Introducción
En esta sección ligaremos el concepto de continuidad con el de derivabilidad; tal relación no presentará ninguna sorpresa considerando el ejemplo de la función valor absoluto revisada en la entrada anterior. Adicionalmente, nos enfocaremos en la demostración de algunas propiedades básicas de la derivada.
Relación entre derivabilidad y continuidad
Proposición. Sean
Demostración.
Por tanto,
Veremos que el regreso no es cierto, es decir, si
Ejemplo 1. Consideremos
Primero probaremos que
Demostración.
Sea
Consideremos
Si
Con esto, hemos probado que
Para continuar, revisaremos algunas propiedades básicas de la derivada, tal como qué sucede con la derivada de la suma o producto de funciones, y sus demostraciones se obtienen directamente de la definición, razón por la cual será conveniente tenerla presente.
Derivada de la suma de funciones
Proposición. Sean
es derivable en , además- Si
es una constante, es derivable en , además es derivable en , además
Demostración.
Derivada del producto de funciones
Proposición. Sean
es derivable en , además- Si
, entonces es derivable en , además - Si
, entonces es derivable en , además
Demostración.
Notemos que en el último paso se utiliza que
Un par de ejemplos
Lo siguiente será revisar un par de ejemplos para aplicar las propiedades revisadas. Recordemos que gracias a la entrada anterior ya conocemos la derivada de algunas funciones:
Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función
Notemos que
Ejemplo 3. Encuentra la derivada de la función
Notemos que
Más adelante…
Después de haber revisado qué sucede cuando se deriva la suma, el producto y el cociente de funciones surge una pregunta natural en términos de las operaciones disponibles para las funciones: ¿qué pasa con la composición de funciones?
En la siguiente entrada responderemos esta pregunta y estudiaremos la famosa Regla de la Cadena.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Sean
, , y tales que y son derivables en , es decir, y sí existen. Prueba que:- Si
es una constante, es derivable en , además es derivable en , además
- Si
- Prueba que si
, , , son funciones derivables en , entonces- La función
es derivable en y - La función
es derivable en y
- La función
- Empleando las propiedades revisadas en esta entrada, encuentra la derivada de las siguientes funciones:
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»