MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En esta entrada daremos finalmente una demostración del Teorema de Fubini.
Notación. Por simplicidad, a lo largo de nuestros desarrollos denotaremos como $\lambda$ a la medida de Lebesgue en cualquier dimensión. La dimensión en la que estemos trabajando será clara del contexto.
Teorema de Fubini-Tonelli (para funciones no negativas). Sea $f:\mathbb{R}^n\to[0,\infty]$ una función medible no negativa. Entonces para c.t.p. $y\in \mathbb{R}^n$, la función $$f_y:\mathbb{R}^l\to [0,\infty]$$ Es medible sobre $\mathbb{R}^l$. Más aún, la función definida en c.t.p. $$F(y)=\int_{\mathbb{R}^l}f_y(x) \ \mathrm{d}x$$ Es medible en sobre $\mathbb{R}^m$ y $$\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y) \ \mathrm{d}x \mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^m}F(y) \ \mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^m}\left( \int_{\mathbb{R}^l}f(x,y) \ \mathrm{d}x\right) \ \mathrm{d}y.$$
Demostración. La demostración se divide en varios pasos. Los dos principales son:
- Probar primero el teorema para el caso en el que $f=\chi_A$ es la función característica de un conjunto medible y acotado $A$. Para esto, conviene primero ver los casos en que $A$ es un conjunto «sencillo» (rectángulo/abierto/compacto) y luego usar argumentos de aproximación.
- Probar el caso general con el esquema usual: proposición para función característica $\implies$ proposición para función simple (por linealidad) $\implies$ proposición para función medible general (por convergencia monótona).
Para el primer paso, debemos probar que para cada $A\subseteq \mathbb{R}^n$ medible: $$\int_{\mathbb{R}^m}\left( \int_{\mathbb{R}^l} (\chi_A)_y(x) \ \mathrm{d}x\right) \ \mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_A(x,y) \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$\iff \int_{\mathbb{R}^m}\left( \int_{\mathbb{R}^l} \chi_{A_y}(x) \ \mathrm{d}x\right) \ \mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_A(x,y) \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$\iff \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(A_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(A)$$
- Supongamos primero que $f=\chi_J$, donde $J$ es un rectángulo semiabierto, es decir un rectángulo de la forma $J=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\dots\times [a_n,b_n)$.
Notemos que podemos descomponer a $J$ como un producto cartesiano de dos rectángulos semiabiertos $J=J’\times J»$; donde $J’=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\dots \times [a_l,b_l)\subseteq \mathbb{R}^l$ y $J»=[a_{l+1},b_{l+1})\times[a_{l+2},b_{l+2})\times\dots \times [a_n,b_n)\subseteq \mathbb{R}^m$. Además, claramente $$\lambda(J)=\lambda(J’)\lambda(J» )$$
Ahora, para cualquier $y\in \mathbb{R^m}$:
\begin{equation*}
J_y=
\begin{cases}
J’ & \text{si } y \in J» \\
\emptyset & \text{si } y \notin J»
\end{cases}
\end{equation*}
Entonces:
\begin{equation*}
\lambda(J_y)=
\begin{cases}
\lambda(J’) & \text{si } y \in J» \\
0 & \text{si } y \notin J»
\end{cases}
\end{equation*}
Por lo que $$\lambda(J_y)=\lambda(J’)\chi_{J»}(y)$$
Es medible (en $\mathbb{R}^m$) como función de $y$ con:
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^m} \lambda(J_y) \ \mathrm{d}y &= \int_{\mathbb{R}^m} \lambda(J’)\chi_{J»}(y) \ \mathrm{d}y \\
&= \lambda(J’) \int_{\mathbb{R}^m} \chi_{J»}(y) \ \mathrm{d}y \\
&= \lambda(J’)\lambda(J») \\
&= \lambda(J)
\end{align*}
Lo que establece el teorema para $f=\chi_J$.
- Veamos ahora el caso en el que $f=\chi_G$, donde $G$ es un conjunto abierto.
En la entrada de invarianza de la medida de Lebesgue (ENLACE) probamos que $G$ se puede escribir como una unión numerable de rectángulos semiabiertos ajenos: $$G=\bigcup_{k=1}^{\infty}J_k.$$
Entonces, se sigue que para cualquier $y\in \mathbb{R}^m$: $$G_y=\bigcup_{k=1}^{\infty} (J_k)_y$$ Es también una unión numerable y disjunta de rectángulos semiabiertos (algunos posiblemente vacíos). Por monotonía: $$\lambda(G)=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(J_{k});\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lambda(G_y)=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(J_{k,y}).$$
En particular $\lambda(G_y)$ es medible como función de $y$ (cada $\lambda(J_{k,y}) $ es medible por el caso anterior).
Finalmente, por nuestro teorema de intercambio de sumas e integrales para funciones positivas y el caso anterior:
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(G_y) \ \mathrm{d}y &= \int_{\mathbb{R}^m}\left( \sum_{k=1}^{\infty}\lambda(J_{k,y}) \right) \ \mathrm{d}y \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \left( \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(J_{k,y}) \right) \ \mathrm{d}y \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \lambda(J_k) \\
&= \lambda(G)
\end{align*}
Lo que establece el teorema para $f=\chi_G$.
- Veamos ahora el caso $f=\chi_K$ con $K\subseteq \mathbb{R}^n$ compacto.
Tomemos un conjunto abierto y acotado $G$ tal que $K\subseteq G$ $\implies$ $G\setminus K$ es abierto.
Es fácil ver que para cualquier $y\in \mathbb{R}^m$, $(G\setminus K)_y=G_y\setminus K_y$ y $K_y\subseteq G_y$.
Por el caso anterior aplicado a los conjuntos abiertos $G$ y $G\setminus K$, concluimos que $\lambda(K_y)=-(\lambda(G_y)-\lambda(G_y\setminus K_y))$ es medible en $y$ y además:
$$\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(G_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(G)$$ Y $$\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(G_y\setminus K_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(G\setminus K)$$
$$\implies \int_{\mathbb{R}^m}(\lambda(G_y)-\lambda(K_y)) \ \mathrm{d}y=\lambda(G)-\lambda(K)$$
$$\implies \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(G_y) \ \mathrm{d}y-\int_{\mathbb{R}^m}\lambda (K_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(G)-\lambda(K)$$
Restando la última igualdad a la primera, concluimos que $$\int_{\mathbb{R}^m}\lambda (K_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(K)$$
Como queríamos probar.
- Sea $K_1\subseteq K_2\subseteq \dots$ una sucesión creciente de conjuntos compactos en $\mathbb{R}^n$. Veamos que el resultado es válido para $B=\bigcup_{k=1}^{\infty}K_j$.
Primero notemos que para cada $y\in \mathbb{R}^m$: $$B_y=\bigcup_{k=1}^{\infty}K_{j.y}$$ Es una unión numerable y creciente de conjuntos compactos en $\mathbb{R}^l$, por lo que $B_y$ es un conjunto medible (en $\mathbb{R}^l$) y $$\lambda(K_{j,y})\uparrow \lambda(B_y)$$
En particular $\lambda(B_y)$ es medible como función de $y$ (al ser límite creciente de funciones medibles). Más aún, por el teorema de la convergencia monótona:
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(B_y) \ \mathrm{d}y &= \lim_{j\to \infty} \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(K_{j,y}) \ \mathrm{d}y \\
&= \lim_{j\to \infty} \lambda(K_j) \\
&= \lambda(B).
\end{align*}
Lo que completa este caso.
- Similarmente al caso anterior, sea $G_1\supseteq G_2\supseteq \dots$ una sucesión decreciente de conjuntos abiertos y acotados en $\mathbb{R}^n$. Veamos que la proposición es cierta para la intersección: $C=\bigcap_{k=1}^{\infty} G_k$.
Para ello, tomemos un compacto $K$ con $K\supseteq G_1$. Aplicando el caso anterior al conjunto $$K\setminus C=\bigcup_{j=1}^{\infty}(K_j\setminus G_j)$$
Se sigue que $\lambda(K_y\setminus C_y)=\lambda(K_y)-\lambda(C_y)$ es medible como función de $y$ y:
$$\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(K_y\setminus C_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(K\setminus C)$$ $$\implies \int_{\mathbb{R}^m}(\lambda(K_y)-\lambda(C_y) )\ \mathrm{d}y=\lambda(K\setminus C)$$ $$\implies \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(K_y)\ \mathrm{d}y – \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(C_y)\ \mathrm{d}y=\lambda(K)-\lambda(C)$$
Por el caso compacto, tenemos también que $\lambda(K_y)$ es medible en $y$ con: $$\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(K_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(K).$$ Restando las expresiones anteriores se sigue: $$\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(C_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(C).$$ Lo que completa este caso.
- Veamos finalmente el caso general: Sea $A\subseteq \mathbb{R}^n$ un conjunto medible y acotado arbitrario.
Por el teorema de aproximación de conjuntos medibles [Enlace] podemos encontrar una sucesión de conjuntos compactos $K_j$ y una sucesión de conjuntos abiertos $G_j$ tales que $$K_1\subseteq K_2 \subseteq \dots \subseteq A \subseteq \dots \subseteq G_2 \subseteq G_1.$$
Con $$\lim_{j\to \infty} \lambda(K_j)=\lambda(A)=\lim_{j\to \infty} \lambda(G_j).$$
Definamos $$B=\bigcup_{j=1}^{\infty} K_j; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C=\bigcap_{j=1}^{\infty}G_j.$$
Claramente $B\subseteq A\subseteq C$ y $\lambda(B)=\lambda(A)=\lambda(C)$. Por los casos anteriores: $$\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(B_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(B); \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(C_y) \ \mathrm{d}y=\lambda(C).$$
Al restar las expresiones se sigue: $$\int_{\mathbb{R}^m}[\lambda(C_y)-\lambda(B_y)] \ \mathrm{d}y=0.$$
Como el integrando es no negativo, se sigue por propiedades de la integral que $$\lambda(C_y\setminus B_y)=\lambda(C_y)-\lambda(B_y)=0$$
Para casi todo $y\in \mathbb{R}^m$.
Por esta razón, $C_y\setminus B_y$ es un conjunto nulo en $\mathbb{R}^l$ para c.t.p. $y\in \mathbb{R}^m$. Para tales $y$, el hecho que $B_y\subseteq A_y \subseteq C_y$ y $\lambda(B_y)=\lambda(C_y)$ implica que el propio $A_y$ es un conjunto medible de $\mathbb{R}^l$ con $\lambda(B_y)=\lambda(A_y)=\lambda(C_y)$. Como $\lambda(B_y)$ (o $\lambda(C_y)$) es medible como función sobre $y$ (por los casos anteriores) e igual en c.t.p. a $\lambda(A_y)$, se sigue que $\lambda(A_y)$ es medible como función sobre $y$. Y además:
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^m}\lambda(A_y) \ \mathrm{d}y &= \int_{\mathbb{R}^m}\lambda(B_y) \ \mathrm{d}y \\
&= \lambda(B) \\
&= \lambda(A).
\end{align*}
Para la primera igualdad se usó que $\lambda(A_y)=\lambda(B_y)$ en c.t.p. $y\in \mathbb{R}^m$, mientras que la segunda se sigue por los casos anteriores.
Esto completa la primera parte de la demostración.
Pasemos a la segunda parte: Probar el resultado para una función medible no negativa general.
Definición. Diremos que una función simple $s\in S$, $s=\sum_{k=1}^{l} \alpha_k \chi_{A_k}$ es de soporte acotado, si cada $A_k$ es un conjunto acotado. O equivalentemente que el conjunto ${ x \ | \ s(x)\neq 0 }$ sea acotado. Denotaremos el conjunto de funciones simples de soporte acotado como $S_c$.
Se sigue inmediatamente de la parte anterior y linealidad que el teorema de Fubini es válido para funciones simples de soporte acotado.
Notemos que para cualquier función medible no negativa, $f:\mathbb{R}^n\to [0,\infty]$, podemos encontrar una sucesión de funciones simples y de soporte acotado ${ s_k }_{k=1}^{\infty}\subseteq S_c$ tales que $s_k\uparrow f$: Basta tomar cualquier sucesión de funciones simples ${ r_k }_{k=1}^{\infty}$ tales que $r_k\uparrow f$ y definir $s_k=r_k\cdot \chi_{[-k,k]^n}$ (¿Porqué?).
Sea entonces $f:\mathbb{R}^n\to [0,\infty]$ una función medible no negativa arbitraria y ${ r_k }_{k=1}^{\infty}$ una sucesión de funciones en $S_c$ tales que $$r_k\uparrow f.$$
Es claro que para cualquier $y\in \mathbb{R}^m$, $r_{k,y}\uparrow f_y$ cuando $k\to \infty$.
Ahora, como el teorema de Fubini es válido para funciones en $S_c$, tenemos:
$r_{k,y}:\mathbb{R}^l\to[0,\infty]$ es medible para c.t.p. $y\in \mathbb{R}^m$; la función $R_k(y)=\int_{\mathbb{R}^l}r_{k,y}(x) \ \mathrm{d}x$ es medible sobre $\mathbb{R}^m$ y $$\int_{\mathbb{R}^n}r_{k}(x,y) \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^m}R_{k}(y) \ \mathrm{d}y.$$
Se sigue entonces que para c.t.p. $y\in \mathbb{R}^m$, $f_y$ es medible pues es el límite creciente de las funciones medibles $r_{k,y}$. Además por el teorema de la convergencia monótona, para tales $y$ se cumple:
$$F(y)=\int_{\mathbb{R}^l}f_{y}(x) \ \mathrm{d}x=\lim_{k\to \infty} \int_{\mathbb{R}^l}r_{k,y}(x) \ \mathrm{d}x=\lim_{k\to \infty} R_k(y).$$
Por monotonía el límite anterior es de hecho creciente. Así que podemos escribir: $$R_k\uparrow F$$ En c.t.p. de $\mathbb{R}^l$. Luego, $F$ es medible al ser el límite creciente (en c.t.p.) de las funciones medibles $R_k$. Más aún tenemos:
$$\int_{\mathbb{R}^m}F(y) \ \mathrm{d}y=\lim_{k\to \infty} \int_{\mathbb{R}^m}R_k(y) \ \mathrm{d}y=\lim_{k\to \infty}\int_{\mathbb{R}^n}r_{k}(x,y) \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y) \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
(La primera y última igualdad se siguen del teorema de la convergencia monótona en $\mathbb{R}^m$ y $\mathbb{R}^n$ respectivamente). Lo que completa la demostración del teorema de Fubini-Tonelli.
Más adelante…
Estudiaremos una generalización poderosa de los conceptos de medida e integración, que nos permite hablar de integral sobre espacios «abstractos».