MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En la entrada pasada generalizamos el concepto de medida para espacios abstractos. Ahora veremos como extender el concepto de integración sobre un espacio de medida abstracta y analizaremos un par de ejemplos clásicas.
Un comentario importante
La mayoría de definiciones y resultados que hemos establecido hasta ahora para la medida e integral de Lebesgue son válidos también para espacios de medida en general (salvo los teoremas de cambios de variable y Fubini). La razón de esto es que las propiedades de la medida de Lebesgue en son, por definición, las mismas que las de cualquier medida sobre un espacio abstracto . Por ésta razón omitiremos la mayoría de pruebas pues, esencialmente, ya las hemos hecho. En prácticamente todos los casos, basta reemplazar dentro de los argumentos las menciones de por respectivamente.
La única excepción son los teoremas de caracterización de conjuntos medibles utilizados en la demostración de los teoremas de cambio de variable y Fubini. Estos resultados destacan la relación que existe entre la medida de Lebesgue y topología de .
Integración en espacios de medida
Para definir la integral en espacios de medida general, podemos seguir el mismo órden que usamos para definir la integral en . En lo que sigue denotará un espacio de medida (salvo que se especifique lo contrario). Por simplicidad, nos referiremos a las funciones -medibles simplemente como medibles.
Recordemos primero la definición de funciones simples:
Definición. Decimos que es una función simple si toma solamente una cantidad finita de valores.
Definición. Dado un conjunto y una -álgebra sobre , denotamos por (o simplemente ) al conjunto de funciones simples y -medibles , tales que .
Observemos que toda función . Se puede escribir como
donde y los conjuntos son -medibles y ajenos.
Una de las propiedades más importantes de las funciones medibles era la siguiente:
Teorema. Supongamos que es medible. Entonces existe una sucesión de funciones simples medibles tales que
Si , podemos tomar la sucesión de modo que . O más generalmente, podemos tomar la sucesión de modo que . Si es acotada, podemos hacer que la convergencia sea uniforme.
Cuando sea claro del contexto, denotaremos a como .
Definición. Dado un espacio de medida y una función simple , definimos su integral como:
Definición. Dada una función -medible no negativa , definimos su integral como:
Otras formas comunes para referirse a la integral son:
Por simplicidad, usaremos la primera forma siempre que el espacio de medida sobre el cual estemos trabajando sea claro.
Proposición (Propiedades de la integral de una función no negativa). Sean funciones medibles. Entonces:
- La integral de cualquier función medible no negativa está bien definida.
- .
- Si es una constante, .
- Si , entonces .
- Si .
- .
También podemos dar versiones generales de los teoremas de convergencia para integrales. Nuevamente las demostraciones son idénticas al caso en así que las omitimos.
Teorema (de convergencia monótona de Lebesgue). Sea una sucesión creciente de funciones medibles no negativas sobre : Entonces
Teorema (Lema de Fatou). Sean funciones medibles y no negativas. Entonces:
Definición. Sea una función medible, con parte positiva y negativa y respectivamente. Diremos que es integrable si está bien definido y definimos su integral como:
Denotaremos la clase de funciones integrables como o simplemente como si el espacio de medida es claro del contexto.
Proposición (propiedades de la integral de funciones ). Sean funciones en .
- (Desigualdad del triángulo). y además .
- (Linealidad). Dados constantes, entonces .
- Si .
Teorema (de convergencia dominada). Sean una sucesión de funciones medibles sobre tales que Existe para (c.t.p.) , y además existe una función tal que Para (c.t.p.) y . Entonces y
En el teorema pasado hacemos uso del concepto de «en casi todo punto». Éste es identico al caso en : Una propiedad se cumple en «casi donde sea» o «en casi todo punto» (abreviado por c.t.p.) si el conjunto de puntos donde NO se cumple tal propiedad es de medida () cero. Naturalmente también hay versiones en casi todo punto de los teoremas de convergencia monótona y el Lema de Fatou pero omitimos su enunciado.
Al igual que antes, los conjuntos de medida cero no afectan el valor de la integral.
Proposición (insensibilidad de la integral). Sean funciones medibles tales que . Luego, si . Y si con .
Si bien la integral sobre un espacio de medida abstracto tiene propiedades análogas a las de la integral de Lebesgue en , ésta nos puede decir información muy diferente dependiendo del espacio sobre el que estemos trabajando. Veamos un ejemplo concreto: La integral respecto a la medida de conteo.
Ejemplo. Consideremos , donde es un conjunto finito o numerable y es la medida de conteo. Notemos que cualquier función es medible pues para cualquier .
Ahora, sea una función no negativa. Como es numerable podemos escribir:
Aplicando el teorema de la convergencia monótona y linealidad:
(La medida de cualquier conjunto unitario bajo la medida de conteo es ). Esto nos dice que la integral bajo la medida de conteo es simplemente la suma de los valores de la función.
Más generalmente, dada , recordemos . Como
Concluimos que si y sólo si la serie converge absolutamente. En cuyo caso la integral resulta nuevamente:
En general, la integral respecto a la medida de conteo sobre conjuntos no numerables se comporta de manera muy similar salvo ciertas restricciones sobre el «soporte» de las funciones.
De igual manera, podemos definir integrales sobre conjuntos:
Definición. Dada una función definida (en c.t.p.) de un conjunto medible , diremos que es medible sobre si es -medible (convenimos si no está definida en ). O equivalentemente si para cualquier conjunto de Borel .
Definimos la integral de sobre (cuando tenga sentido) como:
Diremos que si .
La integral sobre conjuntos tiene propiedades análogas a las de la integral sobre conjuntos de . Omitimos los detalles.
Ejemplo. Dado un espacio de medida y un conjunto medible, definimos la -álgebra inducida sobre como Definimos la medida inducida por sobre como
Es fácil ver que forman un espacio de medida. Más aún, siempre que tenga sentido se tiene que: Es decir, la integral sobre un conjunto se puede pensar como la integral respecto a la medida inducida. La verificación de este hecho es de rutina y se queda como tarea moral.
Más adelante…
Tarea moral