Introducción

Hasta ahora, nos hemos limitado a estudiar el problema de la medida e integración en $\mathbb{R}^n$, sin embargo, todo lo que hemos visto se puede generalizar de manera automática a un contexto más general.

La integración en espacios de medida es una generalización poderosa de la integral de Lebesgue, que extiende el concepto de integración a espacios más abstractos. Es fundamental en la formulación moderna de la teoría de probabilidad y tiene un sinnúmero de consecuencias dentro del análisis y sus aplicaciones. En esta entrada definiremos el concepto de espacio de medida, veremos algunos ejemplos y sus principales propiedades.

Un salto a la generalidad

Definición.Un espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$ es una terna con:

1. $X$ un conjunto no vacío.
2. $\mathcal{M}\subseteq 2^{X}$ una $\sigma$-álgebra sobre el conjunto $X$.
3. Una medida sobre $(X,\mathcal{M})$. Esto es, una función $\mu: \mathcal{M}\to [0,\infty]$ que satisface:
   • $\mu(\emptyset)=0$
   • Para cualesquiera $A_1,A_2,\dots$ conjuntos disjuntos en $\mathcal{M}$, $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$

Cuando la $\sigma$-álgebra sea clara del contexto, diremos simplemente que $\mu$ es una medida sobre $X$.

En ésta y en las próximas entradas, $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.

Algunos ejemplos típicos

Las medidas generales tienen propiedades «similares» a la medida de Lebesgue, aunque pueden surgir de contextos MUY distintos. Dedicaremos esta sección a ver algunos ejemplos clásicos.

Ejemplo. Por supuesto, $X=\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}=\mathcal{L}_n$ y $\mu=\lambda$, forman un espacio de medida.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue restringida a los conjuntos de Borel, es decir, $X=\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}=\mathcal{B}_n$ y $\mu=\lambda_{|\mathcal{B}_n}$, forman un espacio de medida.

$\triangle$

Ejemplo. Cualquier conjunto no vacío $X$, con $\mathcal{M}=2^X$ y la función $\mu:2^X\to [0,\infty]$, con regla $\mu(\emptyset)=0$ y $\mu(A)=\infty$ si $A\neq \emptyset$, forman un espacio de medida.

$\triangle$

Ejemplo (medida de conteo). Cualquier conjunto no vacío $X$, $\mathcal{M}=2^X$ y $\mu$ la función definida por:

\begin{equation*}
\mu(A)=
\begin{cases}
\#A & \text{si } A \text{ es finito } \\
\infty & \text{si } A \text{ es infinito }
\end{cases}
\end{equation*}

Donde $\#A$ denota la cardinalidad de $A$, forman un espacio de medida. En este caso, a la medida $\mu$ se le llama la medida de conteo sobre $X$.

Veamos que $(X,\mathcal{M},\mu)$ es efectivamente un espacio de medida. Ya sabemos que $2^X$ es una $\sigma$-álgebra sobre $X$, así que basta probar que $\mu$ es una medida. Por definición, $\mu(\emptyset)=0$, así que solo falta probar que $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$ Para cualesquiera $A_1,A_2\dots$ conjuntos disjuntos:

• Si algunos de los $A_i$ es infinito, entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ es infinito, por lo que $\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\infty$. Por otro lado, como $\mu(A_i)=\infty$, tenemos $\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)=\infty=\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)$.
• Si todos los $A_k$ son finitos pero $\#A_k>0$ para una cantidad infinita de $k$, entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ es infinito $\implies$ $\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\infty$. De igual manera $\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)=\infty$ al tener una cantidad infinita de sumandos $\geq 1$.
• Si $\#A=0$ salvo para una cantidad finita de $k$, digamos $A_1,\dots, A_N$ $$\implies \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k=\bigcup_{k=1}^{N}A_k$$ Finalmente, por definición y el hecho que $A_1,\dots, A_N$ son disjuntos: $$\implies \mu\left (\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum_{k=1}^{N} \#A_k=\sum_{k=1}^{N}\mu(A_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$

$\triangle$

Ejemplo. Sea $X$ un conjunto no vacío $X$ y $x_0\in X$ un punto arbitrario pero fijo. Definimos la función $\mu:2^X\to [0,\infty]$ como $\mu(A)=\chi_A(x_0)$. La terna $(X,2^X,\mu)$ es un espacio de medida (tarea moral). En este caso a $\mu$ se le conoce como la medida de Dirac en $x_0$ y se denota usualmente por $\delta(x_0)$.

$\triangle$

Ejemplo. Un espacio de Probabilidad es un espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$ tal que $\mu(X)=1$. En este caso a $\mu$ se le conoce como medida de Probabilidad. Generalmente se reserva la letra $\mathbb{P}$ para referirse a las medidas de probabilidad.

$\triangle$

Ejemplo. Sea $X=\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{L}_n$. Cualquier función medible no negativa $f:\mathbb{R}^n\to [0,\infty]$ induce una medida $\mu_f$ dada por $$\mu_f(E)=\int_E f \ \mathrm{d}\lambda.$$ Esto es consecuencia de la aditividad numerable de la integral.

$\triangle$

El siguiente ejemplo es importante pero bastante técnico, por lo que que nos limitamos a los detalles más generales.

Ejemplo. La medida de Hausdorff generaliza el concepto de longitud, área y volumen a dimensiones no enteras y espacios métricos arbitrarios. Dado un espacio métrico $(X,d)$, la medida de Hausdorff $s$-dimensional ($s\geq 0$) de un conjunto $A\subseteq X$, denotada $\mathcal{H}^s(A)$, se define como $$\mathcal{H}^s(A)=\liminf_{\delta \to 0}\left\{ \sum_{i\in I} (diam(U_i))^s \ | \ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \ \ diam(U_i)<\delta\right\}.$$ Donde $diam(U_i)$ es el diámetro del conjunto $U_i$, e $I$ es un conjunto de índices a lo más numerable. Esta medida está definida sobre los conjuntos de Borel de $X$, denotados como $B_X$, que es la $\sigma$-álgebra generada por los conjuntos abiertos de $X$ (aunque se pude extender a una $\sigma$-álgebra más grande de conjuntos $\mathcal{H}^s$-medibles análoga a los conjuntos Lebesgue-medibles).

Cuando $X=\mathbb{R}^n$ y $s=n$, la medida de Hausdorff coincide con la medida de Lebesgue.

Esta medida proporciona información valiosa sobre la estructura fina de fractales como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpiński, etc., además de ser clave en el estudio de la geometría de objetos con «singularidades»

$\triangle$

Propiedades de las medidas

Proposición. Sea $(X,M,\mu)$ un espacio de medida. Entonces

1. (Monotonía). Si $A,B\in \mathcal{M}$ y $A\subseteq B$, entonces $\mu(A)\leq \mu(B)$.
2. (Subaditividad). Si $\{ A_k \}_{k=1}^{\infty}\subseteq \mathcal{M}$, entonces $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)\leq \sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$
3. (Continuidad por abajo). Si $A_1\subseteq A_2\subseteq \dots$ es una sucesión creciente de conjuntos $\mathcal{M}$-medibles, entonces $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\lim_{k\to \infty} \mu(A_k).$$
4. (Continuidad por arriba). $A_1\supseteq A_2\supseteq \dots$ es una sucesión decreciente de conjuntos $\mathcal{M}$-medibles, y $\mu(A_1)<\infty$, entonces $$\mu\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\lim_{k\to \infty} \mu(A_k).$$

Comentario. Casi todas las definiciones y resultados que hemos establecido para la medida e integral de Lebesgue también son válidos para espacios de medida en general. La razón de esto es que las propiedades de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ son, por definición, las mismas que las de cualquier medida sobre un espacio abstracto $(X,\mathcal{M},\mu)$. Observa que la prueba debajo es idéntica al caso de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$.

Demostración.

1. Si $A\subseteq B$, podemos escribir a $B$ como la unión ajena $B=A\cup(B\setminus A)$. Luego: $$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)$$ $$\implies \mu(A)\leq \mu(B).$$ Pues $\mu(B\setminus A)\geq 0$. La primera igualdad tambien implica que $\mu()$
2. Sea $B_1=A_1$ y $B_k=A_k\setminus(\bigcup_{j=1}^{k-1}A_j)$ para $k>1$. Los $B_k$ son conjuntos disjuntos con $B_k\subseteq A_k$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Observa que $\bigcup_{j=1}^{m}B_j=\bigcup_{j=1}^{m}A_j$. Luego, por definición de medida y 1.: $$\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)=\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}B_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(B_j)\leq \sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j).$$
3. Definiendo $A_0=\emptyset$, observa que $A_m=\bigcup_{j=1}^{m}A_j=\bigcup_{j=1}^{m}(A_j\setminus A_{j-1})$ y los conjuntos $\{ A_j\setminus A_{j-1}\}_{j=1}^{\infty}$ son ajenos. Luego: $$\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j\setminus A_{j-1})=\lim_{k\to \infty}\sum_{j=1}^{k}\mu(A_j\setminus A_{j-1})=\lim_{k\to \infty} \mu(A_k).$$
4. Sea $F_j=A_1\setminus A_j$; entonces $F_1\subseteq F_2\subseteq \dots$ Para cada $j$ notemos que $\mu(A_1)=\mu(F_j)+\mu(A_j)$, además $\bigcup_{j=1}^{\infty}F_j=A_1\setminus (\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j)$. Se sigue por 3. que: $$\mu(A_1)=\mu\left(\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j\right)+\lim_{j\to \infty}\mu(F_j)=\mu\left(\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j\right)+\lim_{j\to \infty}[\mu(A_1)-\mu(A_j)].$$ Restando $\mu(A_1)<\infty$ de ambos lados se sigue 4.

$\square$

Más adelante…

Con la integral de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ como modelo, definiremos la integral sobre espacios de medida en general y veremos algunos ejemplos.

Tarea moral

• Prueba que la medida de Dirac $\delta_{x_0}$ es una medida.
• Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Sea $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra y $\mu_{\mathcal{N}}$ la restricción de $\mu$ sobre $\mathcal{N}$. Demuestra que $(X,\mathcal{N},\mu_{|\mathcal{N}})$ es un espacio de medida.
• Sea $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ y $\mu_f(E)=\int_E f \ \mathrm{d}\lambda$ para todo $E\in \mathcal{L}_n$. ¿Es $\mu_f$ una medida?
• Sea $g(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ ($\sigma>0$). Demuestra que $\int_{\mathbb{R}}g(x) \ \mathrm{d}x=1$. Deduce que $\mu_g$ es una medida de probabilidad. ($g$ es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normalmente distribuida con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$). [SUGERENCIA: Usa un cambio de variable sobre la integral gaussiana].
• Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$; $\mu_1,\mu_2, \dots, \mu_n$ medidas sobre $X$ y $a_1,a_2,\dots,a_n \in [0,\infty)$. Demuestra que $\sum_{k=1}^{n}a_k\mu_k$ es una medida sobre $X$.