Sean:

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

$ \beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0) = \beta (t_0) = \vec{x_0}$;

${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$ y

${\beta}’ (t_0) \neq \vec{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha}’ (t_0)$ y ${\beta}’ (t_0)$

$$ \cos \theta = \dfrac{{\alpha}’ (t_0) \cdot {\beta}’ (t_0)}{ \|{\alpha}’ (t_0)\| \|{\beta}’ (t_0)\|}$$

En el siguiente enlace puedes observar un ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/dwafdmgt

Longitud de arco

Sea $ \alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ continua.

Para cada partición del $[a, b]$, $t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \| = \mathcal{L} (C) $$

$\mathcal{L} (C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\vec{p} = \alpha (a)$ hasta $\vec{q} = \alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\left\{ \sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \|; t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b\right\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X}, d)$, con

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{X}$

$$ \mathcal{L}(C)= \sum\limits_{i = 1}^n d \left( \alpha (t_{i-1}), \alpha (t_i) \right)$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Curvas parametrizadas

Sea $$ \alpha (t) = (x(t), y(t), z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t), y(t), z(t))$ la posición en el espacio.

Es decir, para cada $t$ tenemos que:

$$t \longrightarrow (x(t), y(t), z(t))$$

Y la curva representa el camino que describe.

La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:

$$ {\alpha}’ (t) = ({x}'(t), {y}'(t), {z}'(t))$$

$${\alpha}’ (t) = \lim_{\Delta t \to \infty} \dfrac{(\alpha (t_0 \, – \, \Delta t) \, – \, \alpha (t_0))}{\Delta t} $$

Y representa la velocidad instantánea.

La rapidez es $\|{\alpha}’ (t) \|.$

Además, la aceleración instantánea está dada por $${{\alpha}’}’ (t)$$

Movimiento rectilíneo uniforme

Dado el punto $\vec{p_0} (x_0, y_0, z_0)$ que representa la posición inicial.

El vector velocidad constante, está dado por $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3).$

Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$ \alpha (t) = \vec{p_0} + \vec{v}(t)$$ $$ \alpha (t) = (x_0, y_0, z_0) +t(v_1, v_2, v_3)$$ $$ \alpha (t) = (x_0 + t v_1, y_0 + t v_2, z_0 + t v_3)$$

La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t) = \alpha (t_0) + t {\alpha}’ (t_0)$$

Existe una recta tangente si ${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$.

Si ${\alpha}’ (t_0) = \vec{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t) = \vec{p_0}$ para toda $t.$

Los puntos donde ${\alpha}’ (t_0) = 0$ son excepcionales.

https://www.geogebra.org/classic/spwzzvcr

Movimiento circular uniforme

Dada una circunferencia de radio $r > 0$ con centro en $(h, k)$, posición inicial $(x_0, y_0)$ y velocidad inicial $(x’_0, y’_0)$, analizamos diferentes casos para poder calcular su frecuencia, velocidad angular, periodo, amplitud y fase.

Caso sencillo

Radio $r = 1$

Centro $(h, k) = (0, 0)$

Posición inicial $(x_0, y_0) = (1, 0)$

Velocidad inicial $(x’_0, y’_0) = (0, 1)$

Entonces $\left\{ x(t) = \cos (t) \atop y(t) = \sin (t) \right.$

Tenemos que la rapidez unitaria es $\| {\alpha}’ (t)\| = 1.$

Si el periodo es $2\pi$ entonces, para toda $t$:

$\left\{ x(t + 2\pi) = x (t) \atop y(t + 2\pi) = y (t) \right.$

Por lo que $\vec{\alpha} (t) = \vec{\alpha} (t + 2\pi).$

¿Cómo serian las ecuaciones si el movimiento fuera de $\textcolor{Blue}{periodo \; 1}$?

$\left\{ x(t) = \cos (2\pi t) \atop y(t) = \sin (2\pi t) \right.$

Entonces para $t = 0$ la posición es $ (1, 0)$; y para $ t = 1$ la posición también es $(1, 0).$

Luego, la rapidez de $\left\{ x(t) = \cos (2\pi t) \atop y(t) = \sin (2\pi t) \right.$ es

$\left\{ x’ (t) = -2 \sin (2\pi t) \atop y’ (t) = 2 \cos (2\pi t) \right.$

Por lo que $\|(x’ (t), y'(t)) \| = \sqrt{(2 \pi)^2 (\cos^2 (2\pi t) + \sin^2 (2 \pi t))}$,

es decir que la rapidez es: $$\|(x’ (t), y'(t)) \| = 2 \pi $$

Para periodos $T > 0$

$\left\{ x(t) = \cos \left( \frac{2\pi t}{T} \right) \atop y(t) = \sin \left( \frac{2\pi t}{T} \right) \right.$

Entonces para $t = 0$ la posición es $ (1, 0)$; y para $ t = T$ la posición también es $(1, 0).$

¿Cómo serían las ecuaciones si recorremos la circunferencia en el sentido horario, con periodo $T = 2\pi$?

Entonces $\left\{ x(t) = \cos (t) \atop y(t) = – \sin (t) \right.$

Por lo que $(x'(0), y'(0)) = (0, -1).$

Si ahora cambiamos la posición inicial, digamos que $ \vec{p_0} = (x_0, y_0).$

Dado el punto $(x_0, y_0)$, existe un ángulo $\theta$ tal que:

$\left\{ x_0 = \cos (\theta_0) \atop y_0 = \sin (\theta_0) \right.$

Si $(x_0, y_0) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow \theta_0 = 45° = \frac{\pi}{4}$

Si $(x_0, y_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow \theta_0 = 60° = \frac{\pi}{3}$

Luego, para toda $t$ se tiene que:

$\left\{ x(t) = \cos (t + \theta_0) \atop y(t) = \sin (t + \theta_0) \right.$

Cumple que $(x(0), y(0)) = (\cos \theta_0, \sin \theta_0) = (x_0, y_0)$, es decir, en el instante $t_0 = 0$ la posición inicial es $(x_0, y_0).$

Si hubiéramos escrito

$\left\{ x(t) = \cos (t – \theta_0) \atop y(t) = \sin (t – \theta_0) \right.$

Entonces $\left\{ x(\theta_0) = 1 \atop y(\theta_0) = 0 \right.$ es decir, en el instante $t_0 = \theta_0$ la posición es $(1, 0).$

Observación:

Si escribimos $\left\{ x(t) = \cos ( – t) = cos (t) \atop y(t) = \sin ( – t) = – \sin (t) \right.$

entonces estamos recorriendo la circunferencia en sentido horario.

Ahora estudiemos el siguiente caso:

$\left\{ x(t) = \cos (w t ) \atop y(t) = \sin (w t ) \right.$

El periodo es $\frac{2 \pi}{T} = \omega \Rightarrow T = \frac{2 \pi}{\omega}.$

Otro caso:

Si tenemos las ecuaciones $\left\{ x(t) = A \cos (w t ) \atop y(t) = A \sin (w t ) \right.$

y $A = 2$ entonces las ecuaciones

$\left\{ x(t) = 2 \cos (w t ) \atop y(t) = 2 \sin (w t ) \right.$

representan una circunferencia de radio 2. $A$ se denomina amplitud.

Caso centro $(h, k)$

Si el centro está en el punto $(h, k)$, entonces:

$$\left\{ x(t) = A \cos (w t ) + h \atop y(t) = A \sin (w t ) + k \right.$$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de la parametrización.

https://www.geogebra.org/classic/gpuexq9c

Parametrización de elipses e hipérbolas

La elipse : $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$

se puede parametrizar como

$$\left\{ x = a \cos \theta \atop y = b \sin \theta \right.$$

ya que si elevamos al cuadrado ambas ecuaciones obtenemos que $$\left\{ x^2 = a^2 \cos^2 \theta \atop y^2 = b^2 \sin^2 \theta \right.$$ luego, despejando y sumando miembro a miembro observamos que $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$ que es la ecuación de la elipse.

La hipérbola: $$x^2 – y^2 = 1$$

se puede parametrizar como

$$\left\{ x = \sec \theta \atop y = \tan \theta \right.$$

ya que si elevamos al cuadrado cada ecuación tenemos que $$\left\{ x^2 = \sec^2 \theta \atop y^2 = \tan^2 \theta \right.$$ luego, restándolas vemos que $$ x^2 – y^2 = \sec^2 \theta – \tan^2 \theta = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} – \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{1 – \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1 $$ obtenemos la ecuación de la hipérbola.

Otra manera de parametrizar la hipérbola es considerando

$$\left\{ x = \cosh \theta = \dfrac{e^t + e^{-t}}{2} \atop y = \sinh \theta = \dfrac{e^t – e^{-t}}{2}\right.$$

$$ x^2 – y^2 = \cosh^2 \theta – \sinh^2 \theta = 1$$

Longitud de arco

Consideramos una curva parametrizada $$\alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$$ $$\alpha (t) =(x(t), y(t))$$

Sean $P = \alpha (a)$

y $Q = \alpha (b)$

¿Cuál es la longitud de arco desde $P$ hasta $Q$?

• Aproximemos la longitud de la curva como suma de segmentos de recta.

Dibujo A

$\sum\limits_{i = 1}^n \|\alpha (t_i) – \alpha (t_{i-1}) \|$ con la partición $ a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$

Nos preguntamos si hay un teorema del valor medio. Es decir, existe $\rho \in (a, b)$ tal que $$f(\rho) = \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a}$$

Entonces existe $\rho \in (a, b)$ tal que $$\overrightarrow{\alpha}(\rho) = \dfrac{\overrightarrow{\alpha}(b) – \overrightarrow{\alpha}(a)}{b – a} $$

Si así fuera, entonces $$\| {\alpha}'(\rho) \| = \dfrac{\| \overrightarrow{\alpha}(b) – \overrightarrow{\alpha}(a) \|}{b – a} $$

$\sum\limits_{i = 1}^n \|\alpha (t_i) – \alpha (t_{i-1}) \|=\sum\limits_1^n \|\alpha (t_i) – \alpha (t_{i-1}) \|\dfrac{t_i – t_{i-1}}{t_i – t_{i-1}} $

$=\sum\limits_{i = 1}^n \|{\alpha}’ (\xi_i) \| (t_i – t_{i-1})$

Por lo anterior definimos la longitud de arco desde $P$ hasta $Q$ como

$$ \int\limits_a^b \| {\alpha}'(t) \| dt $$

CASO CIRCUNFERENCIA

Para $\omega = 1.$

$x (t) = A \cos (t) + h$

$y (t) = A \sin (t) + k$

Derivando

$x’ (t) = – A \sin (t) \Longrightarrow (x’)^2 (t) = A^2 \sin^2 (t)$

$y’ (t) = A \cos (t) \Longrightarrow (y’)^2 (t) = A^2 \cos^2 (t) $

Sumando ambas igualdades

$(x’)^2 + (y’)^2 = A^2$ por lo que $\| {\alpha}'(t) \| = A.$

Si $P = \alpha (\theta_0)$ y $Q = \alpha (\theta_1)$, entonces

$$ \int\limits_{\theta_0}^{\theta_1} A \, dt = A (\theta_1 – \, \theta_0) = \text{radio } \Delta \theta $$

Una parametrización de una curva en coordenadas polares

Sea $r = f (\theta) $

Donde $\theta = \omega t$ y $ r = f( \omega t)$, que en coordenadas polares es:

$x (t) = f (\omega t) \cos (\omega t)$

$y (t) = f (\omega t) \sin (\omega t)$

Si $\omega = 1$ entonces $\overrightarrow{\alpha} (t) = (x(t), y(t)) = x (t) \vec{e_1} + y (t) \vec{e_2} = r (t) \overrightarrow{\beta} (t)$, donde $\beta (t) = (\cos \theta (t), \sin \theta (t))$

En este caso, ¿cómo calculamos la velocidad?

$x’ (t) = \dfrac{d}{dt} (f(\omega t) \cos (\omega t)) = \omega f'(\omega t) \cos (\omega t) – \sin (\omega t) f(\omega t) \omega$

$y’ (t) = \dfrac{d}{dt} (f(\omega t) \sin (\omega t)) = \omega f'(\omega t) \sin (\omega t) + \cos (\omega t) f (\omega t) \omega$

Luego,

$(x’, y’) = ( \omega f'(\omega t) \cos (\omega t) – \sin (\omega t) f(\omega t) \omega , \omega f'(\omega t) \sin (\omega t) + \cos (\omega t) f(\omega t) \omega )$

$(x’, y’) = \omega f'(\omega t) (\cos (\omega t) , \sin (\omega t) + \omega f(\omega t) ( -\sin (\omega t) , \cos (\omega t)$

$\overrightarrow{\alpha}’ (t) = r’ (t) \overrightarrow{\beta} (t) + r (t) \overrightarrow{\beta}’ (t)$

$\beta$, $\beta’$ son una base de $\mathbb{R}^2$ en la que podemos extresar ${\alpha}’$.

$\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$ son otra base de $\mathbb{R}^2$ en la que también podemos extresar ${\alpha}’$.

Luego, $\alpha’ (t) = x’ (t) \vec{e_1} + y’ (t) \vec{e_2} = r’ (t) \overrightarrow{\beta} (t) + r (t) \overrightarrow{\beta}’ (t)$

Introducción

En este apartado se abordarán los orígenes que dieron lugar al nacimiento de las matemáticas financieras, las primeras operaciones en las que fueron utilizadas, la aparición del concepto de interés, la descripción de las variables y cómo fueron evolucionando a través de los años.

Muchas de las actividades que se realizan a diario y sobre todo las que tienen que ver con decisiones que involucra dinero, se llevan a cabo gracias al uso de la matemática, aunque en la gran mayoría de veces lo hagamos de forma inconsciente.

Y es que justamente la matemática, nos proporciona una gran cantidad de herramientas que nos permiten modelar, al mismo tiempo que nos otorgan información para tomar mejores decisiones cuando nos enfrentamos a algún problema de índole económico.

Historia

El origen del concepto de interés, se puede ubicar a lo largo de la historia, desde el momento en el que, el ser humano, comenzó ha prestar sus bienes o posesiones a otro; exigiendo que se le devuelve el bien o recurso inicial, más aparte una cantidad extra.

A lo largo de miles de años y en diversas culturas como la fenicia, hebrea, griega, egipcia y china, ha sido una práctica común y equitativa recibir una compensación cuando una persona presta un bien, servicio o una suma de dinero a otra persona. Esto nos lleva a pensar que en la idea de que se tiene que hacer un pago en agradecimiento a por haber hecho uso de un bien ajeno. Este pago de compensación, a menudo denominado interés, se fundamenta en el hecho de que el prestamista está cediendo temporalmente su propiedad a favor del prestatario. Durante este período, el prestamista se priva del uso de ese bien, lo que justifica recibir una recompensa que compense esta privación.

En el Siglo XVIII, Jeremy Bentham (1748-1832) formuló la teoría utilitarista, en la que planteaba que todo individuo que prestaba un bien, también sacrificaba la utilidad de que él mismo había podido darle si hubiera decidido conservarlo. De ésta idea surge, que es razonable que al finalizar el dicho préstamo, la persona que había sido beneficiada, otorgará una cantidad extra como por haberse privado de dicho bien o recurso.

Éstas ideas fueron adoptadas por los economistas del siglo XX, en particular por Irving Fisher, el cual desarrollo la teoría del interés, en la que plantea la razón de la exigencia de intereses en la devolución de cualquier préstamo, agregando que dicha compensación no solamente se basa en la utilidad del bien, sino que también agrego la cantidad de tiempo en que fue prestado. Es decir, no sólo tenían que ver aspectos cuantitativos, sino también temporales. Es Fisher quien comienza a introducir la noción de tasas de interés.

Definición interés

Entonces se puede definir al interés, como el pago o compensación que da una persona, a cambio de hacer uso de un bien o dinero, solicitado en calidad de préstamo, durante un cierto tiempo.

En la mayor parte de las operaciones financieras, son basada en hacer pagos por cierta cantidad de dinero, denominada interés, a cambio de hacer uso de dichos recursos económicos. En la mayoría de los bancos, muchos recursos surgen a partir de ésta idea que se acaba de mencionar, muchos de los ingresos que tienen los bancos son generados por el cobro de intereses que generan préstamos otorgados a los clientes.

Desde un punto de vista económico, el concepto de interés, se puede interpretar como el precio que tiene el dinero en el tiempo, es decir, es el costo que se tiene que pagar, por tener acceso de forma anticipada, a ésos recursos económicos.

Como se puede observar, se han citado varios ejemplos de actividades financieras, en las que se muestra, el hecho de pagar una cantidad de dinero, que se definió como interés, por hacer uso de una cantidad de dinero que no se tiene aún. En general todas la actividad financiera, están relacionadas con éste concepto, que tiene que ver con la cantidad de dinero que se produce en cierto tiempo, y que más adelante se le irán adjudicando diferentes conceptos relacionados, como por ejemplo, inversión, rendimiento, ganancias, etc.

El interés será denotado por la letra $I$, y para fines prácticos, se entenderá como la cantidad de dinero pagada, por haber hecho uso de una cantidad económica denominada como capital (mejor conocida como préstamo). Dicho capital será representado por la letra $K$. cuyo valor se irá incrementando de acuerdo con el valor que vaya adquiriendo $I$.

Como ya se menciono, el interés es el pago que se realiza por hacer uso del dinero. De la necesidad de tener una metodología para calcular los intereses es que comenzaron a surgir las matemáticas financieras. Podemos decir que toda operación financiera esta basada en el concepto de un préstamo, en el que hay como mínimo 2 personas involucradas el prestamista que entrega los recursos a un prestatario que es, quien recibe dicha cantidad de dinero, y que luego de haber transcurrido una cierta cantidad de tiempo, devuelve la cantidad recibida inicialmente más una cantidad por concepto de compensación.

Variables que intervienen en el concepto de interés

En una operación financiera, se entiende como interés a la diferencia que hay entre lo que se devuelve y lo que se presta. Para éstos efectos se enuncian a continuación las variables que intervienen en éste fenómeno.

1. $K=$ Es el capital inicial, o el dinero prestado
2. $M=$ Es el dinero final, o capital devuelto
3. $I=$ Interés

De tal forma que para conocer el valor de $I$ se hace lo siguiente:

$$I=M-K$$

En dicha ecuación que se acaba de citar, se muestra la relación que hay entre las variables de capital, monto e interés.

Hay algunas ocasiones en las que se va a requerir calcular cuál es el interés que se cobra por unidad de tiempo, concepto que nos conduce a definir lo que es una tasa de interés, misma que sera denotada por $i$.

En una operación financiera, la tasa de interés $i$, es la proporción que por unidad de capital y de tiempo, habrá de pagarse, por haber disfrutado de un préstamo.

Dicha tasa está dada en tanto por ciento, y siempre se debe especificar su temporalidad o periodicidad, con la cual se va a pagar.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Luis González hace un depósito en el banco por la cantidad de \$20,000, luego de haber transcurrido 30 días, hay en su cuenta la cantidad de \$23.500. ¿Cuánto es la cantidad de interés que le otorgo el banco?

Ejercicio. Una empresa solicita un préstamo a un banco, por la cantidad de $400,000, durante 5 años, al término de dicho tiempo, la empresa tiene que devolver la cantidad de \$500,000. ¿Cuánto es el interés que ésta pagando?

Más adelante…

Se presentan los temas de interés simple, y de interés compuesto que complementarán los conceptos que en éste apartado fueron abordados, así como sus características y las reglas que los rigen.

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Introducción

En este apartado se abordará el primer método para valuar proyectos de inversión, es conocido como Tasa Interna de Retorno, y tiene sus bases en el modelo de interés compuesto, que ya se han venido utilizando anteriormente.

Método de la Tasa Interna de Retorno (TIR), para valuar proyectos de inversión

La Tasa Interna de Retorno (TIR), es la tasa de interés, con la que los flujos de valor presente se hace cero, en otras palabras, es la tasa que hace que los ingresos y los egresos sean iguales.

Regularmente ña ecuación de valor, que se utiliza, describe los flujos de un proyecto de inversión y es de grado mayor que 2, motivo por el cual la TIR, es calculada por medio de un proceso iterativo (de repetición).

En dicha ecuación se reflejan las bases del cálculo de la tasa interna de retorno, y de la valuación de proyectos de inversión:

$$M=K(1+i)^t$$

de dicho modelo surge la siguiente ecuación:

$$0=M-K(1+i)^t$$

ó bien,

$$0=M-Kv^t$$

En dichos modelos la tasa de interés que hace 0 la diferencia entre la cantidad invertida menos la recibida, es lo que se conocerá como tasa de rendimiento de la inversión.

En los proyectos de inversión, en los que no se conoce la cantidad que se va a invertir, la tasa de interés, el plazo, los flujos de la misma, los proyectos de inversión de obras o negocios (tales como obras, adquisición de maquinaria, compra de patentes, modernización tecnológica, etc.), dichos flujos deben ser calculados específicamente para el proyecto del que se esté valuando, una vez obtenidos, calcular el valor presente y su respectiva tasa de interés que vuelve cero la ecuación.

El procedimiento para hacer la valuación es el siguiente:

1. Calcular los ingresos y egresos, que se estén considerados para obtener y para invertir del proyecto, para cada uno de los periodos que dure el proyecto.
2. Obtener el valor presente de los flujos netos (ingresos – egresos) a una cierta tasa.
3. Determinar la tasa interna de retorno (y/o algunos otros indicadores como la TIR ajustada), el periodo de recuperación, la rentabilidad contable media, y el índice de rentabilidad.

Algunas reglas para su uso

1. El cálculo de los ingresos así como de los egresos, debe de hacerse basándose en estudios de mercado (precios y cantidades), costo de las construcciones y maquinaria, duración de las máquinas, su tiempo de vida, tiempos de instalación, de mantenimiento, además; de considerar el capital de trabajo que se necesitara para operar.
2. Determinar la periodicidad de los «cortes» que sea acorde a la duración del proyecto.
3. Hacer uso de una tasa adecuada para determinar el valor presente neto.
4. Ser cuidadoso al interpretar el manejo de las TIR’s no calculables o de varios valores.
5. Tener cuidado con proyectos que consideren inversiones posteriores, las cuales arrojen flujos negativos.
6. La aceptación o rechazo de la TIR dependerá de su tamaño. En general si la TIR es mayor que la tasa de referencia que se esté usando (como por ejemplo, tasa CETE o alguna otra), el proyecto se acepta, si es menor, entonces el proyecto se rechaza.
7. El inversionista puede solicitar, para algún proyecto cualquiera, que se calcule una prima de riesgo por que involucra al proyecto mismo. Dicha tasa se convierte en una «sobretasa» que se suma a la tasa de referencia. Su tamaño dependerá del tamaño del riesgo, a mayor riesgo, mayor tasa.
8. La tasa de rendimiento que espera tener el inversionista se compara contra la que arroja la valuación del proyecto.
9. Hay casos en los que la TIR no puede ser calculada, o puede tener varios valores. En dichas situaciones el analista deberá revisar los flujos, y en caso de ser necesario, partir el proyecto en varias etapas, para valuar por separado cada uno, obtener las TIR’s y luego de eso, poder tomar la decisión que corresponda.

Si la tasa de rendimiento esperara es > que la TIR, entonces se rechaza

Si la tasa de rendimiento esperada es < que la TIR, entonces se acepta.

Es importante señalar que la TIR se calcula por iteraciones tomando como base los flujos netos a los precios del periodo que corresponde.

Las tasas de cada iteración arrojan un determinado VPN, la TIR es la tasa a la que el VPN es igual a CERO. La TIR debe de tener una periodicidad de una tamaño que cada de los periodos.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. A continuación, se quiere calcular la TIR del proyecto de inversión en una planta armadora de equipo electrónico, con los siguientes registros:

Ejercicio. Se tiene un proyecto de inversión, para el cual se tuvo el registro que muestra los siguientes flujos de efectivo:

1. Inversión inicial de 5000 pesos
2. El proyecto en cuestión ofrece tener un ingreso de 3000 pesos en el primer año, 3500 en el segundo año.

Se desea conocer la TIR, y determinar si el proyecto es viable

Más adelante…

Se continuaran abordando, diferentes formas de combinar cada una de las herramientas que se van adquiriendo en cada apartado, con la finalidad de poder evidenciar su aplicación, así como sus respectivas reglas para utilizarlas.

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Introducción

En éste apartado se abordará otra metodología para valuar proyectos de inversión la cual es conocida como Valor presente neto, que como su nombre lo indica, consiste en determinar el valor presente de los flujos.

Método del Valor Presente Neto

Consiste en obtener el valor presente de los flujos de efectivo netos, con una cierta tasa esperada de rendimiento. Dicha tasa, queda determinada o pactada por el inversionista, en base a sus aspiraciones que tenga sobre el negocio, Para ello pueden hacer uso de tasas de referencia como el CETE, la TIIE, etc.

Procedimiento

1. Determinar el flujo neto así como, calcular los flujos de ingreso y de egresos.
2. Obtener el valor presente de todos los flujos netos usando la tasa de rendimiento esperada.
3. Realizar la suma de todos los valores presentes para obtener el Valor Presente Neto del proyecto de inversión.

Criterio:

Si el Valor Presente Neto es igual o mayo a cero, entonces aprueban el proyecto

Si el Valor Presente Neto es negativo, es decir; menor que cero, entonces se rechaza el proyecto.

$$VPN=F_1(1+i)^1+F_2(1+i)^2+…+F_n(1+i)^n$$

o también se puede expresar como:

$$VPN=\sum_{j=1}^nF_j(1+i)^{-j}=\sum_{j=1}^nF_jv_i^j=\sum_{j=1}^nF_j(1-d)^{j}$$

donde:

$VPN =$ Valor Presente Neto

$F_j=$ Flujo de efectivo del periodo $j$-ésimo

$i=$ tasa de rendimiento a la que se descuentan los flujos

$v=\frac{1}{(1+i)}$

$d=$ tasa de descuento equivalente a $i$

$n=$ número de años del proyecto

Reglas para su aplicación:

1. Hay proyectos de inversión, en los que la fecha de inicio es a fin de año, lo cual puede ocasionar que la ecuación del modelo que estamos usando, comience en la potencia cero, es decir: $v^0$
2. Cuando se tengan proyectos donde los flujos terminen en el año $n$, se considera que dicho plazo corresponde a la vida útil del proyecto. Sin embargo, los proyectos puede ocurrir que los proyectos continúen por más años.
3. Para los casos en los que ocurre que los proyectos continúan existiendo por más tiempo, para calcular el VPN total, se determinan los ingresos y egresos para los años siguientes (regularmente se establece un flujo fijo), es decir; se obtiene su calor presente y se le suma al VPN calculado en la primer instancia.

$$VPNT=\sum F_jv^n+\sum F_kv^{m+n}$$

lo anterior, con flujos de efectivo para cada año después del $n$

$$VPNT=\sum F_jv^n+\sum \frac{Fc}{i}v^{n}$$

la expresión anterior, con flujos iguales para cada año, después del $n$

Cabe hacer mención que hay una variante del método del VPN, el cual se llama Valor Presente Ajustado (VPA), el cual se obtiene restando al VPN el costo de oportunidad al capital que se invirtió.

$VPA=VPN-$ costo de oportunidad

El costo de oportunidad, se entenderá como «la pérdida o costo» que se incurre al haber seleccionado la opción «X» en lugar de la opción «Y». Dicho costo de oportunidad se calcula valuando los flujos de efectivo, que se obtendrían de haber invertido los recursos en un instrumento bancario de renta fija.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. En el siguiente ejercicio tenemos el siguiente planteamiento: Un inversionista destino sus recursos al siguiente proyecto de inversión en una empresa que se dedica a armar equipo electrónico, de la cual obtuvo los siguientes registros y desea calcular el Valor Presente Neto de dicho proyecto.

Ejercicio. A continuación se muestran flujos de efectivo de un proyecto de inversión, como a continuación se enlistan:

0. -1000, en el periodo

1. se registra una cantidad de 100,
2. se registra una cantidad de 200
3. se registra una cantidad de 700
4. se registra una cantidad de 700

Y el inversionista quiere saber, por medio del método del Valor Presente Neto, si dicho proyecto le conviene

Más adelante…

A lo largo de este material se continuara abordando otros métodos para valuar proyectos de inversión, con la finalidad de evidenciar su importancia, así como la forma en que deben de utilizarse en la práctica real.

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