Introducción

Hasta ahora, hemos visto resultados válidos en cualquier espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$. Sin embargo, hay algunas otras propiedades específicas de cada medida que tienen consecuencias teóricas relevantes. En esta sección revisaremos brevemente algunas de las más importantes.

Medidas finitas y $\sigma$-finitas

Los siguientes dos conceptos están relacionados con el «tamaño» de una medida.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Diremos que $\mu$ es una medida finita si $\mu(X)<\infty$. Diremos que $\mu$ es $\sigma$-finita si $X$ puede ser expresado como una unión numerable de conjuntos de medida finita: $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ con $\mu(E_k)<\infty$ para tood $k$.

Observación. Toda medida finita es $\sigma$-finita, pero el regreso es falso como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ es $\sigma$-finita pues podemos escribir a $\mathbb{R}^n$ como una unión numerable de conjuntos de medida finita, sin embargo, no es una medida finita pues $\lambda(\mathbb{R}^n)=\infty$.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue inducida en cualquier conjunto acotado es finita.

$\triangle$

Ejemplo. Sea $(X,2^X,\mu)$ un espacio con la medida de conteo. Claramente $\mu$ es finita si y sólo si $X$ es un conjunto finito. $\mu$ es $\sigma$-finita si y sólo si $X$ es un conjunto a lo más numerable: En efecto, si $X$ es numerable, podemos expresar $X=\bigcup_{x\in X}\{ x\} $, que es una unión numerable de conjuntos de medida $1$. Inversamente, si $\mu$ es $\sigma$-finita, podemos expresar $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ con $\mu(E_k)<\infty$, es decir, podemos expresar a $X$ como una unión numerable de conjuntos finitos, por tanto, el propio $X$ es a lo más numerable.

$\triangle$

Ejemplo. Toda medida de probabilidad $\mathbb{P}$ es finita, pues $\mathbb{P}(X)=1<\infty$ por definición.

$\triangle$

Medidas completas

La siguiente propiedad está relacionada con la «densidad» de una medida.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Diremos que la medida $\mu$ es completa si cualquier subconjunto de un conjunto de medida cero es medible. Es decir, si $M\subseteq N\subseteq X$; $N\in \mathcal{M}$ y $\mu(N)=0$ $\implies$ $M\in \mathcal{M}$.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ es completa pues cualquier subconjunto de un conjunto nulo es nulo (y por tanto Lebesgue medible).

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ restringida a los conjuntos de Borel $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n,\lambda_{|\mathcal{B}_n})$ NO es completa. Existen conjuntos nulos que no son Borel medibles.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de conteo sobre cualquier espacio es completa. En este caso el único conjunto con medida cero es el vacío.

$\triangle$

El siguiente resultado nos dice que cualquier medida puede ser «modificada» para tener una medida completa.

Proposición (Completación de una medida). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Definamos $\overline{\mathcal{M}}$ y $\overline{\mu}$ como:

• $A\in \overline{\mathcal{M}}$ $\iff$ Existen $B,C\in \mathcal{M}$ tales que $B\subseteq A\subseteq C$ y $\mu(C\setminus B)=0$. Definimos $\overline{\mu}(A)=\mu(B)=\mu(C)$.

Entonces $(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ es un espacio de medida con $\overline{\mu}$ una medida completa. Además $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}}$ y $\mu(A)=\overline{\mu}(A)$ $ \ \forall A\in \mathcal{M}$.

Demostración. $\overline{\mu}$ está bien definida pues si $B_1,C_1,B_2,C_2\in \mathcal{M}$ con $B_1,B_2\subseteq A\subseteq C_1,C_2$ y $\mu(C_1\setminus B_1)=\mu(C_2\setminus B_2)=0$, tenemos $C_1\setminus C_2\subseteq C_1\setminus B_1$; $C_2\setminus C_1\subseteq C_2\setminus B_2$ $\implies$ $\mu(C_1\setminus C_2)=\mu(C_2\setminus C_1)=0$ $\implies$ $\mu(C_1)=\mu(C_1)-\mu(C_1\setminus C_2)+\mu(C_2\setminus C_1)=\mu(C_2)$. Similarmente $\mu(B_1)=\mu(B_2)$.

De la definición es inmediato que $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}} $ y $\mu=\overline{\mu}$ sobre $\mathcal{M}$, pues si $A\in \mathcal {M}$ $\implies$ $A\subseteq A\subseteq A$ y $\mu(A\setminus A)=0$.

Veamos que $\overline{\mathcal{M}}$ es una $\sigma$-álgebra.

• Es claro que $\emptyset \in \overline{\mathcal{M}}$.
• Si $A\in \overline{\mathcal{M}}$, por definición existen $B,C\in \mathcal{M}$ con $B\subseteq A\subseteq C$ y $\mu(C\setminus B)=0$ $\implies$ $C^c\subseteq A^c\subseteq B^c$ y $\mu(B^c\setminus C^c)=\mu(C\setminus B)=0$, lo que implica que $A^c\in \overline{\mathcal{M}}$.
• Si $A_1,A_2,\dots \in \overline{\mathcal{M}}$, existen $B_1,B_2,\dots$; $C_1,C_2,\dots$ en $\mathcal{M}$ tales que $B_k\subseteq A_k\subseteq C_k$ y $\mu(C_k\setminus B_k)=0$ para cada $k\in \mathbb{N}$. Luego: $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$ (con el primer y último conjunto en $\mathcal{M}$), y $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\right)\leq \mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}(C_k\setminus B_k)\right)\leq \sum_{k=1}^{\infty}\mu(C_k\setminus B_k)=0.$$ Por lo que $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \overline{\mathcal{M}}$.

Finalmente, veamos que $\overline{\mu}$ es una medida. Es inmediato que $\overline{\mu}(\emptyset)=0$. Sean $A_1,A_2,\dots \in \overline{\mathcal{M}}$ conjuntos ajenos. Tomando $B_1,B_2,\dots$; $C_1,C_2,\dots$ como en el párrafo anterior, se sigue que $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$, $\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)=0$. En particular, los $B_k$ son ajenos y $\overline{\mu}(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\overline{\mu}(A_k).$

$\square$

A la medida $\overline{\mu}$ construida en el ejemplo anterior se le conoce como la completación de $\mu$.

Observación. La completación de una medida completa es ella misma.

Ejemplo. La completación de la medida de Lebesgue restringida en los conjuntos de Borel es la medida de Lebesgue estándar.

Demostración. Como consecuencia del teorema de caracterización de conjuntos medibles, para cualquier conjunto $A\in \mathcal{L}_n$, podemos encontrar conjuntos $F_1\subseteq F_2 \subseteq\dots $ cerrados y $U_1\supseteq U_2\supseteq \dots$ abiertos tales que $F_k\subseteq A \subseteq U_k$ y $\lambda(U_k\setminus F_k)<\frac{1}{k}$ para cada $k\in \mathbb{N}$.

Al Tomar $F=\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$ y $U=\bigcap_{k=1}^{\infty}U_k$, es fácil ver que $F\subseteq A \subseteq U$ y $\lambda(U\setminus F)=0$. $F$ y $U$ son conjuntos de Borel, pues son uniones e intersecciones de conjuntos de Borel respectivamente.

De la definición, concluimos que la medida de Lebesgue sobre $\mathcal{L}_n$ es la completación de la medida de Lebesgue sobre $\mathcal{B}_n$.

$\triangle$

Para efectos de integración, casi siempre podemos asumir que la medida es completa. El siguiente resultado justifica esta idea.

Proposición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ su completación. Entonces:

1. Para cualquier función $\overline{\mathcal{M}}$-medible $f:X\to [-\infty, \infty]$ existe una función $\mathcal{M}$-medible $g:X\to[-\infty, \infty]$ tal que $f=g$ en $\overline{\mathcal{M}}$-casi todo punto.
2. Si $g:X\to [0,\infty]$ es una función $\mathcal{M}$-medible no negativa, entonces $g$ es $\overline{\mathcal{M}}$ medible y además $$\int g \ \mathrm{d}\mu=\int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$
3. Si $g\in L^1(X,\mathcal{M},\mu)$ $\implies$ $g\in L^1(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ y además $$\int g \ \mathrm{d}\mu=\int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$

Demostración.

1. Veamos primero el caso de una función simple. Sea $s=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{A_k}$ $\overline{\mathcal{M}}$-medible. Como $A_1,A_2,\dots, A_n$ son $\overline{\mathcal{M}}$ medibles, podemos encontrar $B_1,B_2,\dots , B_m$ conjuntos $\mathcal{M}$-medibles tales que $B_j\subseteq A_j$ y $\overline{\mu}(A_j\setminus B_j)=0$ (en particular $\mu(B_j)=\overline{\mu}(A_j)$). Entonces la función $s’=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{B_k}$ es $\mathcal{M}$ medible y es igual $\overline{\mu}$ en c.t.p. a $s$ (observa que además $s’\leq s$).
   Ahora consideremos una función $\overline{\mathcal{M}}$-medible $f$. Sea $s_k$ una sucesión de funciones simples $\overline{\mathcal{M}}$-medibles tales que $$s_k\uparrow f.$$ Por el caso anterior, podemos encontrar una sucesión de funciones simples $\mathcal{M}$-medibles $\{ s_k’ \}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k’=s_k$ en $\overline{\mathcal{M}}$ c.t.p. La función $$\sup s_k’$$ es $\mathcal{M}$-medible e igual a $f$ en $\overline{\mu}$- c.t.p.
   El caso general se sigue de escribir $f=f_+-f_-$ y aplicar el caso anterior a $f_+$ y $f_-$ por separado.
2. Si $g\geq 0$ es $\mathcal{M}$-medible entonces en automático es $\overline{\mathcal{M}}$-medible pues $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}}$. Si denotamos como $S_{\mathcal{M}}$ y $S_{\overline{\mathcal{M}}}$ a las funciones simples, no negativas, $\mathcal{M}$ y $\overline{\mathcal{M}}$ medibles respectivamente, entonces:
   $$\sup \left\{ \int s \ \mathrm{d}\mu \ | \ s\in S_{\mathcal{M}}; \ s\leq g \right\}\leq \sup\left\{ \int s \ \mathrm{d}\mu \ | \ s\in S_{\overline{\mathcal{M}}}; \ s\leq g \right\}.$$
   Pues el conjunto de la izquierda está contenido en el de la derecha ($S_{\mathcal{M}}\subseteq S_{\overline{\mathcal{M}}}$). Más aún, los conjuntos son iguales: La construcción del inciso anterior muestra que para cualquier $s\in S_{\overline{\mathcal{M}}}$ con $s\leq f$, existe $s’\in S_{\mathcal{M}}$ tal que $s’\leq s\leq f$ y $\int s’ \ \mathrm{d} \mu = \int s \ \mathrm{d}\mu$. Por definición de la integral se sigue que: $$\int g \ \mathrm{d}\mu = \int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$
3. Se sigue de escribir $g=g_+-g_-$ y aplicar el inciso anterior a $g_+$ y $g_-$ por separado.

$\square$

Más adelante…

Estudiaremos dos ejemplos importantes de medida inducidas: La medida inducida por una función medible no negativa y la medida imágen (o pushforward).

Tarea moral

• Sea $\delta_{x_0}$ la medida de Dirac sobre $X$. ¿Es $\delta_{x_0}$ una medida finita? ¿Es $\sigma$-finita?
• Sea $\mu_f$ la medida inducida por una función medible no negativa. Prueba que $\mu_f$ es finita si y sólo si $f\in L^1(X)$.
• Decimos que una medida es semi-finita si para cada $F\in \mathcal{M}$ con $\mu(F)=\infty$, existe algún $E\in \mathcal{M}$ tal que $E\subseteq F$ y $\mu(E)<\infty$. Prueba que si $\mu$ es semi-finita, y $\mu(F)=\infty$, entonces para cada $C>0$ existe $E\subseteq F$ con $C<\mu(E)<\infty$.
• Prueba que la medida de Dirac es completa.
• Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida completo. Supón que $f$ es una función $\mathcal{M}$-medible y $g$ una función arbitraria. Pruba que si el conjunto $\{x \ | \ f(x)\neq g(x) \}$ es nulo, entonces $g$ es $\mathcal{M}$-medible. ¿Lo anterior es cierto si $\mu$ no es completa? [SUGERENCIA: Asumiendo que $B_1\subsetneq L_1$, debe existir $A$ un conjunto nulo Lebesgue-medible, pero no Borel-medible. Considera $\chi_A$].