Introducción
Hasta ahora hemos descrito la forma en que asociaremos los números complejos, pensados como pares ordenados de números reales, con puntos en el plano complejo utilizando un sistema de coordenadas cartesianas en el que el eje de las abscisas corresponde al eje real y el eje de las ordenadas al eje imaginario. Esto nos permitió darle una representación geométrica a los números complejos como vectores en el plano complejo con sus operaciones definidas.
De acuerdo con nuestros cursos de Geometría Analítica sabemos que, en el plano, un punto
Forma polar de un número complejo.
Observación 4.1.
Debemos recordar que a diferencia de las coordenadas cartesianas, no existe una relación biunívoca entre los puntos del plano y las coordenadas polares que los representan, esto es porque un punto
Sabemos que las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas satisfacen las siguientes relaciones:
Utilizando lo anterior como motivación, consideremos la siguiente:
Definición 4.1. (Argumentos de un número complejo.)
Sea
No se debe confundir la notación designada para este ángulo, ya que no es una función, por lo que omitiremos los paréntesis.
Observación 4.2.
Es importante notar que el argumento de un número complejo no es único desde que las funciones sen
Definición 4.2. (Forma polar de un número complejo.)
Sea
donde
Es claro que escribir
Observación 4.3.
A partir de ahora usaremos la siguiente notación:
Así:
En la práctica es común encontrar al argumento de
Sin embargo, dado que la función
Definición 4.3. (El argumento principal de un número complejo.)
El argumento principal de un número complejo
De la definición 4.3 y la observación 4.2 se sigue que:
de donde es claro que para un número complejo
Observación 4.4.
Usualmente un argumento de un número complejo
Por lo que, el argumento principal de
Ejemplo 4.1.
Considera los siguientes números complejos y encuentra su forma polar considerando su argumento principal:
- a)
. - b)
. - c)
y .
Solución. Primeramente grafiquemos los números en el plano complejo.
Figura 8: Gráficas de los números complejos


Figura 9: Gráficas de los números complejos


- a) Tenemos que:
De acuerdo con la figura 8(a), notamos que el número complejo
ya que:
y además:
Por lo tanto, considerando su argumento principal, tenemos que la forma polar de
Mientras que:
- b) Tenemos que:
Considerando ahora la gráfica 8(b) notamos que
ya que:
y además:
Por lo tanto, considerando su argumento principal, tenemos que la forma polar de
Mientras que:
- c) Tenemos que para
y :
De acuerdo con las figuras 9(a) y 9(b), observamos que en ambos casos la parte real de los respectivos números complejos es igual a cero, por lo que debemos analizar qué sucede en este caso, aunque de manera gráfica es claro que es posible determinar algunos argumentos para
Sabemos que la función
Por lo que usando la inversa de la función
Lo anterior nos deja ver que en el caso en que
los cuales claramente satisfacen la definición 4.3. Entonces, utilizando el argumento principal de
Los ejemplos anteriores nos dejan ver que para determinar el argumento principal de un número complejo debemos identificar el cuadrante en el que se encuentra dicho número y verificar que se satisfagan las condiciones dadas en la observación 4.4, por lo que para obtener el argumento principal de un número complejo
- Si
, entonces . - Si
y , entonces . - Si
y , entonces . - Si
y , entonces . - Si
y , entonces . - Si
y , entonces . - Si
y , entonces .
Analicemos estos casos de manera gráfica:
Figura 10: Caso 1. Gráficas de un números complejo




Por lo que para un número complejo
Observación 4.5.
Hasta ahora solo hemos considerado los casos en que
Sin embargo, dado que para cualquier
Para los fines del curso nos quedaremos con el primer planteamiento, es decir, para

Expresar un número complejo en su forma polar nos permite analizar mejor, en un sentido geométrico, al producto y el cociente de dos números complejos, esto es, sean
De lo anterior tenemos que el módulo del producto de dos números complejos,
Entonces:
Geométricamente tenemos que:
Por otra parte, utilizando la definición del cociente es fácil obtener que:
de donde concluimos que el módulo del cociente de dos números complejos,
Entonces:
Considerando lo anterior, tenemos que:
Observación 4.6.
Si
Lo cual nos deja ver que podemos proceder por inducción y generalizar el resultado para
Observación 4.7.
Es importante hacer aquí la siguiente convención. Para todo
Proposición 4.1. (Fórmula de De Moivre.)
Sea
Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos a realizar la prueba por inducción sobre
Lo cual satisface la convención establecida en la observación 4.7.
Entonces, de acuerdo con la observación 4.6, tenemos que se cumple para
Por lo que se cumple para
Es interesante notar que la fórmula de De Moivre se cumple en general para los números enteros, para esto veamos que se cumple para
Consideremos a
De acuerdo con esta última igualdad, notemos que para
entonces:
Corolario 4.1.
Sea
Tomando a
Además es fácil concluir por inducción que para
Ejemplo 4.2.
Sea
Solución. Primeramente expresemos a
Por otra parte notemos que
En general sabemos que
De acuerdo con la fórmula de De Moivre:
Tarea moral
- ¿Consideras que sea necesario pedir que
en la definición 4.2? - De acuerdo con la observación 4.5 ¿Por qué consideras que para
el argumento de puede ser cualquier constante? - Para
, distintos de cero, al expresarlos en su forma polar concluimos que: Realiza el desarrollo completo para obtener dicho resultado ¿Cómo podemos representar dicho resultado de manera geométrica? Haz un diagrama. - ¿Consideras necesario realizar la convención de la observación 4.7?
- Utilizando los resultados de la entrada resuelve lo siguiente:
- a) Considerando el argumento principal y otro argumento distinto del principal expresa en su forma polar a
. - b) El número complejo
está dado en su forma polar. Exprésalo en su forma . - c) Muestra que:
- d) Prueba que:
- Considera a los números complejos
y . Realiza las siguientes operaciones:
- a)
. - b)
.
Más adelante…
Hemos visto que mediante la forma polar de un número complejo es posible interpretar mejor, desde un sentido geométrico, a las operaciones entre números complejos.
Además, considerar a un número complejo en su forma polar nos permitió obtener nuevas relaciones que cumplen las potencias enteras de los números complejos en términos de sus módulos y sus argumentos, en particular obtuvimos la fórmula de De Moivre, la cual resultó de gran utilidad para operar con números complejos.
La siguiente entrada continuaremos trabajando a los números complejos desde una perspectiva geométrica y retomaremos la forma polar de un número complejo para dar solución a ecuaciones de la forma
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