mid (b,a)\in r}=\set{b\in A\mid \exists i\in I \,\, tal \,\, que \,\, b,a\in A_i}=\set{b\in A\mid b\in A_j}=A_j\in p,$ y por lo tanto $\overline{a}^r\in p,$ y así $\psi(r)\subseteq p$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $A_j\in p$ con $j\in I$. Sabemos que $A_j\neq \emptyset$, consideremos $a\in A_j$, como acabamos de ver en la primera contención , $A_j=\overline{a}^r\in \set{\overline{x}^r\mid x\in A}=\psi(r)$ y así $p\subseteq \psi(r)$.

Como se cumplen las dos contenciones $p=\psi(r)$. Y de esta forma dada una partición $p$ existe una relación de equivalencia que bajo $psi$ da por resultado $p$ y por lo tanto $\psi$ es suprayectiva.

Como $\psi$ es suprayectiva e inyectiva $\psi$ es biyectiva.

$\square$

Tarea Moral

  1. Encuentra todas las posibles particiones de $\set{3,6,7,9}$, y para cada una de ellas encuentra la relación de equivalencia asociada.
  2. Considera la relación $\mathcal R$ en $\mathbb Z$, dada por: $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $4$ divide a $b-a$. Verifica que las distintas clases de equivalencia forman una partición de $\mathbb Z$.
  3. Sea $A=\set{1,2,3,4,5}$ y considera la relación dada por:
    $R=\set{(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(4,5),(5,4)}$
    Encuentra la partición asociada.

Más adelante

Con esta nota hemos terminado la unidad 1 del curso de álgebra superior I. En las siguiente nota pasaremos a la unidad 2 donde haremos un estudio de los números naturales a partir de la definición conjuntista.

Enlaces relacionados

Nota anterior. Nota 14 Familias de conjuntos y particiones.

Nota siguiente. Nota 16. Los números naturales.