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Otras propiedades de las medidas

Por César Mendoza

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Hasta ahora, hemos visto resultados válidos en cualquier espacio de medida (X,M,μ). Sin embargo, hay algunas otras propiedades específicas que tienen consecuencias teóricas relevantes. En esta sección revisaremos brevemente algunas de las más importantes.

Las primeras dos están relacionadas con el «tamaño» de una medida.

Definición. Sea (X,M,μ) un espacio de medida. Diremos que μ es una medida \textbf{finita} si μ(X)<. Diremos que μ es σ-finita si X puede ser expresado como una unión numerable de conjuntos de medida finita: X=k=1Ek con μ(Ek)< para tood k.

Observación. Toda medida finita es σ-finita, pero el regreso es falso como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en Rn es σ-finita pues podemos escribir a Rn como una unión numerable de conjuntos de medida finita, sin embargo, no es una medida finita pues λ(Rn)=.

Ejemplo. La medida de Lebesgue inducida en cualquier conjunto acotado es finita.

Ejemplo. Sea (X,2X,μ) un espacio con la medida de conteo. μ es finita si y sólo si X es un conjunto finito. μ es σ-finita si y sólo si X es un conjunto a lo más numerable.

La siguiente propiedad está relacionada con la «densidad» de una medida.

Definición. Sea (X,M,μ) un espacio de medida. Diremos que la medida μ es completa si cualquier subconjunto de un conjunto de medida cero es medible: MNX; NM y μ(N)=0 MM.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en Rn es completa pues cualquier subconjunto de un conjunto nulo es nulo (por tanto Lebesgue medible).

Ejemplo. La medida de Lebesgue en Rn restringida a los conjuntos de Borel (Rn,Bn,λ|Bn) NO es completa. Existen conjuntos nulos que no son Borel medibles.

Ejemplo. La medida de conteo sobre cualquier espacio es completa. En este caso el único conjunto con medida cero es el vacío.

El siguiente resultado nos dice que cualquier medida puede ser «modificada» para tener una medida completa.

Proposición (Completación de una medida). Dado un espacio de medida (X,M,μ), tal que la medida NO es completa, podemos «modificarlo» para obtener una medida completa. Definamos M y μ como:

  • AM existen B,CM tales que BAC y μ(CB)=0. En este caso definimos μ(A)=μ(B)=μ(C).

μ está bien definida pues si B1,C1,B2,C2M con B1,B2AC1,C2 y μ(C1B1)=μ(C2B2)=0, tenemos C1C2C1B1; C2C1C2B2 μ(C1C2)=μ(C2C1)=0 μ(C1)=μ(C1)μ(C1C2)+μ(C2C1)=μ(C2). Similarmente μ(B1)=μ(B2). Además MM y μ=μ sobre M, pues si AM AAA y μ(AA)=0.

Veamos que M es una σ-álgebra. Claramente M. Si AM, por definición existen B,CM con BAC y μ(CB)=0 CcAcBc y μ(BcCc)=μ(CB)=0 lo que implica que AcM. Si A1,A2,M, existen B1,B2,; C1,C2, en M tales que BkAkCk y μ(CkBk)=0 para cada kN. Luego: k=1Bkk=1Akk=1Ck (con el primer y último conjunto en M) y μ(k=1Ckk=1Bk)μ(k=1(CkBk))k=1μ(CkBk)=0, por lo que k=1AkM.

Finalmente, veamos que μ es una medida. Sean A1,A2,M conjuntos ajenos. Tomando B1,B2,; C1,C2, como en el párrafo anterior, se sigue que k=1Bkk=1Akk=1Ck, μ(k=1Ckk=1Bk)=0. En particular, los Bk son ajenos y μ(k=1Ak)=μ(k=1Bk)=k=1μ(Bk)=k=1μ(Ak). Así que μ es una medida.

A la medida μ construida en el ejemplo anterior se le conoce como la completación de μ.

Observación. La completación de una medida completa es ella misma.

Ejemplo. La completación de la medida de Lebesgue restringida en los conjuntos de Borel es la medida de Lebesgue estándar.

Para efectos de integración, casi siempre podemos asumir que la medida es completa. El siguiente resultado justifica esta idea.

Proposición. Sea (X,M,μ) un espacio de medida y (X,M,μ) su completación. Entonces:

  1. Para cualquier función M-medible f:X[,] existe una función M-medible g:X[,] tal que f=g en M-casi todo punto.
  2. Si g:X[0,] es una función M-medible no negativa, entonces g es M medible y además g dμ=g dμ.
  3. Si gL1(X,M,μ) gL1(X,M,μ y además g dμ=g dμ.

Demostración.

  1. Veamos primero el caso de una función simple. Sea s=k=1mαkχAk M-medible. Como A1,A2,,An son M medibles, podemos encontrar B1,B2,,Bm conjuntos M-medibles tales que BjAj y μ(AjBj)=0 (en particular μ(Bj)=μ(Aj)). Entonces la función s=k=1mαkχBk es M medible y es igual μ en c.t.p. a s (y de hecho ss).
    Ahora consideremos una función M-medible f. Sea sk una sucesión de funciones simples M-medibles tales que skf. Por el caso anterior, podemos encontrar una sucesión de funciones simples M-medibles {sk}k=1 tales que sk=sk en M c.t.p. La función supsk es una función M-medible e igual a f en μ- c.t.p.
    El caso general se sigue de escribir f=f+f y aplicar el caso anterior a f+ y f por separado.
  2. Si g0 es M-medible entonces en automático es M-medible pues MM. Si denotamos como SM y SM a las funciones simples, no negativas M y M medibles respectivamente, entonces:
    sup{s dμ | sSM; sg}sup{s dμ | sSM; sg}.
    Pues el conjunto de la izquierda está contenido en el de la derecha (SMSM). Más aún, los conjuntos son iguales: la construcción del inciso anterior muestra que para cualquier sSM con sf, existe sSM tal que ssf y s dμ=s dμ. Por definición de la integral se sigue que: g dμ=g dμ.
  3. Se sigue de escribir g=g+g y aplicar el inciso anterior a g+ y g por separado.

Más adelante…

Tarea moral

Integración en espacios de medida

Por César Mendoza

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada pasada generalizamos el concepto de medida para espacios abstractos. Ahora veremos como extender el concepto de integración sobre un espacio de medida abstracta y analizaremos un par de ejemplos clásicas.

Un comentario importante

La mayoría de definiciones y resultados que hemos establecido hasta ahora para la medida e integral de Lebesgue son válidos también para espacios de medida en general (salvo los teoremas de cambios de variable y Fubini). La razón de esto es que las propiedades de la medida de Lebesgue en Rn son, por definición, las mismas que las de cualquier medida sobre un espacio abstracto (X,M,μ). Por ésta razón omitiremos la mayoría de pruebas pues, esencialmente, ya las hemos hecho. En prácticamente todos los casos, basta reemplazar dentro de los argumentos las menciones de (Rn,Ln,λ) por (X,M,μ) respectivamente.

La única excepción son los teoremas de caracterización de conjuntos medibles utilizados en la demostración de los teoremas de cambio de variable y Fubini. Estos resultados destacan la relación que existe entre la medida de Lebesgue y topología de Rn.

Integración en espacios de medida

Para definir la integral en espacios de medida general, podemos seguir el mismo órden que usamos para definir la integral en Rn. En lo que sigue (X,M,μ) denotará un espacio de medida (salvo que se especifique lo contrario). Por simplicidad, nos referiremos a las funciones M-medibles simplemente como medibles.

Recordemos primero la definición de funciones simples:

Definición. Decimos que s:X[,] es una función simple si toma solamente una cantidad finita de valores.

Definición. Dado X un conjunto y M una σ-álgebra sobre X, denotamos por SM (o simplemente S) al conjunto de funciones simples y M-medibles s, tales que 0s<.

Observemos que toda función sSM. Se puede escribir como s=k=1mαkχEk,
donde 0αk< y los conjuntos Ek son M-medibles y ajenos.

Una de las propiedades más importantes de las funciones medibles era la siguiente:

Teorema. Supongamos que f:X[,] es M medible. Entonces existe una sucesión s1,s2, de funciones simples M medibles tales que limksk=f.
Si f0, podemos tomar la sucesión de modo que 0s1s2  . O más generalmente, podemos tomar la sucesión de modo que |s1| |s2| . Si f es acotada, podemos hacer que la convergencia sea uniforme.

Cuando sea claro del contexto, denotaremos a SM como S.

Definición. Dado un espacio de medida (X,M,μ) y una función simple s=k=1mαkχEkSM, definimos su integral como:
Xs dμ=k=1mαkμ(Ek).

Definición. Dada una función M-medible no negativa f:X[0,], definimos su integral como:

fX dμ=sup{Xs dμ | sf, sS}.

Otras formas comunes para referirse a la integral son:

f dμ,   f(x) dμ(x),   Xdμ f,   Xdμ(x) f(x).

Por simplicidad, usaremos la primera forma siempre que el espacio de medida sobre el cual estemos trabajando sea claro.

Proposición (Propiedades de la integral de una función no negativa). Sean f,g:X[0,] funciones medibles. Entonces:

  1. La integral de cualquier función medible no negativa f está bien definida.
  2. 0f dμ.
  3. Si 0c< es una constante, cf dμ=cf dμ.
  4. Si fg, entonces f dμg dμ.
  5. Si f dμ=0 μ(x | f(x)>0)=0.
  6. (f+g) dμ=f dμ+g dμ.

También podemos dar versiones generales de los teoremas de convergencia para integrales. Nuevamente las demostraciones son idénticas al caso en Rn así que las omitimos.

Teorema (de convergencia monótona de Lebesgue). Sea fkk=1 una sucesión creciente de funciones medibles no negativas sobre X: 0f1f2f3 Entonces limkfk dμ=(limkfk) dμ.

Teorema (Lema de Fatou). Sean f1,f2,f3, funciones medibles y no negativas. Entonces: (lim infkfk) dμlim infkfk dμ.

Definición. Sea f:X[,] una función medible, con parte positiva y negativa f+ y f respectivamente. Diremos que f es integrable si f+ dμf dμ está bien definido y definimos su integral como:
f dμ=f+ dμf dμ.
Denotaremos la clase de funciones integrables como L1(X,M,μ),L1(X) o simplemente como L1 si el espacio de medida es claro del contexto.

Proposición (propiedades de la integral de funciones L1). Sean f,g:X funciones en L1.

  1. (Desigualdad del triángulo). |f dμ||f| dμ. y además fL1 |f|L1.
  2. (Linealidad). Dados a,bR constantes, entonces (af+bg) dμ=af dμ+bg dμ.
  3. Si fg f dμg dμ.

Teorema (de convergencia dominada). Sean f1,f2,f2, una sucesión de funciones medibles sobre X tales que limkfk(x) Existe para (c.t.p.) xX, y además existe una función gL1(X) tal que fk(x)g(x) Para (c.t.p.) xRn y kN. Entonces fL1(X) y (limkfk) dμ=limkfk dμ.

En el teorema pasado hacemos uso del concepto de «en casi todo punto». Éste es identico al caso en Rn: Una propiedad se cumple en «casi donde sea» o «en casi todo punto» (abreviado por c.t.p.) si el conjunto de puntos donde NO se cumple tal propiedad es de medida (μ) cero. Naturalmente también hay versiones en casi todo punto de los teoremas de convergencia monótona y el Lema de Fatou pero omitimos su enunciado.

Al igual que antes, los conjuntos de medida cero no afectan el valor de la integral.

Proposición (insensibilidad de la integral). Sean f,g:X[,] funciones medibles tales que μ(x | f(x)g(x))=0. Luego, si f0 f dμ=g dμ. Y si fL1(X) gL1(X) con f dμ=g dμ.

Si bien la integral sobre un espacio de medida abstracto tiene propiedades análogas a las de la integral de Lebesgue en Rn, ésta nos puede decir información muy diferente dependiendo del espacio sobre el que estemos trabajando. Veamos un ejemplo concreto: La integral respecto a la medida de conteo.

Ejemplo. Consideremos (X,2X,μ), donde X es un conjunto finito o numerable y μ es la medida de conteo. Notemos que cualquier función f:X[,] es medible pues f1([,t])2X para cualquier t.

Ahora, sea f0 una función no negativa. Como X es numerable podemos escribir: f(y)=xXf(x)χx(y)
Aplicando el teorema de la convergencia monótona y linealidad:
f dμ=xXf(x)χx dμ=xX(f(x)χx dμ)=xXf(x)μ(x) =xXf(x).

(La medida de cualquier conjunto unitario bajo la medida de conteo es 1). Esto nos dice que la integral bajo la medida de conteo es simplemente la suma de los valores de la función.

Más generalmente, dada f:X[,], recordemos fL1(X) |f|L1(X). Como |f| dμ=f+ dμ+f dμ=xXf+(x)+xXf(x)
Concluimos que fL1(X) si y sólo si la serie xXf(x) converge absolutamente. En cuyo caso la integral resulta nuevamente: f dμ=xXf(x).
En general, la integral respecto a la medida de conteo sobre conjuntos no numerables se comporta de manera muy similar salvo ciertas restricciones sobre el «soporte» de las funciones.

De igual manera, podemos definir integrales sobre conjuntos:

Definición. Dada una función definida (en c.t.p.) de un conjunto medible E, diremos que f es medible sobre E si fχE es M-medible (convenimos fχE(x)=0 si f no está definida en x). O equivalentemente si f1(B)M para cualquier conjunto de Borel B.

Definimos la integral de f sobre E (cuando tenga sentido) como: Ef dμ=fχE dμ.
Diremos que fL1(E) si fχEL1(X).

La integral sobre conjuntos tiene propiedades análogas a las de la integral sobre conjuntos de Rn. Omitimos los detalles.

Ejemplo. Dado (X,M,μ) un espacio de medida y EM un conjunto medible, definimos la σ-álgebra inducida sobre E como ME={FE | FM}. Definimos la medida inducida por μ sobre E como μE(A)=μ(A)      AME.
Es fácil ver que (E,ME,μE) forman un espacio de medida. Más aún, siempre que tenga sentido se tiene que: Ef dμ=f dμE. Es decir, la integral sobre un conjunto se puede pensar como la integral respecto a la medida inducida. La verificación de este hecho es de rutina y se queda como tarea moral.

Más adelante…

Tarea moral

Medidas generales

Por César Mendoza

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Hasta ahora, nos hemos limitado a estudiar el problema de la medida e integración en Rn, sin embargo, todo lo que hemos visto se puede generalizar de manera automática en un contexto más general.

La integración en espacios generales de medida es una generalización poderosa de la integral de Lebesgue, que extiende el concepto de integración a espacios más abstractos. Es fundamental en la formulación moderna de la teoría de probabilidad y tiene un sinnúmero de consecuencias dentro del análisis y sus aplicaciones. En esta entrada definiremos el concepto de espacio de medida, veremos algunos ejemplos y sus principales propiedades.

Un salto a la generalidad

Definición.Un espacio de medida (X,M,μ) es una terna con:

  1. X un conjunto no vacío.
  2. M2X una σ-álgebra [ENLACE] sobre el conjunto X.
  3. Una medida sobre (X,M), es decir, una función μ:M[0,] que satisface:
    • μ()=0
    • Para cualesquiera A1,A2, conjuntos disjuntos en M, μ(k=1Ak)=k=1μ(Ak).

Cuando la σ-álgebra sea clara del contexto, diremos simplemente que μ es una medida sobre X.

En ésta y en las próximas entradas, (X,M,μ) denotará un espacio de medida arbitrarios salvo que se especifique lo contrario.

Algunos ejemplos típicos

Las medidas generales tienen propiedades «similares» a la medida de Lebesgue, aunque pueden surgir de contextos MUY distintos. Dedicaremos esta sección a ver algunos ejemplos clásicos.

Ejemplo. Por supuesto, X=Rn, M=Ln y μ=λ forman un espacio de medida.

Ejemplo. La medida de Lebesgue restringida a los Borelianos, es decir, X=Rn, M=Bn y μ=λ|Bn, forman un espacio de medida.

Ejemplo. Cualquier conjunto no vacío X, con M=2X y μ(A)= si A forman un espacio de medida.

Ejemplo. Cualquier conjunto no vacío X, M=2X y μ la función definida por:

μ(A)={#Asi A es finito si A es infinito 

Donde #A denota la cardinalidad de A, forman un espacio de medida. En este caso, a la medida μ se le llama la medida de conteo sobre X. Para ello, basta probar que, μ(k=1Ak)=k=1μ(Ak). Para cualesquiera A1,A2 conjuntos disjuntos:

  • Si algunos de los Ai es infinito, k=1Ak es automáticamente infinito, por lo que μ(k=1Ak)=. Por otro lado, como μ(Ai)=, automáticamente k=1μ(Ak)==μ(k=1Ak).
  • Si todos los Ak son finitos pero #Ak>0 para una cantidad infinita de k, entonces k=1Ak es infinito μ(k=1Ak)=. De igual manera k=1μ(Ak)= al tener una cantidad infinita de sumandos 1.
  • Si #A=0 salvo para una cantidad finita de k, digamos A1,,AN k=1Ak=k=1NAk μ(k=1Ak)=k=1N#Ak=k=1Nμ(Ak)=k=1μ(Ak)

Ejemplo. Para cualquier conjunto no vacío X, M=2X, x0X un punto fijo y la función μ dada por:
μ(A)=χA(x0).
Forman un espacio de medida. En este caso a μ se le conoce como la medida de Dirac en x0 y se denota normalmente por δ(x0).

Ejemplo. Un espacio de Probabilidad es un espacio de medida (X,M,μ) tal que μ(X)=1. En este caso a μ se le conoce como medida de Probabilidad. Generalmente se reserva la letra P para referirse a las medidas de probabilidad.

Ejemplo. Sea X=Rn y M=Ln. Cualquier función medible no negativa f:Rn[0,] induce una medida μf dada por μf(E)=Ef dλ.
Esto es consecuencia de la aditividad numerable de la integral [ENLACE].

Propiedades de las medidas generales

Proposición. Sea (X,M,μ) un espacio de medida. Entonces

  1. (Monotonía). Si A,BM y AB, entonces μ(A)μ(B).
  2. (Subaditividad). Si Akk=1M, entonces μ(k=1Ak)k=1μ(Ak).
  3. (Continuidad por abajo). Si A1A2 es una sucesión creciente de conjuntos M-medibles, entonces μ(k=1Ak)=limkμ(Ak).
  4. (Continuidad por arriba). A1A2 es una sucesión decreciente de conjuntos M-medibles, y μ(A1)<, entonces μ(k=1Ak)=limkμ(Ak).

Comentario. En general, todas las definiciones y resultados que hemos establecido hasta ahora son válidos también para espacios de medida en general. La razón de esto es que las propiedades de la medida de Lebesgue en Rn son, por definición, las mismas que las de cualquier medida sobre un espacio abstracto (X,M,μ). Observa que la prueba debajo es idéntica al caso de la medida de Lebesgue en Rn.

Demostración.

Más adelante…

Con la integral de Lebesgue en Rn como modelo, definiremos la integral sobre espacios de medida en general y veremos algunos ejemplos.

Tarea moral

Demostración del Teorema de Fubini

Por César Mendoza

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada daremos finalmente una demostración del Teorema de Fubini.

Notación. Por simplicidad, a lo largo de nuestros desarrollos denotaremos como λ a la medida de Lebesgue en cualquier dimensión. La dimensión en la que estemos trabajando será clara del contexto.

Teorema de Fubini-Tonelli (para funciones no negativas). Sea f:Rn[0,] una función medible no negativa. Entonces para c.t.p. yRn, la función fy:Rl[0,] Es medible sobre Rl. Más aún, la función definida en c.t.p. F(y)=Rlfy(x) dx Es medible en sobre Rm y Rnf(x,y) dxdy=RmF(y) dy=Rm(Rlf(x,y) dx) dy.

Demostración. La demostración se divide en varios pasos. Los dos principales son:

  1. Probar primero el teorema para el caso en el que f=χA es la función característica de un conjunto medible y acotado A. Para esto, conviene primero ver los casos en que A es un conjunto «sencillo» (rectángulo/abierto/compacto) y luego usar argumentos de aproximación.
  2. Probar el caso general con el esquema usual: proposición para función característica proposición para función simple (por linealidad) proposición para función medible general (por convergencia monótona).

Para el primer paso, debemos probar que para cada ARn medible: Rm(Rl(χA)y(x) dx) dy=RnχA(x,y) dxdy
Rm(RlχAy(x) dx) dy=RnχA(x,y) dxdy
Rmλ(Ay) dy=λ(A)

  • Supongamos primero que f=χJ, donde J es un rectángulo semiabierto, es decir un rectángulo de la forma J=[a1,b1)×[a2,b2)××[an,bn).

Notemos que podemos descomponer a J como un producto cartesiano de dos rectángulos semiabiertos J=J×J»; donde J=[a1,b1)×[a2,b2)××[al,bl)Rl y J»=[al+1,bl+1)×[al+2,bl+2)××[an,bn)Rm. Además, claramente λ(J)=λ(J)λ(J»)

Ahora, para cualquier yRm:

Jy={Jsi yJ»si yJ»

Entonces:

λ(Jy)={λ(J)si yJ»0si yJ»

Por lo que λ(Jy)=λ(J)χJ»(y)

Es medible (en Rm) como función de y con:

Rmλ(Jy) dy=Rmλ(J)χJ»(y) dy=λ(J)RmχJ»(y) dy=λ(J)λ(J»)=λ(J)

Lo que establece el teorema para f=χJ.

  • Veamos ahora el caso en el que f=χG, donde G es un conjunto abierto.

En la entrada de invarianza de la medida de Lebesgue (ENLACE) probamos que G se puede escribir como una unión numerable de rectángulos semiabiertos ajenos: G=k=1Jk.
Entonces, se sigue que para cualquier yRm: Gy=k=1(Jk)y Es también una unión numerable y disjunta de rectángulos semiabiertos (algunos posiblemente vacíos). Por monotonía: λ(G)=k=1λ(Jk);          λ(Gy)=k=1λ(Jk,y).
En particular λ(Gy) es medible como función de y (cada λ(Jk,y) es medible por el caso anterior).

Finalmente, por nuestro teorema de intercambio de sumas e integrales para funciones positivas y el caso anterior:

Rmλ(Gy) dy=Rm(k=1λ(Jk,y)) dy=k=1(Rmλ(Jk,y)) dy=k=1λ(Jk)=λ(G)

Lo que establece el teorema para f=χG.

  • Veamos ahora el caso f=χK con KRn compacto.

Tomemos un conjunto abierto y acotado G tal que KG GK es abierto.

Es fácil ver que para cualquier yRm, (GK)y=GyKy y KyGy.

Por el caso anterior aplicado a los conjuntos abiertos G y GK, concluimos que λ(Ky)=(λ(Gy)λ(GyKy)) es medible en y y además:
Rmλ(Gy) dy=λ(G) Y Rmλ(GyKy) dy=λ(GK)
Rm(λ(Gy)λ(Ky)) dy=λ(G)λ(K)
Rmλ(Gy) dyRmλ(Ky) dy=λ(G)λ(K)

Restando la última igualdad a la primera, concluimos que Rmλ(Ky) dy=λ(K)
Como queríamos probar.

  • Sea K1K2 una sucesión creciente de conjuntos compactos en Rn. Veamos que el resultado es válido para B=k=1Kj.

Primero notemos que para cada yRm: By=k=1Kj.y Es una unión numerable y creciente de conjuntos compactos en Rl, por lo que By es un conjunto medible (en Rl) y λ(Kj,y)λ(By)
En particular λ(By) es medible como función de y (al ser límite creciente de funciones medibles). Más aún, por el teorema de la convergencia monótona:

Rmλ(By) dy=limjRmλ(Kj,y) dy=limjλ(Kj)=λ(B).

Lo que completa este caso.

  • Similarmente al caso anterior, sea G1G2 una sucesión decreciente de conjuntos abiertos y acotados en Rn. Veamos que la proposición es cierta para la intersección: C=k=1Gk.

Para ello, tomemos un compacto K con KG1. Aplicando el caso anterior al conjunto KC=j=1(KjGj)

Se sigue que λ(KyCy)=λ(Ky)λ(Cy) es medible como función de y y:
Rmλ(KyCy) dy=λ(KC) Rm(λ(Ky)λ(Cy)) dy=λ(KC) Rmλ(Ky) dyRmλ(Cy) dy=λ(K)λ(C)

Por el caso compacto, tenemos también que λ(Ky) es medible en y con: Rmλ(Ky) dy=λ(K). Restando las expresiones anteriores se sigue: Rmλ(Cy) dy=λ(C). Lo que completa este caso.

  • Veamos finalmente el caso general: Sea ARn un conjunto medible y acotado arbitrario.

Por el teorema de aproximación de conjuntos medibles [Enlace] podemos encontrar una sucesión de conjuntos compactos Kj y una sucesión de conjuntos abiertos Gj tales que K1K2AG2G1.

Con limjλ(Kj)=λ(A)=limjλ(Gj).
Definamos B=j=1Kj;               C=j=1Gj.

Claramente BAC y λ(B)=λ(A)=λ(C). Por los casos anteriores: Rmλ(By) dy=λ(B);         Rmλ(Cy) dy=λ(C).

Al restar las expresiones se sigue: Rm[λ(Cy)λ(By)] dy=0.

Como el integrando es no negativo, se sigue por propiedades de la integral que λ(CyBy)=λ(Cy)λ(By)=0
Para casi todo yRm.

Por esta razón, CyBy es un conjunto nulo en Rl para c.t.p. yRm. Para tales y, el hecho que ByAyCy y λ(By)=λ(Cy) implica que el propio Ay es un conjunto medible de Rl con λ(By)=λ(Ay)=λ(Cy). Como λ(By) (o λ(Cy)) es medible como función sobre y (por los casos anteriores) e igual en c.t.p. a λ(Ay), se sigue que λ(Ay) es medible como función sobre y. Y además:

Rmλ(Ay) dy=Rmλ(By) dy=λ(B)=λ(A).

Para la primera igualdad se usó que λ(Ay)=λ(By) en c.t.p. yRm, mientras que la segunda se sigue por los casos anteriores.

Esto completa la primera parte de la demostración.

Pasemos a la segunda parte: Probar el resultado para una función medible no negativa general.

Definición. Diremos que una función simple sS, s=k=1lαkχAk es de soporte acotado, si cada Ak es un conjunto acotado. O equivalentemente que el conjunto x | s(x)0 sea acotado. Denotaremos el conjunto de funciones simples de soporte acotado como Sc.

Se sigue inmediatamente de la parte anterior y linealidad que el teorema de Fubini es válido para funciones simples de soporte acotado.

Notemos que para cualquier función medible no negativa, f:Rn[0,], podemos encontrar una sucesión de funciones simples y de soporte acotado skk=1Sc tales que skf: Basta tomar cualquier sucesión de funciones simples rkk=1 tales que rkf y definir sk=rkχ[k,k]n (¿Porqué?).

Sea entonces f:Rn[0,] una función medible no negativa arbitraria y rkk=1 una sucesión de funciones en Sc tales que rkf.

Es claro que para cualquier yRm, rk,yfy cuando k.

Ahora, como el teorema de Fubini es válido para funciones en Sc, tenemos:

rk,y:Rl[0,] es medible para c.t.p. yRm; la función Rk(y)=Rlrk,y(x) dx es medible sobre Rm y Rnrk(x,y) dxdy=RmRk(y) dy.

Se sigue entonces que para c.t.p. yRm, fy es medible pues es el límite creciente de las funciones medibles rk,y. Además por el teorema de la convergencia monótona, para tales y se cumple:

F(y)=Rlfy(x) dx=limkRlrk,y(x) dx=limkRk(y).

Por monotonía el límite anterior es de hecho creciente. Así que podemos escribir: RkF En c.t.p. de Rl. Luego, F es medible al ser el límite creciente (en c.t.p.) de las funciones medibles Rk. Más aún tenemos:
RmF(y) dy=limkRmRk(y) dy=limkRnrk(x,y) dxdy=Rnf(x,y) dxdy.

(La primera y última igualdad se siguen del teorema de la convergencia monótona en Rm y Rn respectivamente). Lo que completa la demostración del teorema de Fubini-Tonelli.

Más adelante…

Estudiaremos una generalización poderosa de los conceptos de medida e integración, que nos permite hablar de integral sobre espacios «abstractos».

Tarea moral

Ejemplos – Teorema de Fubini

Por César Mendoza

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada veremos varios ejemplos relacionados con el teorema de Fubini.

La condición de integrabilidad es necesaria en el Teorema de Fubini.

En general, no podemos relajar las hipótesis de positividad o integrabilidad en el Teorema de Fubini. Veamos un ejemplo concreto.

Ejemplo. Consideremos Q=(0,)×(0,). Definamos RQ como la región acotada por las rectas y=x y y=x1 y SQ la región acotada por las rectas y=x1, y=x2 como se observa en la figura. Claramente λ(R),λ(S)=.

Sea f=χRχS. Ésta NO es una función integrable pues f+=χR f+ dλ=χR dλ= y de manera similar f=χS f dλ=χS dλ=.

Ahora, para cada x0 consideremos la función: g(x)=0f(x,y) dy. Es fácil ver que:

g(x)={xsi 0x12xsi 1x20si 2x

Así que g es claramente medible, y además:

0g(x) dx=01x dx+12(2x) dx=12+12=1.

Por otro lado, consideremos:
h(y)=0f(x,y) dx. Es fácil ver que en (0,): h0 0h(y) dy=0.

Es decir: 0(0f(x,y) dy)dx=10=0(0f(x,y) dx)dy.
De modo que las integrales iteradas ni siquiera coinciden.

Algunos ejercicios resueltos

Veamos ahora dos ejercicios resueltos un poco más sofisticados en los que el teorema de Fubini juega un papel fundamental.

Ejercicio (integral Gaussiana). Demuestra que Rne|x|2 dx=πn2.

Solución. Veamos primero el caso n=1: Rnex2 dx=π. Notemos que la función f(x)=ex2 es una función par (i.e. f(x)=f(x) xR) y no negativa. Haciendo el cambio de variable y=x, es fácil ver que 0ex2 dx=0ex2 dx, de donde ex2 dx=20ex2 dx, así que basta probar que 0ex2 dx=π2.

Para esto, calculemos I=(0,)×(0,)xex2(1+y2) dxdy. De dos formas distintas usando el teorema de Fubini. Por un lado:

I=00xex2(1+y2) dx dy=0012(1+y2)(2x(1+y2)ex2(1+y2)) dx dy=012(1+y2)0(ex2(1+y2)) dx dy=012(1+y2)([ex2(1+y2)]x=0x=) dy=012(1+y2)(01) dy=012(1+y2) dy=120(arctan(y)) dy=12[arctan(y)]y=0y==12[π20]=π4

En la segunda igualdad multiplicamos y dividimos por 2(1+y2) para poder escribir el integrando como una derivada. En las demás, hacemos uso del teorema fundamental del cálculo, convergencia monótona y tomamos límites (ya hemos hecho este argumento varias veces así que omitimos los detalles).

Por otro lado:

I=00xex2ex2y2 dy dx=0xex20ex2y2 dy dx

Haciendo el cambio de variable: z=xy en la integral de en medio:

=0xex201xez2 dz dx=0ex20ez2 dz dx=(0ez2 dz)(0ex2 dx)=(0ex2 dx)2

I=(0ex2 dx)2=π4 0ex2 dx=π2.

Esto completa el caso n=1. Ahora, para el caso general, simplemente notemos que:

Rne|x|2 dx=RRRex12ex22exn2 dxndx2dx1=Rex12(Rex22(Rexn2 dxn)dx2)dx1=(Rex12 dx1)(Rex22 dx2)(Rexn2 dxn)=(Rey2 dy)n=(π)n=πn2.

Ejercicio. Sean a1,a2,,an>0. Sea J=(0,1)×(0,1)××(0,1). Demuestra que J1x1a1+x2a2++xnan dx<  i=1n1ai>1.

Antes de proceder, usaremos un lema sencillo, consecuencia del teorema fundamental del cálculo. Omitimos la demostración.

Lema. 01ys1 dy< s>0.

Solución.

Para cada 1in, consideremos Gi={xJ | xjajxiai para todo j}. Claramente J=i=1nGi y además, para xGi se cumple xiaix1a1+x2a2++xnannxiai. Esto nos garantiza que:
G11nx1a1 dxG11x1a1+x2a2++xnan dxJ1x1a1+x2a2++xnan dx
Y de manera similar:
J1x1a1+x2a2++xnan dxi=1nGi1x1a1+x2a2++xnan dxi=1nGi1xiai dx

Ahora, para cada i=1,,n podemos escribir:

Gi1xiai dx=01(01011xiaiχGi(x1,xn) dx1dxi1dxi+1dxn)dxi

Para xi(0,1) fijo, en la integral de en medio x1 varía entre 0 y xiaia1; x2 varía entre 0 y xiaia2, etc. De manera que la integral se puede reescribir como:

01(0xiaia10xiaiai10xiaiai+10xiaian1xiai dx1dxi1dxi+1dxn)dxi

=011xiai(0xiaia10xiaiai10xiaiai+10xiaian1 dx1dxi1dxi+1dxn)dxi
=011xiai(xiaia1)(xiaiai1)(xiaiai+1)(xiaian) dxi
=01xiai(j=1n1aj1)1 dxi

Por tanto, los estimados anteriores se pueden reescribir como:

1n01x1a1(j=1n1aj1)1 dx1J1x1a1++xnan dxi=1n01xiai(j=1n1aj1)1 dxi.

Se sigue entonces del Lema que J1x1a1++xnan dx< j=1n1aj1>0 j=1n1aj>1.

Más adelante…

Daremos finalmente una prueba del Teorema de Fubini-Tonelli.

Tarea moral