Introducción

Ya que hemos visto el concepto de función, en esta entrada veremos cómo están definidas las operaciones de suma, producto y cociente. De igual modo, definiremos la composición entre un par de funciones. Para dejar más claras dichas operaciones, daremos ejemplos.

Operaciones de funciones

Definición (operaciones): Sean $f:D_f\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g:D_g\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Definimos las siguientes operaciones como:

• $f+g:D_f\cap D_g\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$
  $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\text{.}$$
• $\alpha f:D_f\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $\alpha \in \mathbb{R}$
  $$(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\text{.}$$
• $fg:D_f\cap D_g\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$
  $$(fg)(x)=f(x)g(x)\text{.}$$
• $\begin{array}{c}\frac{f}{g}:D_{f/g}\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\hfill \end{array}$
  $$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\text{.}$$
  donde $D_{f/g}=D_f\cap (D_g–\{x\in D_g:g(x)=0\})$

Notación: Cuando escribamos $f-g$ hacemos referencia a:
$$f-g=f+(-g)\text{.}$$

Ejemplos

Consideremos a las siguientes funciones:
$$\begin{array}{rlrlrl}f:\mathbb{R}–\{-1\}& \to \mathbb{R}& g:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}& h:\mathbb{R}& \to {\mathbb{R}}^{+}\end{array}$$
$$\begin{array}{rlrlrl}f(x)& =\frac{1}{x+1}& g(x)& =x^3+3& h(x)& =x^2+2x+1\end{array}$$
Notación: Usamos ${\mathbb{R}}^{+}$ para referirnos al conjunto de los números reales positivos.

Realizaremos las siguientes operaciones para ejemplificar lo visto anteriormente:

• $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\frac{1}{x+1}+x^3+3$$
  con $D_{f+g}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}\cap (\mathbb{R}-\{-1\})=\mathbb{R}-\{-1\}$
• $$(fg)(x)=f(x)g(x)=\left(\frac{1}{x+1}\right)(x^3+3)=\frac{x^3+3}{x+1}$$
  con $D_{fg}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}\cap (\mathbb{R}-\{-1\})=\mathbb{R}-\{-1\}$
• Si $\alpha =–4$:
  $$(\alpha g)(x)=\alpha g(x)=-4(x^3+3)=-4x^3-12$$
  con $D_{\alpha g}=D_g=\mathbb{R}$
• $$\left(\frac{g}{h}\right)(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^3+3}{x^2+2x+1}$$
  como $D_{g/h}=D_g\cap (D_h–\{x\in D_h:h(x)=0\})$
  Observemos que $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$ por lo que $(x+1{)}^2=0$ cuando $x=-1$.
  Así el dominio sería:
  $$D_{g/h}=\mathbb{R}\cap (\mathbb{R}-\{-1\})=\mathbb{R}–\{-1\}$$
• $$(h-g)(x)=h(x)-g(x)=x^2+2x+1-(x^3+3)=x^2+2x+1-x^3-3$$
  con $D_{h-g}=D_h\cap D_g=\mathbb{R}\cap \mathbb{R}=\mathbb{R}$

Composición de funciones

Definición (composición): Consideremos a las funciones $g:A\to B$ y $f:B\to C$ definimos a la composición de $g$ seguida de $f$ como:

$$f\circ g:A\to C$$
$$(f\circ g)(x)=f(g(x)),$$
observamos que la composición sólo está definida si $I{m}_g\subseteq D_f$, por lo que $g(x)\in B$.
En el siguiente diagrama podemos ver más claramente cómo funciona la composición $f\circ g$:

Primero tomamos $x\in A$ a la cual le aplicamos la función $g$ para así obtener $g(x)\in B$.

Ahora tomamos a $g(x)\in B$ para aplicarle la función $f$ y finalmente obtener $f(g(x))\in C$.

Así la composición de $f\circ g$ se vería como en el diagrama anterior.

Observación: La composición no es conmutativa, es decir, ocurre que:
$$f\circ g\ne g\circ f\text{.}$$

Ejemplos

Retomando las funciones:
$$\begin{array}{rlrlrl}f(x)& =\frac{1}{x+1}& g(x)& =x^3+3& h(x)& =x^2+2x+1\end{array}$$

Realicemos las siguientes composiciones de funciones para tener más claro cómo funciona lo antes explicado:

• Ejemplo 1:
  $$\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)& =g(f(x))\\ & =g\left(\frac{1}{x+1}\right)\\ & ={\left(\frac{1}{x+1}\right)}^3+3\\ & =\frac{1}{(x+1{)}^3}+3\end{array}$$
  Así tenemos que la composición obtenida es:
  $$(g\circ f)(x)=\frac{1}{(x+1{)}^3}+3$$
• Ejemplo 2:
  $$\begin{array}{rl}(f\circ h)(x)& =f(h(x))\\ & =f((x^2+2x+1))\\ & =\frac{1}{(x^2+2x+1)+1}\\ & =\frac{1}{x^2+2x+2}\end{array}$$
  Por lo que la composición quedaría como:
  $$(f\circ h)(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}$$

Más adelante

Ahora que ya hemos definido las operaciones entre funciones y la composición, en la siguiente entrada veremos qué características debe cumplir una función para poder determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Del mismo modo, examinaremos el concepto de función inversa, donde haremos uso de la composición de funciones y algunas condiciones.

Tarea moral

• Si tenemos a las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ definidas como siguen:
  $$f(x)=x-8$$
  $$g(x)=x^4$$
  Realiza las siguientes operaciones:
  • $f+g$
  • $f–g$
  • $fg$
  • $\frac{g}{f}$
  • $g\circ f$
• Da una función $f$ y una función $g$ que ejemplifiquen que la composición no es conmutativa:
  $$f\circ g\ne g\circ f\text{.}$$
• Demuestra que la composición es asociativa, es decir,
  $$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h\text{.}$$

Entradas relacionadas

• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función
• Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa.
• Resto de cursos: Cursos

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»