MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En esta entrada enunciaremos y probaremos el teorema de cambio de variable lineal para integrales de Lebesgue. Éste es un análogo al cambio de variable para integrales de Riemann que nos permite transformar integrales a versiones más simples o manejables.
Teorema (cambio de variable lineal). Sea $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz invertible de $n\times n$ . Para cada función $f:\mathbb{R}^n\to [-\infty,\infty]$. Consideremos $$f\circ T (x)=f(Tx).$$ Entonces:
- Si $f$ es medible $\implies$ $f\circ T$ es medible.
- Si $f\geq 0$ y $f$ es medible, entonces: $$\int f \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int f\circ T \ \mathrm{d}\lambda.$$
- Si $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$, entonces $f\circ T\in L^1(\mathbb{R}^n)$ y $$\int f \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int f\circ T \ \mathrm{d}\lambda.$$
Demostración. Sea $A$ un conjunto medible. Notemos que $\chi_A\circ T=\chi_{T^{-1}A}$, pues $\chi_A\circ T(x)=1$ $\iff$ $T(x)\in A$ $\iff$ $x\in T^{-1}A$. Esto también nos garantiza que $\chi_A\circ T$ es medible. Por el teorma de invarianza de la medida de Lebesgue bajo transformaciones lineales tenemos entonces:
\begin{align*}
\int \chi_A\circ T \ \mathrm{d}\lambda &= \int \chi_{T^{-1}A} \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \lambda(T^{-1}A) \\
&= |\det T^{-1}|\lambda(A) \\
&= \frac{1}{|\det T|} \int \chi_{A} \ \mathrm{d}\lambda.
\end{align*}
Es decir, $$\int \chi_A \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int \chi_A\circ T \ \mathrm{d}\lambda.$$
Ahora, por linealidad, podemos concluir que para cualquier función simple no negativa $s\in S$, $s\circ T$ es medible con $$\int s \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int s\circ T \ \mathrm{d}\lambda.$$ Pues $$\int \sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{A_k} \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int \sum_{k=1}^{m}\alpha_k (\chi_{A_k}\circ T) \ \mathrm{d}\lambda.$$
Para el caso general, consideremos $f\geq 0$ una función medible no negativa y ${ s_k }_{k=1}^{\infty}\subseteq S$ una sucesión de funciones simples tales que $s_k\uparrow f$. Es inmediato verificar que $s\circ T\uparrow f\circ T$, por lo que $f\circ T$ es medible. Además, por el teorema de la convergencia monótona tenemos:
\begin{align*}
\int f \ \mathrm{d}\lambda &= \lim_{k\to \infty} \int s_k \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \lim_{k\to \infty} |\det T|\int s_k\circ T \ \mathrm{d}\lambda \\
&= |\det T| \int f\circ T \ \mathrm{d}\lambda.
\end{align*}
Finalmente veamos el caso $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$. Podemos escribir $f=f_+-f_-$ con $\int f_{\pm} \ \mathrm{d}\lambda<\infty$. Similarmente $f\circ T=f_+\circ T-f_-\circ T$. Por el caso anterior, tenemos: $$\int f_{\pm} \ \mathrm{d}\lambda=|\det T| \int f_{\pm}\circ T \ \mathrm{d}\lambda.$$
De donde $\int f_{\pm}\circ T \ \mathrm{d}\lambda<\infty$, es decir, $f\circ T \in L^1(\mathbb{R}^n)$ y además:
\begin{align*}
\int f \ \mathrm{d}\lambda &= \int f_+ \ \mathrm{d}\lambda-\int f_- \ \mathrm{d}\lambda \\
&= |\det T|
\int f_+\circ T \ \mathrm{d}\lambda-|\det T|\int f_-\circ T \ \mathrm{d}\lambda \\
&= |\det T|\left( \int f_+\circ T \ \mathrm{d}\lambda-\int f_-\circ T \ \mathrm{d}\lambda \right) \\
&= |\det T| \int f\circ T \ \mathrm{d}\lambda
\end{align*}
Tenemos un resultado similar para las transformaciones afínes. La demostración es idéntica a la del teorema anterior (solo hay que usar adicionalmente la invarianza de la medida de Lebesgue bajo traslaciones). Dejamos los detalles como tarea moral.
Teorema (cambio de variable afín). Sea $G(x)=Tx+c$ una transformación afín, donde $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz invertible de $n\times n$ y $c\in \mathbb{R}^n$ es un vector. Sea $f:\mathbb{R}^n\to [-\infty,\infty]$. Consideremos $$f\circ G (x)=f(Tx+c)$$ Entonces:
- Si $f$ es medible $\implies$ $f\circ G$ es medible.
- Si $f\geq 0$ y $f$ es medible, entonces: $$\int f \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int f\circ G \ \mathrm{d}\lambda.$$
- Si $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$, entonces $f\circ G\in L^1(\mathbb{R}^n)$ y $$\int f \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int f\circ G \ \mathrm{d}\lambda.$$
Más aún, podemos especializarlo a integrales sobre conjuntos:
Corolario (cambio de variable afín). Sea $G(x)=Tx+c$ una transformación afín, donde $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz invertible de $n\times n$ y $c\in \mathbb{R}^n$ es un vector. Sea $f:E\to [-\infty,\infty]$ una función sobre un conjunto medible $E$. Consideremos $$f\circ G (x)=f(Tx+c).$$ La cual está definida en $G^{-1}(E)$. Entonces:
- Si $f$ es medible sobre $E$ $\implies$ $f\circ G$ es medible sobre $G^{-1}(E)$.
- Si $f\geq 0$ y $f$ es medible, entonces: $$\int_E f \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int_{G^{-1}(E)} f\circ G \ \mathrm{d}\lambda.$$
- Si $f\in L^1(E)$, entonces $f\circ G\in L^1(G^{-1}(E))$ y $$\int_E f \ \mathrm{d}\lambda=|\det T|\int_{G^{-1}(E)} f\circ G \ \mathrm{d}\lambda.$$
Demostración. Por el corolario anterior, notemos que $f$ medible sobre $E$ $\implies$ $f\chi_E$ es medible $\implies$ $(f\chi_E)\circ G=f\circ G \cdot \chi_E\circ G=f\circ G \cdot \chi_{G^{-1}(E)}$ es medible, o equivalentemente, $f\circ G$ es medible sobre $G^{-1}(E)$.
Si $f\geq 0$ sobre $E$, claramente $f\circ G\geq 0$ sobre $G^{-1}(E)$. Si $f\in L^1(E)$ $\implies$ $f\cdot \chi_E\in L^1(\mathbb{R}^n)$ $\implies$ $(f\cdot \chi_E)\circ G=f\circ G \cdot \chi_{G^{-1}(E)}\in L^1(\mathbb{R}^n)$ $\implies$ $f\circ G \in L^1(G^{-1}(E))$. En ambos casos:
\begin{align*}
\int_E f \ \mathrm{d}\lambda &= \int f\cdot \chi_E \ \mathrm{d}\lambda \\
&= |\det T| \int (f\cdot \chi_E)\circ G \ \mathrm{d}\lambda \\
&= |\det T| \int (f\circ G)\cdot (\chi_E\circ G) \ \mathrm{d}\lambda \\
&= |\det T| \int (f\circ G)\cdot \chi_{G^{-1}(E)} \ \mathrm{d}\lambda \\
&= |\det T| \int_{G^{-1}(E)} f\circ G \ \mathrm{d}\lambda
\end{align*}
Comentario. Los resultados anteriores son generalizaciones de los cambios de variable para integrales de Riemann (mientras el cambio de variable sea afín). Las reglas mnemotécnicas para efectuar los cambios de variable en integrales de Riemann generalmente también aplican para integrales de Lebesgue y a menudo son útiles para simplificar los cálculos. Por ejemplo, de ser conveniente, podríamos hacer un cambio de variable en la integral
$$\int_Ef(G(x)) \ \mathrm{d}x.$$ Escribamos (simbolicamente):
\begin{align*}
u &= G(x) = Tx+c \\
\implies \mathrm{d}u &= |\det T| \ \mathrm{d}x \\
\implies \frac{1}{\det T} \ \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x.
\end{align*}
Y para el cambio de dominio de integración, podemos pensar que «integrar sobre $x\in E$ equivale a integrar sobre $u=G(x)\in G(E)$». Sustituyendo simbólicamente $G(x)$ y $\mathrm{d}x$ en la integral y cambiando el dominio: $$\int_Ef(G(x)) \ \mathrm{d}x=\int_{G(E)}f(u) \ \frac{ \mathrm{d}u}{|\det T|}=\frac{1}{|\det T|}\int_{G(E)}f(u) \ \mathrm{d}u.$$
Que es precisamente el corolario anterior. Veamos un ejemplo concreto.
Ejercicio. Calcular la integral: $$\int_0^\infty \frac{1}{4x^2+6x+9} \ \mathrm{d}x.$$
Solución. Hagamos el cambio de variable $u=2x+3=G(x)$. Notemos que $G[0,\infty)=[3,\infty)$ y el determinante de la transformación lineal asociada a $G$ ($x\to 2x$) es 2. Simbólicamente: $\mathrm{d}u=2 \ \mathrm{d}x$. Luego la integral se reduce a:
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{1}{4x^2+6x+9} \ \mathrm{d}x
&= \int_0^\infty \frac{1}{(G(x))^2} \ \mathrm{d}x \\
&= \frac{1}{2} \int_3^\infty \frac{1}{u^2} \ \mathrm{d}u \\
&=\frac{1}{2} \lim_{N\to \infty} \int_3^N \left(-\frac{1}{u}\right)’ \ \mathrm{d}u \\
&= \frac{1}{2}\lim_{N\to \infty}\left[ -\frac{1}{u}\right]_{u=3}^{u=N} \\ &= \frac{1}{2}\lim_{N\to \infty} \left[ \frac{1}{3}-\frac{1}{N}\right] \\
&=\frac{2}{6}.
\end{align*}
Ejemplo. A veces podemos encontrarnos con familias de integrales con dominio variable. Para simplificar cálculos, a menudo conviene reescribirlas en «dominios fijos». Por ejemplo, en el caso de integrales de alguna función $f\in L^1$ sobre bolas de radio variable:
$$B(r)=\int_{B_{r}(x_0)}f(y) \ \mathrm{d}y. $$
Para cada $r$ fijo, podemos hacer el cambio de variable $$y=rz+x_0$$ para cambiar el dominio de integración a la bola unitaria. Observa que el determinate de la tranformación $z\to rz$ es $r^n$.
$$B(r)=\int_{B_{r}(x_0)}f(y) \ \mathrm{d}y=r^n\int_{B_{1}(0)}f(rz+x_0) \ \mathrm{d}z.$$
Más adelante…
Introduciremos el Teorema de Fubini: Un teorema fundamental en la teoría de integración que nos permite descomponer integrales sobre $\mathbb{R}^n$ en integrales iteradas más sencillas.