Introducción

Hasta ahora hemos descrito la forma en que asociaremos los números complejos, pensados como pares ordenados de números reales, con puntos en el plano complejo utilizando un sistema de coordenadas cartesianas en el que el eje de las abscisas corresponde al eje real y el eje de las ordenadas al eje imaginario. Esto nos permitió darle una representación geométrica a los números complejos como vectores en el plano complejo con sus operaciones definidas.

De acuerdo con nuestros cursos de Geometría Analítica sabemos que, en el plano, un punto $P$ de coordenadas $(x,y)$ puede representarse en el sistema de coordenadas polares si se considera su forma polar $(r, \theta)$, donde $r$ determina la distancia del punto al origen y $\theta$ la dirección de $P$. La principal motivación de realizar un cambio de variables es que las coordenadas polares nos permitirán realizar una mejor representación e interpretación geométrica de los números complejos.

Forma polar de un número complejo.

Observación 4.1.
Debemos recordar que a diferencia de las coordenadas cartesianas, no existe una relación biunívoca entre los puntos del plano y las coordenadas polares que los representan, esto es porque un punto $P$ puede estar representado por un par cualquiera de un número infinito de pares de coordenadas polares desde que $\theta$ y $\theta + 2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ representan al mismo ángulo, es decir que el ángulo asociado con un punto no es único y por tanto las coordenadas $(r,\theta)$ y $(r,\theta+2\pi n)$, $n\in\mathbb{Z}$, nos determinan al mismo punto $P$.

Sabemos que las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas satisfacen las siguientes relaciones:
\begin{equation*}
y = r \, \text{sen}(\theta),
\end{equation*}

\begin{equation*}
x = r \, \text{cos}(\theta).
\end{equation*}

\begin{equation*}
r = \sqrt{x^2 + y^2},
\end{equation*}

\begin{equation*}
\theta = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right), \,x\neq0.
\end{equation*}

Utilizando lo anterior como motivación, consideremos la siguiente:

Definición 4.1. (Argumentos de un número complejo.)
Sea $z \in \mathbb{C}$ con $z \neq 0$. Un argumento de $z$, denotado como $\theta$, es el ángulo formado por el vector $z$, el cual parte del origen, con el eje real, figura 7. Entonces diremos que el argumento de $z$, denotado como $\operatorname{arg}\,z$, está definido, módulo $2\pi$, como el número $\theta$ para el cual:

\begin{align*} \text{sen}(\theta) = \frac{\text{Re}(z)}{|\, z \,|},\\ \text{cos}(\theta) = \frac{\text{Im}(z)}{|\, z \,|}. \tag{4.1} \end{align*}

No se debe confundir la notación designada para este ángulo, ya que no es una función, por lo que omitiremos los paréntesis.

Observación 4.2.
Es importante notar que el argumento de un número complejo no es único desde que las funciones sen$(\theta)$ y cos$(\theta)$ son $2 \pi$-periódicas, es decir, para un número complejo $z$ que tenga un argumento $\theta_0$, entonces necesariamente los ángulos $\theta_0 \pm 2\pi, \theta_0 \pm 4\pi, \ldots$, son también argumentos de $z$, es decir, el símbolo $\text{arg} \, z$ representa un conjunto de posibles valores que puede tomar el ángulo $\theta$.

Definición 4.2. (Forma polar de un número complejo.)
Sea $z=x+iy \in \mathbb{C}$ con $z \neq 0$. La representación en coordenadas polares de $z$ está dada por:
\begin{align*}
x = r \, \operatorname{cos}(\theta),\\
y = r \, \operatorname{sen}(\theta),
\end{align*}

donde $r = |\, z \,|$ y $\theta =\operatorname{arg} \, z$. Entonces la forma polar de $z$ está dada por:
\begin{equation*}
z = r\,\left( \operatorname{cos}(\theta) + i \, \operatorname{sen}(\theta) \right).
\end{equation*}

Es claro que escribir $\operatorname{arg}\,z = \theta + 2\pi n$ o simplemente $\operatorname{arg}\,z = \theta$ es un abuso de notación, pero es común encontrar estas expresiones para denotar a un argumento en específico, es decir a un ángulo paticular que satisface las condiciones de (4.1).

Observación 4.3.
A partir de ahora usaremos la siguiente notación:
\begin{equation*}
\operatorname{cis}(\theta) = \operatorname{cos}(\theta) + i \, \operatorname{sen}(\theta).
\end{equation*}

Así:
\begin{equation*}
z = r \, \operatorname{cis}(\theta).
\end{equation*}

En la práctica es común encontrar al argumento de $z$ mediante:
\begin{equation*}
\operatorname{tan}(\theta) = \frac{y}{x} \quad \Longrightarrow \quad \theta = \operatorname{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right), \, \, x\neq 0.
\end{equation*}

Sin embargo, dado que la función $\operatorname{tan}(\theta)$ es $\pi$-periódica, debemos tener cuidado al utilizar esta última ecuación. Recordemos que $\operatorname{arc\,tan}\left(\frac{y}{x}\right) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, por lo que para cualquier $z \in \mathbb{C}$, $z\neq 0$, es necesario dar un argumento que sea consistente con la región en el plano en la que se encuentra dicho número, esto porque a veces será necesario sumar o restar $\pi$ a un argumento $\operatorname{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$ con la finalidad de ajustarlo con el cuadrante adecuado.

Definición 4.3. (El argumento principal de un número complejo.)
El argumento principal de un número complejo $z \neq 0$, denotado por $\operatorname{Arg} \, z$, es el único ángulo del conjunto $\operatorname{arg}\,z$ tal que $-\pi < \operatorname{Arg} \, z \leq \pi$.

De la definición 4.3 y la observación 4.2 se sigue que: \begin{equation*} \operatorname{arg}\, z = \{ \operatorname{Arg}\, z + 2\pi n \, : \, n\in\mathbb{Z}\}, \end{equation*}

de donde es claro que para un número complejo $z\neq 0$ se tiene una infinidad de argumentos. Además, en el caso de que $z$ sea un número real negativo, se tiene que el argumento principal de $z$ es justamente $\pi$.

Observación 4.4.
Usualmente un argumento de un número complejo $z\neq0$ se toma en intervalos semiabiertos de la forma: \begin{equation*} (2n-1)\pi < \operatorname{arg}\, z \leq (2n+1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z},\tag{4.2} \end{equation*} \begin{equation*} 2n\pi \leq \operatorname{arg}\, z < 2(n+1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. \tag{4.3} \end{equation*}

Por lo que, el argumento principal de $z$, es decir $\text{Arg} \, z$, queda definido, tomando $n=0$ en (4.2), como el ángulo tal que:
\begin{equation*}
\text{tan}(\text{Arg}\, z) = \frac{y}{x}, \quad -\pi < \text{Arg}\, z \leq \pi.
\end{equation*}

Ejemplo 4.1.
Considera los siguientes números complejos y encuentra su forma polar considerando su argumento principal:

Solución. Primeramente grafiquemos los números en el plano complejo.

Figura 8: Gráficas de los números complejos $z_1$ y $z_2$ con sus argumentos.

Figura 9: Gráficas de los números complejos $z_3$ y $z_4$ con sus argumentos.

\begin{align*}
r_1 = |\,z_1\,| = \sqrt{(-1)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = 2,\\
\theta_1 = \text{arc tan}\left(-\sqrt{3}\right) = -\frac{\pi}{3}.
\end{align*}

De acuerdo con la figura 8(a), notamos que el número complejo $z_1$ se encuentra en el segundo cuadrante, mientras que utilizando la función $\text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$ se tiene un argumento $\theta_1 = -\frac{\pi}{3}$, el cual se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo que una solución que satisface la condición de ser el argumento principal está dada por:
\begin{equation*}
\text{Arg}\,z_1 = \theta_1 + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}
\end{equation*}

ya que:
\begin{equation*}
-\pi<\text{Arg}\,z_1 \leq \pi,
\end{equation*}

y además:
\begin{equation*}
\text{tan}\left( \text{Arg}\,z_1 \right) = \text{tan}\left( \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}.
\end{equation*}

Por lo tanto, considerando su argumento principal, tenemos que la forma polar de $z_1$ está dada por:
\begin{equation*}
z_1 = 2\,\text{cis}\left( \frac{2\pi}{3} \right).
\end{equation*}

Mientras que:
\begin{equation*}
\text{arg}\,z = \text{Arg}\,z + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

\begin{align*}
r_2 = |\,z_2\,| = \sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2 + (-1)^2} = 2,\ \theta_2 = \text{arc tan}\left(\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}.
\end{align*}

Considerando ahora la gráfica 8(b) notamos que $z_2$ se encuentra en el tercer cuadrante, mientras que el argumento $\theta_2 = \frac{\pi}{6}$, dado por la función $\text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$, se encuentra en el primer cuadrante, por lo que no coincide con la ubicación de $z_2$ en el plano. Podemos encontrar entonces al argumento principal de $z_2$ como:
\begin{equation*}
\text{Arg}\,z_2 = \theta_1 – \pi = \frac{\pi}{6} – \pi = -\frac{5\pi}{6},
\end{equation*}

ya que:
\begin{equation*}
-\pi<\text{Arg}\,z_2 \leq \pi,
\end{equation*}

y además:
\begin{equation*}
\text{tan}\left( \text{Arg}\,z_2 \right) = \text{tan}\left( -\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
\end{equation*}

Por lo tanto, considerando su argumento principal, tenemos que la forma polar de $z_1$ está dada por:
\begin{equation*}
z_2 = 2\,\text{cis}\left( -\frac{5\pi}{6} \right).
\end{equation*}

Mientras que:
\begin{equation*}
\text{arg}\,z = \text{Arg}\,z + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
r_3 = r_4 = |\, z_3 \,| = |\, z_4 \,| = \sqrt{0^2 + (\pm1)^2} = 1.
\end{equation*}

De acuerdo con las figuras 9(a) y 9(b), observamos que en ambos casos la parte real de los respectivos números complejos es igual a cero, por lo que debemos analizar qué sucede en este caso, aunque de manera gráfica es claro que es posible determinar algunos argumentos para $z_3$ y $z_4$.

Sabemos que la función $\text{tan}(x)$ es continua e invertible en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ y además se cumple que:
\begin{align*}
\lim_{\text{Arg}\,z \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^+} \text{tan}(\text{Arg}\,z) = + \infty.\\
\lim_{x \to 0^+} \frac{y}{x} =
\left\{ \begin{array}{lcc}
+ \infty & si & y>0, \\
\\ – \infty & si & y<0.
\end{array}
\right.
\end{align*}

Por lo que usando la inversa de la función $\text{tan}(x)$ tenemos que:
\begin{equation*}
\lim_{x \to 0^+} \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) = \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{\pi}{2} & si & y>0,\\
– \frac{\pi}{2} & si & y<0.
\end{array} \right.
\end{equation*}

Lo anterior nos deja ver que en el caso en que $x=0$, el signo de $y$ determinará el valor del argumento principal, es decir:
\begin{align*}
\text{Arg}\,z_3 = \frac{\pi}{2},\\
\text{Arg}\,z_4 = -\frac{\pi}{2}.
\end{align*}

los cuales claramente satisfacen la definición 4.3. Entonces, utilizando el argumento principal de $z_3$ y $z_3$ tenemos que la forma polar de cada uno es respectivamente:
\begin{align*}
z_3 = \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right),\\
z_4 = \text{cis}\left(\frac{-\pi}{2}\right).
\end{align*}

Los ejemplos anteriores nos dejan ver que para determinar el argumento principal de un número complejo debemos identificar el cuadrante en el que se encuentra dicho número y verificar que se satisfagan las condiciones dadas en la observación 4.4, por lo que para obtener el argumento principal de un número complejo $z\neq 0$, con $z = x + iy$ podemos considerar los siguientes casos:

1. Si $x > 0$, entonces $\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right)$.
2. Si $x < 0$ y $y>0$, entonces $\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi$.
3. Si $x < 0$ y $y<0$, entonces $\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) – \pi$.
4. Si $x = 0$ y $y>0$, entonces $\text{Arg}\,z = \frac{\pi}{2}$.
5. Si $x = 0$ y $y<0$, entonces $\text{Arg}\,z = -\frac{\pi}{2}$.
6. Si $y = 0$ y $x>0$, entonces $\text{Arg}\,z = 0$.
7. Si $y = 0$ y $x<0$, entonces $\text{Arg}\,z =\pi$.

Analicemos estos casos de manera gráfica:

Figura 10: Caso 1. Gráficas de un números complejo $z=x+iy$ tal que $x>0$.

Por lo que para un número complejo $z \neq 0$, con $z=x+iy$, podemos encontrar su argumento principal como:

\begin{equation*}
\text{Arg}\,z= \left\{ \begin{array}{lcc}
\text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) & \text{si} & x>0,\\
\\ \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y>0,\\
\\ \text{arc tan}\left(\frac{y}{x}\right) – \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y<0,\\
\\ \frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y>0,\\
\\ -\frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y<0,\\
\\ 0 & \text{si} & x>0 \quad \text{y} \quad y=0,\\
\\ \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y=0.\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Observación 4.5.
Hasta ahora solo hemos considerado los casos en que $z\neq0$, pero ¿qué pasa si $z = 0$? Para responder esta pregunta basta ver que para $z = 0$ se tiene: \begin{equation*} r = |\,z\,| = 0, \quad \operatorname{Re}(z) = 0, \quad \operatorname{Im}(z) = 0, \end{equation*} por lo que no existe un argumento $\theta\in\mathbb{R}$ que satisfaga las ecuaciones (4.1).

Sin embargo, dado que para cualquier $\theta\in\mathbb{R}$ se cumple que: \begin{equation*} 0 = 0 \operatorname{cis}(\theta), \end{equation*} en ocasiones suele plantearse que cualquier número real $\theta$ puede ser un argumento de $z=0$.

Para los fines del curso nos quedaremos con el primer planteamiento, es decir, para $z=0$ diremos que su argumento no está definido.

Expresar un número complejo en su forma polar nos permite analizar mejor, en un sentido geométrico, al producto y el cociente de dos números complejos, esto es, sean $z_1 = r_1\,\text{cis}(\theta_1)$ y $z_2 = r_2 \, \text{cis}(\theta_2)$ dos números complejos distintos de cero, con $r_i = |\,z_i\,|$ y $\theta_i = \text{arg} \, z_i$ para $i=1,2$, entonces:
\begin{align*} z_1 z_2 &= \left[ r_1 \text{cis}(\theta_1)\right] \left[ r_2 \text{cis}(\theta_2) \right]\\
&= \left[ r_1 \,\text{cos}(\theta_1) + i\, r_1 \, \text{sen}(\theta_1)\right] \left[ r_2\, \text{cos}(\theta_2) + i\,r_2\,\text{sen}(\theta_2) \right]\\
&= r_1 \, r_2\, \text{cos}(\theta_1) \, \text{cos}(\theta_2) – r_1 \, r_2\, \text{sen}(\theta_1) \,\text{sen}(\theta_2) + i \, \left[ r_1 \, r_2\,\text{sen}(\theta_1) \, \text{cos}(\theta_2) + r_1 \, r_2\,\text{cos}(\theta_1)\, \text{sen}(\theta_2) \right]\\
&= r_1 \, r_2\, \left [\text{cos}(\theta_1 + \theta_2) + i \, \text{sen}(\theta_1 + \theta_2) \right]\\
&= r_1 \, r_2\, \text{cis}(\theta_1 + \theta_2).
\end{align*}

De lo anterior tenemos que el módulo del producto de dos números complejos, $z_1 z_2$, es el producto de sus módulos, mientras que el argumento del producto queda determinado, salvo múltiplos de $2 \, \pi$, como la suma de los argumentos, es decir:
\begin{align*}
|\, z_1 z_2 \,| = r_1 r_2 = | \, z_1 \, | | \, z_2|, \\
\text{arg}\,z_1 z_2 = \theta_1 + \theta_2 =\text{arg}\,z_1 + \text{arg}\,z_2.
\end{align*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{arg}\,z_1 z_2 = \left\{ \theta_1 + \theta_2 + 2\pi n \, : \, n\in\mathbb{Z}\right\}, \end{equation*} donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son ángulos particulares tales que satisfacen las ecuaciones (4.1) respectivamente.

Geométricamente tenemos que:

Por otra parte, utilizando la definición del cociente es fácil obtener que:
\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2} &=\frac{r_1}{r_2} \, \text{cis}(\theta_1 – \theta_2),
\end{align*}

de donde concluimos que el módulo del cociente de dos números complejos, $\dfrac{z_1}{z_2}$, es el cociente de los módulos, mientras que el argumento del cociente queda determinado, salvo múltiplos de $2 \, \pi$, como la diferencia de los argumentos, es decir:
\begin{align*}
\left|\, \frac{z_1}{z_2} \,\right| = \frac{r_1}{r_2} = \frac{| \, z_1 \, |}{| \, z_2 \, |},\\ \text{arg}\, \frac{z_1}{z_2} = \theta_1 – \theta_2 =\text{arg}\,z_1 – \text{arg}\,z_2. \end{align*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{arg}\,\frac{z_1}{z_2} = \left\{ \theta_1 – \theta_2 + 2\pi n \, : \, n\in\mathbb{Z}\right\}, \end{equation*} donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son ángulos particulares tales que satisfacen las ecuaciones (4.1) respectivamente.

Considerando lo anterior, tenemos que:

Observación 4.6.
Si $z_1 = z_2$, entonces:
\begin{align*}
z_1^2 & = z_1 z_1\\
& = r_1 \, r_1 \, \text{cis}(\theta_1 + \theta_1)\\
& = r_1^2 \, \text{cis}(2 \theta_1).
\end{align*}

\begin{align*}
z_1^3 & = z_1 z_1^2\\
& = r_1 \, r_1^2 \, \text{cis}(\theta_1 + 2\theta_1)\\
& = r_1^3 \, \text{cis}(3 \theta_1).
\end{align*}

Lo cual nos deja ver que podemos proceder por inducción y generalizar el resultado para $n\geq1$.

Observación 4.7.
Es importante hacer aquí la siguiente convención. Para todo $z\in\mathbb{C}$, se tiene que $z^0 = 1$.

Proposición 4.1. (Fórmula de De Moivre.)
Sea $z \in \mathbb{C}$ tal que $z \neq 0$. Considerando a $r$ y $\theta$ como el módulo y el argumento de $z$, respectivamente, entonces:
\begin{equation*}
z^n = r^n \, \text{cis}(n\theta), \quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$, primeramente notemos que para $n=0$ se sigue que:
\begin{align*}
z^0 & = r^0 \, \text{cis}(0)\\
& = 1 \, \left[\text{cos}(0) + i\, \text{sen}(0) \right]\\
& = 1 \, \left[1 + i\, 0 \right]\\ & = 1.
\end{align*}

Lo cual satisface la convención establecida en la observación 4.7.

Entonces, de acuerdo con la observación 4.6, tenemos que se cumple para $n=0,1,2,3$. Supongamos que se cumple para $n=k$, para algún $k \in \mathbb{N}$. Tenemos que:
\begin{align*}
z^{k+1} & = z^k z\\
& = \left[ r^k \, \text{cis}(k\theta) \right] \left[ r \, \text{cis}(\theta) \right]\\
& = r^k \, r \left[\text{cos}(k\theta) + i\,\text{sen}(k\theta) \right] \left[\text{cos}(\theta) + i\,\text{sen}(\theta) \right]\\
& = r^{k+1} \left[\text{cos}(k\theta)\, \text{cos}(\theta) – \text{sen}(k\theta)\, \text{sen}(\theta) + i\{\, \text{cos}(k\theta)\,\text{sen}(\theta) + \text{sen}(k\theta) \, \text{cos}(\theta)\} \right]\\
& = r^{k+1} \left[\text{cos}(k\theta + \theta) + i \, \text{sen}(k\theta + \theta)\right]\\
& = r^{k+1} \text{cis}\left(\left[k+1\right]\theta\right).
\end{align*}

Por lo que se cumple para $n=k+1$, por lo tanto se cumple para toda $n\in\mathbb{N}$.

$\blacksquare$

Es interesante notar que la fórmula de De Moivre se cumple en general para los números enteros, para esto veamos que se cumple para $n\in\mathbb{Z}^-$. Recordemos que para un número complejo $z\neq0$, su inverso multiplicativo se puede calcular como:
\begin{equation*}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|\,z\,|^2}.
\end{equation*}

Consideremos a $z$ en su forma polar, es decir $z=r\,\text{cis}(\theta)$, con $r$ su módulo y $\text{arg}\,z = \theta$, entonces:
\begin{align*}
z^{-1} & = \frac{\overline{r\,\text{cis}(\theta)}}{r^2}\\
& = \frac{r \left(\overline{\text{cos}(\theta) + i\,\text{sen}(\theta)}\right)}{r^2}\\
& = r^{-1}\left(\text{cos}(\theta) – i\,\text{sen}(\theta)\right)\\
& = r^{-1}\left[\text{cos}(-\theta) + i\,\text{sen}(-\theta)\right]\\
& = r^{-1}\text{cis}(-\theta).
\end{align*}

De acuerdo con esta última igualdad, notemos que para $m\in\mathbb{Z}^-$ podemos reescribir:
\begin{equation*}
m=-n=(-1)n=n(-1), \quad n\in\mathbb{N^+},
\end{equation*}

entonces:
\begin{align*}
z^{m} & = \left(z^n\right)^{-1}\\
& = \left(r^n\,\text{cis}(n\theta)\right)^{-1}\\
& = \frac{\overline{r^n\,\left[\text{cos}(n\theta) + i\,\text{sen}(n\theta) \right]}}{\left(r^n\right)^2}\\
& = \frac{r^n\left[\text{cos}(n\theta) – i\,\text{sen}(n\theta) \right]}{r^{2n}}\\
& = r^{-n}\left[\text{cos}(-n\theta) + i\,\text{sen}(-n\theta) \right]\\
& = r^{m}\,\text{cis}(m\theta).
\end{align*}

Corolario 4.1.
Sea $z\neq0$ un número complejo, considerando su forma polar, $z=r\,\text{cis}(\theta)$, con $r=|\,z\,|$ y $\theta=\text{arg}\,z$, entonces:
\begin{equation*}
z^n = r^n\text{cis}(n\theta), \quad \forall n \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Tomando a $r=1$, notamos que la fórmula de De Moivre nos dice que para toda $n \in \mathbb{Z}$:
\begin{align*} \text{cis}(n\theta) & = \text{cos}(n\theta) + i\,\text{sen}(n\theta)\\
& = \left[\text{cos}(\theta) + i\,\text{sen}(\theta)\right]^n\\
& = \text{cis}^n(\theta).
\end{align*}

Además es fácil concluir por inducción que para $z\neq 0$ se cumple para toda $n \in\mathbb{Z}$:
\begin{equation*}
|\,z^n\,| = |\, z \,|^n, \quad \operatorname{arg}\,z^n = n\, \operatorname{arg}\,z,\,\, \text{módulo}\,2\pi.
\end{equation*}

Ejemplo 4.2.
Sea $z=\sqrt{3} + i$. Hallar $z^7$.

Solución. Primeramente expresemos a $z$ en su forma polar. Tenemos que $r = |\,z\,|=2$.

Por otra parte notemos que $z$ se ubica en el primer cuadrante, figura 19, por lo que:
\begin{align*}
\text{Arg}\,z = \text{arc tan}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}.\\ \text{arg}\,z = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad \forall n \in \mathbb{Z}.
\end{align*}

En general sabemos que $z = r\,\text{cis}(\text{arg}\,z)$, por lo que considerando su argumento principal, $\text{Arg}\,z$, es decir $n=0$, tenemos que la forma polar de $z$ es:
\begin{equation*}
z = 2 \, \text{cis}\left(\frac{\pi}{6}\right).
\end{equation*}

De acuerdo con la fórmula de De Moivre:
\begin{align*}
z^7 & = 2^7 \, \text{cis}\left(\frac{7\pi}{6}\right)\\
& = 2^7 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2} – i \frac{1}{2}\right]\\
& = -64\left(\sqrt{3}+i\right).
\end{align*}

Tarea moral

1. ¿Consideras que sea necesario pedir que $z\neq0$ en la definición 4.2?
2. De acuerdo con la observación 4.5 ¿Por qué consideras que para $z=0$ el argumento de $z$ puede ser cualquier constante?
3. Para $z_1, z_2\in\mathbb{C}$, distintos de cero, al expresarlos en su forma polar concluimos que: \begin{equation*} \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \, \text{cis}(\theta_1 – \theta_2). \end{equation*} Realiza el desarrollo completo para obtener dicho resultado ¿Cómo podemos representar dicho resultado de manera geométrica? Haz un diagrama.
4. ¿Consideras necesario realizar la convención de la observación 4.7?
5. Utilizando los resultados de la entrada resuelve lo siguiente:

6. Considera a los números complejos $z = 1+i\sqrt{3}$ y $w=1-3i$. Realiza las siguientes operaciones:

Más adelante…

Hemos visto que mediante la forma polar de un número complejo es posible interpretar mejor, desde un sentido geométrico, a las operaciones entre números complejos.

Además, considerar a un número complejo en su forma polar nos permitió obtener nuevas relaciones que cumplen las potencias enteras de los números complejos en términos de sus módulos y sus argumentos, en particular obtuvimos la fórmula de De Moivre, la cual resultó de gran utilidad para operar con números complejos.

La siguiente entrada continuaremos trabajando a los números complejos desde una perspectiva geométrica y retomaremos la forma polar de un número complejo para dar solución a ecuaciones de la forma $w^n=z$, introduciendo primeramente el concepto de la raíz de un número complejo.

Entradas relacionadas

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• Siguiente entrada del curso: Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$.

Introducción

En el año de 1685 el matemático británico John Wallis planteó en su libro «De algebra tractatus» la primera idea sobre la existencia de una correspondencia entre los puntos del plano y los números complejos, aunque ésta no tuvo gran influencia entre sus contemporáneos pues era un tanto confusa. Es hasta el año de 1798 cuando el topógrafo noruego Caspar Wessel da una propuesta seria, en su libro «On the Analytical Representation of Direction«, de una primera representación de los números complejos a través de puntos en un plano. Aunque el trabajo de Wessel permaneció oculto hasta su traducción al francés en 1897, la idea de Wessel era tratar a los números complejos como segmentos de líneas dirigidos, por lo que introduce un eje imaginario, perpendicular al eje de los números reales, asigna la letra griega $\varepsilon$ para denotar a la unidad imaginaria $\sqrt{-1}$ e identifica entonces a los números complejos como puntos en el plano, es decir intuitivamente los tratan como vectores en 2 dimensiones, por lo que las operaciones con las que los trata coinciden con las operaciones de vectores usuales, obteniendo así una primera representación geométrica de estos números.

Otra interpretación geométrica de los números complejos fue dada por el contador suizo Jean Robert Argand, quien en su libro «Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géometriques«, interpreta a $\sqrt{-1}$ como una rotación de un ángulo recto en el plano. Su justificación se basaba en el hecho de que $\sqrt{-1} \sqrt{-1} = -1$, es decir dos rotaciones de un ángulo recto son equivalentes a una rotación de dos ángulos rectos. El trabajo de Argand es quizás de los más trascendentes pues la forma en que representa a los números en el plano, denominado como el plano de Argand, es básicamente la que usamos hoy en día.

Para 1749, Leonhard Euler redacta en su escrito «De la controverse entre Mrs. Leibnitz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires«, que para localizar un número imaginario $x$ en el plano solo basta con tomar un arco $g$ de la circunferencia de radio $r$ y determinar su seno y coseno, entonces dicho número está determinado por:

\begin{equation*}
x = r \left(\text{cos}(g) + \sqrt{-1} \, \text{sen}(g)\right).
\end{equation*}

Es gracias al trabajo de Carl Friedrich Gauss que se logra por fin unificar todas estas ideas y poder dar sin duda una relación de los números complejos y el plano complejo. Alrededor del año de 1796, Gauss estaba de acuerdo con la asociación de los números complejos con puntos en el plano, tanto que para el año de 1799 hizo uso de esa idea en su trabajo para probar el Teorema Fundamental del Álgebra. En 1811 Gauss redactó en uno de sus escritos con Bessel que «tal como uno puede pensar en todo el dominio de las magnitudes reales representado como una línea recta, así también el dominio completo de todas las magnitudes, tanto números reales como números imaginarios, puede ser visualizado como un plano infinito, en el cual el punto definido por la ordenada $a$ y la abscisa $b$, igualmente representa a la magnitud $a+ib$».

Es hasta 1835 que el matemático británico William Rowan Hamilton en su trabajo «Theory of Conjugate Functions, or Algebra Couples, with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time«, da la primera definición de un número complejo como un par ordenado de números reales, tal y como la conocemos hoy en día.

Si deseas conocer más acerca de la historia de los números complejos puedes consultar los libros An Introduction to Complex Analysis de Agarwal, Ravi P., y Numbers de Ebbinghaus, H.D.

• https://www.springer.com/gp/book/9780387974972.
• https://www.springer.com/gp/book/9781461401940.

Interpretación geométrica de los números complejos.

Hasta ahora tenemos construido ya el campo de los números complejos, el cual lo definimos como el conjunto:
\begin{equation*}
\mathbb{C} = \{ z = (a,b) \, \, | \, \, a, b \in \mathbb{R}, \, i=(0,1)\}.
\end{equation*}

Esta definición de número complejo como un par ordenado es la representación geométrica de un número complejo con la que trabajaremos. Es decir, a cada número complejo de la forma $z=a+ib$, donde $a,b \in \mathbb{R}$, le corresponde el punto $(a, b) = \left(\text{Re}(z), \, \text{Im}(z)\right)$ en el plano cartesiano, de ahora en adelante llamado el plano complejo o el plano de Argand.

De acuerdo con esta idea, los números reales $a$ son asociados en el plano complejo con puntos en el eje $x$, llamado propiamente como el eje real, mientras que los números complejos puros, es decir de la forma $ib$, corresponden a puntos en el eje $y$ el cual se denomina como el eje imaginario, figura 1.

Las operaciones definidas en la entrada previa cobran entonces un sentido geométrico. Mientras que la suma de dos números complejos coincide con la suma vectorial en $\mathbb{R}^2$, figura 2(a), el producto de dos números complejos corresponde a una rotación, seguida de una homotecia en $\mathbb{R}^2$, figura 2(b). Por otra parte, tenemos que el conjugado de un número complejo $z$ resulta ser la reflexión de dicho número a través del eje real, figura 3.

De acuerdo con la figura 4, notemos que la parte real, Re$(z)$, de un número complejo $z$, es la proyección de $z$ sobre el eje real, mientras que su parte imaginaria, Im$(z)$, es la proyección de $z$ sobre el eje imaginario.

Observación 3.1.
Considerando la definición del módulo de un número complejo es fácil verificar que:
\begin{equation*}
\text{máx}\left\{|\,\operatorname{Re}(z)\,|, |\,\operatorname{Im}(z)\,|\right\} \leq |\,z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z)\,|.
\end{equation*}

Observación 3.2
A diferencia de $\mathbb{R}$, en $\mathbb{C}$ no es posible introducir una propiedad de ser positivo que sea compatible con las operaciones de suma y producto definidas en $\mathbb{C}$, lo cual nos imposibilita el ordenar a los números complejos bajo la relación “$>0$”. Para probar esto, basta ver que dicha propiedad no es compatible con las operaciones de campo, es decir notemos que no se cumplen las siguientes propiedades de manera simultánea:

1. Para todo $z \in \mathbb{C}$, se cumple una y solo una de las siguientes tres condiciones: $z>0$, $z=0$ ó $-z>0$.
2. Si $z>0$ y $w>0$, entonces $z+w>0$ y $zw>0$.

Sin perder generalidad, notemos que si suponemos que $z \neq 0$, entonces se cumple que $z^2>0$. De manera particular tenemos que $1^2>0$, $i^2>0$, por lo que $1^2 + i^2 >0$, pero $1^2 + i^2 = 1 + (-1) = 0$, es decir que $0>0$, lo cual claramente es una contradicción a la antisimetría, por lo que, bajo esta relación de orden, $\mathbb{C}$ no puede ser ordenado.

La observación 3.2 nos deja ver que dados $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ la desigualdad $z_1 < z_2$ no tiene sentido desde que no podemos decir que alguno es mayor que cero. Sin embargo mediante el módulo de un número complejo sí es posible pensar en la desigualdad $| \, z_1 \, | < | \, z_2 \,|$, que de acuerdo con la definición 3.1 nos diría que el punto $z_1$ está más cerca del origen que el punto $z_2$.

Ejemplo 3.1.
Sean $z_1 = -4 + 2i$, $z_2 = 3 – i$ y $z_3 = -4$ entonces:

Como $|\,z_1\,|>|\,z_2\,|$, entonces $z_1$ está más lejos del origen que $z_2$.

Por otra parte, tenemos que $|\,z_3\,|$ simplemente nos determina el valor absoluto del número real $z_3$.

Observación 3.3.
De acuerdo con las observaciones 2.3 y 2.4 sabemos que para $z = a+ib \in \mathbb{C}$ se cumple que $z\overline{z} = a^2 + b^2$, por lo que:
\begin{equation*}
| \, z \, |^2 = z \overline{z}.
\end{equation*}

Si consideramos que $z \neq 0$, tenemos que:
\begin{equation*}
\frac{z \overline{z}}{| \, z \, |^2} = z \, \frac{\overline{z}}{| \, z \, |^2} = 1.
\end{equation*}

Lo anterior nos dice que para $z \neq 0$, podemos calcular el inverso multiplicativo de $z$ como:
\begin{equation*}
z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{| \, z \, |^2}.
\end{equation*}
Geométricamente esto nos dice que el inverso de un número complejo $z\neq0$ estará en la dirección de su conjugado $\overline{z}$, pero su módulo estará determinado por el inverso del módulo de $z$, lo cual cobrará mayor sentido en la entrada 6.

Ejemplo 3.2.
Consideremos los siguientes números complejos:

Entonces:

Proposición 3.1.
Sean $z, w \in \mathbb{C}$, entonces se satisfacen las siguientes igualdades:

1. $|\, z + w \, |^2 = |\, z \, |^2 + 2 \, \text{Re}(z \overline{w}) + |\, w \, |^2$.
2. Ley de cosenos.
   \begin{equation*}
   |\, z – w \, |^2 = |\, z \, |^2 – 2 \, \text{Re}(z \overline{w}) + |\, w \, |^2.
   \end{equation*}
3. Identidad del paralelogramo.
   \begin{equation*}
   |\, z + w \, |^2 + |\, z – w \, |^2 = 2 \left(|\, z \, |^2 + |\, w \, |^2\right).
   \end{equation*}
4. $| \, z w \,| = |\,z\,| \, |\,w\,|$.
5. $\text{Re}(z \pm w) = \text{Re}(z) \pm \text{Re}(w)$ y $\text{Im}(z \pm w) = \text{Im}(z) \pm \text{Im}(w)$.
6. Para $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha\,\text{Re}(z) = \text{Re}(\alpha z)$ y $\alpha\,\text{Im}(z) = \text{Im}(\alpha z)$.
7. Si $w \neq 0$, entonces $\left| \dfrac{z}{w} \right| = \dfrac{|\,z\,|}{|\,w|\,}$.
8. $|\, z \,| = |\, \overline{z} \,|$.

Demostración. Dadas las hipótesis y considerando las observaciones 2.3 y 2.4, tenemos que:

1. 
   \begin{align*}
   |\, z + w \, |^2 & = \left( z + w \right)\overline{\left( z + w \right)}\\
   & = \left( z + w \right) \left( \overline{z} + \overline{w} \right)\\
   & = z \overline{z} + z \overline{w} + \overline{z}w + w \overline{w}\\
   & = |\, z \, |^2 + z \overline{w} + \overline{z \overline{w}} + |\, w \, |^2\\
   & = |\, z \, |^2 + 2 \, \text{Re}(z \overline{w}) + |\, w \, |^2.
   \end{align*}
2. Se deja como ejercicio al lector.
3. Considerando 1 y 2 tenemos que:
   \begin{align*}
   |\, z + w \, |^2 + |\, z – w \, |^2 & = \left(|\, z \, |^2 + 2\,\text{Re}(z \overline{w}) + |\, w \, |^2\right) + \left(|\, z \, |^2 – 2 \, \text{Re}(z \overline{w}) + |\, w \, |^2\right)\\
   & = 2 \, |\, z \, |^2 + 2 \, |\, w \, |^2\\
   & = 2 \left(|\, z \, |^2 + |\, w \, |^2\right)
   \end{align*}
4. Sabemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se tiene que $|\,z\,|\geq0$, por lo que:
   \begin{equation*}
   |\,zw\,|^2 = \left(zw\right)\left(\overline{zw}\right) = \left(z \overline{z} \right)\left(w \overline{w}\right) = |\,z\,|^2 |\,w\,|^2.
   \end{equation*}

Entonces $|\,zw\,| = |\,z\,|\, |\,w\,|$.

5. Se deja como ejercicio al lector.
6. Se deja como ejercicio al lector.
7. Supongamos que $w\neq0$, entonces $|\,w\,|>0$, por lo que considerando el punto 4 tenemos que:
   \begin{equation*}
   |\, z \,| = \left|\,\frac{z}{w}\, w\,\right| = \left|\,\frac{z}{w}\,\right|\,|\, w\,|, \quad \Longrightarrow \quad \frac{|\,z\,|}{|\,w\,|} = \left|\,\frac{z}{w}\,\right|.
   \end{equation*}
8. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 3.4.
Las propiedades 4, 5 y 6 de esta proposición se pueden generalizar por medio de inducción matemática, es decir para $z_1, z_2, \ldots, z_n \in\mathbb{C}$, con $n\geq2$, se cumple que:

\begin{equation*}
|\,z_1 z_2 \cdots z_n\,| = |\,z_1\,| \, |\,z_2\,| \cdots |\,z_n\,|.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\operatorname{Re}(z_1 + z_2 + \cdots + z_n) =\operatorname{Re}(z_1) + \operatorname{Re}(z_2) + \cdots + \text{Re}(z_n).
\end{equation*}

\begin{equation*}
\operatorname{Im}(z_1 + z_2 + \cdots + z_n) = \operatorname{Im}(z_1) + \operatorname{Im}(z_2) + \cdots + \operatorname{Im}(z_n).
\end{equation*}

Es importante notar que al igual que el valor absoluto satisface la desigualdad del triángulo en $\mathbb{R}$, el módulo en $\mathbb{C}$ también la cumple.

Proposición 3.2. (Desigualdad del triángulo.)
Para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ se cumple que:

\begin{equation*}
|\,z_1 + z_2\,| \leq |\,z_1\,| + |\,z_2\,|
\end{equation*}

Demostración. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que para todo $z \in \mathbb{C}$ se cumple:
\begin{equation*}
\operatorname{Re}(z) \leq \left|\,\operatorname{Re}(z)\,\right| \leq \left|\,z\,\right|. \tag{3.1}
\end{equation*}

Considerando la proposición 3.1, incisos 4 y 6, tenemos que:
\begin{equation*}
|\, z_1 \,| \, |\, z_2 \,| = |\, z_1 \,| \, |\, \overline{z_2} \,| = |\, z_1 \overline{z_2}\,|.
\end{equation*}

Entonces, por (3.1) se sigue que:
\begin{equation*}
\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \leq |\, z_1 \overline{z_2}\,|.
\end{equation*}

Por otra parte, por la proposición 3.1 inciso 1, se tiene que:
\begin{align*}
|\, z_1 + z_2 \, |^2 & = |\, z_1 \, |^2 + 2 \, \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2}) + |\, z_2 \, |^2 \\
& \leq |\, z_1 \, |^2 + 2 \, |\, z_1 \overline{z_2}\,| + |\, z_2 \, |^2\\
& = |\, z_1 \, |^2 + 2\,|\, z_1 \,| \, |\,\overline{z_2}\,| + |\, z_2 \, |^2\\
& = |\, z_1 \, |^2 + 2\,|\, z_1 \,| \, |\,z_2\,| + |\, z_2 \, |^2\\
& = \left( | \, z_1 \, | + | \, z_2 \, | \right)^2.
\end{align*}

Como $| \, z \,| \geq 0 $ para todo $z \in \mathbb{C}$, entonces tomando raíz cuadrada en la desigualdad se sigue que:
\begin{equation*}
| \, z_1 + z_2 \, | \leq | \, z_1 \, | + | \, z_2 \,|.
\end{equation*}

$\blacksquare$

De manera geométrica podemos comprobar que se satisface la desigualdad del triángulo:

Observación 3.5.
Consideremos la proposición 3.2, tenemos que:
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \left(z_1\,\overline{z_2}\right) = |\,z_1\,\overline{z_2}\,| \quad \Longleftrightarrow \quad z_1\,\overline{z_2} \in \mathbb{R} \,\, \text{y} \, \, z_1\,\overline{z_2}\geq 0.
\end{equation*}

La cual es una condición necesaria y suficiente para que se cumpla la igualdad en la desigualdad del triángulo. (¿Por qué?)

Notemos que si $z_2 \neq 0$, entonces $z_1\,\overline{z_2} = \dfrac{z_1 |z_2|^2}{z_2}$, por lo que (¿Por qué?):
\begin{equation*}
z_1\,\overline{z_2} \in \mathbb{R} \,\, \text{y} \, \, z_1\,\overline{z_2}\geq0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{z_1}{z_2}\geq0.
\end{equation*}

Entonces:
\begin{align*}
|\, z_1 + z_2 \,| &= \left|\,\left(\frac{z_1}{z_2} + 1 \right)z_2\,\right|\\
&= \left|\,\frac{z_1}{z_2} + 1 \,\right|\,|\,z_2\,|\\
&= \left(\frac{|\,z_1\,|}{|\,z_2\,|} + 1 \right) |\,z_2\,|\\
&=|\,z_1\,| + |\,z_2\,|.
\end{align*}

Una consecuencia de la desigualdad del triángulo es:

Proposición 3.3.
Para todo $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ se cumple que:
\begin{equation*}
\left| \, | \, z_1 \, | – | \, z_2 \,| \, \right| \leq | \, z_1 \pm z_2 \, |.
\end{equation*}

Demostración.
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Ejemplo 3.3.
Sea $z$ un número complejo tal que $|\, z \,| = 1$, entonces:
\begin{equation*}
1 = |\, – 1 \,| = |\, 1 – 2 \,| = |\, |\,z\,| – 2 \,| \leq |\, z – 2\,|.
\end{equation*}

\begin{equation*}
|\, z – 2\,| \leq |\,z\,| + 2 = 1 + 2 = 3.
\end{equation*}

Observación 3.6.
La desigualdad del triángulo se puede generalizar mediante inducción matemática para un número finito de términos, es decir:
\begin{equation*}
|\, z_1 + z_2 + \cdots + z_n\,| \leq |\,z_1\,| + |\,z_2\,| + \cdots + |\,z_n\,|, \quad \forall n \geq 2.
\end{equation*}

o simplemente:
\begin{equation*}
\left|\, \sum_{i=1}^n z_i \,\right| \leq \sum_{i=1}^n |\,z_i\,|, \quad \forall n \geq 2.
\end{equation*}

Otro resultado importante es la siguiente desigualdad:

Proposición 3.4. (Desigualdad de Cauchy – Schwarz para números complejos.)
Si $z_1, \ldots, z_n$ y $w_1, \ldots, w_n$ son números complejos, entonces:
\begin{equation*}
\left|\, \sum_{i=1}^n z_i w_i \,\right|^2 \leq \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 \sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2, \quad \forall n \geq 2.
\end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos sin pérdida de generalidad que:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \left|\,w_i\,\right|^2 = 0, \quad \forall i \in {1, \ldots, n} \quad \Longleftrightarrow \quad w_i = 0, \quad \forall i \in {1, \ldots, n}.
\end{equation*}

Por lo que en caso de que $w_i = 0, \, \forall i \in {1, \ldots, n}$, es claro que se cumple la igualdad. Entonces, sin pérdida de generalidad supongamos que $\sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2 \neq 0$.

Notemos que para cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$ se cumple que:
\begin{equation*}
0 \leq \sum_{i=1}^n \left|\,z_i – \lambda \overline{w_i}\,\right|^2.
\end{equation*}
De acuerdo con la proposición 3.1 tenemos que:
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n \left|\,z_i – \lambda \overline{w_i}\,\right|^2 & = \sum_{i=1}^n \left( \left|\,z_i\,\right|^2 + \left|\,w_i\,\right|^2 – 2 \, \text{Re}\left(z_i \overline{\lambda \overline{w_i}}\right) \right)\\
& = \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 + \left|\,\lambda\,\right|^2\sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2 – 2 \, \sum_{i=1}^n \text{Re}\left(z_i \overline{\lambda} w_i\right)\\
& = \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 + \left|\,\lambda\,\right|^2\sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2 – 2\,\text{Re}\left( \overline{\lambda} \sum_{i=1}^n z_i w_i\right). \tag{3.2}
\end{align*}

Por otra parte, dado que $\lambda$ es arbitrario y $\sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2 \neq 0$, entonces podemos tomarlo de la forma:
\begin{equation*}
\lambda = \frac{\sum_{i=1}^n z_i w_i}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2} \quad \Longrightarrow \quad \overline{\lambda} = \frac{\overline{\sum_{i=1}^n z_i w_i}}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2}.
\end{equation*}

Notemos que:
\begin{align*}
\overline{\lambda}\sum_{i=1}^n z_i w_i & = \left( \frac{\overline{\sum_{i=1}^n z_i w_i}}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2} \right) \left( \sum_{i=1}^n z_i w_i \right)\\
& = \frac{\left|\sum_{i=1}^n z_i w_i\right|^2}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2} \in \mathbb{R},
\end{align*}

por lo que:
\begin{align*}
– 2\,\text{Re}\left( \overline{\lambda} \cdot \sum_{i=1}^n z_i w_i\right) & = – 2\,\text{Re}\left( \frac{\left|\sum_{i=1}^n z_i w_i\right|^2}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2}\right)\\
& = – 2 \, \frac{\left|\sum_{i=1}^n z_i w_i\right|^2}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2}.
\end{align*}

Sustituyendo en (3.2) tenemos que:
\begin{align*}
0 & \leq \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 + \left|\,\frac{\sum_{i=1}^n z_i w_i}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2} \,\right|^2\sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2 – 2\,\text{Re}\left( \overline{\lambda} \sum_{i=1}^n z_i w_i\right)\\
& = \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 + \frac{\left|\,\sum_{i=1}^n z_i w_i\,\right|^2}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2} – 2\,\frac{\left|\,\sum_{i=1}^n z_i w_i\,\right|^2}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2}.
\end{align*}

Por lo tanto:
\begin{equation*} \frac{\left|\,\sum_{i=1}^n z_i w_i\,\right|^2}{\sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2} \leq \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 \quad \Longrightarrow \quad \left|\,\sum_{i=1}^n z_i w_i\,\right|^2 \leq \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 \sum_{i=1}^n \left|\, w_i\,\right|^2.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Esta desigualdad será de mucha utilidad en la última unidad como criterio para probar la convergencia de algunas series.

Observación 3.7.
La definición de producto interior en un espacio vectorial tiene cierta sutileza cuando se trata de un espacio vectorial complejo, ya que en dado caso es posible hablar de un producto interior hermitiano, es decir la propiedad de simetría que conocemos queda sujeta a la operación de la conjugación compleja, por lo que en algunos textos es común establecer la desigualdad de Cauchy-Schwarz como:
\begin{equation*}
\left|\, \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i} \,\right|^2 \leq \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 \sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2, \quad \forall n \geq 2, \end{equation*}

ya que $\sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i}$ define justamente un producto interior en $\mathbb{C}^n$.

De acuerdo con lo anterior, se puede plantear la siguiente proposición, cuya demostración se obtuvo del libro Principios de Análisis Matemático de Walter Rudin.

Proposición 3.4.1. (Desigualdad de C-S.)
Si $z_1,\ldots,z_n, w_1, \ldots, w_n\in\mathbb{C}$, entonces:
\begin{equation*}
\left|\, \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i} \,\right|^2 \leq \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2 \sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2, \quad \forall n \geq 2. \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, sean $A = \sum_{i=1}^n \left|\,z_i\,\right|^2$, $B = \sum_{i=1}^n \left|\,w_i\,\right|^2$ y $C = \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i}$, entonces:
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n |\,Bz_i – Cw_i\,|^2 & = B^2 A – 2\,\text{Re}(B\overline{C}C) + |\,C\,|^2B\\
& = B\left(AB – |C|^2\right)\geq 0.
\end{align*}

Entonces de $|\,C\,|^2 \leq AB$ se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Tarea moral

1. Verifica las desigualdades de la observación 3.1.
2. Realiza las demostraciones faltantes en la proposición 3.1.
3. Considera la observación 3.5. Justifica porqué la primera condición es necesaria y suficiente para que se cumpla la igualdad en la proposición 3.2. Explica porqué son equivalentes las últimas dos condiciones.
4. Escribe la demostración de la proposición 3.3 de manera detallada.
5. Realiza por inducción la prueba de la observación 3.6. ¿Qué condición es necesaria y suficiente para que se de la igualdad?
6. Considera la proposición 3.5, ¿es posible probar la desigualdad de Cauchy-Schawrz por inducción?
7. Justifica y desarrolla los pasos de la demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz dada en la proposición 3.4.1. Argumenta de manera detallada porqué se cumple el resultado.
8. Sean $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$. Prueba la siguiente igualdad:
   \begin{equation*}
   (z_1 – z_2)(1+z_3\overline{z_3}) = (z_1 – z_3)(1+z_2\overline{z_3}) + (z_3 – z_2)(1+z_1\overline{z_3}).
   \end{equation*}
9. Sean $z,w\in\mathbb{C}$ y sea $n\in\mathbb{N}$. Prueba el siguiente resultado:
   \begin{equation*}
   (n+zw)(n+\overline{zw}) \leq \left(n+|\,z\,|^2\right) \left(n+|\,w\,|^2\right). \end{equation*}

Más adelante…

Hasta ahora hemos realizado una interpretación geométrica de los números complejos mediante una correspondencia con los puntos del plano, ahora llamado el plano complejo. Analizamos las operaciones aritméticas de estos números y notamos cómo la suma y resta de números complejos se comportan como la suma y resta vectorial en $\mathbb{R}^2$ respectivamente, mientras que notamos que la multiplicación y división de números complejos se comportan como una rotación compuesta con una homotecia en $\mathbb{R}^2$ y la conjugación compleja se comporta como una reflexión del número complejo sobre el eje real. Observamos que la parte real y la parte imaginaria de un número complejo son las proyecciones de dicho número sobre los ejes real e imaginario respectivamente.

De manera geométrica interpretamos el concepto del módulo de un número complejo como la distancia que hay entre un número $z\in\mathbb{C}$ y el cero. Además probamos algunas propiedades del módulo que nos permitieron caracterizar y entender mejor a los números complejos. Por ejemplo, notamos que en el caso en que un número complejo es un número real entonces el módulo de $\mathbb{C}$ es simplemente el valor absoluto de $\mathbb{R}$ y que a diferencia de $\mathbb{R}$, en $\mathbb{C}$ no es posible establecer un orden que sea compatible con las operaciones de campo definidas en la entrada anterior.

En la siguiente entrada continuaremos analizando al campo $\mathbb{C}$ desde una perspectiva geométrica. Consideraremos el concepto del módulo y sus propiedades para dar una nueva interpretación de un número complejo mediante el uso de coordenadas polares, misma que nos permitirá dar solución a ecuaciones de la forma $w^n = z$, con $w,z\in\mathbb{C}$, $z\neq 0$ y $n\in\mathbb{Z}$.

Entradas relacionadas

• Ir a Variable Compleja I.
• Entrada anterior del curso: El campo de los números complejos.
• Siguiente entrada del curso: Forma Polar. Potencias en $\mathbb{C}$.

Introducción

A lo largo del tiempo el desarrollo de las Matemáticas ha sido una constante abstracción entre lo real y lo necesario. Es claro que la necesidad de resolver distintas problemáticas ha sido la motivación para dar soluciones que a su vez permitan desarrollar nuevas teorías que den sustento y validez a dichos planteamientos. Muchos de los resultados y de las teorías que tenemos actualmente parecen haber sido trabajados de manera consecutiva, sin embargo hoy sabemos que se han dado de forma independiente, y que algunas de las ramas de las Matemáticas que convergen en teorías más generales fueron, en principio, abordadas en distinto tiempo y con distinto enfoque. El hecho de que hoy podamos entender conceptos que parecen evidentes es gracias a todo este desarrollo.

Tanto la definición como el concepto que tenemos hoy en día sobre lo que es un número complejo han cambiado durante el desarrollo de la teoría de los Números Complejos. Con ánimos de plantear soluciones a problemas como ecuaciones cuadráticas y cubicas, pero sobre todo de entender y explicar expresiones que requerían hablar de algunas “cantidades sofisticadas”, como les llamó Cardano, se ha desarrollado la teoría que hoy conocemos como Variable Compleja. Aunque estos números estuvieron presentes en problemas matemáticos desde el primer siglo, como en cálculos de volúmenes de pirámides hechos por Herón de Alejandría alrededor del año 75 D.C., este concepto se tuvo que abstraer primero para poder comprender expresiones en las que se tenían raíces de números negativos. Del mismo modo en que el concepto de número negativo en principio parecía inconcebible, tanto que se les llego a llamar “falsos números”, los números complejos fueron tratados en ocasiones como “cantidades imposibles”, ya que no eran aceptados por estar fuera de lo real.

Antecedentes

En la historia de los números complejos aparecen nombres de grandes matemáticos que en su tiempo hicieron algún aporte en la teoría y comprensión de estos números, por lo que es importante mencionar algunos de sus resultados con la finalidad de entender un poco mejor el origen de la Variable Compleja.

Aunque los primeros resultados trascendentes al trabajar con números complejos se dieron durante el siglo XVI, desde los primeros siglos algunos matemáticos hindúes como Bhaskara Acharya (486 D.C.) y Mahavira Acharya (850 D.C.) tenían en sus trabajos escritos como “el cuadrado tanto de un número positivo como de un número negativo es positivo y la raíz cuadrada de un número positivo es doble: positiva y negativa, mientras que no existe la raíz cuadrada de un número negativo, porque no existen números negativos al elevarlos al cuadrado” y “como es natural, una cantidad negativa no es una cantidad al cuadrado, por lo que no tiene raíz cuadrada”. Estas ideas nos dejan claro que el contexto para hablar de un número complejo, tal y como lo conocemos ahora, no era favorable. Fue hasta el año de 1545 cuando el matemático italiano Girolamo Cardano, publicó su libro Ars Magna (El Gran Arte), en el cual describía métodos algebraicos para resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas, cuando los números complejos comenzaron a ser necesarios.

La importancia del trabajo de Cardano está en que reconoce la necesidad de trabajar con “cantidades sofisticadas” para dar solución a ecuaciones que se habían catalogado como “imposibles”. Es quizás la sutileza que observó Cardano en sus soluciones la que abre un nuevo capítulo para los números complejos.

Si deseas conocer más acerca de la historia de los números complejos y los resultados de Cardano puedes consultar los libros An Introduction to Complex Analysis de Agarwal, Ravi P., Numbers de Ebbinghaus, H.D., y Ars Magna or the Rules of Algebra by Girolamo Cardano traducido al inglés por Richard Witmer.

• https://www.springer.com/gp/book/9781461401940
• https://www.springer.com/gp/book/9780387974972
• https://www.amazon.com/-/es/dp/B01K16HOC4

Fórmula de Cardano

Antes de presentar el resultado de Cardano, consideremos el siguiente:

Lema 1.
Dada una ecuación de la forma:

\begin{equation*}
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \tag{1.1}
\end{equation*}

con $a, b, c, d \in \mathbb{C}$ y $a \neq 0$, podemos reducirla a una ecuación sin el término cuadrático de la forma:

\begin{equation*}
x^3 + px + q = 0,
\end{equation*}

donde $p= – \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a}$ y $q = \frac{2b^3}{27a^3} – \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$.

Demostración. Dadas las hipótesis, primeramente hagamos al polinomio (1.1) un polinomio mónico:

\begin{equation*}
x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0, \quad \text{donde} \quad B=\frac{b}{a}, \, C = \frac{c}{a}, \, D = \frac{d}{a}.
\end{equation*}

Consideremos ahora el cambio de variable $x = y + e$. Entonces:

\begin{equation*}
(y+e)^3 + B(y+e)^2 + C(y+e) + D = 0.
\end{equation*}

Desarrollando y agrupando tenemos que:

\begin{equation*}
y^3 + (B+3e)y^2 + (3e^2 + 2Be + C)y + (e^3 + Be^2 + Ce + D) = 0,
\end{equation*}

Si hacemos $B+3e=0$, entonces $e = \frac{-B}{3}$. Por lo que, definiendo:

\begin{equation*}
p:= 3e^2 + 2Be + C = – \frac{B^2}{3} + C,
\end{equation*}

\begin{equation*}
q:= e^3 + Be^2 + Ce + D = \frac{2B^3}{27} – \frac{BC}{3} + D,
\end{equation*}

se sigue el resultado haciendo las sustituciones correspondientes:

\begin{equation*}
y^3 + py + q = 0 \quad \text{o simplemente} \quad x^3 + px + q = 0,
\end{equation*}

con $p= – \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a}$ y $q = \frac{2b^3}{27a^3} – \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$.

$\blacksquare$

De acuerdo con el resultado anterior, dada una ecuación cúbica como en (1.1), para reducirla a una ecuación sin el término cuadrático basta con usar un cambio de variable de la forma $x=y-\frac{b}{3a}$.

Teorema 1. (Fórmula de Cardano.)
Sean $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a \neq 0$. Las raíces de la ecuación cúbica:

\begin{equation*}
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \tag{1.2}
\end{equation*}

están dadas por:

\begin{equation*}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} – \frac{b}{3a}. \tag{1.3}
\end{equation*}

Donde $p= – \dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a}$ y $q = \dfrac{2b^3}{27a^3} – \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{d}{a}$.

Demostración. Dadas las hipótesis, de acuerdo con el Lema 1 tenemos que la ecuación (1.2), utilizando el cambio de variable $x=y-\frac{b}{3a}$, se puede simplificar como:
\begin{equation*}
y^3 + py + q = 0, \tag{1.4}
\end{equation*}

donde $p= – \dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a}$ y $q = \dfrac{2b^3}{27a^3} – \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{d}{a}$.

Notemos que:

\begin{align*}
\left(\alpha + \beta\right)^3 & = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha^2 \beta + 3\alpha \beta^2\\
& = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta \left(\alpha + \beta\right),
\end{align*}

de donde obtenemos:
\begin{align*}
\left(\alpha + \beta\right)^3 – 3\alpha\beta \left(\alpha + \beta\right) – \left(\alpha^3 + \beta^3\right) = 0. \tag{1.5}
\end{align*}

Si definimos $q = – \left(\alpha^3 + \beta^3\right)$ y $p = – 3\alpha\beta$ en (1.5), entonces $y = \alpha + \beta$ es una solución de (1.4). Tenemos entonces que:
\begin{align*}
p = -3 \alpha \beta \quad \Longrightarrow \quad \left(\alpha \beta\right)^3 = -\left(\frac{p}{3}\right)^3.\\ \tag{1.6}
q = – \left(\alpha^3 + \beta^3\right) \quad \Longrightarrow \quad \alpha^3 + \beta^3 = -q.
\end{align*}

De (1.6) se sigue que $\beta^3 = -\frac{p^3}{27 \alpha^3}$, por lo que podemos obtener la siguiente ecuación en términos de $\alpha^3$:
\begin{align*}
-q &= \alpha^3 + \beta^3\\
&= \alpha^3 -\frac{p^3}{27 \alpha^3},
\end{align*}

o equivalentemente:

\begin{equation*}
\left( \alpha^3 \right)^2 + q \alpha^3 – \frac{p^3}{27} = 0. \tag{1.7}
\end{equation*}

Resolviendo (1.7) para $\alpha^3$ tenemos que las soluciones son:

\begin{align*}
\alpha^3 & = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + 4\left(\frac{p}{3}\right)^3}}{2}\\
& = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}
\end{align*}

Notemos que el mismo resultado se obtiene para $\beta^3$. De acuerdo con (1.6), como $\alpha^3 + \beta^3 = -q$, entonces sin pérdida de generalidad:

\begin{equation*}
\alpha^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}.
\end{equation*}

\begin{equation*} \beta^3 = -\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} \quad \Longrightarrow \quad \beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}.
\end{equation*}

Considerando que tenemos 2 raíces cuadradas y 3 raíces cúbicas, entonces hay en total 6 raíces, pero dadas las condiciones en (1.6), tenemos que fijado un valor de $\alpha$, entonces el valor de $\beta$ está determinado por la igualdad $p = – 3\alpha \beta$, lo cual nos garantiza que (1.4) tiene solo 3 soluciones, que de acuerdo con lo anterior son de la forma:

\begin{align*}
x & = y \,-\, \frac{b}{3a}\\
& = \left(\alpha + \beta\right) \,-\, \frac{b}{3a}\\
& = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} \,-\, \frac{b}{3a},
\end{align*}

donde $p= – \dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a}$ y $q = \dfrac{2b^3}{27a^3} – \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{d}{a}$.

$\blacksquare$

Corolario 1.
Las raíces de la ecuación cúbica:

\begin{equation*}
x^3 + px + q = 0.
\end{equation*}

están dadas por:

\begin{equation*}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Observación 1.1.
El resultado de Cardano parecía no tener sentido en el caso en que $\left(\dfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{p}{3}\right)^3< 0$, sin embargo fue la sutileza de Cardano la que le permitió asumir que trabajar con «cantidades sofisticadas», a decir expresiones donde aparecían números negativos dentro de raíces cuadradas, daba resultados útiles aunque fuera de lo real. Cardano mostró que las ecuaciones cúbicas con ésta condición tenían soluciones reales dadas como suma de raíces cúbicas imaginarias.

Ejemplo 1.
Consideremos las siguientes ecuaciones:

Es claro que estas ecuaciones no eran consideradas “imposibles” desde que $x = 6$ es solución de a) y $x = 4$ es solución de b). Sin embargo usando la fórmula de Cardano obtenemos las siguientes soluciones:

Lo que observó Cardano claramente era cuestionable, aunque fue hasta 1572 que el matemático italiano Rafael Bombelli en su libro «L’Algebra» desarrolló las reglas básicas del álgebra de los números complejos. Usando la notación moderna para $\sqrt{-1}$, es decir la letra $i$, misma que fue usada por primera vez por el matemático Leonhard Euler, Bombelli estableció que:

• $(\pm 1)i = \pm i $.
• $(\pm 1)(-i) = \mp i $.
• $(+i)(+i) = -1$.
• $(-i)(+i) = (+i)(-i) = +1$.

Es entonces cuando los resultados que aparentemente no tenían sentido alguno lo cobran gracias a Bombelli, quien estableció la forma correcta de operar con estos números, tanto que mediante el uso de las propiedades de los números reales manipula las expresiones obtenidas por Cardano resolviendo así que:

• Para la ecuación a):

\begin{align*}
x & = \left(\sqrt[3]{18 + \sqrt{-1} \, 26}\right) + \left(\sqrt[3]{18 – \sqrt{-1} \, 26}\right)\\
& = \left(a + \sqrt{-1} \, b\right) + \left( a – \sqrt{-1} \, b \right).
\end{align*}

Que equivalentemente podemos expresar como:

\begin{align*}
18 + \sqrt{-1} \, 26 & = \left(a + \sqrt{-1} \, b\right)^3\\
& = \left(a^3 -3ab^2\right) + \sqrt{-1}\left( 3a^2b – b^3\right).
\end{align*}

\begin{align*}
18 – \sqrt{-1} \, 26 & = \left(a – \sqrt{-1} \, b\right)^3\\
& = \left(a^3 -3ab^2\right) – \sqrt{-1}\left(3a^2b-b^3\right).
\end{align*}

Entonces:

\begin{align*}
18 = a^3 -3ab^2\\
26 = 3a^2b – b^3.
\end{align*}

Por lo que para $a = 3$ y $b=1$ notamos que se satisface el sistema, entonces:

\begin{equation*}
x = \left(3 + \sqrt{-1} \right) + \left( 3 – \sqrt{-1} \right) = 6.
\end{equation*}

• Para la ecuación b):

\begin{align*}
x & = \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{-1} \, 11}\right) + \left(\sqrt[3]{2 – \sqrt{-1} \, 11}\right)\\
& = \left(a + \sqrt{-1} \, b\right) + \left( a – \sqrt{-1} \, b \right).
\end{align*}

Que equivalentemente podemos expresar como:

\begin{align*}
2 + \sqrt{-1} \, 11 & = \left(a + \sqrt{-1} \, b\right)^3\\
& = \left(a^3 -3ab^2\right) + \sqrt{-1}\left( 3a^2b – b^3\right).
\end{align*}

\begin{align*}
2 – \sqrt{-1} \, 11 & = \left(a – \sqrt{-1} \, b\right)^3\\
& = \left(a^3 -3ab^2\right) – \sqrt{-1}\left( 3a^2b – b^3\right).
\end{align*}

Entonces:

\begin{align*}
2 = a^3 -3ab^2\\
11 = 3a^2b – b^3.
\end{align*}

Por lo que para $a = 2$ y $b=1$ notamos que se satisface el sistema, entonces:

\begin{equation*}
x = \left(2 + \sqrt{-1} \right) + \left( 2 – \sqrt{-1} \right) = 4.
\end{equation*}

Todo el desarrollo anterior fue posible gracias al trabajo hecho por Bombelli. Después de Cardano y Bombelli hubo aportaciones de grandes matemáticos como Descartes, Leibniz, Euler, Wallis, Wessel, Argand, Gauss, Cauchy, Hamilton, entre otros, quienes colaboraron en el desarrollo y comprensión de estos números y su teoría, la construcción moderna que tenemos hoy en día de los números complejos, su operabilidad, interpretación geométrica, incluso su mismo nombre, es sin duda el resultado de la abstracción y unificación de todas estas ideas.

Observación 1.2.
Es importante mencionar que a lo largo de este curso haremos uso de las siguientes notaciones para referirnos a los distintos conjuntos:

• Números naturales y naturales positivos:

\begin{align*}
\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\},\\
\mathbb{N}^+ = \{1,2,\ldots\}.
\end{align*}

• Números enteros, enteros positivos y enteros negativos:

\begin{align*}
\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1 , 2,\ldots\},\\
\mathbb{Z}^+ = \{1 , 2,\ldots\},\\
\mathbb{Z}^- = \{-1, -2, \ldots\}.
\end{align*}

• Números racionales:

\begin{equation*}
\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \, : \, p,q\in\mathbb{Z}, \, q\neq 0 \right\}.
\end{equation*}

• Números reales $\mathbb{R} = (-\infty,\infty)$ y reales positivos $\mathbb{R}^+ = (0,\infty)$.

Tarea Moral

1. Encuentra las otras dos raíces cúbicas de las ecuaciones a) y b) del ejemplo 1. ¿También son reales?
2. Consideremos al discriminante $\triangle = \left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3$. De acuerdo con los ejemplos, notamos que las raíces reales estaban dadas como suma de raíces cúbicas complejas en el caso en que $\triangle<0$. ¿Qué pasa cuando $\triangle = 0$ y $\triangle>0$?.
3. Considera las siguientes ecuaciones:

Utilizando la fórmula de Cardano encuentra la solución y de ser necesario realiza un poco de álgebra para simplificar los resultados, observa que $x=-2$ es una solución para ambas ecuaciones ¿Cómo es su discriminante $\triangle$ ?

4. Resuelve el siguiente problema planteado por el matemático chino Qin Jinshao en el siglo XIII:

Una ciudad está rodeada por una muralla circular con dos puertas, una al norte y otra al sur. Saliendo por la puerta norte y caminando 3 li hacia el norte se llega hasta un árbol. Saliendo por la puerta sur, hay que caminar 9 li hacia el este para ver el mismo árbol. Calcular el diámetro de la ciudad.

Hint: considera que ambos triángulos del esquema anterior son semejantes.

5. Considera el siguiente problema, el cual llegó a considerarse insoluble:

Divide 10 en dos partes, tales que su producto sea igual a 40.

Es decir, encuentra los números $x, y$ tales que:

\begin{align*}
x+y = 10,\\
xy = 40.
\end{align*}

Es fácil ver que no existen soluciones reales para este problema. Sin embargo, haciendo un poco de cuentas obtendríamos que $x=5+\sqrt{-15}$ y $y=5-\sqrt{-15}$ son las soluciones a nuestro problema. ¿Consideras entonces que $\sqrt{-1}$ es un factor clave en las soluciones de algunas ecuaciones insolubles en los reales?

Más adelante…

Hasta ahora hemos motivado la necesidad de trabajar con números complejos. Es posible realizar un análisis más exhaustivo de la solución para ecuaciones cúbicas, considerando casos particulares y determinando las condiciones necesarias para la existencia de raíces reales e imaginarias, pero esto se escapa de los objetivos del curso, por lo que dejaremos hasta aquí este pequeño resumen histórico de la construcción y desarrollo de los números complejos.

En la siguiente entrada haremos la construcción formal de los números complejos como un campo, definiremos propiamente lo que entenderemos por un número complejo, así como sus operaciones algebraicas y algunas propiedades importantes que nos permitirán ir trabajando con estos números e interpretarlos mejor desde una perspectiva geométrica.

Entradas relacionadas

• Ir a Variable Compleja I.
• Siguiente entrada del curso: El campo de los números complejos.

Introducción

Aunque la teoría de los números complejos ha ido formalizándose a lo largo del tiempo, el término «imaginario» ha trascendido hasta nuestros días. Es claro que dicha expresión está ligada con la concepción con la que surgieron dichos números y que es simplemente una forma para referirse a dichos números. El término «complejo» fue introducido por primera vez por el matemático Carl Friedrich Gauss, mientras que el símbolo $i$, para denotar a $\sqrt{-1}$, fue introducido por primera vez por el matemático Leonhard Euler.

Durante el siglo XVI se encontraron soluciones para las ecuaciones $x^2+2x+2 = 0$ y $x^3=6x+4$, tales como $1+\sqrt{-1}$ y $\sqrt[3]{2+\sqrt{-2}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-2}}$ respectivamente, lo cual generó incertidumbre entre los matemáticos de la época, puesto que expresiones como $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ no tenían sentido. Conforme se iba desarrollando la teoría de los números complejos, para evitar expresiones como las anteriores, se optó por definir una nueva cantidad, la unidad imaginaria, denotada por el símbolo $i$, la cual es caracterizada por cumplir la propiedad $i^2 = -1$, es decir, es la raíz cuadrada de $-1$. Considerando esta notación las expresiones $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ ahora pueden reescribirse como $i$, $i\sqrt{2}$, respectivamente.

El campo de los números complejos $\mathbb{C}$

Definición 2.1. (El campo de los números complejos.)
El campo de los números complejos, denotado por $\mathbb{C}$, es el conjunto formado por pares ordenados de números reales $z=(a, b)$, dotado con las operaciones binarias de suma y multiplicación definidas respectivamente como:

\begin{equation*}
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d). \tag{2.1}
\end{equation*}

\begin{equation*}
(a, b) \cdot (c, d) = (ac – bd, ad + bc). \tag{2.2}
\end{equation*}

Considerando a $(0,0)$ y $(1,0)$ como los neutros aditivo y multiplicativo respectivamente, es decir, tales que para todo $z=(a,b)\in\mathbb{C}$:

\begin{equation*}
(0,0) + (a,b) = (a,b).
\end{equation*}

\begin{equation*}
(1,0) \cdot (a,b) = (a,b).
\end{equation*}

Y para $z=(a, b) \in \mathbb{C}$ distinto de cero, su inverso multiplicativo, denotado como $z^{-1}$, dado por:
\begin{equation*}
z^{-1} = \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right),
\end{equation*}

es decir, es tal que:

\begin{equation*}
z \cdot z^{-1} = (1,0).
\end{equation*}

Entonces es fácil verificar, usando las propiedades de los números reales, que $\mathbb{C}$ con la suma y el producto recién definidos satisface las propiedades de campo.

Observación 2.1.
Sean $a, b, c, d$ números reales. Sabemos que las parejas ordenadas $(a, b)$ y $(c, d)$ son iguales, es decir $(a, b) = (c, d)$, si y solo si $a=c$ y $b=d$, por lo que la igualdad entre números complejos está sujeta a dicha condición.
Además, si $a \neq b$, entonces $(a, b) \neq (b, a)$, esto es, como parejas ordenadas $(a, b)$ y $(b, a)$ son diferentes, por lo que como números complejos también lo son.

Procedemos ahora a analizar un subconjunto importante de los números complejos, es decir los números de la forma $z = (a, 0)$, con $a \in \mathbb{R}$. A partir de ahora denotaremos al número real $a$ por el número complejo $(a, 0)$.

Observación 2.2
Sean $a, b \in \mathbb{R}$, entonces:

\begin{equation*}
(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0), \quad \text{es decir} \quad a+b.
\end{equation*}

\begin{equation*}
(a, 0) \cdot (b, 0) = (ab, 0), \quad \text{es decir} \quad ab.
\end{equation*}

Notamos que los números complejos de la forma $(a, 0)$ se comportan con respecto a la suma y la multiplicación definidas en (1) y (2) como los números reales. Lo anterior se debe a que el mapeo $a \mapsto (a,0)$ define un isomorfismo de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$, es decir:

Proposición 2.1.
La función $\phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ dada por $\phi(a) = (a,0)$ satisface:

1. $\phi$ es inyectiva.
2. $\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b)$ y $\varphi(ab) = \varphi(a)\cdot\varphi(b)$.
3. $\varphi(0) = (0,0)$ y $\varphi(1) = (1,0)$.
4. $\varphi(-a) = -\varphi(a)$.
5. Si $a \in \mathbb{R}$, con $a\neq0$, entonces $\varphi(a^{-1}) = \left(\varphi(a)\right)^{-1}$.

Demostración.

1. La inyectividad se sigue de la observación 2.1.
2. Observación 2.2.
3. Se sigue de la definición.
4. Se deja como ejercicio al lector.
5. Supongamos que $a \in \mathbb{R}$, con $a \neq 0$, entonces $\phi(a) = (a, 0) \neq (0,0)$ y :

\begin{equation*}
(1, 0) = \phi(1) = \phi(a a^{-1}) = \phi(a)\cdot\phi\left(a^{-1}\right).
\end{equation*}

Entonces $\phi\left(a^{-1}\right) = \left(\phi(a)\right)^{-1}$.

$\blacksquare$

De acuerdo con este resultado, podemos trabajar de manera indistinta con este conjunto de números complejos y los números reales, como si fuesen el mismo conjunto.

Por otra parte, el conjunto de los números complejos de la forma $(0,b)$, con $b \in \mathbb{R}$, será considerado como el conjunto de los números imaginarios puros.

Si definimos a $i:=(0, 1)$, la unidad imaginaria, entonces notamos que:

\begin{equation*}
i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 – 1, 0) = (-1, 0), \quad \text{es decir} \quad -1.
\end{equation*}
De esta forma podemos concluir que $i = (0, 1)$ es la raíz cuadrada de $-1$. Además tenemos que:

\begin{equation*}
a + ib = (a, 0) + (0, 1) \cdot (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).
\end{equation*}

De acuerdo a lo anterior, es posible dar la siguiente:

Definición 2.2. (Número complejo.)
Un número complejo es un número de la forma $z = a+ib$ donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria.
Al número real $a$ se le conoce como la parte real de $z$ y se denota como Re$(z)$, mientras que al número real $b$ se le conoce como la parte imaginaria de $z$ y se le denota como Im$(z)$. Además, si Re$(z) = 0$, entonces se dice que $z$ es un número imaginario puro.

Ejemplo 2.1.

Considerando la definición 2.2 y la proposición 2.1, es posible considerar a $\mathbb{R}$ como un subconjunto de $\mathbb{C}$, de forma que todo número real es un número complejo cuya parte imaginaria es igual a cero.

Definición 2.3. (Conjugado de un número complejo.)
Dado un número complejo $z=a+ib$, se define el conjugado de $z$ como el número complejo:
\begin{equation*}
\overline{z} = a \,-\, ib.
\end{equation*}

Ejemplo 2.2.

Definición 4. (Operaciones Aritméticas).
Sean $z_1 = a_1 + ib_1, z_2 = a_2 + i b_2 \in \mathbb{C}$, entonces se definen las siguientes operaciones:

1. Suma.
   \begin{equation*}
   z_1 + z_2 = (a_1 + ib_1) + (a_2 + i b_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)
   \end{equation*}
2. Resta.
   \begin{equation*}
   z_1 – z_2 = (a_1 + ib_1) – (a_2 + i b_2) = (a_1 – a_2) + i(b_1 – b_2).
   \end{equation*}
3. Multiplicación.
   \begin{equation*}
   z_1 \cdot z_2 = (a_1 + ib_1) \cdot (a_2 + i b_2) = (a_1a_2 – b_1b_2) + i (b_1a_2 + a_1b_2).
   \end{equation*}
4. División. Para $z_2 \neq 0$:
   \begin{equation*}
   \frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + ib_1}{a_2 + i b_2} \frac{a_2 – ib_2}{a_2 – i b_2} =\left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right) + i\left( \frac{b_1a_2 – a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right).
   \end{equation*}

Observación 2.3.
Notemos que si $z=a+ib \in \mathbb{C}$, entonces:
\begin{equation*}
z \cdot \overline{z} = (a+ib) \cdot (a-ib) = (a^2 – (-b^2)) + i(ab-ab) = a^2 + b^2.
\end{equation*}
\begin{equation*}
z + \overline{z} = (a+ib) + (a-ib) = 2a = 2\,\text{Re}(z), \quad \Longrightarrow \quad \text{Re}(z) = \frac{ z + \overline{z}}{2}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
z – \overline{z} = (a+ib) – (a-ib) = 2ib = 2\,i\,\text{Im}(z), \quad \Longrightarrow \quad \text{Im}(z) = \frac{ z – \overline{z}}{2i}.
\end{equation*}

Observación 2.4.
A partir de ahora, si es claro que se está efectuando el producto entre números complejos, entonces se omitirá el símbolo “$\cdot$” para indicarlo.

Ejemplo 2.3.
Sean $z_1 = 2 + 4i$ y $z_2 = -3 + 8i$. Calculemos:

Solución.

De acuerdo con las definiciones 2.3 y 2.4 es fácil probar las siguientes propiedades:

Proposición 2.2.
Sean $z, w \in \mathbb{C}$, entonces:

1. $\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}$.
2. $\overline{z w} = \overline{z} \,\overline{w}$.
3. Si $w \neq 0$, entonces $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$.
4. $\overline{\overline{z}} = z$.
5. $z$ es un número real si y solo si $z = \overline{z}$.

Demostración. Sean $z=a_1 + i b_1$ y $w=a_2 + i b_2$, tenemos que:

1. 
   \begin{align*}
   \overline{z+w} & = \overline{(a_1 + i b_1) + (a_2 + i b_2)} \\
   & = \overline{(a_1 + a_2) + i (b_1 + b_2)} \\
   & = (a_1 + a_2) – i (b_1 + b_2) \\
   & = (a_1 – ib_2) + (a_2 – i b_2) \\
   & = \overline{a_1 + ib_1} + \overline{a_2 + i b_2}\\
   & = \overline{z} + \overline{w}.
   \end{align*}

2. Ejercicio.
3. Si $w \neq 0$, entonces:
   \begin{align*}
   \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} & = \overline{\left(\frac{a_1 + i b_1}{a_2 + i b_2}\right)} \\
   & = \overline{\left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right) + i \left(\frac{b_1 a_2 – a_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right)}\\
   & = \left(\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right) – i \left(\frac{b_1 a_2 – a_1 b_2 }{a_1^2 + a_2^2}\right)\\
   & = \frac{\overline{\left(a_1 + i b_1\right)}}{\overline{\left(a_2 + i b_2\right)}}\\
   & = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}.
   \end{align*}

4. Ejercicio.

5. Ejercicio.

Observación 2.5.
Notemos que las propiedades 1 y 2 de la proposición 2.2 se pueden generalizar mediante inducción matemática para un número finito de números complejos, esto es, para $z_1, z_2, \ldots, z_n \in \mathbb{C}$, $n\geq2$, se cumple que:
\begin{equation*}
\overline{z_1 + z_2 + \cdots + z_n} = \overline{z_1} +\overline{z_2} + \cdots + \overline{z_n}.
\end{equation*}

\begin{equation*}
\overline{z_1 z_2 \cdots z_n} = \overline{z_1} \, \overline{z_2} \,\overline{z_n}. \end{equation*}

Tarea moral

1. Verifica que el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ con las operaciones definidas en (2.1) y (2.2) satisface los axiomas de campo, es decir, verificar las propiedades de la definición de campo.
2. En la proposición 2.1 argumenta porqué se cumple la suprayectividad de la función en el inciso 1 y completa la demostración del inciso 4.
3. Completa las demostraciones de los incisos (1), (2), (4) y (5) de la proposición 2.2.
4. Prueba los resultados de la observación 2.5 utilizando inducción matemática. ¿Se puede generalizar la propiedad (3) de la proposición 2.2?
5. Identifica la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:

Más adelante…

En esta segunda entrada hemos dado una definición formal de lo que es un número complejo. Realizamos la construcción del campo de los números complejos, analizando la relación que existe entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ como conjuntos. También definimos las operaciones aritméticas básicas de estos números e introducimos una nueva operación llamada la conjugación compleja.

Es importante notar que la extensión del campo de los números reales al campo de los números complejos nos permite dar solución a ecuaciones como $z^2 + 1 = 0$, la cual en $\mathbb{R}$ no tenía solución, mientras que en $\mathbb{C}$ tenemos que los números $z = \pm i$ satisfacen dicha ecuación. En general, notaremos que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, de hecho es la clausura algebraica de $\mathbb{R}$, por lo que siempre será posible hallar soluciones para polinomios con coeficientes en $\mathbb{C}$ de grado $n\geq1$. Más aún, dichos polinomios tendrán exactamente $n$ raíces, lo cual probaremos más adelante cuando veamos el Teorema Fundamental del Álgebra.

En la siguiente entrada daremos una interpretación geométrica de estos números y sus operaciones, por lo que definiremos una nueva cantidad en $\mathbb{C}$ que nos permitirá realizar una mejor comprensión y caracterización de estos números de acuerdo con su posición en un plano, así como la obtención de nuevos resultados y propiedades que nos permitan diferenciarlos de los números reales.

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