Fórmulas para curvatura y torsión cuando la curva no está parametrizada por longitud de arco.

(*) Expresar la curvatura y la torsión como determinantes.

(*) Usar la regla de la cadena para derivar composiciones.

CASO $n=2$ curva plana

Dada $\alpha (t)=(x(t),y(t))$ y $t=h(s)$ con $s=$ longitud de arco; entonces $$\gamma (s)=\alpha (h(s))=(u(s),v(s))$$ $${\gamma }^{\prime }(s)=(u^{\prime }(s),v^{\prime }(s))$$

Curvatura de $\gamma$ en el punto $s$ es el número $\mathcal{K}$ para el cual se cumple la ecuación $${\gamma }^{\prime \prime }(s)=\mathcal{K}(–v^{\prime }(s),u^{\prime }(s))$$

Así definida $\mathcal{K}(s)$ puede ser $\mathcal{K}(s)>0$, $\mathcal{K}(s)<0$ o incluso $\mathcal{K}(s)=0.$

Se sigue cumpliendo que $$|\mathcal{K}|=\Vert {\gamma }^{\prime \prime }(s)\Vert$$

Si $\gamma (s)$ está dada por longitud de arco, entonces $$\Vert {\gamma }^{\prime }(s)\Vert =1⟺⟨{\gamma }^{\prime }(s),{\gamma }^{\prime }(s)⟩=1$$

Derivando $$\begin{array}{rl}⟨{\gamma }^{\prime \prime }(s),{\gamma }^{\prime }(s)⟩+⟨{\gamma }^{\prime }(s),{\gamma }^{\prime \prime }(s)⟩& \equiv 0\\ ⟨{\gamma }^{\prime }(s),{\gamma }^{\prime \prime }(s)⟩& \equiv 0\end{array}$$

$$\therefore {\gamma }^{\prime \prime }(s)\text{ es ortogonal a }{\gamma }^{\prime }(s)$$

Luego, ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ está en la recta ortogonal a ${\gamma }^{\prime }(s).$

¿Cuál es el signo de $\mathcal{K}(s)$?

Observemos el producto punto de ${\gamma }^{\prime \prime }(s)$ con $(-v(s),u(s)).$

Signo de $\mathcal{K}(s)=$ signo $|\begin{array}{cc}{u}^{\prime }& u^{\prime \prime }\\ v^{\prime }& v^{\prime \prime }\end{array}|$

Por lo que el signo de $\mathcal{K}(s)$ está dado por el signo del determinante de $({\gamma }^{\prime }|{\gamma }^{\prime \prime }).$

Luego

$\begin{array}{rl}{u}^{\prime \prime }& =–\mathcal{K}{v}^{\prime }\\ v^{\prime \prime }& =\mathcal{K}{u}^{\prime }\end{array}$

Por lo que

$\begin{array}{rl}|\begin{array}{cc}{u}^{\prime }& u^{\prime \prime }\\ v^{\prime }& v^{\prime \prime }\end{array}|& =|\begin{array}{cc}{u}^{\prime }& –\mathcal{K}{v}^{\prime }\\ v^{\prime }& \mathcal{K}{u}^{\prime }\end{array}|\\ & =u^{\prime }{u}^{\prime }\mathcal{K}–v^{\prime }{v}^{\prime }\mathcal{K}\\ & =\mathcal{K}((u^{\prime }{)}^2–(v^{\prime }{)}^2)\\ & =\mathcal{K}\end{array}$$

Entonces $$|{\gamma }^{\prime }|=|(u^{\prime },v^{\prime })|=1$$

1° paso: La curvatura se puede ver como

$$\mathcal{K}(s)=|\begin{array}{cc}{u}^{\prime }(s)& u^{\prime \prime }(s)\\ v^{\prime }(s)& v^{\prime \prime }(s)\end{array}|$$

2° paso: Ahora consideremos la relación con cambio de variable.

$$u(s)=x(h(s))=x(t)$$

Derivando

$u^{\prime }(s)={\displaystyle \frac{du}{ds}}={\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}=\dot{x}(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}}$

$u^{\prime \prime }(s)={\displaystyle \frac{d}{ds}}({\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}})$

$u^{\prime \prime }(s)=({\displaystyle \frac{d}{ds}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}+{\displaystyle \frac{dx}{dt}}({\displaystyle \frac{d}{ds}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}})$

$u^{\prime \prime }(s)={\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}+{\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}{u^{\prime }}^{\prime }(s)$

$u^{\prime \prime }(s)=\ddot{x}(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+\dot{x}(t){\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}$

Entonces la curvatura está dada por:

$\mathcal{K}(s)=\left|\begin{array}{cc}{u}^{\prime }(s)& u^{\prime \prime }(s)\\ \\ v^{\prime }(s)& v^{\prime \prime }(s)\end{array}\right|$

$$

$\mathcal{K}(s)=\left|\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{du}{ds}}& {\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{s}^2}}\\ \\ {\displaystyle \frac{dv}{ds}}& {\displaystyle \frac{d^{2}v}{d{s}^2}}\end{array}\right|$

$$

$\mathcal{K}(s)=\left|\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+{\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}\\ \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+{\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}\end{array}\right|$

$$

$\mathcal{K}(s)=\left|\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2\\ \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & & {\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}\\ \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & & {\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}\end{array}\right|$

$$

$\mathcal{K}(s)=({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3\left|\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}\\ \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}\end{array}\right|+({\displaystyle \frac{dt}{ds}}){\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}\left|\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{dx}{dt}}\\ \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{dy}{dt}}\end{array}\right|$

$$

$\mathcal{K}(s)=({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3\left|\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}\\ \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}\end{array}\right|$

$$

Pero $s=\int \Vert {\alpha }^{\prime }\Vert (t)dt$ entonces ${\displaystyle \frac{ds}{dt}}=\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{({\displaystyle \frac{dx}{dt}}{)}^2+({\displaystyle \frac{dy}{dt}}{)}^2}$

Por lo tanto

$\mathcal{K}(s)={\displaystyle \frac{\left|\begin{array}{cccc}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}\\ \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}& & & {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}\end{array}\right|}{(({\displaystyle \frac{dx}{dt}}{)}^2+({\displaystyle \frac{dy}{dt}}{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}}$

Luego, cuando $n=2$ $$\mathcal{K}(t)={\displaystyle \frac{\dot{x}\ddot{y}–\dot{y}\ddot{x}}{((\dot{x}{)}^2+(\dot{y}{)}^2{)}^{\frac{3}{2}}}}$$

$$

CASO $n=3$

1° paso: Expresar la curvatura y la torsión en términos de determinantes.

$$T(s)={\gamma }^{\prime }(s)$$ $$N(s)={\displaystyle \frac{{\gamma }^{\prime \prime }(s)}{\Vert {\gamma }^{\prime \prime }(s)\Vert }}$$

Luego $${\gamma }^{\prime \prime }(s)=\mathcal{K}(s)N(s)$$

y $B(s)=T(s)\times N(s)$

entonces ${\gamma }^{\prime }(s)\times {\gamma }^{\prime \prime }(s)=T(s)\times \mathcal{K}(s)N(s)$

${\gamma }^{\prime }(s)\times {\gamma }^{\prime \prime }(s)=\mathcal{K}(s)(T(s)\times N(s))=\mathcal{K}(s)B(s)$

$\Vert {\gamma }^{\prime }(s)\times {\gamma }^{\prime \prime }(s)\Vert =\mathcal{K}$ con el parámetro longitud de arco, ya que $\Vert B(s)\Vert =1.$

$$

Cuando no está parametrizada por longitud de arco, $$\gamma (s)=(x(s),y(s),z(s))$$ $${\gamma }^{\prime }(s)=({\displaystyle \frac{dx}{ds}},{\displaystyle \frac{dy}{ds}},{\displaystyle \frac{dz}{ds}})$$ $$\gamma (s)=({\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{s}^2}},{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{s}^2}},{\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{s}^2}})$$

Entonces $${\gamma }^{\prime }(s)\times {\gamma }^{\prime \prime }(s)=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \\ {\displaystyle \frac{dx}{ds}}& {\displaystyle \frac{dy}{ds}}& {\displaystyle \frac{dz}{ds}}\\ \\ {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{s}^2}}& {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{s}^2}}& {\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{s}^2}}\end{array}\right|$$

$${\gamma }^{\prime }(s)\times {\gamma }^{\prime \prime }(s)=\left|\begin{array}{ccccc}\hat{i}& & \hat{j}& & \hat{k}\\ \\ {\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & {\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}& & {\displaystyle \frac{dz}{dt}}{\displaystyle \frac{dt}{ds}}\\ \\ {\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+{\displaystyle \frac{dx}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}& & {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+{\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}& & {\displaystyle \frac{d^{2}z}{d{t}^2}}({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+{\displaystyle \frac{dz}{dt}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}\end{array}\right|$$

Por lo tanto, para $n=3$ se tiene que $$\mathcal{K}(t)={\displaystyle \frac{\Vert \dot{\gamma }(t)\times \ddot{\gamma }(t)\Vert }{\Vert \dot{\gamma }(t){\Vert }^3}}$$

$$

Torsión

$$T^{\prime }(s)=\mathcal{K}(s)N(s)$$

$$N^{\prime }(s)=–\mathcal{K}(s)T(s)–\tau (s)B(s)$$

$$B^{\prime }(s)=\tau (s)N(s)$$

Tenemos que:

${\gamma }^{\prime }=T(s)$

${\gamma }^{\prime \prime }=T^{\prime }(s)=\mathcal{K}N$

${\gamma }^{\prime \prime \prime }={\displaystyle \frac{d}{ds}}(\mathcal{K}N={\mathcal{K}}^{\prime }N+\mathcal{K}{N}^{\prime }={\mathcal{K}}^{\prime }N+\mathcal{K}(–\mathcal{K}(s)T(s)–\tau (s)B(s))={\mathcal{K}}^{\prime }N-{\mathcal{K}}^2(s)T(s)–\mathcal{K}\tau (s)B(s)$

Resolviendo el triple producto escalar de $({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })$ se tiene que:

$\begin{array}{rl}({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })& =(T,\mathcal{K}N,-{\mathcal{K}}^{2}T+{\mathcal{K}}^{\prime }N–\mathcal{K}\tau B\\ & =\mathcal{K}(T,N,-{\mathcal{K}}^{2}T+{\mathcal{K}}^{\prime }N–\mathcal{K}\tau B)\\ & =\mathcal{K}(T,N,-{\mathcal{K}}^{2}T)+(T,N,{\mathcal{K}}^{\prime }N)+(T,N,-\mathcal{K}\tau B))\\ & =–{\mathcal{K}}^3(T,N,T)+\mathcal{K}{\mathcal{K}}^{\prime }(T,N,N)–{\mathcal{K}}^2\tau (T,N,B)\end{array}$

Por lo tanto $$({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })=–{\mathcal{K}}^2\tau$$

Por lo tanto, para curvas parametrizadas por longitud de arco $$\tau (s)={\displaystyle \frac{–({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })}{{\mathcal{K}}^2(s)}}$$

Partiendo de $\tau (s)={\displaystyle \frac{–({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })}{{\mathcal{K}}^2(s)}}$

Buscamos una expresión en términos de $t$ y las derivadas con respecto a $t$.

1° paso:

${\gamma }^{\prime }=\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}}$

${\gamma }^{\prime \prime }=\ddot{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}$

${\gamma }^{\prime \prime \prime }=\stackrel{⃛}{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3+\ddot{\gamma }(t)2{\displaystyle \frac{dt}{ds}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}+\ddot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}+\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{3}t}{d{s}^3}}$

Entonces ${\gamma }^{\prime \prime \prime }=\stackrel{⃛}{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3+3\ddot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}+\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{3}t}{d{s}^3}}$

Luego $$\begin{array}{rl}({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })& =(\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}},\ddot{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2+\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}},\stackrel{⃛}{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3+3\ddot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}+\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{3}t}{d{s}^3}})\\ & =(\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}},\ddot{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2,\stackrel{⃛}{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3)+(\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}},\ddot{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2,3\ddot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}})+\\ & (\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}},\ddot{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2,\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{3}t}{d{s}^3}}))+(\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}},\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}},\stackrel{⃛}{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3+3\ddot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}}{\displaystyle \frac{d^{2}t}{d{s}^2}}+\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{d^{3}t}{d{s}^3}})\end{array}$$

$$

Entonces

$\begin{array}{rl}({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })& =(\dot{\gamma }(t){\displaystyle \frac{dt}{ds}},\ddot{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^2,\stackrel{⃛}{\gamma }(t)({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^3)\\ & =({\displaystyle \frac{dt}{ds}}{)}^6({\gamma }^{\prime },{{\gamma }^{\prime }}^{\prime },{{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }}^{\prime })\end{array}$

Por lo tanto $$({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })\Vert \dot{\gamma }{\Vert }^6$$

Luego $$\tau (s)={\displaystyle \frac{-({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })}{{\mathcal{K}}^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })}{\Vert \dot{\gamma }{\Vert }^6}}}{{\displaystyle \frac{\Vert \dot{\gamma }\times \ddot{\gamma }{\Vert }^2}{\Vert \dot{\gamma }{\Vert }^6}}}}$$

$$\therefore \tau (s)={\displaystyle \frac{-({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime \prime },{\gamma }^{\prime \prime \prime })}{\Vert \dot{\gamma }\times \ddot{\gamma }{\Vert }^2}}$$

$$

Forma canónica local

Sea $\gamma (s)=(x(s),y(s),z(s))$ podemos desarrollar cada función en series de Taylor. Luego $$\gamma (s)=\gamma (0)+s{\gamma }^{\prime }(0)+{\displaystyle \frac{s^2}{2}}{\gamma }^{\prime \prime }(0)+{\displaystyle \frac{s^3}{6}}{\gamma }^{\prime \prime \prime }(0)+\dots$$

Sin pérdida de generalidad, $\gamma (0)=\overrightarrow{0}$ entonces ${\gamma }^{\prime }(0)$

Luego $$e_1=(1,0,0)=T(0)$$ $$e_2=(0,1,0)=N(0)$$ $$e_3=(0,0,1)=B(0)$$

Entonces $(x(s),y(s),z(s))=(0,0,0)+s(1,0,0)+{\displaystyle \frac{s^2}{2}}(0,\mathcal{K},0)+{\displaystyle \frac{s^3}{6}}(-\mathcal{K},{\mathcal{K}}^{\prime },–\mathcal{K}\tau )+\dots$

Por lo que $$x(s)=s+{\displaystyle \frac{s^3}{6}}{\mathcal{K}}^2(0)+Residu{o}_x(s)$$ $$y(s)={\displaystyle \frac{s^2}{2}}\mathcal{K}(0)+{\displaystyle \frac{s^3}{6}}{\mathcal{K}}^{\prime }(0)+Residu{o}_y(s)$$ $$z(s)={\displaystyle \frac{\mathcal{K}(0)\tau (0)}{6}}{s}^3+Residu{o}_z(s)$$

Sea $\alpha :(a,b)\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una curva parametrizada, sea $\mathcal{I}=(a,b).$

Sea $h:\mathcal{J}=(c,d)\to \mathcal{I}=(a,b)$ una función monótona $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que:

$$h(c,d)=(a,b)$$

Sea $t\in (a,b)$ y sea $\tau \in (c,d).$

Podemos hacer la composición $$\beta :\mathcal{J}\to {\mathbb{R}}^n$$

$$\beta =\alpha \circ h$$

$\beta (\tau )=\alpha (h(\tau ))$

$t=h(\tau )$

entonces ${\beta }^{\prime }(\tau )=\frac{d}{d\tau }(\alpha (h(\tau ))={\alpha }^{\prime }(h(\tau ))h^{\prime }(\tau )$

Pueden suceder dos casos:

* $h^{\prime }(\tau )>0\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow h$ es creciente, entonces el vector ${\beta }^{\prime }(\tau )$ es un mútliplo positivo de ${\alpha }^{\prime }(h(\tau ))$, es decir, apunta en la misma dirección.

* $h^{\prime }(\tau )<0\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow h$ es decreciente, entonces el vector ${\beta }^{\prime }(\tau )$ es un mútliplo negativo de ${\alpha }^{\prime }(h(\tau ))$, es decir, apunta en la dirección contraria.

EJemplo:

Una hélice $\gamma (t)=(\cos t,\sin t,t)$

${\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t,1)$

$\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2+(1{)}^2}$

$\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{2}$ por lo que esta curva está parametrizada con rapidez constante.

Reparametricemos a $\gamma (t)$ con longitud de arco.

Sea $t=h(s)$ tal que $\beta (0)=\gamma (h(s))$ cumpla que $\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =1$ para toda $s.$

Entonces ${\beta }^{\prime }(s)={\gamma }^{\prime }(h(s))h^{\prime }(s)$

$\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =\Vert {\gamma }^{\prime }(h(s))\Vert |h^{\prime }(s)|$

$\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =\sqrt{2}|h^{\prime }(s)|$

Buscamos $h$ tal que $h^{\prime }(s)>0.$

Entonces $\sqrt{2}{h}^{\prime }(s)\equiv 1\Rightarrow h^{\prime }(s)\equiv {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Una solución de la ecuación anterior es $h(s)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}s$

Entonces $$\beta (s)=(\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}})$$

Esta curva recorre la misma hélice pero ahora está parametrizada con rapidez unitaria.

Longitud de arco medida desde el punto $\beta (0)=(1,0,0)$

Calculemos la curvatura de la hélice en cada punto.

$\mathcal{K}(s)=\Vert {\beta }^{\prime \prime }(s)\Vert$

$\beta (s)=(\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}})$

${\beta }^{\prime }(s)=(–{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=T(s)$ unitario.

${\beta }^{\prime \prime }(s)=(–{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),–{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),0)$

$\Vert {\beta }^{\prime \prime }(s)\Vert =\sqrt{(–{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}){)}^2+(–{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}){)}^2}$

$\Vert {\beta }^{\prime \prime }(s)\Vert ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Luego $N(s)=(–\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),–\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),0)$ que es horizontal y paralelo al plano $xy.$

En el siguiente enlace puedes observar la animación de este ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/tcudugk8

La torsión y el triedro de Frenet – Serret.

Dada una curva $\alpha :\mathcal{I}\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ parametrizada por longitud de arco, tenemos el vector tangente $T(s):={\alpha }^{\prime }(s).$

Si ${\alpha }^{\prime \prime }(s)\ne \overrightarrow{0}$, tenemos el vector normal $N(s):={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert }}$

Observación: ${\displaystyle \frac{d}{ds}}T(s)={\displaystyle \frac{d}{ds}}{\alpha }^{\prime }(s)={\alpha }^{\prime \prime }(s)=\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert N(s).$ Entonces $$T^{\prime }(s)=\mathcal{K}(s)=N(s)$$

Con $T$ y $N$ podemos producir otro vector, el vector Binormal $\overrightarrow{B}(s)$, donde $$\overrightarrow{B}(s)=T(s)\times N(s)$$

¿Cómo cambia $\beta (s)$?

$$\begin{array}{rl}{\beta }^{\prime }(s)& =(T(s)\times N(s){)}^{\prime }\\ & =T^{\prime }(s)\times N(s)+T(s)\times N^{\prime }(s)\\ & =\mathcal{K}\cdot N(s)\times N(s)+T(s)\times N^{\prime }(s)\\ & =\mathcal{K}+T(s)\times (aT+cB)\\ {\beta }^{\prime }(s)& =c(T\times B)=cN(s)\end{array}$$

Definamos la torsion de la curva en el punto $\alpha (s)$ como el número $\tau (s)$ tal que $$B^{\prime }(s)=–\tau (s)N(s)$$

Tres fórmulas

$$\begin{array}{rl}{T}^{\prime }(s)& =\mathcal{K}(s)N(s)\\ B^{\prime }(s)& =–\tau (s)N(s)\\ N^{\prime }(s)& =\mathcal{K}(s)T(s)+\tau (s)B(s)\end{array}$$

La fórmula de $N^{\prime }(s)$ se deduce a partir de $N=B\times T$, ya que derivando esta expresión se tiene que:

$$\begin{array}{rl}{N}^{\prime }& =(B\times T{)}^{\prime }\\ & =B^{\prime }\times T+B\times T^{\prime }\\ & =–\tau (N\times T)+B\times (\mathcal{K}N)\\ & =\tau (T\times N)+\mathcal{K}(B\times N)\\ N^{\prime }& =\mathcal{K}T+\tau B\end{array}$$

Introducción

El contenido de esta sección corresponde al libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 30-34.

Continuaremos viendo condiciones bajo las cuales sea posible afirmar la existencia de la integral ${\int }_a^{b}fd\alpha .$ Comencemos con la siguiente:

Proposición: Sean $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}.$ Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe, entonces también ${\int }_a^b\alpha df$ existe y además

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_a^{b}fd\alpha =[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–{\int }_a^b\alpha df.\end{array}$$

Demostración:
Considera $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}$ una partición de $[a,b]$ y sean ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i],i=1,\dots ,n.$ Entonces se siguen las siguientes igualdades:

$$\begin{array}{rl}S(P,f,\alpha )& =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ & =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\alpha (x_i)–\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\alpha (x_{i-1})\\ & =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\alpha (x_i)–\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_{i+1})\alpha (x_i)\\ & =\sum _{i=1}^{n-1}f({\xi }_i)\alpha (x_i)+f({\xi }_n)\alpha (x_n)–\sum _{i=1}^{n-1}f({\xi }_{i+1})\alpha (x_i)–f({\xi }_1)\alpha (x_0)\\ & =-\sum _{i=1}^{n-1}\alpha (x_i)(f({\xi }_{i+1})–f({\xi }_i)))+f({\xi }_n)\alpha (b)–f({\xi }_1)\alpha (a).\end{array}$$

Nota que el lado derecho de la igualdad coincide con

$$[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–T_P$$

donde

$$T_P=\sum _{i=1}^{n-1}\alpha (x_i)(f({\xi }_{i+1})–f({\xi }_i))+\alpha (a)(f({\xi }_1)–f(a))+\alpha (b)(f(b)–f({\xi }_n)).$$

Por lo tanto

$$\begin{array}{}\text{(2)}& S(P,f,\alpha )=[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–T_P.\end{array}$$

Observa que $T_P$ es una suma de Riemann-Stieltjes para ${\int }_a^b\alpha df.$ Tomando el límite cuando $|P|\to 0$ en (2) vemos que ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe si y solo si ${\int }_a^b\alpha df$ existe y que

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}fd\alpha =[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–{\int }_a^b\alpha df,\end{array}$$

que es lo que queríamos demostrar.

Ya que el valor de las sumas de Riemann-Stieltjes depende de los valores ${\xi }_i$ elegidos, cuando la función $f$ es acotada, podemos delimitar el valor de $f({\xi }_i)$ y, por tanto, acotar las sumas como muestra la siguiente:

Definición: Suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes. Sea $f$ acotada, $\alpha$ una función monótona creciente en $[a,b]$ y $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}.$ Definimos los términos:

Las siguientes sumas

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& {\underset{―}{S}}_P=\sum _{i=1}^n{m}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ \text{(4)}& {\bar{S}}_P=\sum _{i=1}^n{M}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\end{array}$$

reciben el nombre de suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes, respectivamente.

Dado que $-\mathrm{\infty }<m_i\le M_i<\mathrm{\infty }$ y $(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\ge 0,$ (pues $\alpha$ es creciente), podemos ver que

$${\underset{―}{S}}_P\le S(P,f,\alpha )\le {\bar{S}}_P.$$

Esta forma de definir sumas permite conocer el comportamiento de la función, como sugiere el siguiente:

Lema: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ creciente. Se cumplen:

a) Si $Q$ es un refinamiento de $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]},$ entonces

$${\underset{―}{S}}_P\le {\underset{―}{S}}_Q\le {\bar{S}}_Q\le {\bar{S}}_P.$$

b) Si $P_1$ y $P_2$ son dos particiones, entonces
$${\underset{―}{S}}_{P_1}\le {\bar{S}}_{P_2},$$
es decir, cualquier suma inferior de Riemann-Stieltjes es menor igual que cualquier suma superior de Riemann-Stieltjes.

Demostración:
a) Vamos a demostrar que ${\bar{S}}_Q\le {\bar{S}}_P.$ El argumento para las sumas inferiores es análogo y lo dejaremos como ejercicio.

Sea $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}$ y $P\subset Q.$ Para fines prácticos supongamos que $Q$ tiene apenas un punto más que $P.$ Sea $x^{\ast }$ ese punto.
Entonces $x^{\ast }\in [x_{j-1},x_j]$ para algún $j\in \{1,\dots ,n\}$

entonces

en consecuencia
$$\underset{[x_{j-1},x^{\ast }]}{sup}f(x)(\alpha (x^{\ast })–\alpha (x_{i-1}))+\underset{[x^{\ast },x_j]}{sup}f(x)(\alpha (x_j)–\alpha (x^{\ast }))\le M_j(\alpha (x_j)–\alpha (x_{j-1})).$$

Este razonamiento se puede repetir añadiendo uno a uno cada punto de $Q\setminus P$ hasta obtener $Q.$ Finalmente,

$${\bar{S}}_Q\le {\bar{S}}_P.$$

b) Nota que $P_1\cup P_2$ es un refinamiento tanto de $P_1$ como de $P_2.$ Aplicando a) obtenemos:

$${\underset{―}{S}}_{P_1}\le {\underset{―}{S}}_{P_1\cup P_2}\le {\bar{S}}_{P_1\cup P_2}\le {\bar{S}}_{P_2}$$

con lo cual terminamos la prueba.

El siguiente enunciado muestra condiciones suficientes para la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes.

Proposición: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ de variación acotada en $[a,b],$ entonces ${\int }_a^b$ existe. Más aún

$$\left|{\int }_a^{b}fd\alpha \right|\le (\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|)V[\alpha ;a,b].$$

Demostración:
Para demostrar la existencia recordemos que el teorema de Jordan visto en la entrada Funciones de variación acotada dice que $\alpha ,$ al ser de variación acotada, puede expresarse como $\alpha ={\alpha }_1–{\alpha }_2$ con ${\alpha }_1$ y ${\alpha }_2$ funciones crecientes acotadas en $[a,b].$ Si probamos que existe tanto ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ como ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_2,$ entonces, por lo visto en la entrada anterior link también existe la integral buscada pues

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}fd{\alpha }_1–{\int }_a^{b}fd{\alpha }_2& ={\int }_a^{b}fd{\alpha }_1+{\int }_a^{b}fd(-{\alpha }_2)\\ & ={\int }_a^{b}fd({\alpha }_1-{\alpha }_2)\\ \text{(5)}& & ={\int }_a^{b}fd\alpha .\end{array}$$

Sin pérdida de generalidad, probemos que ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ existe. Sea $P=\{x_1=a,\dots ,x_n=b\}.$ De acuerdo con la proposición que acabamos de ver

$${\underset{―}{S}}_P\le S(P,f,{\alpha }_1)\le {\bar{S}}_P.$$

A continuación vamos a demostrar que $\underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P$ y $\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$ existen y son iguales. La condición es evidente si ${\alpha }_1$ es constante así que supongamos que no lo es.

Sea $\epsilon >0.$ Ya que $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ sabemos que existe $\delta >0$ tal que si $|P|<\delta ,$ entonces

$$\begin{array}{r}{M}_i-m_i<\frac{\epsilon }{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}.\end{array}$$

Nota que ${\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)$ es distinto de cero, pues ${\alpha }_1$ es monótona no constante.

Si $|P|<\delta$ se sigue:

$$\begin{array}{rl}0\le {\bar{S}}_P–{\underset{―}{S}}_P& =\sum _{i=1}^n(M_i–m_i)({\alpha }_1(x_i)–{\alpha }_1(x_{i-1}))\\ & <\sum _{i=1}^n\left(\frac{\epsilon }{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}\right)({\alpha }_1(x_i)–{\alpha }_1(x_{i-1}))\\ & =\frac{\epsilon }{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}\sum _{i=1}^n({\alpha }_1(x_i)–{\alpha }_1(x_{i-1}))\\ & =\left(\frac{\epsilon }{\cancel{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}}\right)\cancel{({\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a))}\\ & =\epsilon .\end{array}$$

Por lo tanto
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \underset{|P|\to 0}{lim}({\bar{S}}_P–{\underset{―}{S}}_P)=0.\end{array}$$

A continuación probaremos que existe $\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$ en $\mathbb{R}.$ Si suponemos que no existe entonces, por el criterio de Cauchy visto en la entrada anterior link , existen $\epsilon >0$ y $(P_k^{\prime }{)}_{k\in \mathbb{N}}$ y $(P´{´}_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ sucesiones de particiones cuyas normas tienden a cero tales que

$${\bar{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}>\epsilon .$$

Por (6) sabemos que para $k$ suficientemente grande

$$\begin{array}{rlrl}& & {\bar{S}}_{P_k^{\prime }}–{\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}& <\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P_k^{\prime }}& >-\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\bar{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}+{\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P_k^{\prime }}& >\epsilon -\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}& >\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}& >0\end{array}$$

lo que contradice el hecho de que ${\underset{―}{S}}_{P^{\prime }}\le {\bar{S}}_{P´´}$ para cualquier $P^{\prime }$ y $P´´.$

Por lo tanto $\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$ existe y en consecuencia ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ existe. Análogamente, ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_2$ existe, por lo tanto ${\int }_a^{b}fd\alpha$ también existe.

Para terminar la prueba nota que la desigualdad

$$\left|{\int }_a^{b}fd\alpha \right|\le (\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|)V[\alpha ;a,b]$$

se sigue de una suma de Riemann-Stieltjes similar y haciendo tender el límite a cero. La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.

Finalizaremos esta sección con un teorema conocido, pero ahora en la versión con la integral de Riemann-Stieltjes.

Teorema. Del valor medio para la integral de Riemann-Stieltjes. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y creciente. Entonces existe $\xi \in [a,b]$ tal que

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\int }_a^{b}fd\alpha =f(\xi )(\alpha (b)–\alpha (a)).\end{array}$$

Demostración:
Dado que $\alpha$ es creciente, se satisface para cualquier $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}$

$$(\underset{x\in [a,b]}{\text{mín}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a))\le S(P,f,\alpha )\le (\underset{x\in [a,b]}{\text{máx}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a))$$

El resultado anterior nos permite afirmar que ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe, entonces también se cumple

$$(\underset{x\in [a,b]}{\text{mín}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a))\le {\int }_a^{b}fd\alpha \le (\underset{x\in [a,b]}{\text{máx}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a)),$$

y como $f$ es continua en $[a,b]$ se sigue del teorema del valor intermedio que existe $\xi \in [a,b]$ tal que

$${\int }_a^{b}fd\alpha =f(\xi )(\alpha (b)–\alpha (a)),$$

que es lo que queríamos demostrar.

Así como definimos la integral de Riemann-Stieltjes en intervalos cerrados, también podemos hacerlo en intervalos abiertos $(a,b)\in \mathbb{R}$ de esta forma: Si $[a^{\prime },b^{\prime }]\subset (a,b)$ y existe ${\int }_{a^{\prime }}^{b^{\prime }}fd\alpha ,$ haciendo $a^{\prime }\to a$ y $b^{\prime }\to b$ definimos

$${\int }_a^{b}fd\alpha =\underset{a^{\prime }\to a;b^{\prime }\to b}{lim}{\int }_{a^{\prime }}^{b^{\prime }}fd\alpha$$

cuando el límite existe. Así mismo

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}fd\alpha =\underset{a\to -\mathrm{\infty };b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}fd\alpha ,$$

cuando el límite existe.

Más adelante…

Hasta el momento no es muy evidente la relacion entre la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes con los limites de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, pese a que en Cálculo llegan incluso a considerarse equivalentes cuando coinciden. En la próxima entrada veremos bajo qué condiciones el resultado es válido en la integral que estamos estudiando.

Tarea moral

1. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ creciente. Sea $Q$ un refinamiento de $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}.$ Demuestra que
   $${\underset{―}{S}}_P\le {\underset{―}{S}}_Q.$$
2. Demuestra la desigualdad pendiente
   $$\left|{\int }_a^{b}fd\alpha \right|\le (\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|)V[\alpha ;a,b]$$
   donde $f$ es continua y $\alpha$ es de variación acotada.
3. Sean $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}.$ Prueba que se cumplen:
   a) Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe y $\alpha$ no es constante en ningún subintervalo de $[a,b]$ muestra que $f$ es acotada en $[a,b].$
   b) Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe y $\alpha$ es creciente, muestra que para cada $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}$ tenemos ${\underset{―}{S}}_P\le {\int }_a^{b}fd\alpha \le {\bar{S}}_P.$

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.